第二十七章 相似
测试1 图形的相似
学习要求
1．理解相似图形、相似多边形和相似比的概念． 2．掌握相似多边形的两个基本性质．
3．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质．
课堂学习检测
一、填空题
1．________________________是相似图形．
2．对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果____________与____________(如
d
c
b a =)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________．
3．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边形．
4．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1时，相似的两个图形____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k ，则乙多边形与甲多边形的相似比为____________．
5．相似多边形的两个基本性质是____________，____________．
6．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________． 反之亦真．即
?=d
c
b a ______(a ，b ，
c ，
d 不为零)． 7．已知2a －3b ＝0，b ≠0，则a ∶b ＝______． 8．若,5
7
1=+x x 则x ＝______． 9．若
,5
32z y x ==则=-+x z y x 2______．
10．在一张比例尺为1∶20000的地图上，量得A 与B 两地的距离是5cm ，则A ，B 两
地实际距离为______m ．
二、选择题
11．在下面的图形中，形状相似的一组是( )
12．下列图形一定是相似图形的是( )
A ．任意两个菱形
B ．任意两个正三角形
C ．两个等腰三角形
D ．两个矩形
13．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为
50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有( ) A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种
三、解答题
14．已知：如图，梯形ABCD 与梯形A ′B ′C ′D ′相似，AD ∥BC ，A ′D ′∥B ′C ′，
∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：
(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；
(2)A′B′和BC的长；
(3)D′C′∶DC．
综合、运用、诊断
15．已知：如图，△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12．△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．
16．已知：如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似，并说明理由．
拓展、探究、思考
17．如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD．如图乙所示，线段EF＝10，在EF 上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN ∽矩形ABCD，设MN＝x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?
测试2 相似三角形
学习要求
1．理解相似三角形的有关概念，能正确找到对应角、对应边． 2．掌握相似三角形判定的基本定理．
课堂学习检测
一、填空题
1．△DEF ∽△ABC 表示△DEF 与△ABC ______，其中D 点与______对应，E 点与 ______对应，F 点与______对应；∠E ＝______；DE ∶AB ＝______∶BC ，AC ∶DF ＝AB ∶______．
2．△DEF ∽△ABC ，若相似比k ＝1，则△DEF ______△ABC ；若相似比k ＝2，则
=AC DF ______，=EF
BC
______． 3．若△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k 1；△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且相似比为k 2，则△ABC ______△A 2B 2C 2，且相似比为______． 4．相似三角形判定的基本定理是平行于三角形____________和其他两边相交，所_____ ____________与原三角形______． 5．已知：如图，△ADE 中，BC ∥DE ，则
①△ADE ∽______； ②
;)
(,)(BC AB AD AE AB AD == ③
?==CA
BA BD AE DB AD )
(,)( 二、解答题
6．已知：如图所示，试分别依下列条件写出对应边的比例式．
(1)若△ADC ∽△CDB ；
(2)若△ACD ∽△ABC ；
(3)若△BCD ∽△BAC ．
综合、运用、诊断
7．已知：如图，△ABC 中，AB ＝20cm ，BC ＝15cm ，AD ＝12.5cm ，DE ∥BC ．求DE 的长．
8．已知：如图，AD ∥BE ∥CF ．
(1)求证：
;DF
DE
AC AB (2)若AB ＝4，BC ＝6，DE ＝5，求EF ．
9．如图所示，在△APM 的边AP 上任取两点B ，C ，过B 作AM 的平行线交PM 于N ，过N 作MC 的平行线交AP 于D ．求证：P A ∶PB ＝PC ∶PD ．
拓展、探究、思考
10．已知：如图，E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且
2
3
=DE AE ，CE 交BD 于点F ，BF ＝15cm ，求DF 的长．
11．已知：如图，AD 是△ABC 的中线．
(1)若E 为AD 的中点，射线CE 交AB 于F ，求BF
AF
； (2)若E 为AD 上的一点，且k
ED AE 1=，射线CE 交AB 于F ，求?BF AF
测试3 相似三角形的判定
学习要求
1．掌握相似三角形的判定定理．
2．能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算．
课堂学习检测
一、填空题
1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．
2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．
3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相似．
4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．6．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．7．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A'C′＝2cm，A′B′＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由
是____________________．
8．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．9．如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．
9题图
10．如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．
10题图
二、选择题
11．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( )
A．∠B＝∠DAC
B．∠BAC＝∠ADC
C．AC2＝DC·BC
D．AD2＝BD·BC
12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )
A．5 B．8.2
C．6.4 D．1.8
13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
三、解答题
14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，
(1)图中有哪两个三角形相似?
(2)求证：AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA；
(3)若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD；
(4)若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC；
(5)求证：AC·BC＝AB·CD．
15．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．
求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；
(2)△ODE∽△OAB；
(3)△ABC∽△DEF．
综合、运用、诊断
16．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C．
求证：(1)∠EAF＝∠B；
(2)AF2＝FE·FB．
17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，以AD为直径的半圆与BC 相切于E点．
求证：AB·CD＝BE·EC．
18．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．
求证：AD·BC＝OB·BD．
19．如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，弦CF交AB于E．求证：CB2＝CF·CE．
拓展、探究、思考
20．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．
21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．
22．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC于E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式．
测试4 相似三角形应用举例
学习要求
能运用相似三角形的知识，解决简单的实际问题．
课堂学习检测
一、选择题
1．已知一棵树的影长是30m ，同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m ，则这棵树的高度是( )
A ．15m
B ．60m
C ．20m
D ．m 310
2．一斜坡长70m ，它的高为5m ，将某物从斜坡起点推到坡上20m 处停止下，停下地点的高度为( ) A ．
m 7
11 B ．
m 7
10 C ．
m 7
9 D ．
m 2
3 3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影长DE ＝1.8m ，窗户下檐距地面的距离BC ＝1m ，EC ＝1.2m ，那么窗户的高AB 为( )
第3题图
A ．1.5m
B ．1.6m
C ．1.86m
D ．2.16m 4．如图所示，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距离墙角1.6m ，梯上点D 距离墙1.4m ，BD 长0.55m ，则梯子长为( )
第4题图
A ．3.85m
B ．4.00m
C ．4.40m
D ．4.50m 二、填空题
5．如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD ＝2m 的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上，如果测得BD ＝20m ，FD ＝4m ，EF ＝1.8m ，则树AB 的高度为______m ．
第5题图
6．如图所示，有点光源S 在平面镜上面，若在P 点看到点光源的反射光线，并测得AB
＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm．
第6题图
三、解答题
7．已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求它的边长．
8．如果课本上正文字的大小为4mm×3.5mm(高×宽)，一学生座位到黑板的距离是5m，教师在黑板上写多大的字，才能使该学生望去时，同他看书桌上相距30cm垂直放置的课本上的字感觉相同?
综合、运用、诊断
9．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在
墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?
10．(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图，AB∥A′B′)，可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?
11．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为
1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF
为12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度．(精确到
0.1m)
12．(1)已知：如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OE⊥BC于E点，连结ED交OC于F点，作FG⊥BC于G点，求证点G是线段BC的一个三等分
点．
(2)请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．(要求：写出作法，
保留画图痕迹，不要求证明)
测试5 相似三角形的性质
学习要求
掌握相似三角形的性质，解决有关的计算或证明问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．
2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应角的角平分线之比等于______．
3．相似三角形的周长比等于______．
4．相似三角形的面积比等于______．
5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______． 6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______．
7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______．
8．同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______，面积比是______． 9．同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______，面积比是______．
10．同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______，面积比是______． 11．正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______，面积比是______． 12．在比例尺1∶1000的地图上，1cm 2所表示的实际面积是______． 二、选择题
13．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为( )
A ．9∶4
B ．4∶9
C ．3∶2
D ．81∶16
14．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于点Q ，若
△DQE 的面积为9，则△AQB 的面积为( )
A ．18
B ．27
C ．36
D ．45
15．如图所示，把△ABC 沿AB 平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分的面积是
△ABC 面积的一半，若2=
AB ，则此三角形移动的距离AA '是( )
A ．12-
B ．
2
2 C ．1 D ．
2
1 三、解答题
16．已知：如图，E 、M 是AB 边的三等分点，EF ∥MN ∥BC ．求：△AEF 的面积∶四
边形EMNF 的面积∶四边形MBCN 的面积．
综合、运用、诊断
17．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是角平分线．
(1)求证：AD 2＝CD ·AC ； (2)若AC ＝a ，求AD ．
18．已知：如图，□ABCD 中，E 是BC 边上一点，且AE BD EC BE ,,2
1
相交于F 点．
(1)求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比；
(2)若△BEF 的面积S △BEF ＝6cm 2，求△AFD 的面积S △AFD ．
19．已知：如图，Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，DE ∥AB ．
(1)当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时，求CD 的长； (2)当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时，求CD 的长．
拓展、探究、思考
20．已知：如图所示，以线段AB 上的两点C ，D 为顶点，作等边△PCD ．
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB．
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB．
21．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于O点，若S△AOD∶S△DOC ＝2∶3，求S△AOB∶S△COD．
22．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．
测试6 位似
学习要求
1．理解位似图形的有关概念，能利用位似变换将一个图形放大或缩小．
2．能用坐标表示位似变形下图形的位置．
课堂学习检测
1．已知：四边形ABCD及点O，试以O点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍．
(1) (2)
(3) (4)
2．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )
A．(0，0)，2
1
B．(2，2)，
2
C．(2，2)，2
D．(2，2)，3
综合、运用、诊断
3．已知：如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(－4，2)，B(－2，－4)，C(6，－2)，D(2，
4)．试以O点为位似中心作四边形A'B'C'D′，使四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的
相似比为1∶2，并写出各对应顶点的坐标．
4．已知：如下图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其B，C，D 点的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．
(1)求E点和A点的坐标；
(2)试以点P(0，2)为位似中心，作出相似比为3的位似图形A1B1C1D1E1，并写出各对应
点的坐标；
(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移4个单位长度后，再作关于x轴的对称图形，得到图形
A2B2C2D2E2，这时它的各顶点坐标分别是多少?
拓展、探究、思考
5．在已知三角形内求作内接正方形．
6．在已知半圆内求作内接正方形．
答案与提示
第二十七章 相 似
测试1
1．形状相同的图形．
2．其中两条线段的比，另两条线段的比相等，比例线段． 3．对应角相等，对应边的比相等． 4．对应边的比，全等，
?k
1 5．对应角相等，对应边的比相等．
6．两个内项之积等于两个外项之积，ad ＝bc ． 7．3∶2． 8．?2
5
9．1． 10．1 000．
11．C ． 12．B ． 13．C ．
14．(1)k ＝2∶3；(2)A ＇B ＇＝9，BC ＝8；(3)3∶2． 15．?==
7
50,730AE AD 16．相似． 17．25
=
x 时，S 的最大值为?2
25 测试2
1．相似，A 点，B 点，C 点，∠B ，EF ，DE ． 2．≌，2，?2
1
3．∽；k 1k 2．
4．一边的直线，构成的三角形，相似． 5．①△ABC ；②AC ，DE ；③EC ，CE ． 6．(1)
;BC CA BD CD CD AD == (2);BC CD AC AD AB AC == (3)?==AC
CD
BC BD BA BC 7．9.375cm ．
8．(1)提示：过A 点作直线AF ＇∥DF ，交直线BE 于E ＇，交直线CF 于F ＇． (2)7.5．
9．提示：P A ∶PB ＝PM ∶PN ，PC ∶PO ＝PM ∶PN ． 10．OF ＝6cm ．提示：△DEF ∽△BCF ． 11．(1)
;2
1
=BF AF (2)1∶2k ． 测试3
1．平行于，直线，相交． 2．三组，比相等． 3．两组，相应的夹角． 4．两个，两个角对应相等． 5．△ABC ∽△A ＇C ＇B ＇，因为这两个三角形中有两对角对应相等． 6．△ABC ∽△A ＇B ＇C ＇．因为这两个三角形中有两对角对应相等． 7．△ABC ∽△A ＇B ＇C ＇，因为这两个三角形中，有两组对应边的比相等，且相应的夹角相
等．
8．△ABC ∽△DFE ．因为这两个三角形中，三组对应边的比相等． 9．6对． 10．6对．
11．D ． 12．D ． 13．A ．
14．(1)△ADC ∽△CDB ，△ADC ∽△ACB ，△ACB ∽△CDB ；
(2)略；
(3);4,54,52===CD BC AC (4);36,33,3===BC CD AD
(5)提示：AC ·BC ＝2S △ABC ＝AB ·CD ．
15．提示：(1)OD ∶OA ＝OF ∶OC ，OE ∶OB ＝OF ∶OC ；
(2)OD ∶OA ＝OE ∶OB ，∠DOE ＝∠AOB ，得△ODE ∽△OAB ； (3)证DF ∶AC ＝EF ∶BC ＝DE ∶AB ． 16．略．
17．提示：连结AE 、ED ，证△ABE ∽△ECD ． 18．提示：关键是证明△OBC ∽△ADB ．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠D ＝90°． ∵BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥BC ． ∴∠OBC ＝90°．∴∠D ＝∠OBC ．
∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠BOC ．∴△ADB ∽△OBC ．
?=∴
CB
BD
OB AD ∴AD ·BC ＝OB ·BD ． 19．提示：连接BF 、AC ，证∠CFB ＝∠CBE
20．
?=2
1
FB AF 提示：过C 作CM ∥BA ，交ED 于M ． 21．相似．提示：由△BHA ∽△AHC 得,AC
BA
AH BH =再有BA ＝BD ，AC ＝AE ．
则：,AE BD AH BH =再有∠HBD ＝∠HAE ，得△BDH ∽△AEH ．
22．.2423+-=x y 提示：可证△APE ∽△ACB ，则?=AC
AP
BC PE
则).10(6)4
5
8(43,45,43x x x y x AE x PE -++-+===
测试4
1．A ． 2．B ． 3．A ． 4．C ．
5．3． 6．12． 7．48mm ．
8．教师在黑板上写的字的大小约为7cm ×6cm(高×宽)． 9．树高7.45m ． 10．.3
1
AB B A =
'' 11．∵EF ∥AC ，∴∠CAB ＝∠EFD ．
又∠CBA ＝∠EDF ＝90°，∴△ABC ∽△FDE ．
)m (2.181
.11
.1265.1≈?=?=∴?=∴
BA DF BC DE DF BA DE BC 故教学楼的高度约为18.2m ．
12．(1)提示：先证EF ∶ED ＝1∶3．(2)略．
测试5
1．相等，相似比． 2．相似比、相似比、相似比． 3．相似比． 4．相似比的平方．
5．相似比．相似比的平方． 6．4∶5． 7．5∶2，25∶4． 8．1∶2，1∶4． 9．.2:1,2:1 10．.4:3,2:3 11．.4:3,2:3 12．100m 2．
13．C. 14．C ． 15．A ． 16．1∶3∶5． 17．(1)提示：证△ABC ∽△BCD ；(2)
.2
1
5a - 18．(1);3
1 (2)54cm 2． 19．(1);2
2 (2)
?7
24 20．(1)CD 2＝AC ·DB ；(2)∠APB ＝120°． 21．4∶9
22．BP ＝2，或
,3
11
或9． 当BP ＝2时，S △ABP ∶S △PCD ＝1∶9； 当3
11
=
BP 时，S △ABP ∶S △DCP ＝1∶4； 当BP ＝9时，S △ABP ：S △PCD ＝9∶4．
测试6
1．略． 2．C ．
3．图略．A ＇(－2，1)，B ＇(－1，－2)，C ＇(3，－1)，D ＇(1，2)． 4．(1));32,2(),2,3(+A E
(2)).332,6(1+A B 1(3，2)，C 1(3，－1)，D 1(9，－1)，E 1(9，2)； (3)),332,10(2--A B 2(7，－2)，C 2(7，1)，D 2(13，1)，E 2(13，－2)． 5．方法1：利用位似形的性质作图法(图16)
图16
作法：(1)在AB 上任取一点G ＇，作G ＇D ＇⊥BC ；
(2)以G ＇D ＇为边，在△ABC 内作一正方形D ＇E ＇F ＇G ＇；