!专题研究"
钻柱力学特性分析的剪变形理论
#
易先中##
!高德利
（石油大学（北京）石油天然气工程学院）!易志龙（江汉石油管理局第三石油机械厂）!
喻九阳
（武汉化工学院机械工程学院）
!!摘要!在现有三维空间钻柱力学基本方程的基础上，考虑横向剪应力和剪应变两因素对钻柱挠曲变形的作用，参照"#$#%&’()*+,-(剪切梁理论，针对空间钻柱受力与变形特征，引入!!和!".个广义位移函数，建立了钻柱力学剪变形理论的通用基本方程。以某水平井一单跨钻柱两端简支情况下的二维横向振动为具体算例，给出了计算公式。该公式综合描述了横向剪切变形和轴向钻压对钻柱横向振动固有频率的影响，是对现有钻柱力学基础理论的补充和完善。!!关键词!剪切变形!剪应力!钻柱力学!计算公式
引!!!言
钻柱力学是石油钻井工程学科领域的重要理论基础。在旋转钻井中，井眼轨迹的形成是钻柱（包括钻头）与地层相互作用的结果，与钻柱的结构组成、钻井工艺参数、已钻井眼的几何形状和待钻地层的特性等诸多因素有关。其中，井下钻柱的力学行为特征，是影响井眼形成的最根本的决定性因素。/#012&,)-&、3#4#567-+8和49"#4(等
人［:］是国外研究钻柱力学的知名学者；国内以白家祉、赵国珍、高德利等人［.;<］的科研成就最为突
出，在钻柱力学和井眼轨迹控制的理论方面取得了丰硕成果。由于井下钻柱与井壁之间接触的边界条件和相对运动关系十分复杂，在钻柱的力学行为分析中，为了简化基本方程的表达形式，常忽略钻柱横向剪应力的影响；有时考虑了横向剪应力而略去了横向剪应变对管柱挠曲变形的影响，虽然所得到的结论能在一定范围内反映钻柱的主要力学特性，但理论精度仍有待提高。例如在定向井、大位移井、延伸井和水平井的弯曲井段，管柱与井壁之间的接触问题的分析中，常出现接触面的中间没有作用力，而在接触面的两端边界存在集中力的奇异现象（即
"#$#%&’()*+,-(梁的接触效应［:，=］
）。这是忽略了接
触面上的法向应力和钻柱的横向剪切变形所引起的，
将影响井下钻柱摩阻分析与预测的准确性。
未来的钻井技术朝着:>;:<-’大位移井方向发展，这对钻柱力学的基础研究提出了新的挑战。长达上万米的钻柱在充满钻井液的井下三维狭窄空间中旋转并快速钻进，其工况十分恶劣，运动形态复杂，必须将其静动态特性等进行精确的分析。笔
者在高德利等人［?，<］
建立的三维空间钻柱力学基本
方程的基础上，考虑横向剪切变形和剪应力对钻柱挠曲变形的影响，针对空间钻柱的受力与变形特征，建立了钻柱力学剪变形理论的通用基本方程。
基准坐标系的建立
为了便于分析，文中引入了两个坐标系（如图:）。
（:）笛卡尔地理坐标系#$%&，原点#选在地面井口处，$轴指向地理正北方向，%轴指向地理正东方向，&轴垂直向下；该右手坐标系的单位向量分别为’$
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。
（.）自然曲线坐标系#*+!"，原点#*位于空间曲线上的任意一点，+，!和"轴分别指向该曲
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.>>?年!第@.卷!第@期石!油!机!械
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#国家自然科学基金重点项目（批准号：<>.@?>@>）和AC$A 石油科技中青年创新基金（合同编号：.>>.J>=>:）资助。
易先中，教授，生于:K=@年，:KL=年毕业于西南石油学院，获工学硕士学位。现从事石油钻井工具、机电一体化技术方面的研究。
本刊通讯员。地址：（?@?>.@）湖北省荆州市。电话：:@=L@>:。高德利为第四作者。
（收稿日期：.>>@9><9.L ）
万方数据
Dgyt 理论力学习题 注：请同学们把动力学的作业题好好的看看！！！ 1、平面支架由三根直杆AC、BE、BC铰接而成，其中AC杆铅直，BE杆水平，各杆自重不计，受力如图所示， BD＝DE＝CD=DA＝a，A处为固定端，B、C、D三处为铰接，试求A处的约束反力和BC杆的内力。 2、图中各杆件之间均为铰链连接，杆自重不计，B为插入端P=1000N,AE=EB=CE=ED=1m，求插入端B的约束反力，以及AC杆的内力。
3、图示结构由AB、CE与BC三杆和滑轮E用铰链连接组成，AD＝DB＝2m，CD＝DE＝1.5m，物体重Q＝1200N，用绳索通过滑轮系于墙上，不计杆与滑轮的自重和摩擦，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力，以及杆BC所受的力。 4、图示结构，已知集中力P，力偶m，载荷极度q0，求支座A, B的约束反力。
5、多跨桥梁简图如图示，巳知：F=500N，q=250N/m，M=500N·m，求：A，B，E 处的支座约束反力。 6、图示结构由构件AB和BC组成，AB上作用有集中力F和载荷集度为q的均布载荷。BC上作用一力偶M。求固定端A的约束反力
7、在下图所示结构中，各构件的自重略去不计，在构件BC上作用一力偶矩为M 的力偶，各尺寸如图所示。求支座A的约束力。 8、已知：图示刚架上作用集中力P，和载荷集度为q的均布载荷，尺寸a，b已知。求：固定端A的约束反力。
9、图示杆BC上固定销子可在杆AB的光滑直槽中滑动，已知：L=0.2m， M1=200N·m， A=30°，求：平衡时M2的数值。 10.自重为P=100kN的T字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m。试求固定端A的约束力
10.1 一质量为10kg 的小球置于倾斜 30的光滑斜面上，并用平行于斜面的软绳拉住如图示。求当斜面以3/g 的加速度向左运动时，绳子中的拉力以及斜面上的压力，并问当斜面的加速度达到多大时绳子中的拉力为零？ 解：小球：∑=F a m x ' ：T 30sin 30cos F mg ma +-=- ，N 71.20T =F y '： 30cos 30sin N mg F ma -=，N 20.101N =F 令第一式中得0T =F ，解得： 2m/s 66.530cos /30sin == g a 10.2 一重20N 的小方块放于绕铅垂轴转动的水平圆台上如图示，m 1=r ，今圆台从静止开始以20.5rad/s 的匀角加速度转动。设方块与台面间的静摩擦因数为0.25，问经过多少时间后，方块开始在台面上滑动？又问当s 2=t 时，方块与台面间的摩擦力多大？ 解：方块：∑=F a m ，向三轴投影得 x F ma =τ，y n F ma =，mg F =N 其中α=τr a ， r t r a 22n )(α=ω=。因此有 4 22y 2x 1t r m F F F α+α=+= （1） 滑动时将fmg fF F ==N 代入式（1），解得s 10.3=t ； 将s 2=t 代入式（1），解得N 28.2=F 。 10.3 游乐场一圆柱形旋转厅如图示，游客背对墙而立，当旋转厅达到一定角速度时，让地板下降。求保证游客（允许视为质点）不往下掉落的最小角速度。设人和墙之间的静摩擦因数3.0s =f 。
解：游客：∑=F a m ，向 x 、y 轴投影得 N 2F r m =ω，N fF mg F == 由上二式解得rad/s 56.2/==ωfr g 10.4 一质量为1kg 的小球A 被限制在两滑槽内运动，如图示。若两滑槽的运动规律分别为t y 2cos 0=和t x 2sin 20=（其中，t 以s 计，0x ，0y 以cm 计），试求在任意时刻小球A 所受到的作用力。 解：设 )cm (2sin 2A t x =，)cm (2cos A t y =， 则有 )cm/s (2sin 82A x t x a -== ，)cm/s (2cos 42A y t y a -== 根据牛顿定律，小球A 受到得作用力为： )N )(2cos 2sin 2(04.0j i a F t t m +-==∑ 10.5 支撑缆车的铁索成悬链线状如图示，相对（Oxy ）坐标系的轨迹方程为 ax a e e a y cosh )(2ax -ax =+=（单位为m ） 若缆车以5m/s 的速度沿铁索前进，缆车和乘客总重量为kN 5.2，试以x 表示缆车作用于铁索的正压力。假定缆车不影响铁索的形状。 解：由铁索轨迹方程ax a y ch =可得 ax a dx dy sh /2=，ax a dx y d ch /322= 其中10=a 。根据几何关系有 ax a dx dy sh /tg 2==β，22)sh (1/1cos ax a +=β ax a ax a dx y d dx dy ch /])sh (1[)//(])/(1[32/322222/32+=+=ρ （m ） 对缆绳列写牛顿定律沿N F 方向的投影式：
第五章思考题 5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？ 5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲? 5.3广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比a q 更富有意义？ 5.4既然 a q T ??是广义动量，那么根据动量定理，??? ? ????αq T dt d 是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ??项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？ 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式 ()14.3.5？ 5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？ 5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？ 5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？ 5.9 dL 和L d 有何区别？ a q L ??和a q L ??有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？ 5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？ 5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？ 5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到
理论力学名校考研真题详解，益星学习网可免费下载题库 目录 第1章静力学公理和物体的受力分析 1.1 重点与难点解析 1.2 名校考研真题与期末考试真题详解 1.3 名校期末考试真题详解 第2章平面会交力系与平面力偶系 2.1 重点与难点解析 2.2 名校考研真题详解 第3章平面任意力系 3.1 重点与难点解析 3.2 名校考研真题详解 3.3 名校期末考试真题详解 第4章空间力系 4.1 重点与难点解析 4.2 名校考研真题详解 4.3 名校期末考试真题详解 第5章摩擦 5.1 重点与难点解析 5.2 名校考研真题详解 5.3 名校期末考试真题详解 第6章点的运动学 6.1 重点与难点解析 6.2 名校考研真题详解 6.3 名校期末考试真题详解 第7章刚体的简单运动 7.1 重点与难点解析 7.2 名校考研真题详解 7.3 名校期末考试真题详解 第8章点的合成运动 8.1 重点与难点解析 8.2 名校考研真题详解 8.3 名校期末考试真题详解 第9章刚体的平面运动 9.1 重点与难点解析 9.2 名校考研真题详解 9.3 名校期末考试真题详解 第10章质点动力学的基本方程 10.1 重点与难点解析 10.2 名校考研真题详解 10.3 名校期末考试真题详解
第11章动量定理 11.1 重点与难点解析 11.2 名校考研真题详解 11.3 名校期末考试真题详解 第12章动量矩定理 12.1 重点与难点解析 12.2 名校考研真题详解 12.3 名校期末考试真题详解 第13章动能定理 13.1 重点与难点解析 13.2 名校考研真题详解 13.3 名校期末考试真题详解 第14章达朗贝尔原理（动静法） 14.1 重点与难点解析 14.2 名校考研真题详解 14.3 名校期末考试真题详解 第15章虚位移原理 15.1 重点与难点解析 15.2 名校考研真题详解 15.3 名校期末考试真题详解 第16章非惯性系中的质点动力学 16.1 重点与难点解析 16.2 名校考研真题详解 第17章碰撞 17.1 重点与难点解析 17.2 名校考研真题详解 17.3 名校期末考试真题详解 第18章分析力学基础 18.1 重点与难点解析 18.2 名校考研真题详解 18.3 名校期末考试真题详解 第19章机械振动基础 19.1 重点与难点解析 19.2 名校考研真题详解 19.3 名校期末考试真题详解 附录部分院校考研真题与答案 附录1 天津大学2008年《理论力学》考研试题与答案 附录2 北京航空航天大学2007年《理论力学》考研试题与答案 附录3 北京航空航天大学2009年《力学基础》考研试题与答案 附录4 哈尔滨工业大学2007年《理论力学》考研试题与答案 附录5 浙江大学2007年《理论力学》考研试题与答案 附录6 哈尔滨工程大学2009-2010学年第1学期《理论力学》期末考试试题与答案附录7 重庆大学2005-2006学年《理论力学》期末考试试题与答案 附录8 河海大学2003-2004学年第1学期《理论力学》期末考试试题与答案
第一章 习题4-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。 解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢： 求平面力系对O点的主矩： (2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力 偶，大小是260Nm，转向是逆时针。 习题4－3．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。 解：(1) 平行力系对A点的矩是： 取B点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对B点的主矩是： 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且：
如图所示； 将R B 向下平移一段距离d ，使满足： 最后简化为一个力R ，大小等于R B 。 其几何意义是：R 的大小等于载荷分布的 矩形面积，作用点通过矩形的形心。 (2) 取A 点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对A 点的主矩是： 向A 点简化的结果是一个力R A 和一个力偶M A ，且： 如图所示； 将R A 向右平移一段距离d ，使满足： 最后简化为一个力R ，大小等于R A 。其几何意义是：R 的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。
习题4-4．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图：列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图：
列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。校核： 结果正确。(3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图：列平衡方程： 解方程组：
反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 习题4-5．重物悬挂如图，已知G=1.8kN，其他重量不计；求铰链A的约束反力 和杆BC所受的力。 解：(1) 研究整体，受力分析（BC是二力杆），画受力图：列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。
刚体是指物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。 力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化。 力系是指作用于物体上的一群力。 如果一个力系作用于物体的效果与另一个力系作用于该物体的效果相同，这两个力系互为等效力系 不受外力作用的物体可称其为受零力系作用。一个力系如果与零力系等效，则该力系称为平衡力系 对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。 从力学角度来看，约束对物体的作用，实际上就是力，这种力称为约束力，约束力的方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反 这种表示物体受力的简明图形，称为受力图 由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶 若未知量的数目等于独立平衡方程数目，则所有未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。 若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则未知量不能全部由平衡方程求出求出，这类问题称为超静定问题。 重心地球半径很大，地表面物体的重力可以看作是平行力系，此平行力系的中心即物体的重心 全约束力和法线间的夹角的最大值---摩擦角
平行移动：刚体内任一直线在运动过程中始终平行于它的初始位置。 刚体运动时，刚体上或其扩展部分有两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动。 常常把主动轮和从动轮的两个角速度的比值称为传动比 习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，简称定系 固定在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，简称动系 动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动 动点相对于动参考系的运动，称为相对运动 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动 动点在相对运动中的速度和加速度称为相对速度和相对加速度 动点在绝对运动中的速度和加速度称为绝对速度和绝对加速度 牵连速度和牵连加速度在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度 牵连点动参考系与动点直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点 在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。 质量中心公式 刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量+ 公式
第一章静力学公理与受力分析(1) 一．是非题 1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。（） 2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。（） 3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。（） 4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。（） 5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。（）二．选择题 1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（） ①二力平衡公理②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理 三．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a(球A )b(杆AB
)c(杆AB、CD、整体) d(杆AB、CD、整体 )e(杆AC、CB、整体)f(杆AC、CD、整体 四．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体
第一章 静力学公理与受力分析（2） 一．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑 接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 W A D B C E Original Figure A D B C E W W F Ax F Ay F B FBD of the entire frame )a (杆AB 、BC 、整体 )b (杆AB 、BC 、轮E 、整体 )c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体
)e(杆CE、AH、整体)f(杆AD、杆DB、整体 )g(杆AB带轮及较A、整体)h(杆AB、AC、AD、整体
（一）2003～2004学年第一学期 六理论力学(A Ⅱ)期终试题 (一)、概念题及简单计算题(共30分) 1. 均质直角弯杆质量为m ，尺寸如图。已知在图示位置时(OA 水平时)，其 角速度为，试写出：(15分) (1) 动量大小p ＝ (2) 对O 轴的动量矩大小L O ＝(3) 动能T ＝ (4) 图示位置时弯杆的角加速度＝ (5) 惯性力向O 点简化，主矢大小gR F ＝ ，n gR F ＝ 主矩大小gO M ＝ 第1题图第2题图 2. 图示机构中，套筒A 可以沿杆OB 滑动，并带动AC 沿竖直槽滑动。刚度系数为k 的弹簧系结如图，且知当OB 水平时弹簧为原长。系统各处光滑。在图示位置平衡。试写出：(15分) (1) 系统的自由度数为(2) 虚功方程为 (3) 平衡时力偶M 与角的关系 (二) 、长为l ，质量为m 的均质杆OA ，其一端O 铰接，另一端A 系一刚度为k 的弹簧，弹簧原长为l 。求当杆OA 从图示铅直位置无初角速度顺时针转到水平位置时，它的角速度、角加速度。(20分) (三)、均质直角弯杆质量为m ，尺寸及悬吊如图所示。弹簧刚度系数为k ，静平衡时OA 水平，轴承O 光滑。求弯杆作微小振动时的振动微分方程。(15分) O l C A B M k B l l A B O l l l A B O k
(四)、图示系统中，圆盘O 、C 质量均为m ，半径均为R ，盘C 在斜面上只滚不滑。两盘用细绳系住，绳与盘之间无相对滑动。求斜面对盘C 的约束反力及绳内的张力。(20分) (五)、图示平行四边形机构，杆重不计，各处光滑。已知OD=DA=AB=BC=CD=DE=l ，在铰A 、C 之间连以刚度系数为k 的弹簧，弹簧原长为l ，在铰B 处作用以水平力P 。求平衡时力P 与角的关系。(15分) D C O k P D C A B O E y x
（一）2003～2004学年 第一学期 六 理论力学(A Ⅱ)期终试题 (一)、 概念题及简单计算题(共30分) 1. 均质直角弯杆质量为m ，尺寸如图。已知在图示位置时(OA 水平时)，其角速度为ω，试写出：(15分) (1) 动量大小p ＝ (2) 对O 轴的动量矩大小L O ＝ (3) 动能T ＝ (4) 图示位置时弯杆的角加速度α＝ (5) 惯性力向O 点简化，主矢大小g R F τ＝ ，n g R F ＝ 主矩大小g O M ＝ 第1题图 第2题图 2. 图示机构中，套筒A 可以沿杆OB 滑动，并带动AC 沿竖直槽滑动。刚度系数为k 的弹簧系结如图，且知当OB 水平时弹簧为原长。系统各处光滑。在图示位置平衡。试写出：(15分) (1) 系统的自由度数为 (2) 虚功方程为 (3) 平衡时力偶M 与角θ的关系 (二) 、长为l ，质量为m 的均质杆OA ，其一端O 铰接，另一端A 系一刚度为k 的弹簧，弹簧原长为l 。求当杆OA 从图示铅直位置无初角速度顺时针转到水平位置时，它的角速度、角加速度。(20分) (三)、 均质直角弯杆质量为m ，尺寸及悬吊如图所示。弹簧刚度系数为k ，静平衡时OA 水平，轴承O 光滑。求弯杆作微小振动时的振动微分方程。(15分) O θ l C A B M k B l l A B O ω l l l A B O k
(四)、 图示系统中，圆盘O 、C 质量均为m ，半径均为R ，盘C 在斜面上只滚不滑。两盘用细绳系住，绳与盘之间无相对滑动。求斜面对盘C 的约束反力及绳内的张力。(20分) (五)、 图示平行四边形机构，杆重不计，各处光滑。已知OD =DA =AB =BC =CD =DE =l ，在铰A 、C 之间连以刚度系数为k 的弹簧，弹簧原长为l ，在铰B 处作用以水平力P 。求平衡时力P 与角θ的关系。(15分) θD C O k P D C A B O E y x θθ θ θ
习题7-1图 O υ (a) υ υ (b) 习题7-3图 第7章 点的复合运动 7-1 图示车A 沿半径R 的圆弧轨道运动，其速度为v A 。车B 沿直线轨道行驶，其速度为v B 。试问坐在车A 中的观察者所看到车B 的相对速度v B /A ，与坐在车B 中的观察者看到车A 的相对速度v A /B ，是否有B A A B //v v -=？（试用矢量三角形加以分析。） 答：B A A B //v v -≠ 1．以A 为动系，B 为动点，此时绝对运动：直线；相对运动：平面曲线；牵连运动：定轴转动。 为了定量举例，设R OB 3=，v v v B A ==，则v v 3e = ∴ ?? ?? ==6021/θv v A B 2．以B 为动系，A 为动点。牵连运动为：平移；绝对运动：圆周运动；相对运动：平面曲线。 此时? ?????==4522/θv v B A ∴ B A A B //v v -≠ 7-3 图示记录装置中的鼓轮以等角速度0ω转动，鼓轮的半径为r 。自动记录笔连接在沿铅垂方向并按)sin(1t a y ω=规律运动的构件上。试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。 解：t r x 0ω= （1） )sin(1t a y ω= （2） 由（1） 0ωr x t = 代入（2），得 )sin(01r x a y ωω= 7-5 图示铰接四边形机构中，O 1A = O 2B = 100mm ，O 1O 2 = AB ，杆O 1A 以等角速度ω= 2rad/s 绕轴O 1转动。AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。试求当?= ?60，CD 杆的速度和加速度。 解：1．动点：C （CD 上），动系：AB ，绝对：直线，相对：直线，牵连：平移。 2．r e a v v v +=（图a ） v e = v A 01.021 21.0cos e a =? ?==?v v m/s （↑） 3． r e a a a a +=（图b ） 4.021.02 2e =?==ωr a m/s 2 346.030cos e a =?=a a m/s 2（↑）
处的约束反力以及CD杆的内力。 1
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5 武汉理工大学教务处 试题标准答案及评分标准用纸 课程名称：理论力学（ A 卷） 一、（10分）销 C 与刚架 AC 一起作为研究对象（2分） 销 C 与哪边刚架一起作为研究对象， 集中载荷 P 就画在哪边刚架的铰C 上。 销 C 与刚架 CB 一起作为研究对象（2分） 专门分析销 C 的受力（4分） 整体受力图（2分） 对于集中力作用在中间铰上的情况，分析时，不将销与二力构件 放在一起作为研究对象，可使分析简单。 二、（14分）对象：系统，根据滑轮特点，可把两绳子张力 平移到B 点，CD 杆为二力杆，受力如图示（2分） 0)(1=∑=i n i Az F m 0222 5=?-??G F CD kN 66.5kN 24==CD F （4分） 01 =∑=n i ix F 045cos =-?-G F F CD Ax 14=Ax F kN （4分） 01 =∑=n i iy F 045sin =-?+G F F CD Ay 6=Ay F kN （4分） 三、（16分）解：研究杆CBD,画受力图（2分），列方程 0,00,00,110 B C B B C X X P Y F Y M P F ?=+=??=+=??=-?-?=??∑∑∑2,2,2C B B F KN X KN Y KN =-=-=（6分）
6 再研究杆AB,画受力图（2分），列方程其中：' '22,2,2B B B B Q q KN X X KN Y Y KN =?===-==（2分） '' ' 0,00,00,120A B A B B A B X X X Y Y Y Q M m Q Y ?=-=??=--=??=-?-?=?? ∑∑∑2,4,6A A A X KN Y KN m KN m =-==? （4分） 四、（16分） 对象：系统，受力如图示（2分） 01 =∑=n i ix F 0=Bx F （2分） 对象：AB 杆，受力如图示（2分） 0)(1 =∑=i n i Az F m 0=?-?D A F B A F DX Bx 得0=Dx F （2分） 对象：DE 杆，受力如图示（2分） 01 =∑=n i ix F 0=+Fx Dx F F 得 0=Fx F （2分） 0)(1 =∑=i n i Dz F m 0=?-F D F M Fy 得 2=Fy F kN （2分） 01 =∑ =iy n i F 0=+Fy Dy F F 得 2-=Dy F kN （2分） 五、（10分）解：杆AB 作平面运动，A 、B 两点的速度方向如图（2分）。
第八章 作业解答参考 8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以角速度ω 0绕O 轴 匀速转动，如图所示。如OC = BC = AC = r ，并取C 为基点，求椭圆规尺AB 的平面运动方程。 解：依题意取C 为基点，将规尺AB 的平面运动分解为随基 点C 的平移和绕基点C 的定轴转动。 ∵ OC = BC = AC = r ∴ ∠CBO = ∠COB 设 ∠CBO = φ，则：φ= ω0 t 因此，规尺AB 的平面运动方程为： 000cos sin C C x r t y r t t ωω?ω===，， 8-5 如图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄连杆 机构所带动。已知曲柄OA 的转速 n OA = 40 r /min ，OA = 0.3 m 。当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时， ∠BAO = 90°，求此瞬时筛子BC 的速度。 解：由题意可知，此机构中的OA 杆作定轴转动、AB 杆作 平面运动、筛子BC 作平移运动；以B 点的速度v B 代替 筛子BC 的运动速度，当筛子BC 运动到与点O 在同一 水平线上时，A 、B 两点的速度分析如右下图所示， 其中v B 与CB 间的夹角为30°、与AB 延长线间的夹角 为60°，且： ()π4πrad/s 303 n ω= = （逆转） ()()0.4π m/s A OA v OA ω=?= 由速度投影定理可得：cos60A B v v =? ∴ ()()0.8π 2.51 m/s cos60A B v v ==≈? 即：当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，筛子BC 的运动速度为2.51 m/s ，方向与 水平方向成30°夹角指向左上方。 8-11 使砂轮高速转动的装置如图所示，杆O 1O 2 绕O 1 轴转动，转 速为n 4，O 2 处用铰链接一半径为r 2 的活动齿轮Ⅱ，杆O 1O 2 转 动时轮Ⅱ在半径为r 3 的固定内齿轮上滚动，并使半径为r 1 的
静力学 1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图 F Ax F A y F B (a) (a) F A F B F B F D F D F Bx F By F Bx F C F B F C F By
1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图 1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图 1-5a 1-5b F Ax F A y F D F By F A F Bx F B F A F Ax F A y F Dx F Dy W T E F Cx F C y W F Ax F A y F B y F Cx F Dy F Bx T E N’ F B F D F A N F A F B F D
1-8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。试求二力F 1和F 2之间的关系。 解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。 解法1(解析法) 假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有： ∑=0x F 045cos 02=-BC F F 对C 点有： ∑=0x F 030 cos 0 1=-F F BC 解以上二个方程可得： 22163.13 6 2F F F == 解法2(几何法) 分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。 对B 点由几何关系可知： 0245cos BC F F = 对C 点由几何关系可知： 0130cos F F BC = 解以上两式可得：2163.1F F = F AB F BC F CD 60o F 1 30o F 2 F BC 45o F 2 F BC F AB B 45o y x F CD C 60o F 1 30 o F BC x y 45 030