圆的基本性质复习
教学目标：
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆.
②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
③了解三角形的外心。
④垂径定理的内容和应用。
一.知识点回顾：
1.圆的相关概念：
（1） 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中， 定点为
圆心，定长为半径。
2）弦：连接圆上任意两点的线段。
弧：圆上任意两点间部分。
直径：经过圆心的弦。
弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
（3）等圆：半径相等的圆 ；
等弧：同圆（或等圆）上能够完全重合的弧；
同心圆：圆心为同一个点的两个圆（一般指大小不同——即不重 合）
（4）圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆上相交的角叫做圆周角。
2.点和圆的位置关系:
(圆心到点的距离为d,r 为圆的半径)
(1)点在圆上d=r. eg:点C 在圆内
(2)点在圆内d ＜r. eg:点B 在圆上
(3)点在圆外d ＞r. eg:点A 在圆外
练习1.在 中 ，CD 是斜边上的高，已知BC=3,AC=4,以D 为圆心，2.4
为半径的圆D ，则点A 在圆_____，点B 在圆_____,点C 在圆_____.
分析：分别计算AD, BD, CD 的长度，并比较这个长度和R 的大小关系。
注：确定点与圆的位置关系，关键是计算点与圆的距离，并比较这个距离与圆半径的大小关
系，得出结论。
A
ABC D 90C ?
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧
数学语言： 是圆的直径，（CD 不是直径）则CE=DE 弧AC=弧BC,弧AD=弧
BD.
练习2、如图CD 是⊙O 的直径。1） CD ⊥弦AB 于E ，若AB=8cm,CD=10cm ，
则OE=___
推论1、平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的弧
数学语言：AE=BE,CD 是直径， (AB 不是直径)，则CD ⊥AB ，弧AC=弧BC ，弧AD=弧
BD
练习3：若AE=BE(AB 不是直径)，若DE=1cm,CD=10cm,则AB=___
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。数学语言：在圆O 内，MN 和AB 是两条弦MN//AB ，
则弧AM=弧BN
练习4、如图CD 是⊙O 的直径。
若弦AB ∥MN, CD ⊥弦AB 于E ，AB=8、CD=10、 MN=6， 则AB 与MN 之间的距离为
____________
分析：由题意可知符合题意的图形有以下两种情况：
（图1）
.CD AB AB ^
（图2）
4.圆周角定理
圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径
推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
注：以O 为圆心OA 长为半径做圆，则A,B,C 三点在圆周上，AB 为直径。所以∠C=90°
练习5：如图，AB 为⊙O 的直径，若点C 在⊙O 上，连BC 、 CO 、 AC 。
（1）若∠B=35°，
则∠
度 (2)如图所示，圆O 的直径CD 过弦EF 的中点G ， 则 B
A
O B A
40EOD °?____
DCF ?B A
练习6、AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝80°则弦AB 所对的圆周角是______
5、三角形外接圆的概念：
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角
形叫做圆的内接三角形；三角形的外心是三角形的三边中垂线的交点。
练习7、在△ABC 中，∠C=90，CD 是斜边上的高，已知BC=3，AC=4，求△ABC 的外接
圆的面积.
6.圆心角定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有
一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．
二.典型例题解析
例1、如图，AB 为⊙O 的直径
若点C 在⊙O 外，BC=AC,AC 、CB 分别交⊙O 于点D 、E
你能证明BE=AD 吗？
例2、如图，△ABC 内接于⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于点E,过A 点作AD ⊥BC 于点D.
1)求证∠EAB=∠CAD
2)若AB+AC=12,AD=3,设AE=y,AB=x
①求y 与x 的函数关系式
C
②当AB
的长等于多少时， ⊙O 的面积最大，最大面积是多少？ 课时训练
1.如图所示，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在AmB 上
,则∠C=。
30°
2.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 ，那么这条弦所对的圆周角为
( )
A.60°
B.120°，
C.45°
D.60°或120°
3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A ．35° B.70°，C ．110° D.140°
4.在直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线 与⊙O 的 位置关系是（ ）
A 、相离
B 、相交
C 、相切
D 、以上都有 可能
5.若圆心角∠ABC=100°，则圆周角 ∠ADC=________°
5题 6题 7题
6.在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径， ∠ACB 的角平分线CD 交⊙O 于D ，则∠ABD=_________
度.
7. △ABC 是⊙O 的内接三角形， OD ⊥AB,OE ⊥AC,若DE=3,则BC=_______.
三．课后作业：
1.如图所示，已知Rt ΔABC 中∠C=90°,AC= ,BC=1,若以C 为圆心，CB 为半径的圆交
AB 于P ，则AP ＝
。
2x y +-=3B C D A
A C
O D E
2、如图，弦AB,CD 交于点M ，且AB=CD 求证:(1)AD=CB (2)DM=BM
3、如图(1) ， AB 是⊙O 的直径， CD 是⊙O 的一条弦,且AB ⊥CD 于点G .
(1)若F 是弧CB 上的一点,连接AF 交弦CD 所在直线于点E,求证: (2)当点F 在弧AC 上运动时(不与点A,C 重合),以上结论成立吗?
(3)若点F 在弧AD 上运动以上结论还成立吗? (不与点A,D 重合)
图1 图2 图3
4.如图，在直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，顶点A ，C 在坐标轴上，以边AB 为弦
的OM 与X 轴相切，若点A 的坐标为（0,8）,则圆心M 的坐标为（ ）
A.(4,5)
B.（-5,4）
C.(-4,6)
D.(-4,5)
2AD AE AF
=?
圆的基本性质教学设计 教材分析 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验。第二课时加深学生对弦、弧之间关系的认识，掌握垂径定理及其逆定理。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 知识与技能： 1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。 过程与方法： 1．经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 3．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。 情感态度价值观： 体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 教学重难点 重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。 难点：垂径定理探索及其应用。 教学方法 启发式教学 教学过程设计 第一课时 一、观察与思考 观察汽车和皮带转动轮的视频或图片 提问：车轮是什么形状的？ 生：圆形（问题简单，一起回答） 教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等？” 生：“不能！”“它们无法滚动！”
如皋市实验初中九年级数学（上）期末复习 课题：圆的基本性质 1.下列结论正确的是（） A．长度相等的两条弧是等弧B．半圆是弧 C．相等的圆心角所对的弧相等D．弧是半圆 2.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC 是6，则水面宽AB是（） A．16 B．10 C．8 D．6 3.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为（） A．45°B．90°C．l35°D．270° 4.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70° 5.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（） A．35°B．40°C．50°D．80° 6. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP 于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 . 7．（2012?珠海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24， 那么sin∠OCE= . 8.（2012?南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD 的上方，求AB和CD的距离． 第2题第4题第5题 第6题第7题
9．（2012?宁德）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠D=30°． （1）求∠A的度数； 4，求弧BF的长度．（结果保留π）（2）过点C作CF⊥AB，垂足为E，交⊙O于点F，CF=3 10.（2012?荆门）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数） 提高题: （2012?上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
圆的基本性质复习课 教学活动 一、圆的基本性质复习： 例1、 （1）如图，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且OD//AC 。 求证：CD=BD 师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。 （学生分组交流，一会后学生汇报成果。） 组一：连接OC ，OD AC // C O D A C O B O D A ∠=∠∠=∠∴, O C OA = ∴ACO A ∠=∠DOB CO D ∠=∠∴ BD CD =∴ 师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗？ 组二：连接AD ，OD AC // ， OA=OD ∠=∠∴CAD OAD ODA ∠= ∴弧CD=弧BD ∴CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的 弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑去证 弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。 （边总结，边在黑板上抽离基本图形） 师：还有其他方法吗？ 组三：连接BC ， AB 是直径 090=∠∴ACB AC//OD OD BC ⊥∴ 由垂径定理可以得到弧CD=弧BD ∴CD=BD 师：这就利用了垂径定理的基本图形。（同时在黑板上画 出这个基本图形） 垂径定理及逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的 关系：直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立。但要注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立。垂径定理及逆定理体现的是圆的 轴对称性。 而在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角； 而0 90的圆周角所对的弦是直径。（同时在黑板上抽离这个基本图
《圆的基本性质复习课》教案 潮阳区华阳初级中学陈朝鸿 复习目标 1、使学生理解圆及其有关概念，圆的性质； 2、使学生掌握垂径定理及推论的应用；掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系；理解圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质定理； 3、使学生理解圆的对称性（轴对称和中心对称）； 复习重点 1、垂径定理及推论； 2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系； 3、圆周角的定理及其推论； 4、与性质相关的计算。 复习难点 1、垂径定理及推论； 2、圆心角与圆周角之间的关系以及圆周角的相关性质； 3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 4、与性质相关的综合计算 目标分析 新课程标准的总体目标，即：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观三位一体的目标，它们对人的成长、素养的形成与发展都具有十分重要的作用。过程与方法和情感、态度与价值观的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习培养必须要以有利于其他目标的实现为前提。 教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意图 （一）课前反馈用多媒体小试卷的形式： 展示自主学习案习题：1.在一个平面内，线段OA绕的一个端 点O旋转一周，所形成的图形叫做圆，固定的叫做， 线段叫做。 2.连接圆上任意两点的线段叫；经过圆心的弦叫 ; 圆上任意两点间的部分叫 ;大于半圆的弧叫 ;小于 半圆的弧叫。 3.外接圆的圆心是三角形三条垂直平分线的交点，叫三角形的外 心，锐角三角形的外心在三角形的，钝角三角形的外心在 三角形的，直角三角形的外心在三角形。 4. 圆是一个特殊的图形，它既是一个对称图形，又是一个对 称图形。 5.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两 条弧； 6.推论：（1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧；（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 参与习 题的解 答。 使学生 对所学的 圆的性质 有一个较 系统的回 顾。
复习:圆的基本性质 灵宝实验中学许怀权 导入: 同学们,我们中国人对圆情有独衷,因为它寓意着团圆、完美、和谐，而数学中，圆以简洁的曲线之中，却蕴含神奇多彩的数学知识。今天我们再次走进圆的世界，共同复习圆的基本性质。 一．复习目标: 1.复习圆的有关概念,掌握圆的基本性质。 2.理解圆的对称性，掌握圆的四个定理。 3.会运用圆的基性质定理进行推理和计算。 千里之行，始于足下。明确了目标，就让我们从知识梳理开始今天的复习之旅！二．知识梳理 1.以小组为单位共同复习圆的一组概念。（组里互查,教师出示四个图形检查） 2.两个特性：同学观察两个图形回答一下问题： (1)圆是______ 图形,经过_____________是它的对称轴.圆有_______对称轴. (2)圆是_________ 图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即____________ (3)跟踪练习,概念解读： 1.下列说法正确的是______________ : （1）直径是弦，弦也是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）两条等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧； （4）顶点在圆心上的角为圆心角，顶点在圆周上的角为圆周角； （5）圆的对称轴是它的直径。 3.四个定理： (1) 垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 提问：○1.联想垂径定理基本图形是什么 ○2.根据图说说几何语言怎么叙述？
∵CD 是直径 ①经过圆心 CD ⊥AB ②垂直于弦 ∴AP=BP ③平分弦（不是直径） ④平分优弧 ⑤平分劣弧 ○ 3你能从这几个条件中任选两个推出其它的结论吗？ 找几个同学说说，由此总结： （知二，得三） ○ 4.垂径定理的几个基本图形： ○ 5.定理辨析：下列说法正确吗？为什么？ （1）过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂线平分它所对的两条弧； （3）过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； （4）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 ○ 6.典例精析 例1.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块20cm 厚的砖塞在两侧他量的两砖之间的距离刚好是 80cm ，聪明的你算出大石头的半径是（ ） A.40cm B.30cm C.20 cm D.50cm 先独立完成然后找学生讲解，最后老师进行解题方法总结。 解题策略：求圆中的弦、弦心距、和半径时，通过连半径，作垂直， 构造垂径定理基本图形，用方程思想解题。 学以致用 备战中招（一） 1.（2015.盐城）如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦, DC ⊥AB 于E,则下列结论不一定正确( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE ⌒ ⌒ C.OE=BE D.BD=BC 2.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，⊙O 的半径____厘米。 B
《圆的基本性质复习》教案 教学目标: 熟悉本章所有的定理。 教学重点：圆中有关的定理 教学难点: 圆中有关的定理的应用 教学方法：谈话法 教学辅助：多媒体 教学过程： A随之旋转所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O 3、篮球是圆吗？ –圆必须在一个平面内 ?以3cm为半径画圆，能画多少个？ ?以点O为圆心画圆，能画多少个？ ?由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ –半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 ?圆是“圆周”还是“圆面”？ –圆是一条封闭曲线 ?圆周上的点与圆心有什么关系？ 4、点与圆的位置关系 ?圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 ?圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 ?圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 ?由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？ 5、圆的有关性质 思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？ 6、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。 7、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ? 如图，P 为⊙O 的弦BA 延长线上一点，PA ＝AB ＝2，PO ＝5，求⊙O 的半径。 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 8、（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 圆的两条平行弦所夹的弧相等 9、圆的性质 ? 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 ? 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ? 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。 10、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角. 11、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 ? 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于 它所对的弧的度数的一半。 ? 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ ? 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ ? 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？ 12、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 13、思考： （1）、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ （2）、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。 14、推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。 15如果用字母S 表示扇形的面积，n 表示所求面积的扇形的圆心角的度数，r 表示圆的半径，那么 弧长L 公式是------------- 扇形的面积计算公式是 ---------------- 圆锥的侧面积和全面积:S 侧= 16、小结和同步作业 P B O
第36课时 圆的基本性质 一、选择题 1.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB 的大小为（ ） A ．40° B ．30° C ．45° D ．50° 2.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO 的度数是（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，⊙O 半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（ ） A ．30° B．45° C．60° D．90° 4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝（ ）A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 5.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A＝70o ，∠C＝50o ， 那么sin∠AEB 的值为( ) A. 21 B. 33 C.2 2 D. 23 6.如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是( ). 7.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A．0.4米B．0.5米C．0.8米D．1米 第7题图第8题图第10题图第11题图第12题图 8．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD 的值等于（） A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长 9.已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙的半径为（） A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25 10.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C 的度数是（）A．25° B．40° C．30° D．50° 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（） A ．B．5 C ．D．6 12.如图，AB是O ⊙的直径，点C在圆上，CD AB DE BC ⊥，∥，则图中与ABC △相似的三角形的个数有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 二、填空题 1.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO = 32°，则∠COB的度数等于． 2.如图，AB是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD∥AC，若 BD=1 ，则BC的长为 . 3．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是________. 第1题图第2题图第3题图第4题图
圆的基本性质复习课教案 学习目标： 1．进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性； 2．进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理，以及圆心角定理、 圆周角定理. 3．通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解 决问题的能力。 学习重点：圆的对称性、垂径定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论。 学习难点：相关性质的应用 学习过程： 一基础过关 1、圆的对称性 （1）、圆是______图形,圆的对称轴是______________,它有_____条对称轴. （2）、圆是___________图形，它的对称中心是________. （3）、圆具有_____________. 垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径弦，并且平分弦所对的两条弧． 中考链接（2015遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm， OC⊥AB于点C，则OC=_______ 变式训练：一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是 （） A.16 B.10 C.8 D.4 3、圆心角、弧、弦之间的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等． (2)推论：同圆或等圆中,两个_____、两条___、两条___中有一组量相等,它们所 对应的其余各组量也相等. 4、圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对 的圆心角的． 推论：半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是． 中考链接： 1、（2015湖南娄底）如图4，在⊙O中，AB为直径，CD为 弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________度. 2、（2016湖南娄底）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°， 则∠CAB的度数为（） A．20° B．40° C．50° D．70° 二典例精析 例1、如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。求证： CD=BD （学生以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明 这两条弦相等分组交流，派学生代表汇报成果。）
一、 第三章圆的基本性质复习点和圆的位置关系： 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则： （1）d
圆的基本性质复习学案 教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
课题：圆的基本性质复习目标：理解圆以及有关概念；理解弧、弦、圆心角的关系；探索并掌握垂径定理、圆周角定理及相关的推论。 基础回顾 例尝试 巩固提高 【基础知识】 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又 是对称图形，是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分，并且平 分；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧， 两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组 量，那么它们所对应的其余各组量都 分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是，90°的圆周角 所对的弦是。 【基础训练】 1．如图1，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OBC=_______度． 2.如图，⊙O中OA BC ⊥，25 CDA ∠=，则AOB ∠ 的度数为． 3．如图3，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC＝2cm，则⊙O的半径为cm． 4．下列每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（） （A）（B）（C）（D）例1．如图， 在△ABC中， 以BC为直径 的⊙O交AB于 D、交AC于 E，且BD=EC． 求证： AB=AC. 例2．如图， 在⊙O中，弦 AB＝AC＝ 5cm，BC＝ 8cm，求⊙O 的半径 例3．如图， 在⊙O 中，AB 是直径， CD是 弦， AB⊥CD ． ⑴ P是弧 CAD上一 点（不与 C、D重 合），求 证： ∠CPD＝ ∠COB； ⑵点P′在劣 弧CD上 （不与 1．如图1，ABC △ 是O的内接三角 形，50 B= ∠，点 P在CA上移动（点 P不与点A，C重 合），则α的变化 范围是_______． 2．如图2，AB是 O的直径，以B为 圆心，BO为半径画 弧交O于C D ，两 点，则BCD ∠的度 数是． 3．若⊙O的半径 OA＝10cm，弦AB ＝16cm，P为AB上 一动点，则OP的取 值得范围是 c 4．如图3，AB是 ⊙O的直径，C、 D、E都是⊙O上的 点，则∠1＋∠2 ＝． 5．如图，△ABC是 ⊙O的内接三角 形，点C是优弧AB 上一点(点C不与 A，B重合)，设 ∠OAB＝α，∠C＝β. （1）当α＝35°时， 求β的度数；(2)猜 想α与β之间的关 系，并给予证明.
中考数学复习圆专题复 习教案课程 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
中考数学专题复习六 几何（圆） 【教学笔记】 一、与圆有关的计算问题（重点） 1、扇形面积的计算 扇形：扇形面积公式 213602 n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形 面积 圆锥侧面展开图： （1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：213V r h π= 2、弧长的计算：弧长公式 180 n R l π= ； 3、角度的计算 二、圆的基本性质（重点） 1、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 2、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半； 推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）相等的圆周角所对的弧也相等。 （3）半圆（直径）所对的圆周角是直角。 （4）90°的圆周角所对的弦是直径。 注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。 3、垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论：（1）平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 （4）在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 三、圆与函数图象的综合
一、与圆有关的计算问题 【例1】（2016资阳）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（） A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π 【解答】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°， ∠B=60°．∵AC=2， ∴BC=ACtan30°=2=2，∴S 阴影=S △A B C ﹣S 扇形C B D =×2×2﹣ =2﹣π． 故选A． 【例2】（2014资阳）如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（） A．﹣2B．﹣2C．﹣ D．﹣ 解答：连接OC， ∵∠AOB=120°，C为弧AB中点，∴∠AOC=∠BOC=60°， ∵OA=OC=OB=2， ∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC=BC=OA=2， ∴△AOC的边AC上的高是=，△BOC边BC上的高为， ∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2，故选A．
第28课圆的概念与性质 复习目标：1.理解圆及弦、弧、圆心角、圆周角的概念，了解弧、弦、圆心角的关系。 2.了解圆的对称性以及垂径定理。 复习重点：圆的相关概念与性质。 复习难点：垂径定理的内容及应用。 复习过程： 一、基本知识点： 1、点与圆的位置关系。 2、如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： 点在圆上---- d=r 点在圆内-----d
二、基础训练：见《中考指要》P.74页 三、例题讲解：见《中考指要》P.74页 四、变式训练: 1、在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度. 2、(2004·山西)如图所示，已知RtΔABC中，∠C=90°,AC= ,BC=1,若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP＝。 3、如图，O是∠CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE. 求证：(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DB∥CE. 五、作业：见中考零距离 主备人：吴寿根
圆的基本性质 3.1 圆 1．圆的定义： 在同一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。 以点O 为圆心的圆作：“⊙O ”，读作：“圆O ”。 圆指的是封闭的曲线，而不是圆面。 ２、点与圆的位置关系： 设⊙Ｏ的半径为r ，则点P 与⊙O 的位置关系有： （１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r （２）点Ｐ在⊙Ｏ内 ＯＰ＜r （３）点Ｐ在⊙Ｏ外 ＯＰ＞r 例题分析： 1、画图：已知Rt △ABC ，∠B=90°，试以点B 为圆心，BA 为半径画圆。 2、根据图形回答下列问题： （1）看图想一想， Rt △ABC 的各个顶点与⊙B 在位置上有什么关系？ （2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆的半径在数量上有什么关系？ ３、证明几个点在同一个圆上的方法。 要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等。 4.确定唯一的一个圆的条件： （1）经过一个已知点能作无数个圆！ 经过一个已知点并确定圆的半径同样也能作无数个圆，这些圆的圆心构成一个圆。 （2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上。 经过两个已知点A 、B 并确定圆的半径，能作几个圆呢？ （3）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （过三个已知点作圆时要考虑圆的存在性和唯一性） （4）外接圆，外心的概念。 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点 （5）对于不同的三角形，三角形外心的位置也不同。 锐角三角形的外心在三角形内部， 直角三角形的外心在直角三角形的斜边的中点上， 钝角三角形的外心在三角形的外部。 A
B C D A 江苏省东海县青湖中学中考数学一轮复习《第36课时圆的 基本性质》学案（无答案） 一、选择题 1.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO ＝50°，则∠ACB 的大小为（ ） A ．40° B ．30° C ．45° D ．50° 2.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO 的度数是（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，⊙O 半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（ ） A ．30° B．45° C．60° D．90° 4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 、 D 在⊙O 上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD ＝（ ）A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 5.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A＝70o ，∠C＝50o ， 那么sin∠AEB 的值为( ) A. 2 1 B. 33 C.2 2 D. 23 6.如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是( ). 7.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A ．0.4米 B ．0.5米 C ．0.8米 D ．1米 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 8．如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O，BD⊥AC 于点D ，OM⊥AB 于点M ，则sin∠CBD 的值等于（ ） A ．OM 的长 B ．2OM 的长 C ．C D 的长 D ．2CD 的长 9.已知⊙O 是△ABC 的外接圆，若AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则⊙的半径为（ ） A ．4 B ．3.25 C ．3.125 D ．2.25
第24讲圆的基本性质 陕西《中考 说明》 陕西2012～ 2014年中考 试题分析 考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重 考点1圆的 主要概念 理解圆及其 有关概念 ———————————— 考点2圆的 有关性质 1.了解弧、 弦、圆心角 的关系；2. 了解并探索 点与圆的位 置关系；3. 知道圆周角 与圆心角的 关系及直径 所对的圆周 角为直角； 90°的圆周 角所对的弦 是直径；4. 了解三角形 的内心和外 心；5.探索 圆的性质 2014 填空题16 3 以动点和求 最值的形式 考查垂径定 理、勾股定 理、图形面 积的计算等 2013 填空题16 3 圆与三角形 结合，涉及 三角形中位 线、圆周角 定理、直角 三角形的性 质 2012 选择题9 3 垂径定理的 有关计算， 涉及勾股定 理和正方形 的性质 2.5% 和填空为主，分值为3分，综合性较强，难度较大，如2013年和2014年的第16题，都涉及圆中的动点问题，对学生的理解能力要求较高．预计2015年中考对本节内容的考查仍会出现在选择或填空的压轴题位置，考查垂径定理或圆周角定理的有关计算．
1．主要概念 (1)圆：平面上到__定点__的距离等于__定长__的所有点组成的图形叫做圆．__定点__叫圆心，__定长__叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O. (2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫__弧__，连接圆上任意两点的线段叫__弦__，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的__弦__． (3)圆心角：顶点在__圆心__，角的两边与圆相交的角叫圆心角． (4)圆周角：顶点在__圆上__，角的两边与圆相交的角叫圆周角． (5)等弧：在__同圆或等圆__中，能够完全__重合__的弧． 2．圆的有关性质 (1)圆的对称性： ①圆是__轴对称__图形，其对称轴是__过圆心的任意一条直线__． ②圆是__中心对称__图形，对称中心是__圆心__． ③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． (2)垂径定理及推论： 垂径定理：垂直于弦的直径__平分弦__，并且__平分弦所对的两条弧__． 垂径定理的推论： ①平分弦(不是直径)的直径__垂直于弦__，并且__平分弦所对的两条弧__； ②弦的垂直平分线__经过圆心__，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． (3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论： ①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦__相等__． ②推论：在同圆或等圆中，如果两个__圆心角__、__两条弧__、__两条弦__、__两条弦心距__中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． (4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__． 圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧__相等__． ②半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__；90°的圆周角所对的弦是__直径__． (5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： ①点P在圆上?__d＝r__； ②点P在圆内?__d
知识点归纳 一、圆的基本性质 1、圆的有关概念 （1）圆（2）圆心角（3）圆周角（4）弧（5）弦 2、圆的有关性质 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心． （2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． （3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径 3．三角形的内心和外心: （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理 （3）三角形的内心：在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心 4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 二、直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系 （1）相离（2）相切（3）相交 2. 切线的定义和性质： 若直线只与圆交与一点,则这条直线被称为圆的切线. 切线与圆的半径所在直线垂直.从圆外一点引同一个圆的两条切线，切点与圆外一点之间的的距离相等。 3.三角形与圆的特殊位置关系 4.圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d，半径分别为r1，r2） 三、圆的有关计算 1、圆周的公式 2、n°的圆心角所对的弧长公式 3、圆心角为n°的扇形面积公式
D B 圆的基本性质 基础知识回放 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ??BC BD =??AC AD =
B 圆心角定理 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论：
B A B A O 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对 的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜 边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN 是切线，AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切 线
第三章圆的基本性质（复习课）及课后反思 一、学情与教材分析：学生普遍对学习不感兴趣，为了使大部分学生都能有所收获，还是应把重点放在基础上。本节课是以复习基本概念为主，让学生对本章知识形成一个完整的知识连。 二：教学目标: 熟悉本章所有的定理。 三、教学重点：圆中有关的定理 四、教学难点: 圆中有关的定理的应用 五、教学过程： 1、 2、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O 3、篮球是圆吗？ –圆必须在一个平面内 ?以3cm为半径画圆，能画多少个？ ?以点O为圆心画圆，能画多少个？ ?由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ –半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 ?圆是“圆周”还是“圆面”？ –圆是一条封闭曲线 ?圆周上的点与圆心有什么关系？ 4、点与圆的位置关系 ?圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 ?圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 ?圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 ?由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？ 5、圆的有关性质 思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？ 6、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。 7、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ?如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。