2
S
a4
又{a}不是递减数列且a＝，所以q＝－.
2?2?
2n
?2??2?
1
2
S S236数列
热点一等差数列、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.
3
【例1】已知首项为的等比数列{a}不是递减数列，其前n项和为S(n∈N*)，且S＋a，
n n33
S＋a，S＋a成等差数列.
5544
(1)求数列{a}的通项公式；
n
1
(2)设T＝S－(n∈N*)，求数列{T}的最大项的值与最小项的值.
n n n
n
解(1)设等比数列{a}的公比为q，
n
因为S＋a，S＋a，S＋a成等差数列，
335544
所以S＋a－S－a＝S＋a－S－a，即4a＝a，
5533445553
a1
于是q2＝5＝.
3
31
n122
3?1?n－1
故等比数列{a}的通项公式为a＝× －?
n n
3
＝(－1)n－1·.
?1?n (2)由(1)得S＝1－ －?＝
n ?
1＋
1
，n为奇数，
n
??1－2n，n为偶数，
当n为奇数时，S随n的增大而减小，
n
3
所以1 n1 11325 故0 n1 n1 当n为偶数时，S随n的增大而增大， n 4 S S 4 3 12 12 S 6 6 12 ??a n a n ＋1?? b T 是数列? ? ?? 5a ＋5×4d ??－2（a ＋d ）＝25， ∴?? 2 ? （2n ＋1）（2n ＋3） 2?2n ＋1 2n ＋3? ∵ ＝ ＝ － ?， 2??3 5? ?5 7? ?2n ＋1 2n ＋3?? 2?3 2n ＋3? 3 2k ＋3 3 所以 ＝S ≤S <1， 2 n 1 1 3 4 7 故 0>S － ≥S － ＝ － ＝－ . n 2 n 2 7 1 5 综上，对于 n∈N *，总有－ ≤S － ≤ . n n 5 7 所以数列{T }最大项的值为 ，最小项的值为－ . n 【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数 列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口. 【对点训练】已知数列{a }是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 S ，满足 S －2a ＝25， n n 5 2 且 a ，a ，a 恰为等比数列{b }的前三项. 1 4 13 n (1)求数列{a }，{b }的通项公式； n n (2)设 ?? 1 ??的前 n 1 n 项和，是否存在 k∈N *，使得等式 1－2T ＝ 成立？若存在， k k 求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a }的公差为 d(d≠0)， n 1 1 ?（a ＋3d ）2＝a （a ＋12d ）， 1 1 1 解得 a ＝3，d ＝2，∴a ＝2n ＋1. 1 n ∵b ＝a ＝3，b ＝a ＝9， 1 1 2 4 ∴等比数列{b }的公比 q ＝3，∴b ＝3n . n n (2)不存在.理由如下： 1 1 1? 1 1 ? a a n n ＋1 1??1 1? ?1 1? ? 1 1 ?? ∴T ＝ ?? － ?＋ － ?＋…＋ － ?? n 1?1 1 ? ＝ － ?， 2 1 ∴1－2T ＝ ＋ (k∈N *)， k ?? 1 ?? 2k ＋3??? 3? ∴ <1－2T ≤ ，又 ＝ ∈ 0， ?， b b ?10a 1＋45d ＝100， ?2a 1＋9d ＝20， ?a ＝1， ?a 1＝9， ? 9 ? k 故? ?b ＝2 ? 9 ? ?9?? 故 c ＝ 2n －1 2 22 23 24 2n －1 2 n 2 22 2 3 2 4 2 5 2n 易知数列? 为单调递减数列， ? 2 1 3 1 1 ? 1? 3 15 b 3k ? k 1 ∴不存在 k∈N *，使得等式 1－2T ＝ 成立. k k 热点二 数列的通项与求和 数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的 定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法. 常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例 2】设等差数列{a }的公差为 d ，前 n 项和为 S ，等比数列{b }的公比为 q ，已知 b ＝a ， n n n 1 1 b ＝2，q ＝d ，S ＝100. 2 10 (1)求数列{a }，{b }的通项公式； n n a (2)当 d>1 时，记 c ＝ n ，求数列{c }的前 n 项和 T . n n n n (1)解 由题意有? ?a 1d ＝2， 即? ?a 1d ＝2， 解得? 1 或? 2 ?d ＝2 d ＝ . ?a ＝2n －1， n n －1 n ?a n ＝1（2n ＋79）， 或? ?b n ＝9·?2?n －1. (2)解 由 d>1，知 a ＝2n －1，b ＝2n －1， n n n 2n －1 ， 3 5 7 9 2n －1 于是 T ＝1＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ n ，① 1 1 3 5 7 9 2n －1 T ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ .② 2 n T ＝2＋ ＋ ＋…＋ － ＝3－ 2n ＋3 2n －1 (2)解 由(1)知，a ≠0，所以 n ＋2＝3.于是数列{a ①－②可得 1 1 1 1 2n －1 2 22 2n －2 2n 2n ， 2n ＋3 故 T ＝6－ n . 【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构) 若数列{a ·b }是由等差数列{a }与等比数列{b }(公比 q)的对应项之积构成的，则可用此法 n n n n 求和. 第二步：(乘公比) 设{a ·b }的前 n 项和为 T ，然后两边同乘以 q. n n n 第三步：(错位相减) 乘以公比 q 后，向后错开一位，使含有 q k (k∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和) 将作差后的结果求和，从而表示出 T . n 【对点训练】设数列{a }的前 n 项和为 S ，已知 a ＝1，a ＝2，且 a n n 1 2 n ＋2 ＝3S －S n n ＋1 ＋3，n∈ N *. (1)证明：a n ＋2 ＝3a ； n (2)求 S . 2n (1)证明 由条件，对任意 n∈N *，有 a n ＋2 ＝3S －S n n ＋1 ＋3， 因而对任意 n∈N *，n≥2，有 a n ＋1 ＝3S n －1 －S ＋3. n 两式相减，得 a n ＋2 －a ＝3a －a n ＋1 n n ＋1 ， 即 a n ＋2 ＝3a ，n≥2.又 a ＝1，a ＝2， n 1 2 所以 a ＝3S －S ＋3＝3a －(a ＋a )＋3＝3a ， 3 1 2 1 1 2 1 故对一切 n∈N *，a n ＋2 ＝3a . n a n a n 2n －1 }是首项 a ＝1，公比为 3 的等比数列； 1 数列{a }是首项 a ＝2，公比为 3 的等比数列. 2n 2 因此 a ＝3n －1，a ＝2×3n －1. 2n －1 2n 2 1 ??a ?? ln 2 ??b n ?? 2 ln 2 ln 2 所以 T ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ， 1 2 22 2n －1 2 22 2n －1 2n 于是 S ＝a ＋a ＋…＋a 2n 1 2 2n ＝(a ＋a ＋…＋a 1 3 2n －1 )＋ (a ＋a ＋…＋a ) 2 4 2n ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) 3 ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝ (3n －1). 热点三 数列的综合应用 热点 3.1 数列与函数的综合问题 数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点， 该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高 考命题者的首选. 【例 3－1】 设等差数列{a }的公差为 d ，点(a ，b )在函数 f(x)＝2x 的图象上(n∈N *). n n n (1)若 a ＝－2，点(a ，4b )在函数 f(x)的图象上，求数列{a }的前 n 项和 S ； 1 8 7 n n (2)若 a ＝1，函数 f(x)的图象在点(a ，b )处的切线在 x 轴上的截距为 2－ ，求数列? n ? 1 2 2 的前 n 项和 T . n 解 (1)由已知，b ＝2a ，b ＝2a ＝4b ， 7 7 8 8 7 有 2a ＝4×2a ＝2a ＋2，解得 d ＝a －a ＝2. 8 7 7 8 7 n （n －1） 所以，S ＝na ＋ d ＝－2n ＋n(n －1)＝n 2－3n. n 1 (2)函数 f(x)＝2x 在(a ，b )处的切线方程为 y －2a ＝(2a ln 2)(x －a )， 2 2 2 2 2 它在 x 轴上的截距为 a － 2 1 ln 2 . 由题意知，a － 2 1 1 ＝2－ ， 解得 a ＝2. 2 所以，d ＝a －a ＝1.从而 a ＝n ，b ＝2n ， 2 1 n n 1 2 3 n －1 n n 2 22 23 2n －1 2n 1 2 3 n 2T ＝ ＋ ＋ ＋…＋ n 1 1 1 n 因此，2T －T ＝1＋ ＋ ＋…＋ － n n － ＝ . 2n (2)记数列{a }的前 n 项和为 S ，且 T ＝ ，若对于一切正整数 n ，总有 T ≤m 成立，求 ?a 1＋d ＝6， ?a 1＝3， ?2a ＋7d ＝27， ?d ＝3， 2 2n 2n ＋1 －T ＝ － 2n ＋1 2 2 ?2 ? ＝2－ 1 n 2n ＋1－n －2 2n －1 2n 2n 2n ＋1－n －2 所以，T ＝ . n 热点 3.2 数列与不等式的综合问题 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明. 在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分 析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法. 【例 3－2】 在等差数列{a }中，a ＝6，a ＋a ＝27. n 2 3 6 (1)求数列{a }的通项公式； n S n n n n 3·2n －1 n 实数 m 的取值范围. 解 (1)设公差为 d ，由题意得： ? 解得? ∴a ＝3n. n 1 3 (2)∵S ＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝ n(n ＋1)， n n （n ＋1） （n ＋1）（n ＋2） ∴T ＝ ，T ＝ ， n n ＋1 ∴T n ＋1 （n ＋1）（n ＋2） n （n ＋1） n 2n ＋1 2n ＝ （n ＋1）（2－n ） ， ∴当 n≥3 时，T >T n n ＋1 3 ，且 T ＝1
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