习题2
2-1 受拉的平板，一边上有一凸出的尖齿，如图2.1。试证明齿尖上完全没有应力。
图 2.1
2-2 物体中某点的应力状态为,101)010101i j σ-?? ?=- ? ?-??（，求三个不变量和三个主应力的大小。
2-3 有两个坐标系，试证明x y z x y z σσσσσσ'''++=++=不变量。 2-4 M 点的主应力为22212375N/cm ,50N/cm ,50N/cm σσσ===-。一斜截面的法线v 与三个主轴成等角，求v P 、v σ及v τ。
2-5 已知某点的应力状态为 ???
?
? ??ττττττ=σ000ij ）
（，求该点主应力的大小和主轴方向。
2-6 已知某点的应力状态为???
?
? ??σσσσσσσσσ=σ）（ij ，求该主应力的大小和主轴方
向。
2-7 已知某点的应力状态为
,)x xy xz i j xy y yz xz yz z σττστστττσ?? ?
= ? ???
（过该点斜截面法线v 的方向余弦为),,(n m l ,试求斜截面上切应力v τ的表达式。
p
p
2-8 物体中某点的应力状态为
,00)000xz i j yz xz yz τστττ?? ?
= ? ???
（求该点主应力的大小和主轴方向。
2-9 已知物体中某点的应力状态为ij σ，斜截面法线的方向余弦
为
，试求斜截面上切应力的大小。 2-10 半径为a 的球，以常速度v 在粘性流体中沿x x
轴方向运动。球面上点
A （z y x ,,）受到的表面力为032x x v p p a a μ-=
+，0y y p p a -=，0z z
p p a
-=，式中0p 为流体的静水压力。试求球所受的总力量。
2-11 已知物体中某点的应力状态为ij σ，斜截面法线的方向余弦
为
，试证明斜截面上的正应力8σ及剪应力8τ分别为8113J σ=
、8τ=
。
习题3
3-1 若位移w v u 、、是坐标的一次函数，则在整个物体中各点的应变都是一样的，这种变形叫均匀变形。设有以O 为中心的曲面，在均匀变形后成为球面，
2222r 'z 'y 'x =++
问原来的曲面0),,(=z y x f 是怎样的一种曲面？ 3-2 证明
)
y x (k 22x +=ε，
)z y (k 22y +=ε，xyz 'k xy =γ，
0zx yz z ===γγε（其中k 和'k 是微小的常数），不是一个可能的应变状态。
3-3 将一个实体非均匀加热到温度T ，而T 是x 、y 、z 的函数。如果假设每一单元体的热膨胀都不受约束，那么各应变分量为T z y x αεεε===，
0zx yz xy ===γγγ，其中α是热膨胀系数，是常数。试证明，这种情况只有当T 是x 、y 、z 的线性函数时才会发生。 3-4 参照下图，
设000dS B A =，dS AE =,而AD AC AB AE ++=,试证:
222201112223332222dS dS E d E d E d ααα-=++121223233131444E d d E d d E d d αααααα+++
ij 2i j E d αα=
1
α2
α3
α0
A A B
C
D
B 0
C 0
D O
S
E
3-5 已知欧拉应变ij e 的6个分量，证明小变形的线应变和剪应变为
00
1x AB A B AB
ε-=
=- 221112
0000000021212e e e C A B A C A B A xy -?-=
??-=
γ
3-6 已知：20.01u α= ，0υ=， 0ω=，求：ij E . 3-7 试证：2202ij i j dS dS e dx dx -= .
3-8 设某点的拉格朗日应变为 ()1
000 1.640.4800.48 1.36ij E -?? ?
=- ? ?-??
试求：(a) 主应变；
(b) 最大主应变对应的主轴方向； (c) 最大剪应变分量n E .
3-9 刚性位移与刚体位移有什么区别？
3-10 试用应力分量写出轴对称极坐标平面应变状态条件下的协调方程。 3-11 如图3-11所示，试用正方体（a ×a ×a ）证明不可压缩物体的泊松比
2
1
=
μ。 3-12 将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，使铁盖上面承受均匀压力p 的作用，如图3-12所示。假设铁盒与铁盖可以看作为刚体，在橡皮与铁之间没有摩擦力，试求铁盒内侧面所受到的压力以及橡皮块的体积应
变。若将橡皮块换成刚体或不可压缩体时，其体积应变将有什么变化？
图3-11 图3-12
p
3-13 设321,,s s s 为主应力偏量，试证明用主应力偏量表示米泽斯屈服条件，其形式为
s s s s σ=++）（2322212
3 3-1
4 已知两端封闭的薄壁圆筒，半径为r ，厚度为t ，承受内压及轴向拉应力的作用，试求此时圆管的屈服条件，并画出屈服条件的图。
3-15 已知半径为r ，厚度为t 的薄壁圆筒，承受轴向拉伸和扭转的联合作用，设在加载过程中，保持1/=z r στθ，试求此圆管在按米泽斯屈服条件屈服时，轴向拉伸力P 和扭矩M 的表达式。
3-16 在如下两种情况下，试给出塑性应变增量的比值。 （a ）单向受力状态，1s σσ=， （b ）纯剪受力状态，3
3s
στ=
。
3-17 已知薄壁圆筒承受拉应力s z σσ2
1
=
及扭矩的作用，若使用米泽斯屈服条件，试求薄壁圆筒屈服时扭转应力应为多大？并给出此时塑性应变增量的比值。
3-18 若有两向应力状态C s
==-
==p 132s
1d 03
3
εσσσσσ，，，，试求各
应变分量的值。
习题4
4-1 设已知对各向同性材料的应力应变关系为 ij 2ij ij e G σλδε=+，试证其应力主轴与应变主轴是一致的。
4-2 设体积力为常量，试证明:
220,0e θ?=?=。
式中 x y z e εεε=++，x y z θσσσ=++。 4-3 设体积力为常量，试证明:
4440,0,0i ii ii u εσ?=?=?=。
4-4 试推导，用应力法把有体积力问题化成无体积力问题的基本方程和边界条件。
4-5 用应力法解释弹性力学问题，基本方程为什么也是9个而不6个？ 4-6 推导密切尔——贝尔特拉米方程的过程中，曾用过平衡方程，为什么解题时，用应力法，基本方程中还有平衡方程？
习题5
5-1
已知理想弹塑性材料的受弯杆件，设计截面为：（a ）正方形，（b ）圆
形，（c ）内外径比为b
a
=
κ的圆环，（d ）正方形沿对角线受弯，（e ）工字型；其尺寸如图5-17所示。试求塑性极限弯矩与弹性极限弯矩之比Me
Mp
=η各为多少？
图 5-17
5-2 设有理想弹塑性材料的矩形截面杆件的高度为h 2，宽度为b 受外力作用，当弹性核2
h
h e =
时，试求此时弯矩值为多少？ 5-3 已知矩形截面的简支梁，其高为h 2，宽为b ,在梁上d 2范围内承受均 布载荷的作用如图5-18所示。试求此梁中间截面开始进入塑型时的外载荷0q 以及极限载荷*q 的值，分别求出d x >和d x <两种情况时的弹塑性分界线的表达式。
5-4 若已知理想弹塑性材料的剪切屈服极限为k ,如用此材料支撑半径为R 的受扭圆轴，试求当3R =s r 和s r s 2
R
=时，扭矩M 值的大小。s r 为弹塑性分解半径。
)(a )(b )(c )
(d )
(e
图5-18
5-5 试求外半径为b ，内半径为a 的圆管（如图5-19所示）。在扭矩的作用下，塑性极限扭矩和弹性极限扭矩之比为多大？如为薄壁管，则扭矩之比又为多大？
5-6 已知理想弹塑性材料制成的空心圆轴（如图5-20所示），内半径为a ，外半径为b ，若内外半径之比为β，即,试求使截面最外层屈服时的e M 和使截面达到完全屈服时的扭矩p M 的值各为多少？并写出使塑性区扩展到s r r =时所需的扭矩ep M 的表达式。
图5-19 图5-20
5-7 在题5-6中，当ep M M =时，试给出卸载后，在弹性区和塑性区应力的表达式。
5-8 已知内半径为a,外半径为b 的自由旋转环盘（如图5-21所示），材料的屈服极限为,试用特雷斯卡屈服条件求出此旋转环盘在极限状态时的表达式，并求出的最大值。给出a 趋近于零或趋近于b （薄环情况）的的最大值。
)
(
b
图5-21
5-9 如已知材料的屈服极限按如下规律变化 (1)s r
b
σσ=+，试求此等厚度
自由旋转圆盘在极限状态下的转速p ω以及径向和环向的应力表达式。
5-10 已知理想均质弹塑性材料制成的圆盘，此材料服从特雷斯卡屈服条件，如p ω为极限状态时的转速，而e ω为盘中某一点进入塑性时的转速，试分别求出带中心圆孔圆盘和不带中心圆孔圆盘的p ω/e ω值各为多少？
5-11 已知半径为b 的等厚度的实心旋转圆盘，由不可压缩材料制成，材料服从特雷斯卡屈服条件，如盘中所有点都同时进入塑性状态，则屈服条件的表达式应取何形式？此时极限转速e ω应为多大？
5-12 设有理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a ，外半径为b ，承受内压i p 的作用，试求此后圆筒开始进入塑性状态时和完全进入塑性状态时的压力比值为多少？
5-13 已知理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a ，外半径为b ，承受内压i p 的作用，若s r 为厚壁圆筒中弹塑性分界半径，试求s r 和内压i p 之间的关系，已知k 为材料的剪切屈服极限。
5-14 已知理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a ，外半径为b ，材料的屈服极限为s σ，试求筒内壁进入塑性状态时内压的值i p 为多大？
(a)两端为封闭；(b)两端为自由，即0=z σ；(c)两端受刚性约束，即0=z ε。
6-1在薄中心O，加一对反向力Q，测得板两端A、B二点的伸长为l?，如在A、B二点作用一对拉力P，求板中心的厚度将减小多少。见图
6-4
8-1 轴线水平的圆柱，由于自重产生的应力为.0,,=-=-=xy w x qy qy τρσρσ圆柱的两端被限制在两个光滑的固定刚性平面之间，以维持平面应变状态。试用草图表明作用于它表面（包括两端）的力。见图8-9。
图8-9
8-2 悬臂梁（0≤x ≤1，－c ≤y ≤c ），左端固定，沿下边界受均匀分布剪力，
而上边界和右端不受载荷时，可用应力函数?
??? ??++--=Φ232232444441S c ly c ly c xy c xy xy 得出解答。这个解答在哪些方面是不完善的？将应力表达式与由拉伸和弯曲的初等公式得到的表达式作一比较，见图8-10。
图8-10
8-3 悬臂梁受均布荷重q 的作用，梁长l ，高2c ，求应力分布。见图8-11。 提示：边界条件中出现2x 项时，应设()()y y f x ψ+=Φ2。
O O
Y
Y
X
Z
O
X
Y
S
图8-11 图8-12
8-4 有简支梁长l 2，高c 2，受均布荷重q 的作用，求应力分布，见图8-12。 8-5 简支梁长l 2，高c 2，试证由于自重g ρ所产生的应力分布为 ()
??
? ??-+
-=
y c y J gc y x l
J gc
z z
x 23
22
5232
ρρσ， ()y c g c y c y J gc z y -+??
?
??+--=
ρρσ32
33231， ()
x y c J gc x
xy 22
--=
ρτ， 式中 3
23
c J z =。
提示：0'=x σ，()y c g y -=ρσ' ，0'=xy τ 是方程组的一组特解，然后把有体积力的问题变为无体积力的问题求解。
8-6 悬臂梁长l ，高c 2，求由于自重g ρ所产生的应力。
8-7 试从密切尔—贝尔特拉米方程推导平面应变问题的协调方程。
2X
q
习 题9
9-1 尖劈顶角2，受轴向力P 的作用，求应力分布，见图9-22。 9-2 尖劈顶角2，受水平横向力P 的作用，求应力分布，见图9-23。 9-3 尖劈顶角2，受力偶矩M 的作用，求应力分布，见图9-24。
图9-22 图9-23 图9-24
9-4 半无限平面，边界上某切点受切力P 的作用，求应力分布，见图9-25。 9-5 很大的矩形板，中央有一半径为的小圆孔，左右边界受均匀法向压力p ，上下边界受均匀法向拉力p ，见图9-26，求小圆孔引起的应力集中。
9-6 有曲杆，内半径为r ，外半径为R ，一端固定，另一端面上收切力P 作用，求杆中应力分布，见图9-27 。
图9-25 图9-26 图9-27
O
P P
M O
O
αα
αα
αα
P
X
O Y
P
P
a
2r
R
9-7 开口圆环，内半径为a ，外半径为b ，内边界上有均匀法相压力P 作用，求应力分布，见图9-28 。
9-8 试从应力函数 ()
??
????-+-=
Φxy x y arctg y x P 2
22π 导出应力分布 2
222222arctg -y x y P y x xy x y arctg P y x xy x y P xy
y x +-=
???? ??+--=
???
?
??++=πτπσπσ 并证明这是半无限大平板，原点右边无载荷，原点左边均匀压强P 伸向无穷远问题的解，见图9-29。
图9-28 图9-29
X