2005考研数一真题及解析

2005考研数一真题及解析

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线1

22+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.

(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足9

1)1(-=y 的解为____________.

(3)设函数181261),,(2

22z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ρ,则

)

3,2,1(n

u

??=.________.

(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,

∑

是

Ω

的整个边界的外侧,则

??∑

=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.

(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵

123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,

如果1=A ,那么=B .

(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1Λ中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞

→,则()f x 在),(+∞-∞内

(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点

(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点

(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ?表示"M 的充分必要条件是",N 则必有

(A)()F x 是偶函数()f x ?是奇函数 (B)()F x 是奇函数

()f x ?是偶函数

(C)()F x 是周期函数()f x ?是周期函数 (D)()F x 是单调函数

()f x ?是单调函数

(9)设函数?+-+-++=y

x y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有

(A)2222y u

x u ??-=??

(B)2222y

u x u ??=??

(C)222y

u y x u ??=???

(D)2

22x u

y x u ??=??? (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点

(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =

(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是

(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ

(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵

**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则

(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B

(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B

(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为

X

Y 0

1

0 0.4

a

1

b

0.1

已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则

(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==

(14)设)2(,,,21≥n X X X n Λ为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则

(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ

(C))1(~)1(--n t S

X

n (D)

2

122

(1)~(1,1)n

i

i n X F n X

=--∑

三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)

设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过

221y x ++的最大整数. 计算二重积分??++D

dxdy y x xy .

]1[22

(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞

=--+

-121))

12(1

1()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .

(17)(本题满分11分)

如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分

?'''+3

2

.

)()(dx x f x x

(18)(本题满分12分)

已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:

(1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .

(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f

(19)(本题满分12分)

设函数)(y ?具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24

()22L

y dx xydy

x y φ++??的值恒为同一常数.

(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有

2

4

()202C

y dx xydy

x y

φ+=+?

?.

(2)求函数)(y ?的表达式.

(20)(本题满分9分)

已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.

(1)求a 的值；

(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.

(21)(本题满分9分)

已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵

12324636k ??

??=??

????

B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.

(22)(本题满分9分)

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =

10

01,02x y x <<<<其它

求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z

(23)(本题满分9分)

设)2(,,,21>n X X X n Λ为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i Λ=-=

求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1,Λ=. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y

2005年考研数学一真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线

1

22

+=

x x y 的斜渐近线方程为 .4

1

21-=x y 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

【详解】 因为a=

2

1

2lim )(lim 22=+=∞→∞→x x x x x f x x ，

[]4

1)12(2lim )(lim -=+-=-=∞

→∞

→x x ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.4

1

21-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9

1)1(-=y 的解为.9

1ln 31x x x y -=

.

【分析】直接套用一阶线性微分方程

)

()(x Q y x P y =+'的通解公式：

?+?

?

=-]

)([)()(C dx e x Q e y dx

x P dx

x P ，

再由初始条件确定任意常数即可.

【详解】 原方程等价为

x y x

y ln 2

=+

'，

于是通解为 ??+?=

+???=-

]ln [1]ln [2

22

2

C xdx x x

C dx e

x e

y dx

x dx

x

=2

1

91ln 31x

C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.9

1

ln 31x x x y -= （3）设函数

181261),,(2

22z y x z y x u +

++=，单位向量

}

1,1,1{3

1=n ρ，则)

3,2,1(n

u

??

=3

3.

【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量

γ

βαcos ,cos ,{cos =n ρ

}的方向导数为：

γβαcos cos cos z

u y u x u n u ??+??+??=??

因此，本题直接用上述公式即可.

【详解】 因为 3x x u =??，6y y u =??，9

z

z u =??，于是所求方向导数为

)

3,2,1(n

u

??

=.

333

131313131

3

1=?+?+?

（4）设

Ω

是由锥面

2

2y x z +=与半球面

2

22y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的

外侧，则??∑

=++zdxdy ydzdx xdydz 3)2

21(2R -

π.

【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.

【详解】 ??∑

=++zdxdy ydzdx xdydz ???Ω

dxdydz 3

=.)2

21(2sin 3320

40

2

R d d d R

???-

=π

π

πθ??ρρ

（5）设3

2

1

,,αα

α均为3维列向量，记矩阵

)

,,(32

1

αα

α=A ，

)

93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，

如果1=A ，那么=B 2 .

【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.

【详解】 由题设，有

)

93,42,(321321321ααααααααα++++++=B

=??

??

?

?????941321111),,(321ααα，

于是有 .2219

41321

1

11=?=?=A B

（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y, 则

}

2{=Y P = 48

13 . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.

【

详

解

】

}

2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P

+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P

=.48

13

)4131210(41=+++? 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）设函数n

n

n x

x f 31lim

)(+=∞

→，则f(x)在),(+∞-∞内

(A)

处

处可

导

.

(B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]

【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.

【详解】 当1

1lim

)(3=+=∞

→n

n

n x

x f ；

当1=x 时，1

11lim

)(=+=∞

→n

n x f ；

当1>x 时，.

)11(

lim )(3

133

x x

x

x f n

n

n =+=∞

→

即

.1,

11,1,,1,)(33>≤≤--

?

??-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不

可导，故应选(C).

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有

(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ A ]

【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

【详解】 方法一：任一原函数可表示为?+=x C dt t f x F 0

)()(，且).()(x f x F ='

当F(x)为偶函数时，有

)

()(x F x F =-，于是

)

()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可

见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则?x dt t f 0

)(为偶函数，从而?+=x

C dt t f x F 0

)()(为偶函数，

可见(A)为正确选项.

方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除

(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2

2

1x , 排除(D); 故应选(A).

（9）设函数?

+-+-++=y

x y

x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中

函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有

(A) 2222y

u

x u ??-=??. （B ）

2222y

u

x u ??=??.

(C)

2

22y u

y x u ??=???. (D)

2

22x u

y x u ??=???.

[ B ]

【分析】 先分别求出2

2x u

??、

2

2y u ??、

y

x u ???2，再比

较答案即可.

【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x x

u

--++-'++'=??ψψ??，

)()()()(y x y x y x y x y

u

-+++-'-+'=??ψψ??，

于是 )()()()(2

2y x y x y x y x x

u

-'-+'+-''++''=??ψψ??， )()()()(2y x y x y x y x y

x u

-'++'+-''-+''=???ψψ??，

)()()()(2

2y x y x y x y x y

u

-'-+'+-''++''=??ψψ??，

可见有

2

222y u

x u ??=??，应选(B).

（10）设有三元方程1

ln =+-xz

e

y z xy ，根据隐函

数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此

邻域内该方程

(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).

(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).

(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).

(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).

[ D ]

【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1

ln -+-xz

e

y z xy , 分别求出三个偏导数

y

x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，

则可确定相应的隐函数.

【详解】 令F(x,y,z)=1

ln -+-xz

e

y z xy , 则

z e y F xz

x

+='， y

z x F y

-='，x e y F xz

z

+-='ln ， 且 2)1,1,0(='x

F ，1)1,1,0(-='y

F ，0)1,1,0(='z

F . 由此可确定相

应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).

（11）设2

1

,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，

对应的特征向量分别为2

1

,αα，则1

α，)

(21

αα

+A 线性无

关的充分必要条件是

(A) 0

1

≠λ

. (B) 0

2

≠λ

. (C) 0

1

=λ

.