七、单调性问题
例：讨论函数x
x x f 2231)(-?
?
?
??=的单调性．
练1．函数
x
x y 2221-?
?
? ??=的单调增区间为___________．练2．函数
x x y -=2
2的单调递增区间为
．
练3．函数
1
)1(22
2)(+--=x a x
x f 在区间),5[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
[)∞+,6 B ．()∞+,6 C ．(]6,∞- D ．()6,∞-
练4．函数x
y -?
?
?
??=121的单调增区间为（ ）
A ．
()∞+∞-, B ．()∞+,0 C ．()∞+,1 D ．()1,0
练5．函数
1
21
)(+=
x
x f 在()∞+∞-,上（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值
练6．求函数2
22
2++-=x x
y 的定义域，值域和单调区间． 练7．求函数
2
3231+-?
?
? ??=x x y 的单调区间．
八、函数的奇偶性问题
例：当1a >时，证明函数1
1
x x a y a +=- 是奇函数．
练1．如果函数()f x 在区间]24,2[a a --上是偶函数，则=a _________．
练2．若函数1
()41
x f x a =+
-是奇函数，则=a _________．
练3．若函数2
()()x u f x e --=的最大值为m ，且)(x f 是偶函数，则=+u m ________．
练4．设a 是实数，2
()()21
x
f x a x R =-
∈+，（1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；（2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数及此时()f x 的值域．
练5．已知x x f x
)2
1
121(
)(+-=．（1）求函数的定义域；（2）判断函数)(x f 的奇偶性；（3）求证：0)(>x f ．
【对数与对数函数】
一、对数
1．对数的概念：一般地，如果x
a
N =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：log a x N
=
（其中：a 是 ，N 是 ，log a
N 是 ）
两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数lg N ；常用对数：10lg
log N N =
（2）自然对数：以无理数 2.71828e =为底的对数的对数ln N ．
自然对数：ln log e N
N
=（其中 2.71828
e =）；
对数式与指数式的互化： log x a a N
N x =???→=转化
2．对数的性质：
（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：log 1a =_______； （3）底数的对数是1：log a a =_______；
（4）对数恒等式：log a N
a =_______； （5）log n a a =_______．
3．对数的运算法则：
()log a MN =
()M N R +
∈，； log
a
M N =
()M N R +
∈，；
()log n a N =
()N R +
∈；
log
a
=
()N R +
∈
4．对数换底公式：
log b N =______________；
5．由换底公式推出一些常用的结论：
（1）log log a b b a =
·，log a
b =
； （2）log
n
m a
b =
；
（3）log n
n a
b =
； （4）log
n
m a
a =
．
二、对数函数
1．对数函数的概念：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞
2．对数函数
log a y x =在底数1a >及01a <<的图象特征及函数性质：
总结：指数函数
log a y x =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：
1a >
01a <<
图象
性质
（1）定义域： ． （2）值 域： ．
（3）过点 ，即
1x =时，=y ．
（4）在R 上是 函数，
当
1x >时， ；
当01x <
<时， ．
（4）在R 上是 函数，
当
1x >时， ；
当01x <
<时， ．
注：对数函数
a 与1log a
（且）的图像关于轴对称．
例：如图中曲线分别表示
log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，
,,,a b c d 的关系是（ ）
A ．01a b d c <<<<<
B ．01b a c d <<<<<
C ．01d
c a b <<<<< D ．01c
d a b <<<<<
三、反函数 1．定义：设式子()y f x =表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得到式子()x y ?=，
如果对于y 在C 中的任何一个值，
通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=就表示x 是y 的函数（y 是自变量）
，这样的函数，叫做()y f x =的反函数 ，记作1()x f y -=，即()1
()x y f y ?-==，一般习惯上对调
1()x f y -=中的字母,x y ，把它改写成1()y f x -=．
（1）反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；
即函数
()y f x =要有反函数由它必须为单调函数．
（2）原函数()y f x =的定义域、值域分别是反函数1()y f x -=的 、 ．
（3）
()y f x =与1()y f x -=的图象关于 对称．
（4）若(),P a b 在原函数()y f x =
的图像上，则'P 在其反函数1()y f x -=的图像上．
即：
1
()()f a b f
-=?=
2．求反函数的一般步骤
（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域； （2）由()y f x =的解析式求出()x y ?=；
（3）将
,x y 对换，得反函数的一般表达式1()y f x -=，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）
分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成． 4．掌握下列一些结论
（1）单调函数?一一对应?有反函数
（2）周期函数不存在反函数．
（3）若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数 （4）证明()y f x =的图象关于直线y x =对称，只需证()y f x =的反函数和()y f x =相同．
【练习巩固】 一、对数运算 1．已知14log 7a =，14log 5b =，求35log 28(用,a b 表示)．
2．6log =
3．计算：（1
； （2）222lg 5lg 8lg 5120(lg 2)3g +++；
（3）2
1lg 5lg 8000(lg lg lg 0.066?+++； （4）483912
(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-
二、大小比较
1．比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；
2．比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较，对数函数在同一坐标系中的图像与底数的关系有如下规律：即无论在x 轴上面还是下面，底数按顺时针由小变大．
3．比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较． 1．三个数0.7
6
，6
0.7，0.7
log 6的大小顺序是（ ）
2．比较下列三数的大小：（1）0.3log 0.7，0.4log 0.3；（2）0.6log 0.8， 3.4log 0.7，()
1
2
13-；（3）0.3log 0.1，0.2log 0.1．
三、对数函数的定义域、值域． 1．函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 ．
2．函数()f x 的定义域是[]1,2-，则函数2(log )f x 的定义域是 ．
3．函数
23()log ()f x x ax a =+-的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 ．
4．求下列函数的定义域、值域：
(1)y =； (2)
22log (25)y x x =++； (3)213
log (45)y x x =-++； (4)y =
四、对数函数的性质 1．12
()log f x x =，当2,x a a ??∈??时，函数的最大值比最小值大3，则实数a = ．
2．函数()
2lg
11y x =-+的图像关于（ ）A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y x =对称
3．函数()114
4
2
2log log
5y x
x =-+在24x ≤≤时的值域为 ．
4．设()f x 为奇函数，且当0x >时，12
()log f x x =．(1)求当0x <时，()f x 的解析式；(2)解不等式()2f x ≤．
5．根据函数单调性的定义，证明函数2
()log 1x f x x
=-在
()0,1上是增函数．
6．函数
22log (2)1y x =++恒过定点_________________．
五、反函数
1．求下列函数的反函数：（1）351()212x y
x x -=
≠-+；
（2）2
23y x x =-+，(,0]x ∈-∞；（3）21(0)1
y x x =≤+； （4
）,(10)
,(01)
x y x -≤≤=-<≤??．
2．求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．（1
）1y =
；（2）2
32(0)y x x =--≤．
3．已知函数10110x
x
y =
+，求其的反函数，以及反函数的定义域和值域．
4．已知函数311
()(,)3
x f x x a x x a +=
≠-≠+，（1）求它的反函数；（2）求使1
()()f x f x -=的实数a 的值．
5．设点()1,2M 既在函数2()(0)f x ax b x =+≥的图像上，又在它的反函数图像上，
（1）求1
()f x -；（2）证明：1
()f
x -在其定义域内是减函数．
【幂函数】
1．幂函数的定义： ． 2．幂函数的图象
3．幂函数的性质
（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．
幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于
y 轴对称)；
是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； 是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
（3）单调性：如果0α
>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．
如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．
（4）奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q
p
α
=
（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若
p 为奇数q 为奇数时，则q
p y x =是奇函数；
若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x
=是偶函数；
若
p 为偶数q 为奇数时，则q p
y x
=是非奇非偶函数．
（5）图象特征：幂函数
,(0,)y x x α=∈+∞，
当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方；
当1α
<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．
【练习巩固】 一、幂函数定义： 1．在函数
220
31,3,,y y x y x x y x x
=
==-=中，幂函数的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．31y x =-
二、幂函数的图像性质：
1．幂函数的图象都经过点（ ） A ．()1,1 B ．()0,1 C ．()0,0 D ．()1,0
2．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则（ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不能确定
3．幂函数
52
y x
-=的定义域为（ ） A ．
()0,+∞ B ．[)0,+∞ C ．R D ．()(),00,-∞+∞
4．下列函数中既是偶函数又是(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．43
y x
= B ．3
2
y x
= C ．2
y x
-= D ．14
y x
-
=
5．函数
2y x -=在区间1[,2]2上的最大值是（ ） A ．1
4
B ．1-
C ．4
D ．4-
6．函数4
3
y x
=的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列命题中正确的是（ ）
A ．当0α
=时函数y x α=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过()0,0和()1,1点
C ．若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数
D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限
8．若112
2
1.1,0.9
a
b -==，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．1a b <<
B ．1a b <<
C ．1b a <<
D ．1b a <<
9．若幂函数1()m f x x -=在()0,+∞上是减函数，则（ ） A ．1m > B ．1m < C ．1m = D ．不能确定
10．若点
(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的是（ ） A ．00a b >??>? B ．00a b >??
a b ?
11．使23x x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．1x <且0x ≠ B ．01x << C ．1x > D ．1x <
12．当
()1,x ∈+∞时，函数a y x =的图象恒在直线y x =的下方，则a 的取值范围是（ ）
A ．1a <
B ．01a <<
C ．0a >
D ．0a <
13．若四个幂函数
a y x =，
b y x =，
c y x =，
d y x =在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）
A ．d c b a >>>
B ．a b c d >>>
C ．d c a b >>>
D ．a b d c >>>
14．函数
()1
,2n
y x
n N n =∈>的图象只可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．13题
15．函数
3
y x
=和
13
y x
=图象满足（ ）
A ．关于原点对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y x =对称
16．函数
||,y x x x R =∈，满足（ ）
A ．是奇函数又是减函数
B ．是偶函数又是增函数
C ．是奇函数又是增函数
D ．是偶函数又是减函数 17．函数
2224y x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．
(],6-∞- B ．[)6,-+∞ C ．(],1-∞- D ．[)1,-+∞
18．如图1—9所示，幂函数
y x α=在第一象限的图象，比较12340,,,,,1αααα的大小（ ）
A ．1
34201αααα<<<<<
B ．123401αααα<<<<<
C ．243101αααα<<<<<
D ．3
24101αααα<<<<<
19．对于幂函数
45
()f x x
=，若120x x <
<，则
12()2x x f +，
12()()
2
f x f x + 大小关系是（ ） A ．
1212()()()22x x f x f x f ++> B ．1212()()
()22x x f x f x f ++<
C ．
1212()()
(
)22
x x f x f x f ++= D ．无法确定 20．函数
32
y x
-=的定义域为__________________．
21．幂函数()f x 的图象过点()43,27
，则()f x 的解析式是____________，1
()f
x -的解析式是______________．
22．2
49
a
a y x --=是偶函数，且在
()0,+∞是减函数，则整数a 的值是 ．
23．若112
2
(1)(32)
a a -
-
+<-，则a 的取值范围是________________．
24．设
()1()2m f x m x +=-，如果()f x 是正比例函数，则m =__________，如果()f x 是反比例函数，则m =_________，
如果()f x 是幂函数，则m =_____________．
25．若幂函数2
221
(1)m
m y m m x --=--在
()0,+∞上是增函数，m =___________．
26．函数2
()3
x f x x +=
+的对称中心是______________，在区间上是_______函数（填“增”或“减”）．
27．比较下列各组中两个值大小．（1）611
0.6与6
11
0.7
；（2）5
3
(0.88)
-与53
(0.89)
-
1α
3α 4α
2α
28．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．
（1）
32
y x
=；（2）
13
y x
=；（3）
23
y x
=；（4）
2
y x
-=；（5）
3
y x
-=；（6）
12
y x
-
=．
（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）
29．已知函数2
21
()(2)m
m f x m m x +-=+，求m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数；
（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数．
30．已知幂函数13
22
2()p p f x x
-
++=（
p Z
∈）在
()0,+∞上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应
的函数()f x ．
31．已知幂函数2
23
()()m
m f x x m Z --=∈的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确()f x 的解析式．
32．求证：函数3y x =在R 上为奇函数且为增函数．
33．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）．（1）2222
21
x x y x x ++=++；（2）5
3(2)1y x -=--．
【综合练习一】 1．已知集合{}4M
x N x N =∈-∈，则集合M 中元素个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
2．如图所示，I 是全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A ．()M P S
B ．()M P S
C ．()
()I M
P C S D ．()
()I M P C S
3．函数
2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围（ ）
A ．2b ≥-
B ．2b ≤-
C ．2b >-
D ． 2b <-
4．如果偶函数在[,]a b 具有最大值，那么该函数在[,]b a -
-有（ ）
A ．最大值
B ．最小值
C ．没有最大值
D ． 没有最小值 5．函数
()f x 在区间[2,3]-是增函数，则(5)y f x =+的递增区间是（ ）
A ．[3,8]
B ． [7,2]--
C ．[0,5]
D ．[2,3]-
6．函数
(21)y k x b =++在实数集上是增函数，则（ ）
A ．12k >-
B ．1
2
k <- C ．0b > D ．0b > 7．定义在R 上的偶函数
()f x ，满足(1)()f x f x +=-，且在区间[2,0]-上为递增，则（ ）
A
．(3)(2)f f f << B
．(2)(3)f f f << C
．
(3)(2)f f f << D
．(2)(3)f f f <<
8．三个数6
0.70.70.7
6log 6，，的大小关系为（ ）
A ．6
0.70.70.7
log 66<< B ．60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D ．60.70.7log 60.76<<
9
．函数
y =的定义域是（ ）
A ．
()3,+∞ B ．[)3,+∞ C ．()4,+∞ D ．[)4,+∞
10．与方程
221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ）
A
．ln(1y =+ B
．ln(1y =- C
．
ln(1y =-+
D
．ln(1y =--
11．已知
(3)4,1()log ,1a
a x a x f x x x --
A ．
()1,+∞ B ．(),3-∞ C ．3,35
?????
?
D ．
()1,3 12．设函数
()log ()(0,1)a f x x b a a =+≠>的图象过点()2,1，其反函数的图像过点()2,8，则a b +=（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 13．函数
1
21
8
x y -=的定义域是_________________；值域是____________________．
14．已知全集{
}
6
|
5M a N a Z a
=∈∈-且，则M =___________________．
15．函数()f x 在R
上为奇函数，且()1(0)f x x =>，则当0x <，()f x = ．
16．函数
()lg(32)2f x x =-+恒过定点 ．
17．若log 2,log 3a a m n =
=，则32
m n a
-= ．
18．已知函数
3log ,0()2,
0x
x x f x x >?=?≤?，则 1()9f f ??????的值为 ． 19．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是_____________．
20．函数
2()23f x x mx =-+，当[)2,x ∈-+∞时是增函数，当(],2x ∈-∞-时是减函数，则(1)f =_________．
21．（1
）求函数21()log x f x -=（2）求函数[)241(),0,53
x x
y x -=∈的值域． 22．已知
[]()9234,1,2x x f x x =-?+∈-，
（1）设[]3,1,2x t x =∈-，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的最大值与最小值；
23．已知函数
()f x 是定义域在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减，
求满足22(23)(45)f x x f x x ++>---的x 的集合．
【综合练习二】 1．设集合{}04x x P
≤≤=，{}02y y Q ≤≤=，由以下列对应f
中不能．．
构成A 到B 的映射的是（ ） A ．
12y x =
B ．13y x =
C ．23y x =
D ．1
8
y x = 2．下列四个函数:（1）
1y x =+；
（2）1y x =-；（3）2
1y x =-；（4）1
y x
=，其中定义域与值域相同的是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4） 3．已知函数
7()2c
f x ax bx x
=++
-，若(2006)10f =，则(2006)f -的值为（ ） A ．10 B ．— 10 C ．— 14 D ．无法确定 4．设函数
1(0)
()1(0)x f x x ->=
，则()()()()2a b a b f a b a b ++-?-≠的值为（ ）
A ．a
B ．b
C ．a 、b 中较小的数
D ．a 、b 中较大的数 5．已知矩形的周长为1，它的面积S 与矩形的长
x 之间的函数关系中，定义域为（ ）
A ．
{
}
104
x x <<
B ．
{
}
102
x x <<
C ．
{
}
1142
x
x << D ．
{
}
1
14
x
x <<
6．已知函数y=x 2-2x+3在[0，a](a>0)上最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．07．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤2 B ．a ≤-2或a ≥2 C ．a ≥-2 D ．-2≤a ≤2
8．已知奇函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞?+∞，且对任意正实数1212,()x x x x ≠，恒有1212
()()0f x f x x x ->-，则一定有（ ）
A ．(3)(5)f f >-
B ．(3)(5)f f -<-
C ．(5)(3)f f ->
D ．(3)(5)f f ->- 9．已知函数1()1x f x x
+=
-的定义域为A ，函数y=f(f(x))的定义域为B ，则（ ）
A ．A
B B ?= B ． A B A ?=
C ．A B ?=Φ
D ．A B A ?= 10．已知函数y=f(x)在R 上为奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，则f(x)在0x ≤时的解析式是（ ） A ． f(x)=x 2-2x B ． f(x)=x 2+2x C ． f(x)= -x 2+2x D ． f(x)= -x 2-2x
11．已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是0x x =，它在[a ，b]上的值域是 [f(b)，f(a)]，则 （ ）A ． 0x b ≥ B ．0x a ≤ C ．0[,]x a b ∈ D ．0[,]x a b ?
12．如果奇函数y=f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7，-3]上（ ）
A ．增函数且有最小值-5
B ． 增函数且有最大值-5
C ．减函数且有最小值-5
D ．减函数且有最大值-5 13．已知函数22
()1x
f x x
=
+，则11
(1)(2)(3)()()23
f f f f f ++++= ．
14． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 15．定义域为2
[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 16．设3
2
()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ．
17．作出函数2
23y x x =-++的图象，并利用图象回答下列问题： (1)函数在R 上的单调区间； (2)函数在[0，4]上的值域．
18．定义在R 上的函数f (x )满足：如果对任意x 1，x 2∈R ，都有f (
12
2
x x +)≤
12
［f (x 1)+f (x 2)］，则称函数f (x )是R 上的凹函数．已知函
数f (x )＝ax 2+x (a ∈R 且a ≠0)，求证：当a ＞0时，函数f (x )是凹函数；
19．定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x 、y ∈(－1，1)都有f (x )+f (y )=f (1x y xy
++)．
(1)求证：函数f (x )是奇函数；
(2)如果当x ∈(－1，0)时，有f (x )＞0，求证：f (x )在(－1，1)上是单调递减函数；
20．记函数f (x )的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使f (x 0)=x 0成立，则称以(x 0，y 0)为坐标的点是函数f (x )的图象上的“稳定点”． (1)若函数f (x )=
31x x a
-+的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a 的取值范围；
(2)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )存在有限个“稳定点”，求证：f (x )必有奇数个“稳定点”．
一次函数的基本知识点
一次函数的基本知识点 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。 *判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式y=kx (k不为零) ①k不为零②x指数为1 ③b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，?直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小． (1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0） (2)必过点：（0，0）、（1，k） (3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小 (5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴 10、一次函数及性质 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注：一次函数一般形式y=kx+b (k不为零) ①k不为零②x指数为1 ③b取任意实数
基本初等函数I知识点总结
第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1* >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上， )1a 0 a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为．底．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log —对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． ◆ 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ＝ b
2020高考数学函数和导数知识点归纳汇总(含答案解析)
2020年高考数学（理） 函数和导数 知识点归纳汇总
目录 基本初等函数性质及应用 (3) 三角函数图象与性质三角恒等变换 (17) 函数的图象与性质、函数与方程 (43) 导数的简单应用与定积分 (60) 利用导数解决不等式问题 (81) 利用导数解决函数零点问题 (105)
基本初等函数性质及应用 题型一 求函数值 【题型要点解析】 已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． 例1．若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝1 9 ，则f (x )的单调递 减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－1 3 (舍去)，即f (x )＝ 4 231-?? ? ??x 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在 (－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 【答案】 B 例2．已知函数f (x )＝? ???? 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0， 3x 2 ＋ln 1＋x 2－x ，x <0，若f (x －1)0，则－x <0，f (－x )＝3(－x )2＋ln (1＋(－x )2＋x )＝3x 2 ＋ln (1＋x 2＋x )＝f (x )，同理可得，x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )是偶函数．因为当x >0时，函数f (x )单调递增，所以不等式 f (x －1)0，解得x >0或x <－2.
初中数学一次函数知识点训练及答案
初中数学一次函数知识点训练及答案 一、选择题 1．如图：图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法： ①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系； ②甲的速度比乙快1.5米/秒； ③甲让乙先跑了12米； ④8秒钟后，甲超过了乙 其中正确的说法是（） A．①②B．②③④C．②③D．①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断． 【详解】 根据函数图象的意义，①已知甲的速度比乙快，故射线OB表示甲的路程与时间的函数关系；错误； ②甲的速度为：64÷8=8米/秒，乙的速度为：52÷8=6.5米/秒，故甲的速度比乙快1.5米/秒，正确； ③甲让乙先跑了12米，正确； ④8秒钟后，甲超过了乙，正确； 故选B． 【点睛】 正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到随着自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢． 2．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（）
A ．﹣5 B ．32 C ．52 D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】 把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b ，求出解析式，再将A （3，m ）代入，可求得m. 【详解】 把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b ，得 201 k b b -+=??=?， 解得121 k b ?=???=? 所以，一次函数解析式y= 12 x+1， 再将A （3，m ）代入，得 m= 12×3+1=52 . 故选C. 【点睛】 本题考核知识点：考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值. 3．已知过点()2?3， -的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限.设s a 2b =+，则s 的取值范围是（ ） A ．352s -≤≤- B ．362s -<≤- C ．362s -≤≤- D ．372 s -<≤- 【答案】B 【解析】 试题分析：∵过点()2?3， -的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限， ∴0 {0 23 a b a b <≤+=-.∴23b a =--. ∵s a 2b =+，∴4636s a a a =--=--.
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n a n a n ? （1）根式的概念 高一必修一函数知识点（12.1） 〖1.1〗指数函数 ① 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数． ②当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a ≥ 0 ． ?a (a ≥ 0) ③根式的性质： ( n a )n = a ；当 n 为奇数时， = a ；当 n 为偶数时， =| a |= ?-a ． (a < 0) （2） 分数指数幂的概念 m ①正数的正分数指数幂的意义是： a n = (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) ．0 的正分数指数幂等于 0． a - m = ( )1 m ( ) 1(a > 0, m , n ∈ N , n > 1) ②正数的负分数指数幂的意义是： n n = n m + 且 ．0 的负分数指数幂没有意 a a 义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3） 分数指数幂的运算性质 ① a r ? a s = a r +s (a > 0, r , s ∈ R ) ② (a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R ) ③ (ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R ) （4） 指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 y = a (a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数 a > 1 0 < a < 1 图象 y 1 y O y a x (0,1) x y a x y 1 O y (0,1) x 定义域 R 值域 （0,+∞） 过定点 图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值的变化情况 y ＞1(x ＞0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＜0) y ＞1(x ＜0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＞0) a 变化对 图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴． 例：比较 n a n n a m
高中数学基本初等函数知识点梳理
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇 数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分 数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数
〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫 做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且
第五章一元函数的导数及其应用知识点与基础巩固题(解析版)高二数学复习巩固练习(人教A版2019)
专题14人教A 版（2019）第五章一元函数的导数及其应用知 识点与基础巩固题——寒假作业14（解析版） 一．导数的定义： 0000000()() ()'()'|lim ()() ()'()'lim x x x x f x x f x y f x x x f x y x f x x f x y f x f x y x =?→?→+?-====?+?-===?1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数: 2.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：00()()y f x x f x ?=+?-；②求平均变化率： 00()() f x x f x y x x +?-?= ??； ③取极限得导数：00'()lim x y f x x ?→?=? （下面内容必记） 二、导数的运算： （1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ① '0() C C =为常数；② 1 ()'n n x nx -=； 11( )'()'n n n x nx x ---==- ； 1 ()'m m n n m x x n -== ③ (sin )'cos x x =； ④ (cos )'sin x x =- ⑤ ()'x x e e = ⑥ ()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且； ⑦1(ln )'x x = ； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ?=?+?(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2 ()'()()()'()[ ]'(()0)()[()] f x f x g x f x g x g x g x g x ?-?=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =?③回代()u g x = 三．导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，
初二上册数学一次函数知识点总结
初中数学一次函数知识点总结 基本概念: 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把ｘ称为自变量,把ｙ称为因变量，y是x的函数。 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (１)关系式为整式时，函数定义域为全体实数; （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零; (3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； (４）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 函数性质： １.y的变化值与对应的ｘ的变化值成正比例，比值为k．即：y=kx＋ｂ(k，b为常数,k≠0)。 2.当ｘ=0时，b为函数在ｙ轴上的点，坐标为(０，ｂ)。 3当ｂ=0时（即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时,两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同,b不相同时，两一次函数图像平行; 当两一次函数表达式中的k不相同,b不相同时，两一次函数图像相交； 当两一次函数表达式中的k不相同,b相同时,两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。 图像性质 1．作法与图形： （１）列表. （2)描点；一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理,也可叫“两点法”。一般的y=kｘ＋b（k≠0)的图象过（0,b）和（-b/k，0）两点画直线即可。
初二数学一次函数知识点总结
一次函数知识点总结 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定 的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2 -1中，是一次函数的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D 3、定义域： 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2 （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4 （5例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．． ． D ． 函数y =x 的取值范围是___________. 已知函数221+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2 325≤ <- y B. 2 52 3< 0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）
(完整版)函数与导数经典例题(含答案)
函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x
一次函数的应用知识点例题
1.（2013?鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD对应的函数解析式． （3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）．
一次函数的应用 知识点一：一次函数与坐标轴交点和面积问题 1：交点问题 一次函数b kx y +=的图象是经过（0，b ）和（- k b ，0）两点。 【典型例题】 1．直线y=－x+2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 2．直线y=－x －1与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 3．函数y=x+1与x 轴交点为（ ） A ．（0，-1） B ．（1，0） C ．（0，1） D ．（-1，0） 4．直线y=-3 2 x+3与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．3 B ．6 C ．34 D ．3 2 5．直线y=-2x-4交x 轴、y 轴于点A 、B ，O 为坐标原点，则S △AOB = 。 6．若直线y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b 的值是 。 7．如图所示，已知直线y=kx-2经过M 点，求此直线与x 轴交点坐标和直线与两坐标轴围成三角形的面积． 2：面积问题 面积：一次函数y=kx+b 与x 、y 轴所交的两点与原点组成的三角形的面积为2 b k (1)：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解。 (2)：复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）。 (3)：往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。 1. 直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。 2. 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （4,3），且OA=OB （1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积； 3. 已知：m x y l +=2:1经过点（-3，-2），它与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，直线b kx l +=:2经过点（2，-2），且与y 轴交于点C （0，-3），它与x 轴交于点D （1）求直线21,l l 的解析式；
基本初等函数知识点
指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． 2 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． 3、根式的性质 ：n a =；当n 为奇数时 ， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2 、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1． 三、指数函数的图象和性质
一次函数基础含知识点
一次函数解读考点 知识整理 一、知识点 二、图像与性质 三、1.正比例函数是一次函数，反之不一定成立，只有当b=0时，它才是正比例函数
2.一次函数y=kx+b的同象是经过点（0，b）（-b k，0）的一条直线 正比例函数y= kx的同象是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线 3.若直线l1:y= k1x+ b1与l2:y= k2x+ b2平行，则k1 k2，若k1≠k2，则l1与l2位置关系是 4.用待定系数法求一次函数解析式： 关键：确定一次函数y= kx+ b中的字母k与b的值 步骤：（1）设一次函数表达式y= kx+ b （2）将x，y的对应值或点的坐标代入表达式 （3）解关于系数的方程或方程组，求出系数k、b （4）将所求的系数k、b代入等设函数表达式中 5.一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组 （1）一次函数与一元一次方程：一般地将x=0或y=0代入解一元一次方程求直线与坐标轴的交点坐标，代入y= kx+ b中 （2）一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数同象位于x轴上方或下方时相应的x 的取值范围，反之也成立 （3）一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标 典型例题 知识点1、函数的概念 1. 2 3、（湘乡市）测得一弹簧的长度L（cm）与悬挂物的质量x（kg）有下面一组对应值： 试根据表中各对应值解答下列问题． （1）用代数式表示悬挂质量为x kg的物体时的弹簧长度L； （2）求所挂物体质量为10kg时，弹簧长度是多少？ （3）若测得弹簧长度为19cm，判断所挂物体质量是多少千克？
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
第二章基本初等函数知识点整理 〖2.1〗指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数 a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数 指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底 数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 （4）指数函数
〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…） ． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘： log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且
基本初等函数的导数公式表
基本初等函数的导数 公式表 Revised on November 25, 2020
导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、=n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1 '（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211 '（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u ''' ±±（） 2、=u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu ''） 4、u -v =u v u v v 2'' '（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b 内，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b 内，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调 减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15=
（2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23=0 （ （6）y x 5= （7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 14= ，x =16 （2）sin y x = ， x π=2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ， x π=4 （5）3y x = ，1128（，）
一次函数知识点及常见题型
一次函数知识点及常见类型 1、变量：在一个变化过程中不断发生变化的量；常量：在一个变化过程中保持不变的量。 例：在匀速运动公式vt s=中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是________. 2、函数：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，（y称为因变量，）称y是x的函数，如果x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时函数值。 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 判断x是否为y的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应 例：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1 x(4)y=2 -1-3x (5)y=x2-1中是一次函 数的有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个3、自变量的取范围：确定自变量的取范的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，自变量的取范围还要和实际情况相符合，使之有意义。 例：1、下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（） A． B． y=C． D． 2 、函数y=中的自变量x的取值范围是. 4、函数的图象 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵
坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 5、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 6、描点法画函数图象的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 注意：根据“两点确定一条直线”的道理（也叫 两点法）。 一般的，一次函数y=kx+b(k≠0） 的图象过（0，b ）和（-k b ，0）两点画直线即可；正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k ）两点。 7、函数的表示方法 1.列表法 2.图象法 3.解析式法 例：1、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函数关系式是______________． 2、平行四边形相邻的两边长为x 、y ，周长是30，则y 与x 的函数关系式是__________． 3、小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函 数关系. 下列说法错误．． 的是 ( ) A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 8、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数 叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） （第3题图）
高中数学函数与导数章节知识点总结
高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ，则 的值是______ ． 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数，为 的导函数，则 的值为______． 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ，则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ，则 A. B. C. D. 2:设函数满足，则 ______． 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________． 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切，则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切，则直线方程为：
考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切，则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴，则 ________． 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动，设P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 （ ） A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点，则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为（ ） A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1：函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11：已知单调性，求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数，则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 考点12：解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数， ，对任意实数都有，则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ，且 ， ，则不等式 的解集为______ ． 考点13：求具体函数的极值问题 1:函数 ，则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点
一次函数基础知识梳理
基础知识梳理 1、正比例函数 一般地，形如kx y = (k 是常数，)0(≠k )的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例 系数。 2、正比例函数图象和性质 一般地，正比例函数kx y =（k 为常数，)0(≠k ）的图象是一条经过原点和（1，k ） 的一条直线，我们称它为直线kx y =。当k>0时，直线kx y =经过第一、三象限，从左向 右上升，即随着x 的增大，y 也增大；当k<0时，直线kx y =经过第二、四象限，从左向右 下降，即随着x 的增大y 反而减小. 3、正比例函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =)0(≠k 中的常数k ，其基本 步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式kx y =)0(≠k ；（2）把已知条件（自变量 与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程；（3）解方程，求出待定 系数k ； （4）将求得的待定系数的值代回解析式. 4、一次函数 一般地，形如b kx y += (k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时， b kx y +=即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 考点一：一次函数的概念 例1、一根弹簧长15㎝，它所挂的物体质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 就伸长2 1㎝.写出挂上物体后的弹簧长度y （㎝）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式 例2、下列函数中，哪些是一次函数哪些是正比例函数 （1）y=- 21x ； （2）y=-x 2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. 练习 （1）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数 （2）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 3 2-m +（m-4）是正比例函数 5、一次函数的图象
基本初等函数知识点
- 考试资料 指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． 2 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． 3、根式的性质 ：n a =；当n 为奇数时 ， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2 、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0 =1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．
