课 题:分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一:利用前节的方法求解; 分析二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号,∴原不等 式的解集是下面两个不等式组:???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集,即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式(各项x的符号化“+”),令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,n个分界点把数轴分成n+1部分……; ②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列); ③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号; ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习:解不等式:x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法(关键是去掉绝对值) 利用绝对值的定义:(零点分段法) 利用绝对值的几何意义:||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 分解因式; 3) 标根(令每个因式为0,求出相应的根,并将此根标在数轴上。注意:能取 的根打实心点,不能去的打空心); 4) 穿线写解集(从右到左,从上到下依次穿线。注意:偶次重根不能穿过); 一元二次不等式解法步骤: 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 首先考虑分解因式;不易分解则判断?,当0?≥时解方程(利用求根公式) 3) 画图写解集(能取的根打实心点,不能去的打空心) 3 分式不等式的解法 1)标准化:移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <);()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式, 2)转化为整式不等式(组)()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?; 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -< 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一:形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号,准确的去掉绝对值符号,再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时, a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(,无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 (2008年四川高考文科卷)不等式22<-x x 的解集为( ) A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解: 因为 22<-x x , 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x , 解得: ? ??<<-∈21x R x , 所以 )2,1(-∈x ,故选A. 类型二:形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是,该类型的不等式容易错解为: b x f a a b b x f a <>><<)()0()( 例2 (2004年高考全国卷)不等式311<+ 分式不等式的解法 一.学习目标: 1.会解简单的分式不等式。 二.学习过程 (一)基础自测 1.解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)-x 2+7x >6 (3)()()015<+-x x . (二)尝试学习 2.解下列不等式 (1)121 >+-x x (2)2x +11-x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x +5(x -1)2≥2 (三)巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是( ) .A }2131|{>- 1.不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4.不等式1x x -≥2的解集为( ) .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5.解下列不等式 (1)2x +11-x <0 (2)x +12x -3≤1 四.作业 解不等式:(1) 0324≤+-x x (2)321≥-+x x 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式:2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立,求a 的取值范围。 例3:若不等式210x ax ≥++对于一切1(0,)2 x ∈成立,则a 的取值范围. 例4:若对于任意a (]1,1-∈,函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0,求x 的 取值范围。 例5:已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立,求x 的范围。 例 6: 对于∈x (0,3)上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立,求实数m 的 取值范围。 例7:2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x >---34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ,求a 的取值范围 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式,分式不等式,高次不等式,指数、对数不等式,三角不等式,含参不等式,函数不等式,绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; )()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <> 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式(有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)2 3440x x -++>解集为 (2 23x - << ) (一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式 0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式0)2(<-x f 的 解集为 ),2 1()23,(+∞--∞ 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得 32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解 解法二:由二次不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-得 0)( 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 (一)分式不等式: 型如: 0)()(>x x f ?或0) () ( 练一练:解关于x 的不等式 051)1(>--x x 3532 )2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式: 23 2 ≥+-x x 解: 023 2 ≥-+-x x 03) 3(22≥++--x x x 即, 038 ≥+--x x 03 8 ≤++x x (保证因式分解后,保证一次项前的系数都为正) 等价变形为:? ? ?≠+≤++030 )3)(8(x x x ∴原不等式的解集为[)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23 28 2<+++x x x 方法一:322 ++x x 恒大于0,利用不等式的基本性质 方法二:移项、通分,利用两式同号、异号的充要条件,划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式:1≥x a 解:移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即,0≤-x a x 等价转化为,?? ?≠≤-0 )(x a x x 当a>0时,原不等式的解集为],0(a 当a<0时,原不等式的解集为)0,[a 当a=0时,原不等式的解集为φ 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0 (二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??- 去掉绝对值再解。 例2。解不等式 22 x x x x >++。 分析:由绝对值的意义知,a a =?a ≥0,a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +<0?x(x+2)<0?-2<x <0。 (三)、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ,02=+x ,得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间,即2- 第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义:(其几何意义是数轴的点A (a )离开原点的距离a OA =) ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法:(解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号) (1)定义法; (2)零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式; (3)平方法:通常适用于两端均为非负实数时(比如()()x g x f <); (4)图象法或数形结合法; (5)不等式同解变形原理:即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<>><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示,不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。(见P8) 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化,以及含字母的有关问题的讨论,渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤: (1)将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 《含绝对值不等式的解法》导学案 学习目标: 1.掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法; 2.理解含绝对值不等式的解法思想:去掉绝对值符号,等价转化 学习重点:简单的含绝对值不等式的解法 学习难点:含参数的绝对值不等式的解法 一、课前准备(请在上课之前自主完成): 1.绝对值的定义:||a ??=??? 2. 绝对值的几何意义: (1)实数a 的绝对值||a ,表示数轴上坐标为a 的点A 到_____的距离. (2)任意的两个实数,a b ,它们在数轴上对应的点分别为,A B , 那么 || a b -的几何意义是 . 3.绝对值三角不等式: ①0a b ?>时, 如下图, 易得:||||||a b a b ++. ②0a b ?<时, 如下图, 易得:||||||a b a b ++. ③0=ab 时,易得|| |||| a b a b ++ 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a ++___,当且仅当 时, 等号成立. 定理2 如果,,a b c R ∈, 那么c b b a c a -+--___,当且仅当 时,等号成立. 二、学习过程 知识点1:含绝对值不等式的解法 1.设a 为正数, 根据绝对值的意义,不等式a x <的解集是 它的几何意义就是数轴上到 的点的集合是开区间 ,如图所示. 2.设a 为正数, 根据绝对值的意义,不等式a x >的解集是 它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ,如图所示. 3.设a 为正数, 则 (1).()f x a ; (2).()f x a >? ; (3).设0b a >>, 则()a f x b ≤. 4.已知)(x g 为正数: (1). ()f x ≥()g x ? ; (2). ()()f x g x . 知识点2:含有一个绝对值不等式的解法 例1:解不等式512≤-x 变式演练:解不等式x x ->-213 例2:解不等式7324≤- 2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现,所以需牢固掌握. 二、教学目标设计 1、掌握简单的分式不等式的解法. 2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 三、教学重点及难点 重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形. 四、教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上,甲乙两人为了赶乘地铁,分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼(楼梯和自动扶梯长度相同),如果甲的上楼速度是乙的2倍,他俩同时上楼,且甲比乙早到楼上,问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍. 设楼梯的长度为s ,甲的速度为v ,自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为 s v ,乙上楼所需时间为02 s v v + . 由题意,得 2 s s v v v < +. 整理的 0122v v v <+. 由于此处速度为正值,因此上式可化为022v v v +<,即02v v >.所以,甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式: 1 232 x x +>-. 解:(化分式不等式为一元一次不等式组) 1232x x +>-?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?10320x x -?->?或10320x x ->??-?123x x ??>??或12 3x x >?? ?? ?213x <<或x 不存在. 所以,原不等式的解集为2,13??? ??? ,即解集为2,13?? ??? . 注意到 1 032 x x -<-? 10320 x x -? ->?或 10 320 x x ->?? -?()()3210x x --<,可以简化上述解法. 另解:(利用两数的商与积同号(00a ab b >?>,00a ab b <)化为一元二次不等式) 1232x x +>-?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?()()3210x x -- 213x <<,所以,原不等式的解集为2,13?? ??? . 由例1我们可以得到分式不等式的求解通法: (1)不要轻易去分母,可以移项通分,使得不等号的右边为零. (2)利用两数的商与积同号,化为一元二次不等式求解. 一般地,分式不等式分为两类: (1)()() 0f x g x >(0<)?()()0f x g x >(0<) ; (2) ()()0f x g x ≥(0≤)?()()()()000 f x g x g x ≥≤??? ≠??. 不等式知识点及其解题技巧 1、不等式的性质:(1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,则(若,则),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若,则(若,则);(3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若,则或 (4)若,,则;若,,则。如(1)对于实数中,给出下列命题:①;②; ③;④;⑤; ⑥;⑦;⑧,则。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧);(2)已知,,则的取值范围是______(答:);(3)已知,且则的取值范围是______(答:) 2. 不等式大小比较的常用方法:(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差 的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如(1)设,比较的大小(答:当时,(时取等号);当时,(时取等号));(2)设,,,试比较的大小(答:);(3)比较1+与的大小(答:当或时,1+>;当时,1+<;当时,1+=) 3. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针。如(1)下列命题中正确的是A 、的最小值是2 B 、的最小值是 2 C 、的最大值是 D 、的最小值是(答:C );(2)若,则的最小值是______(答:);(3)正数满足,则的最小值为______(答:); ,a b c d >>a c b d +>+,a b c d >-0,0a b c d >>>>ac bd >0,0a b c d >><0a b >>n n a b >0ab >a b >11a b <0ab 11a b >c b a ,,22,bc ac b a >>则若b a bc ac >>则若,2222,0b ab a b a >><<则若b a b a 11,0<<<则若b a a b b a ><<则若, 0b a b a ><<则若,0b c b a c a b a c ->->>>则若,011,a b a b > >若0,0a b ><11x y -≤+≤13x y ≤- ≤3x y -137x y ≤-≤c b a >>,0=++c b a a c 12,2??-- ?? ?0,10>≠>t a a 且21log log 21+t t a a 和1a >11log log 22 a a t t +≤1t =01a <<11log log 22a a t t +≥1t =2a >12 p a a =+-2422-+-=a a q q p ,p q >3log x )10(2log 2≠>x x x 且01x <<43x > 3log x 2log 2x 413x <<3log x 2log 2x 43 x =3log x 2log 2x 1y x x =+ 2y =423(0)y x x x =-->2-423(0)y x x x =-->2-21x y +=24x y +,x y 21x y +=y x 11+3+ 二次不等式、分式不等式的解法(二) 示标——知识归纳 1、不等式的结构 ()???????????--????????????指数、对数不等式等 超越不等式绝对值不等式无理不等式分式不等式高次一次、二次、整式不等式有理不等式代数不等式不等式 2、这些不等式解法的化归思路主要是: ???? ?????化去绝对值超越化为代数无理化为有理分式化为整式高次化为低次)5()4()3()2()1(最后化为???二次不等式一次不等式组 施标——应用举例 例1 解关于x 的不等式: (1)).(03222R a a ax x ∈>--(2)).0(0)1(22≠<++-a a x a ax 解(1).,30322122a x a x a ax x -===--有二根 当0=a 时,021==x x ,解集为);,0()0,(+∞-∞ 当0a 时,,21x x > 解集为).,3(),(+∞--∞a a (2)0)1(22=++-a x a ax 有二根 .1,21a x a x = = 当0>a 时,原不等式化为,0)1)((<--a x a x 当1=a 时,解集为φ; 当10<a 时,解集为).,1(a a 当0--a x a x 当1-=a 时,解集为);,1()1,(+∞---∞ 当1-a 与0<--a a x a x , )0(0)1)((<>--a a x a x 。它们的解集迥然不同。 课题: 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 目标: 1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法; 2.培养数形结合的能力,一题多解的能力,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 3.激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会从不同侧面观察同一事物思想。 重点:简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。 难点:正确串根。 过程: 一、复习引入 1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 2.一元二次不等式的解法步骤。 引言:今天我们来研究一元二次不等式的另外解法,以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法。 二、新课 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一:利用前节的方法求解; 分析二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必 须异号,∴原不等式的解集是下面两个不等式组:???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集 的并集,即{x|???<+>-0401x x }∪???>+<-040 1|{x x x }=φ∪{x|-4 ∴原不等式的解集是{x|-4分式不等式的解法
高考含绝对值不等式的解法
分式不等式的解法基础测试题回顾.doc
含参数不等式及绝对值不等式的解法
高中数学不等式的分类、解法(教资材料)
含绝对值不等式的解法(含答案)
专题二、分式不等式的解法
含绝对值不等式的解法(含答案)
解绝对值不等式的解法
专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)
《含绝对值不等式的解法》导学案
分式不等式教案
解绝对值不等式的方法总结
不等式知识点及其解题技巧
二次不等式、分式不等式的解法
一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法