第一部分 二次函数基础知识
? 相关概念及定义
二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ? 二次函数各种形式之间的变换
二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其中
a
b a
c k a b h 4422
-=-=，.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2.
? 二次函数解析式的表示方法
一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数
都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ? 二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，
确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称
的点()2h c ，
、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交
点. ? 二次函数2
ax y =的性质
? 二次函数
y ax c =+的性质
? 二次函数()2
y a x h =-的性质：
? 二次函数
y a x h k =-+的性质
? 抛物线
y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0 a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b x a =- .特别地， y 轴记作直线0=x . 顶点坐标：），（a b a c a b 4422 -- 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物 线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. ? 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a - <，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结： 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ? 求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=，∴顶点是），（a b a c a b 4422 --，对称轴是直线a b x 2-=. 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得 到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ? 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式： ()()21x x x x a y --=. ? 直线与抛物线的交点 y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ). 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2 ). 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02 =++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0 平行于x 轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵 坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像 G 的交点，由方程组 2 y kx n y ax bx c =+??=++?的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?-=+2121,() () a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 ? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表 达 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-； 关于顶点对称 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是22 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ， 对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变 化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便 运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． ? 二次函数图象的平移 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． ? 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 三点式。 1，已知抛物线y=ax 2 +bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=a(x-1)２ +4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 顶点式。 1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2 +b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)2 -2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 交点式。 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=2 1 a(x-2a)(x-b)的解析式。 定点式。 1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线222 5212-+-+- =a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax 2 +ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。 平移式。 1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 2， 抛物线32 -+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 距离式。 1，抛物线y=ax 2 +4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=m x 2 +3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 对称轴式。 1、抛物线y=x 2-2x+(m 2 -4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。 2、 已知抛物线y=-x 2 +ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且 OB-OA= 4 3 OC ，求此抛物线的解析式。 对称式。 1， 平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于 E ，将三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2， 求与抛物线y=x 2 +4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。 切点式。 1，已知直线y=ax-a 2(a ≠0) 与抛物线y=mx 2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax 2 +k 的唯一公共点A （2，1）,求抛物线的解析式。 判别式式。 1、已知关于X 的一元二次方程（m+1）x 2 +2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x 2 +(m+1)x+3解析式。 2、 已知抛物线y=(a+2)x 2 -(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。 3、已知抛物线y=(m+1)x 2 +(m+2)x+1与x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -． 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点二次函数知识点总结及中考题型总结
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