一 寸 光 阴 不 可 轻
1 矩阵——1张神奇的长方形数表
关键词： 矩阵与线性方程组 高阶矩阵简化方法 财务数据分析工具
在本学期的线性代数课程的第二章中，我接触了矩阵的相关概念，发现其不仅能够在数学中帮助研究线性变换、向量的线性相关性及线性方程的解法，还能为日常许多数据统计与分析中看似杂乱无章毫无关系的数据按一定的规则清晰展现，并能通过矩阵的运算刻画其内在联系，这对于审计专业的我们将来开展财务数据统计与分析能带来巨大的帮助。 在运用矩阵解方程组时，可以将线性方程组简化为矩阵形式：AX=B ，来进行矩阵计算，这种方法不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，给线性方程组的讨论带来很大的便利。
在具体的矩阵运算过程中，我们可以通过等式两边同时左乘A ?1来求X ，这就引出了第二章第三节的逆矩阵概念，逆在以前高中的实数乘法中便起着重要作用，在学习线性代数课程中，逆矩阵也是一个重要概念，且因为两矩阵乘积的定义，我们需要注意所讨论的矩阵是方阵形式，否则就会带来运算上的错误。
而对于高阶的复杂矩阵，还可以利用分块矩阵，将大矩阵的运算化成若干小矩阵，间接使高阶矩阵转化成多个低阶矩阵来运算，以及矩阵的初等变换规律对矩阵进行转换：如通过公式(AE)初等行变换
→ （EA ?1)可以对前面逆矩阵的运算起到简化作用，通过公式 (AB)初等行变换→ （EA ?1B)则可以借此求解矩阵方程AX=B 。通过一步一步的学习，我慢慢对线性代数矩阵这一章节有了进一步的理解掌握，发现各个章节看似无关的概念，其实最后都可以联系在一起，为求解线性方程组、甚至后面章节的线性变换、线性相关性等都起到极大的铺垫基础作用。
谈了这么多矩阵对于求解线性方程组过程中的体会，更吸引我的是矩阵对于数据处理方面的作用，作为审计专业的学生，未来工作中会遇到很多处理产品成本的核算的问题，而通过矩阵这一工具，可以通过特殊的“数型结合”恰当的显示出各种数据间的内在联系，例
如：可以用矩阵 （ a1a2
b1b2c1c2
）来表示一个公司的单位产品成本构成（两列分别代表产品1
和产品2，三行分别代表材料成本、劳动力成本、其他辅助成本），当与产品产量矩阵（X1X2
） 相乘时，则可以得出两种材料的总成本矩阵( a1X1+a2X2
b1X1+b2X2 c1X1+c2X2
)将产品总成本的构成以更清晰
明了的方式呈现出来，可以为财务数据的处理带来很大的助益。
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
《线性代数》教学中若干难点的探讨- 摘要：在《线性代数》的教学过程中，有很多抽象的概念学生很难理解，比如线性相关、线性无关，极大线性无关组、向量组的秩等等。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，化抽象为具体，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 关键词：线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩 《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。通过对本课程的学习，学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。通过各个教学环节的学习，可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力。另外，通过《线性代数》的学习，还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。因此，只有熟练掌握这门课程，才能较好地运用到各个专业中。由于该课程内容抽象，教学课时短，这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 一、线性相关性与线性无关性 线性方程组理论是线性代数的基本内容之一，而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。教材第三章线性方程组开门见山，直接给出了线性相关及线性无关的定义。
线性相关是指一个向量组α1，α2，…，αs，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，则称该向量组α1，α2，…，αs线性相关。如果不存在这样一组不全为零的数，则称该向量组α1，α2，…，αs线性无关。单纯地称某向量组线性相关或线性无关，对于学生来说是比较抽象的，他们对这一定义总是感觉很模糊，很难理解，如何才能更好地更形象地理解这一定义呢？如果在教学中，把这块知识与解析几何联系起来，用几何知来解释什么是线性相关或线性无关，那么学生肯定更容易接受。例如，对于定义中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解为b=（λ1，λ2，…，λs）这样的一个行向量。如果向量组有两个列向量构成，即α1，α2，则b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，则经过变换可以得到α1=■，这说明α1和α2共线。对于有三个向量构成的向量组，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，经变换得到α1=■+■，这说明α1，α2，α3三个向量共面。 对于两个向量，线性相关指两向量平行（或者说是共线），此时只是在线上的关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，确定了一个二维平面。线性无关提供了另一种维度，使得向量所在空间增加了一维。对于三个向量，线性相关指三向量共面，研究的是二维平面，而线性无关指三向量不共面，使得向量所在空间增加了一维，即三个向量若线性无关，那么它们不共面，存在于三维立体空间中。四个向量，五个向量，…，研究方法类似。结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念，学生更易于接受，而且还有助于提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 二、极大线性无关组及向量组的秩
线性代数的学习方法和心得体会 一、学习方法 今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。 首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。 总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。 我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成； 2. 这些点之间存在相对的关系； 3. 可以在空间中定义长度、角度； 4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动， 认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
个人学习心得 最近，认真研读了叶澜老师新基础教育论的相关篇章，同时聆听了王冬娟校长精彩的报告，个人感触颇深，简要谈一些心得。 每个人都应该是自己承担工作的第一责任人。 必须对自己分管的岗位、职责要有全面完整清晰的认识、了解，在此基础上，要能主动思考、积极策划、未雨绸缪，作为第一责任人，在分管的领域内，要比别人多想一步、早想一步，思考更多、更深入、更全面一些，而不是等着校长来催促和督办。工作中，不是简单地执行校长的意图，而是要在创造性地领会和理解的基础上，更多地有自己的思考和见解，还特别要具有可操作性，真正地能解决实际中的问题。 这个社会上多的是不愿操心的人，“事不关己，高高挂起”，这样的风气对个人、对学校都有极大的危害。每个人都很忙，都有一摊子自己的事，无暇顾及别人，如果每个人都能真正承担起自己的第一责任人，环环相扣，步步扎实，没有什么事情做不好。的确，责任是一种人格力量，也是人生的一种境界，对工作负责的信念如果贯穿在一个人的整体意识中，慢慢会演变成一种处世的态度，将会赢得更多人对你的信赖。
第一责任人，并不意味着“独断独行”。重要决策的形成，都需要经过调查研究、与学科主任、教研组长等相关人员对话沟通，在多方位思考和多路径探求、反复磋商等合作过程中产生。在此过程中，更需要责任人的独立思考和富有智慧的创造性工作。 第一责任人，也不是意味着“包办代替”。好的责任人恰恰是不仅明确自己的责任，而且能使每个人成为自己工作领域第一责任人的领导者，是一个不以自己责任代替他人责任的领导者，是一个善取善予的领导者，是一个让每个人都有主体和主人感的领导者。选定合作者，就应该放手让他独当一面地去做，事实上，只要被给予机会，每个人都有自己能做的一摊子事，君主固然能治理国家，可要他去放羊，他反而不如一个牧童做得好。所以凡事不必要事无巨细、亲历亲为，更不能包办代替，要想成为称职的管理者，必须热爱自己的员工、同事，了解他们的长处优点，并且能高度尊重他们，始终信任他们，激励他们，给他们舞台，充分激发他们的潜力，让他们都成为各自领域的第一责任人，逐步培养他们工作的使命感和责任感。 第一责任人，要为好事负责，更要为坏事负责。责任不仅仅是对工作、对学校的一种负责，也是对自己的一种负责，在负责任中能感受到自身的价值和所获得的尊重和认同，也
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
自考《线性代数》重难点解析 2011-02-17 11:09:49 | 作者: min | 来源: 考试大 | 查看: 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│ 2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│ 3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1 若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1 4、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法）
1）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题 1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法
线性代数超强总结 ()0A r A n A Ax A A οο??
√ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =-K N N √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? O O 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? N N
看书心得体会范文 读书心得体会范文 读书使人明智，使人善辩，使人深刻，是提升自身综合素质的有效途径。这里，专门为大家了关于读书心得体会范文的文章和材料，希望对大家的工作和生活有帮助。 常言道：茶亦醉人何必酒，书能香我不需花。我们渴望读书，渴望获得知识，但是我们却常常会有这样的疑惑：我们应该如何读书?自古以来，人们获取知识的途径多种多样，而读书作为其中一种既普通又直接但却非常有效的求知方法沿用至今。作为教师，从书本中获取知识就显得尤其重要。人类创造的知识财富，如同浩瀚的海洋，博大精深。作为我们教师需要加强各方面的修养来提高自己。所以我们理应多读书，用书来净化心灵，用书中的知识充实自己。同时我们也应抛弃古时旧的求知理念，什么书中自有黄金屋等等，都不足取。为了使读书达到更好的效果，我除了善于动脑，找到所读文章的眼睛，心领神会之外，还写读书笔记和读后感。当然读书要有好的效果，思考是最重要的，但是正如俗话所说：好记性不如烂笔头，把思考的结果出来，写成笔记和感想，既有助于思考，也可以帮助我们记忆思考的结果，便于日后比较、综合、分析。如果所读的书是自己的书，我还在书的空白处写下自己看法、疑问、评论等，或做一些记号。它会
加强我们对文章的理解、记忆,作文时如果要参考、模仿渡过的文章，有没有做过评注的，效果大不一样。 常听学生家长说“我家的孩子只听老师的，老师的话简直比圣旨还灵，回到家里就谁的话都不听了。”在研读中，我想到了学生的向师性，这是一种纯洁的美好的心理品质，我们当教师的要好好地利用和开发。在教学中，我有意或无意中出了这个那个错，学生都会及时地为我指出，这样不仅师生之间的关系逐渐融洽，班级气氛也极为活跃。 读书让我更深刻得体会了教育的民主，在学生眼里，教师能够与他们平起平坐，他 们的心理也就获得了一种平衡，这样的教师最能受到学生的敬重。学生乐意与我走近，常把心里话告诉我，向我诉说烦恼，向我倾诉困难，我因此常和学生交流，这不能不说是一笔最宝贵的财富。回想每一次学生在向我表达着他们对我的感激和敬意是，我的心情都莫名的激动，我总是深深的感受到了自身的一种最崇高的价值。毫不避讳地说，这种崇高，正是我在读书工程中所获得的最大的收获，是我不断学习、不断完善的具体表现。 读书心得体会大全
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
线性代数易错及重点知识点 翔翔总结，不晓得大家看得懂不 3 24712432的余子式是327134722412，而不是23271 上三角和下三角行列式都是a1a2a3.....an=A 反三角行列式为A*（-1）^n(n-1)/2 行列式的一行的代数余子式分别乘以另一行元素，值为零。 正反三角行列式如果不记得公式了，可以通过上下换行的形式变成正三角行列式。 克莱姆法则D=222112 11a a a a ,D1=22 2121a b a b D2=22211211a a a a x1=D1/D 同理x2=D2/D 范德蒙法则：行列式的值=(x n -x n-1)(x n -x n-2)……(x n -x 1)(x n-1-x n-2……)(x 2-x 1) 若一个线性方程组有非零解，则它的行列式式值等于零。 行列式中行叫c ，列叫r 写行列式变换过程中要在等号上写变换方法，如c2-c3.不然老师看不懂步骤，无法给分 化三角行列式先化第一列，在化第二列，按顺序来化，这样才不会出现问题。 n 维向量分横向量和列向量。 写向量时一定要记得在上面加箭头 任意一个n 维向量都能由n 个n 维单位向量线性表示 如果b1=k1a1+k2a2+k3a3,线性表示不一定要求k1,k2,k3不全为零。 如果一个向量a 线性相关，则a=0 由一个非零向量构成的向量组一定线性无关。即a ≠0则a 这个向量组线性无关。 含有零向量的向量组一定线性相关 例a1=（1，1）a2=（2，3）求这两个向量组是否线性相关 解：k1a1+k2a2=0 k1(1,1)+k2(2,3)=0 K1+2k2=0 k1+3k2=0 3 121≠0所以k 全是零解，所以线性无关 a3=a1+a2,则a1,a2,a3线性相关 一个向量组中的一个向量可由其他向量线性表示，那么这个向量组线性相关，能线性表示不一定要k 不全为零，但是线性相关一定要不全为零 两个向量线性相关除非他们对应分量成比例。 如果一个向量组一部分向量线性相关，则，整个向量组线性相关。 一个向量组线性无关，那么它的一部分也线性无关 向量组线性相关，减少其中几维一样线性相关，向量组线性无关，增加几维向量一样无关。 应用：要证线性相关，则增加维，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少维，如果减少后无关，则原向量组无关。 要证线性相关，则增加向量个数，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少向量个数，如果减少后无关，则原向量组无关。 向量个数大于维数一定线性相关 一个向量组的每个最大线性无关组中的向量个数一定相等 向量空间：线性无关组ab ……n 若a+b ……n 属于v Ramada a 属于v 则v 为向量空间v 的维数就是向量组的秩，a b ……n 称为空间的基
交流学习心得体会范文 与邮政局青年文明号交流学习心得体会 通过与百万庄邮局青年文明号的经验交流，他们在优质服务和青年文明号建设方面取得的成就给我们留下了深刻的印象，一些管理理念和方法令人深思。 一、企业文化浓 当你一走进百万庄邮局的活动室，就会被房间里陈列的大大小小的奖状、奖杯、证书所吸引，就算你不了解百万庄邮局的历史，也会被它所营造出来的团结积极向上的氛围所感染，这就是百万庄邮局在企业范围内所建立起的一种浓厚的企业文化。使得每一位来到百万庄邮局的职工不需要领导多说什么，就能自觉的融入这种建才、成才的氛围中，以规范服务为基石，以用户满意为归宿，用热情、真情和爱心与用户贴心沟通。在工作中永远保持微笑;用心感知用户;善待用户抱怨;关爱弱势群体;诚信履行职责;注重细节服务;精湛服务技艺;塑造亲情团队，向用户传递家庭般的温馨、亲人般的真情。 二、典型带动好 百万庄邮局的创建活动紧紧围绕培养青年人才这个主题，全面实施号手联动，使青年在参与创建的实践中不断提高自身技能道德素质成长成才，得到了本局青年的广泛欢迎和热情参与。先后涌现出以全国劳动模范、市人大代表胡燕，全国青年岗位能手、优秀党员王琦，北京市五四奖章、优秀
党员路欣怡等先进人物。在百万庄邮局服务标兵、岗位能手、优秀营销员已成为对外服务中一道亮丽的风景线，成为展示北京邮政品牌形象的活名片。 三、创新服务多。 在常规的营业厅服务内容基础上，做到日常服务细致化，前台服务规范化，客户服务差异化，服务方式便捷化，服务模式品牌化。随着奥运会的临近，百万庄邮局又先后推出了许多服务的新举措：例如双语服务台，手语台，无障碍升降台等一系列人性化服务，为了更好地学习手语，他们还与第四聋人学校开展了共建活动，在相互学习的过程中体会个性化服务的深刻内涵。 我们也将在今后的创建工作中，吸取兄弟单位好的经验为我所用，通过创建活动不断总结经验，再上一个新台阶，更好的服务青年，培养青年，创造一个能够展现自我才华的平台，激发他们的活力和创造力，我们相信一个信念：青年文明号创建工作只有逗号，没有句号，只有起点，没有终点. 现代远程教育学习心得体会 多少年来，我们的课堂教学以教师的语言讲授为主，单一的口耳相授的教学模式，禁锢了教师的思想，限制了学生的空间。国家为我们配备了远程教育接收装置，我们可以通过网络去采集和利用各种教育媒体资料。使我们的教学变得丰富多彩，同时，把我们所学到的知识和掌握的技能充分地应用到教学中去，在不断地运用和总结中，加强对于教学技术的理解，发挥各自的创造性，让远程教育达到最佳效果。
自考《线性代数》重难点解析与全真练习 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1若A为n阶方阵，则|kA| = kn | A I 2、若A、B均为n阶方阵,AB丨=| A |。丨B丨 3、若A为n阶方阵，则|A* | = | A | n-1 若A为n阶可逆阵，则|A-1 | = | A | -1 4、若A为n阶方阵，入i （i=1 , 2,…，n）是A的特征值，| A | =口入i 四、题型及解题思路 1 、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法） 1 ）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法,多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D = | A |丰0,则Ax=b有解，即 x1=D1/D, x2= D2/D ,…, xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式A 判别方程组解的问题 1）当| A | = 0时，齐次方程组Ax= 0有非零解；非齐次方程组解,也可 能有无穷多解） 2）当| A |丰0时，齐次方程组Ax= 0仅有零解；非齐次方程组克莱姆法则求出。 、重点 1 、理解：矩阵的定义、性质, 几种特殊的矩阵（零矩阵,上（下）对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法Ax= b 不是解（可能无Ax= b 有解,此解可由三角矩阵,对称矩阵,
线性代数学习心得体会 篇一：学习线性代数的心得体会 学习线性代数的心得体会 线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。 线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。 线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，就应该在第二天有线代课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程，
想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。 一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自 己会做也要听一下老师的思路。 上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以 问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。。 线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只
入司心得体会 篇一：入职心得体会(整理版) 入职心得体会 还记得曾经读过这样一段话，人生试题一共四道题目：学业、事业、婚姻、家庭，平均分高才能及格。对于我这个刚走出大学校园，踏入职场一年的新人来说，学业，已经和我挥手告别，现在面对我的人生题目就是事业。事业不仅是学业的升华，更是婚姻和家庭的坚实基础。2011年8月，我从……大学…专业毕业来到..市??公司，开始了我的第一份工作：??。转眼间，一年过去了，总结过去我是骄傲和自豪的。不仅为我从这一年的工作中学习很多新知识，收获丰富宝贵的职场经验而自豪，更为我能成为一名????公司员工而自豪。俗话说的好，“读万卷书不如行万里路”，在??公司入职的一年时间里，不仅得到了同事们的关心和帮助，还聆听了领导们的点睛之谈以及前辈们的经验之谈，更让我受益匪浅，“胜读万卷书”。下面我和大家分享一下入职一年来我的心得与体会。 ——关于公司 首先，更加深入地了解公司及公司的发展。（这一段主要介绍你们公司及公司的发展目标，把你们公司的发展口号，战略目标，发展计划，等等复制粘贴过来就行——公司网站上公司简介里边都有的）。 其次，深刻感受公司的文化。（这一段主要介绍你们公司的文化，及其你的一些感受，认知——公司网站上公司简介里边都有的）。 再次，更加全方位的明白公司部门结构及其业务范畴。（同上）。
最后，更加清楚地认识自己的岗位职责。（主要介绍你过去一年你所在的岗位，以及岗位要求，同时介绍你想做的岗位，及岗位要求并暗示你有能力）。——关于自己 第一，工作态度。工作态度是对工作所持有的评价与行为倾向，包括工作的认真度、责任度、努力程度等。工作和学业一样，端正的工作态度是做好工作的基础。工作态度作为工作的内在心理动力，影响对工作的知觉与判断、促进学习、提高工作的忍耐力。积极的工作态度对工作的知觉、判断、学习、工作的忍耐力等都能发挥积极的影响，因而能提高工作效率，取得良好的工作绩效。积极的工作态度与工作绩效之间有着一致性的关系。简言之，态度决定一切。 第二，勤于思考，善于学习，善于总结。“三人行必有我师”，对于职场新人，同事，领导，前辈都是自己的老师。不懂就问，不懂就学，积累知识是取得进步的最便捷径，“厚积而薄发”也许就在于此。同时，“前车之鉴，后事之师”，汲取教训，总结经验，不仅能不再犯错，还有助于取得更大的成绩。 第三，善于调整心态和落差。一方面初入职场，犯错误是不可避免的，挨批评也是在所难免的，由此会影响到个人的心态。在情绪低落时能够即时调整心态，以积极向上的态度重新面对工作，才能取得骄人的成绩。另一方面，职场不同于学校。在学校里，自己的成绩是和同班同学比，而在职场中，自己的工作业绩是和不同年纪不同背景的人比，这难免会产生落差，但是如果你能即刻调整自己的落差感，你就赢了别人好几步。 第四，合作意识和团队精神。合作意识和团队精神是现代人应具备的
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
线性代数 关键词：高等数学自学理解 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。 线性代数是继微积分之后又一门高等数学，与微积分想比，线性代数的基础行列式和矩阵是在高中有所学习的，入门还是相对比较简单的。线性代数从内容上看前后联系紧密，环环相扣，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。所以多做题也是积累经验来方便自己在解题时能更快更准确得运用适当的性质来简化题目。 认真上好每一堂课对于学习好线性代数是格外重要的.教材上的知识和技巧主要由老师在课堂上以授课的形式传授给你。你在上课时应集中精力听讲，积极思考老师提出的问题，迅速而恰当地做笔记。看书的准确程序是：课前预习内容，课上跟着老师的思路走，尽量不看书来回答上课提出的问题，课后进行复习巩固。而有的人恰恰相反，他们在课上埋头看自己的书，丝毫不理会老师在讲什么，这样做只会降低效率 线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只要能朦朦胧胧地想到它的所以然就行了。学习线代及其它任何学科时都要静下心来，如果学习前很亢奋就拿出一两分钟时间平静下来再开始学习。遇到不会做的题时不要去想“这道题我怎么又不会做”等与这道题无关的东西，一心想题，这样解出来的可能性会大很多。做完题后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出来的，尤其对于自己不会做的题或某个题答案给出的解法非常好且较难想到，然后将这种思路记住，即做完题目后要总结自己做题的思路，活用在之后的做题中。 很多人都说，审计是文科的，学像微积分和线代这样的理科课程没有什么意义，虽然表面看起来是这样的，但实际上却不然。理科注重的逻辑，在学习的理科的过程中，我们的思路会变得清晰，会计是很复杂的一个专业，很多时候不同的条件会需要进行不同的处理，而理科会让这些复杂的东西在我们脑海中变得仅仅有条，所以学习线代也是有必要的。
单位职工学习心得体会范文大全 单位职工学习心得体味范文2018 下午，区妇联党支部召开全体学员会议，仔细学习传达区委学习教育会议精神。颜晓琳主席首先传达了省、市的学习教育会议精神，又学习了会议学习汪方文展书记和王军副书记会议上的说话，最后结合妇联工作实际，要求妇联党员干部要坚持理论学习工作常抓别懈，经过别断完善机制，创新载体，切实增强全体干部的政治意识、大局意识、核心意识、看齐意识，真正达到提升素养、内推工作、转变作风、外树形象的效果。 1、坚持学习“常态化”。始终将加强学习作为提升个人综合素质和能力水平的重要途径，采取集中学习和个人自学相结合，挤时刻、抢时刻、钻时刻学习，坚持每周三集中学习制度，“定时刻、定专题、定人员”，别断强化理论武装。 2、建立学习“制度化”。结合工作实际，建立了“三个一”的学习制度，即每日自学一小时、每周集中学习一次、年终记写一本学习笔记，将理论学习作为一项硬指标，列为个人年终岗位考核内容。 3、探究学习“多样化”。要以党员领导干部说党课和每名干部结合自身工作谈体味相结合，大伙儿互动交流，切实提高职工的学习积极性，增强理论学习的吸引力和感染力。 4、实现学习“有用化”。按照“学以致用，学用相长”的原则，要求每个干部基本上“多面手”和“土专家”，在注重政管理论学习的并且，将当前区委重点工作以及与群众利益紧密相关的知识作为学习的重中之重，为服务妇女群众、推动妇联工作进展奠定坚实理论基础。 单位职工学习心得体味范文2018 按照区委学习教育实施方案要求，5月16日下午，区妇联机关党支部组织全体党员开展学习教育活动部署暨专题党课。 会上，传达贯彻学习《对于在全区党员中开展“学党章党规、学系列说话，做合格党员”学习教育的实施方案》和《对于在全区党员中开展“佩党徽、亮身份、作表率”活动的通知》文件精神。区妇联主席蓝旭君从学习新《党章》的意义和精髓两个方面为全体党员干部上了一堂专题党课。她强调，一是抓纪律，着力增强党的规章制度的约束力。二是抓队伍，着力发挥党员干部廉政勤政的示范作用。三是抓基础，着力增强中心党组战斗力。经过学习新的《党章》，将《党章》的内容精髓灵便运用于中心的党组织建设中去，自觉联系自身思想实际和工作市级，仔细学、反复读，细心领略，深入考虑，融会贯穿，学以致用。 会上，还组织学习了省、市纪委《对于11起违反中央八项规定精神咨询题的通报》和《对于四起违反中央八项规定精神及“四风”方面典型咨询题的通报》文件教师师德师风学习心得体味教师师德师风学习心得体味。党员干部分头观察廉政影片《郑义门》。 单位职工学习心得体味范文2018 “先学一步、走在前列”，针对今年在全体党员中开展“学党章党规、学系列说话，做合格党员”学习教育，永康市委书记徐华水提出明确要求，各级党组织要坚固树立“党建+”理念，把谋划开展学习教育与深化实施“一三五七”基层党建规范提升工程相结合，与深入开展“三面对三看齐”教育活动相结合，与加强政治生态建设、优化进展环境相结合，做到学习教育与中心工作、重点工作有机融合。 在此引导下，永康各级党组织先行一步，掀起学习教育热潮。 走在群众前列共建韵美古山 “在党纪国法和亲情面前，后者必须服从前者，这是每一具合格党员必须做到的。”4月11日，谈到眼下正在全面推进的镇域范围清障和拆违专项攻坚行动，永康市古山镇前金村党支部书记黄天新态度坚决。 几天前，黄天新顶着巨大压力做通了哥哥的思想工作，说服其自行拆除了村里的违法建造。前金村村委会主任黄望春也积极响应，带头拆除了父母违法搭建的小屋。