探索平行线的性质
知识点一、平行线的性质
性质1:两直线平行,同位角相等;
性质2:两直线平行,内错角相等;
性质3:两直线平行,同旁内角互补.
PS:只有当两直线平行时,才会有同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补.
例:如图,将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C的对应点为E.若∠CBD=35°,则∠ADE的度数为()
A.15°B.20°C.25°D.30°
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质,可以得到∠ADB和∠EDB的度数,然后即可得到∠ADE的度数.【解答】解:由折叠的性质可得,
∠CDB=∠EDB,
∵AD∥BC,∠CBD=35°,
∴∠CBD=∠ADB=35°,
∵∠C=90°,
∴∠CDB=55°,
∴∠EDB=55°,
∴∠ADE=∠EDB﹣∠ADB=55°﹣35°=20°,
故选:B.
【点评】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
知识点二、平行线的判定与性质的区别
从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质. 例:下列说法中:
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
②同旁内角互补,两直线平行;
③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离;
④同一平面内两条不相交的直线一定平行.
其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】依据平行公理,平行线的判定,点到直线的距离的定义判定即可.
【解答】解:①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项错误;
②同旁内角互补,两直线平行,故本选项正确;
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离,故本选项错误;
④同一平面内两条不相交的直线一定平行,故本选项正确,
综上所述,说法正确的有②④共2个.
故选:B.
【点评】本题考查了平行线的性质与判定,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行等,熟记各性质是解题的关键.
巩固练习
一.选择题(共12小题)
1.如图,将长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在点C′,D′处,若∠AFE=68°,则∠C′EF等于()
A.68°B.80°C.40°D.55°
2.将一张长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形(△ABC),BC为折痕,若∠1=42°,则∠2的度数为()
A.48°B.58°C.60°D.69°
3.如图,直线a∥b,直线l与a、b分别相交于A、B两点,过点A作直线l的垂线交直线b于点C,若∠1=60°,则∠2的度数为()
A.60°B.40°C.30°D.20°
4.如图,AB∥CD,∠EGB=50°,∠CHF=()
A.25°B.30°C.50°D.130°
5.如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到△BC′D,C′D与AB交于点E,若∠1=40°,则∠2的度数为()
A.25°B.20°C.15°D.10°
6.如图,已知直线AB∥CD,直线EF分别与AB、CD交于点M、N,点H在直线CD上,HG⊥EF于点G,过点作GP∥AB.则下列结论:
①∠AMF与∠DNF是同旁内角;
②∠PGM=∠DNF;
③∠BMN+∠GHN=90°;
④∠AMG+∠CHG=270°.
其中正确结论的个数是()
A.1个B.2 个C.3个D.4个
7.如图,CD∥AB,点O在AB上,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=120°,∠AOF的度数是()
A.20°B.30°C.40°D.60°
8.如图,l1∥l2,则∠1、∠2、∠3关系是()
A.∠2>∠1+∠3B.无法确定C.∠3=∠1﹣∠2D.∠2=∠1+∠3
9.如图,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③AB∥CE且∠ADC=∠B;④AB∥CE且∠BCD=∠BAD;其中能推出BC∥AD的条件为()
A.①②B.②④C.②③D.②③④
10.如图,AC∥BD,AE平分∠BAC交BD于点E,若∠1=64°,则∠2=()
A.116°B.122°C.128°D.142°
11.如图,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=130°,则∠2等于()
A.30°B.25°C.35°D.40°
12.如图,AD∥BC,∠D=∠ABC,点E是边DC上一点,连接AE交BC的延长线于点H.点F是边AB 上一点.使得∠FBE=∠FEB,作∠FEH的角平分线EG交BH于点G,若∠DEH=100°,则∠BEG的度数为()
A.30°B.40°C.50°D.60°
二.填空题(共12小题)
13.如图,已知a∥b,∠2=95°,∠3=140°,则∠1的度数为.
14.一副三角板按如图所示放置,AB∥DC,则∠CAE的度数为.
15.如图,点F在∠BAC的平分线AP上,点E在AB上,且EF∥AC,若∠BEF=40°,则∠AFE=°.
16.如图,直线AB∥CD,∠A=60°,∠D=40°,则∠E=.
17.如图,一束光线从点C出发,经过平面镜AB反射后,沿与AF平行的线段DE射出(此时∠1=∠2),若测得∠DCF=100°,则∠A=.
18.将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC接如图所标的位置放置,如果∠CDE=42°,那么∠BAF的度数为.
19.如图,若AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BED=90°,则∠BFD=.
20.如图,如果∠1=∠3,∠2=64°,那么∠4的度数为.
21.如图,AB∥CD,∠A=50°,则∠1=.
22.如图,已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B,过点B作BD⊥AM于点D,点E、F在DM 上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,则∠EBC的度数为.
23.如图,已知AB∥DE,∠ABC=76°,∠CDE=150°,则∠BCD的度数为°.
24.如图,已如长方形纸片ABCD,O是BC边上一点,P为CD中点,沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处,则∠OAB的度数是.
三.解答题(共6小题)
25.几何说理填空:如图,F是BC上一点,FG⊥AC于点G,H是AB上一点,HE⊥AC于点E,∠1=∠2,求证:DE∥BC.
证明:连接EF
∵FG⊥AC,HE⊥AC,
∴∠FGC=∠HEC=90°().
∴∥().
∴∠3=∠().
又∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=∠2+∠4.
即∠DEF=∠EFC
∴DE∥BC().
26.如图,∠1=∠BCE,∠2+∠3=180°.
(1)判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(2)若CA平分∠BCE,EF⊥AB于F,∠1=72°,求∠BAD的度数.
27.如图,∠ABC=∠ADC,BF平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠1=∠2.问AB与CD,AD与BC平行吗?
请说明理由.
28.如图:已知,∠HCO=∠EBC,∠BHC+∠BEF=180°.
(1)求证:EF∥BH;
(2)若BH平分∠EBO,EF⊥AO于F,∠HCO=64°,求∠CHO的度数.
29.如图,直线AB∥CD,CD∥EF,且∠B=30°,∠C=125°,求∠CGB的度数.
30.已知EM∥BN.
(1)如图1,求∠E+∠A+∠B的大小,并说明理由.
(2)如图2,∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F.
①若∠A=120°,∠AEM=140°,则∠EFD=.
②试探究∠EFD与∠A的数量关系,并说明你的理由.
(3)如图3,∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F,过点F作FG⊥BD交BN于点G,若4∠A=3∠EFG,求∠EFB的度数.