第一单元 积分的几何应用
一、学习目标
通过本节课的学习，了解定积分的几何意义，学会计算曲边梯形的面积，进而计算平面图形的面积
二、内容讲解
积分的几何应用能使我们从直观上理解定积分的含义，也能通过几何图形直观地理解定积分的性质．
先讲平面图形的面积计算．怎样测定一块不规则土地的面积，我们知道怎样计算矩形的面积，但要把这块土地当作矩形来计算，那么误差就太大了．由于面积具有可加性，可以将这块土地划分成一些小条形状，将每个小条近似地当作一个矩形（这样误差很小），那么，这些矩形面积之和就是这块土地面积的近似值．
将这块土地抽象成坐标系中的这个图形，图形上端曲线方程为)(x f y =，将图形划分为一些小条，其中小条面积用矩形面积近似，即
x x f ?)(
图形的面积近似为∑
?x
x f )(
小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，就得到图形面积的精确值．这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题．
如果用S 表示图形的面积，由定积分的定义可知
?=b
a
x
x f S )d (
从这个问题的解决可以看出，当0)(≥x f 时，?b
a
x x f )d (的几何意义就是由曲线)(x f y =与x 轴及直线 b x a x ==,所围的平面图形的面积．通过例子说明：当0)(≥x f 时，?b
a x x f )d (的
几何意义就是表示由曲线)(x f y =与x 轴及直线b x a x ==,所围的曲边梯形的面积．
再来看一般的情况，计算如下图形的面积
图形上面的曲线为)(x f y =，下面的曲线为)(x g y =，由定积分的几何意义可知图形的面积为
???-=-=b
a
b
a
b
a
x
x g x f x x g x x f S )]d ()([)d ()d (
或表示为
?-=b
a
x
y y S ]d [下上
一个积分是在对称区间],[a a -上的积分，如果遇到这样的积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是
???
??=??
-是偶函数时当是奇函数时当)(,)d (2)(,
0)d (0
x f x x f x f x x f a
a a
从上图可以看出， 当)(x f 是奇函数时有
??=--a
a
x
x f x x f 0
d )(d )(；
当)(x f 是偶函数时有??=-a
a
x
x f x x f 0
0d )(d )(．
问题思考1： 直线0=y 与x 轴是什么关系？
答案直线0=y 就是x 轴．
问题思考2： 圆心在原点的单位圆的方程是什么？
答案圆心在原点的单位圆的方程是
12
2=+y x 三、例题讲解
例1 三角形底为1，高为2，求三角形的面积．
解：按三角形面积公式有1
2121
21=??=?=高底S
用定积分计算（如图）?=1
d 2x
x S
1
10
2
==x
例2 梯形上底为1，下底为2，高为1，求梯形的面积．
解：按梯形面积公式有
231212121=
?+?=?+=）（高下底）（上底S 用定积分计算（如图）
?=2
1
d x x S 2
32
2
1
2
=
=x
例3求半径为2的圆的面积．
解：按圆的面积公式有ππ422
=?=S
用定积分计算（如图）
?
-=20
2
d 44x
x S
令t x sin 2=，则t t x d cos 2d =，
0=x 时0=t ；2=x 时
2π
=
t ．
??-=20
2
d cos 2sin 444π
t t t S ??-=20
2d cos sin 116π
t
t t
?=20
2
d cos 16πt t ?
+=20
d 2
2cos 116π
t
t 2
0)2sin 21(8π
t t +=π4= 例4 求由
12
+=x y ，2=x 及x 轴和y 轴围成的平面图形的面积． 解：平面图形如图所示
?+=2
021)d (x x S 2
3
)3(x x +=314=
例5求由x y sin =，x 轴在区间]
2,
0[π
上围成的平面图形的面积．
解：平面图形如图所示
?=20
d sin π
x
x S
2
0cos π
x -= 1=
例6 求由x y =，3
x y =所围成的平面图形的面积．
解：平面图形如图示，在区间)0,1(-上x x >3
在区间)1,0(上 3
x x >
由此得
??-+-=-10
30
1
3
d )(d )(x
x x x x x S
2
1)42()24(
1
04
20
12
4=-+-=-x x x x
例7计算?-
+22
2)d sin (π
π
x
x x x
解：因为2
,x x 都是偶函数，x sin 是奇函数．
所以
2
x x 是偶函数，
x
x sin 是奇函数．由此得
?
?
?-
-
-
+=+22
22
2
22
2
d sin d )d sin (π
π
π
π
π
π
x
x x x x x x x x x
??
=+=20
320
2d 20d 2π
πx
x x x x
322
4
20
4ππ
=
=x
四、课堂练习
练习1 求由曲线
12
-=x y 与x 轴及直线2,0==x x 围成的曲边梯形的面积．
去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清)(x f 在区间],[b a 上的符号．考虑12
-x 在区间)2,0(内是否与x 轴有交点，有则变号，没有则不变号．12
-x 与x 轴的交点为)0,1(，在区间)2,0(内．在区间)1,0(上
012<-x ，在区间)2,1(上012>-x
练习2求由曲线3
x y =与直线0,2=+-=x x y 围成的平面图形的面积
求3
x y =与2+-=x y
的交点，确定积分限．两条曲线)(x f y =与)(x g y =所围成的面积表示为
则情况例外）．要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清)()(x g x f -在区间],[b a 上的符号．
五、课后作业
1．利用定积分的几何意义计算下列定积分：
（1）
?10
d x
x ；（2）
)
0(d 0
22>-?R x x R R
.
2．求由下列曲线所围平面图形的面积： （1）直线6,3,0,23===+=y y x x y ；
（2）2x y =与2=+y x ；
（3）x y cos =与x 轴，在区间],0[π上. 3．利用函数的奇偶性求下列定积分的值：
（1）
?-22
4
d sin
π
πx
x x ；（2）
?-2
2
3
d x
x ； （3）
?-+1
1
23)d 64(x
x x .
第二单元 积分在经济分析中的应用
一、学习目标
通过本节课的学习，了解已知边际函数求原经济函数的方法．
二、内容讲解
若某产品的销售曲线为)(t f y =，它表示该产品在单位时间里的销售额．考虑从1t 到2t 时间段内的销售总额．
如果在1t 到 2t 时间段内的单位时间里的销售额为常数，那么销售总额就是时间间隔乘以这个常数．但现在单位时间里的销售额是个变量，不能这样简单地计算．利用定积分的思想，把时间间隔],[21t t 分割成很多小的时间段，将每个小段时间内单位时间里的销售额视为常数，每个小段时间内的销售额近似为t t f ?)(
则在1t 到2t 时间段内的销售总额可近似为∑≤≤?2
1)(t t t t
t f
最后取极限，即让每个小段时间的间隔趋于0，得到从1t 到2t 时间段内的销售总额u 为
?=2
1d )(t t t
t f u
这样就将在一个时间段内单位时间销售额为变量的产品的销售总额表示成了一个定积
分．
问题思考：)0(L 的经济意义是什么？
答案
)0(c L -=，它的经济意义是当产量为0时，利润为全部的固定成本支出
三、例题讲解
例1 若一年内12个月的销售额随着时间的增长而增长，具体的销售曲线为t
02.0e 1000000，
求一年内的销售总额．
解：
?=12
02.0d e 1000000t u t 12
02.0e 02.01000000t =13560000=（元）
例2 若已知某企业的边际成本函数为q
2.0e 2，且固定成本900=c ，求产量q 由100增加至
200时总成本增加多少．
解法一：
?=?200
1002.0d e 2q C q 200
1002.0e 2.02q =)e e (1020
40-= 解法二：
q q C 2.0e 2)(='?=q q C q
d e 2)(2.01
2.0e 10c q +=
已知9010)0(1=+=c C ，得801=c ，即
80e 10)(2.0+=q
q C )100()200(C C C -=?)e e (102040-=
四、课堂作业
练习1 已知某产品边际成本为
1502)(-=
'q
q C （百元／件），固定成本为10000（百
元），边际收入为50)(='q R （百元／件），试求利润函数)(q L ．
练习2某产品边际成本q q C +='3)(（万元／百台），边际收入q q R -='12)(（万元／百台），固定成本5（万元）．求
（1）使利润达到最大的产量及最大利润；
（2）若在最大利润产量的基础上再生产200台，总利润将发生什么变化？
（1）利用)()()(q C q R q L -=求)(q L ，再求)(q L 的最大值．
（2）利用
?
+'=?2
00
d )(q q q
q L L 或直接计算
)
()2(00q L q L L -+=?．
592--=q q
五、课后作业
1．已知边际成本q
q C 5.0e
12)(='，固定成本为26，求总成本函数.
2．某产品的总成本（万元）的变化率为1)(='q C （万元／百台），总收入（万元）的变化率为产量q （百台）的函数q q R -='5)(（万元／百台）.
（1）求产量q 为多少时，利润最大？
（2）在上述产量（使利润最大）的基础上再生产100台，利润将减少多少？
3．某新产品的销售率为x
x f --=e 90100)(，式中x 是产品上市的天数.求前4天的销售总量． 2．（1）4=q ，（2）0.5万元；3.4
e 90310-+
第三单元 微分方程的基本概念
一、学习目标
通过本节课的学习，了解微分方程的基本概念．
二、内容讲解
设总成本函数为)(q C ，已知条件为q
q C 2.0e
2)(='且90)0(=C ，求)(q C ．
)(q C 是未知函数，将此问题用数学语言表成边际成本是q 2.0e 2，即q q C 2.0e 2)(='．
固定成本是90，即90)0(=C ．
这就是一个完整的数学模型，它由一个方程和一个=)0(C 90的等式组成．在这个方程中要求的是一个未知函数，另外在方程中还出现了未知函数的导数（或微分）．这样就得到第一个概念：
定义7.1——微分方程
含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程．
看下面两个方程：x x y y e sin =+'；53)(y y x y ='+''
这是两个微分方程．第一个方程中出现未知函数的一阶导数，第二个方程中出现了未知函数的一阶导数和二阶导数．这样就得到第二个概念：
微分方程中出现未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶． 上面所列第一个方程是一阶微分方程，第二个方程是二阶微分方程．
再看最初的问题这个问题的答案有
c q C q
+=2.0e 10)( 80e 10)(2.0+=q q C
)(q C 代入方程q q C 2.0e 2)(='中使之成为恒等式．这样就得到第三个概念：
如果函数满足一个微分方程，即把这个函数代入微分方程后，使这个微分方程成为恒等式，则称此函数是该微分方程的解．
微分方程的解有很多，c q C q +=2.0e 10)(和+=q q C 2.0e 10)(80都是微分方程
q
q C 2.0e 2)(='的解，它可以分为两种：
不带任意常数的解称为特解．
带有任意常数（且常数的个数等于微分方程的阶数）的解称为通解．
c q C q +=2.0e 10)(是微分方程q q C 2.0e 2)(='的通解，
80e 10)(2.0+=q q C 是微分方程q q C 2.0e 2)(='满足90)0(=C 的特解．
已知自变量取某值时，未知函数（或导数）取特定的值，这样的条件称为初始条件， 含有初始条件的微分方程称为初值问题．
归纳起来可知
q q C 2.0e 2)(='是一阶微分方程；
90)0(=C 是一个初始条件；
??
?=='90)0(e 2)(2.0C q C q 是一个初值问题；
c q C q +=2.0e 10)(是q q C 2.0e 2)(='的通解； 80e 10)(2.0+=q q C 是q q C 2.0e 2)(='的特解．
未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程
问题思考 ：x
y y e =''是否为线性微分方程？
答案不是线性微分方程，因为y y '
'是二次的形式．
三、例题讲解
例1已知某种产品的需求弹性恒为1-，且当价格为2时需求量为300，求需求函数． 解：设需求函数为)(p q ，应满足
??
???=-=?
300)2(1d d q p q
q p
这就是整个问题的数学模型，是一个初值问题．如何求)(p q 将是下一节要讲的内容．
四、课后作业
指出下列微分方程的阶数：
（1）06)(3)(8542=+-'+''x y y y ；（2）0e 5)(32=+'-'x y y y x ； （3）x y x y y x sin 5)(3
='-'+''.
（1）2阶 （2）1阶 （3）2阶
第四单元 可分离变量的微分方程
一、学习目标
通过本节课的学习，掌握可分离变量的微分方程的解法．
二、例题讲解
什么是可分离变量的微分方程，如果一般形式),(y x f y ='的微分方程可以变形为
)()(21y g x g y ='
这种形式的微分方程叫做可分离变量的微分方程．在这种情况下，可分离变量为
x x g y g y d )()(d 12=两边分别求不定积分，左边对y 求，右边对x 求??=x x g y g y
d )()(d 12
如果)(2y G ，)(1x G 分别是)(1
2y g 和)(1x g 的原函数．得 )()(d 22y G y g y
=?，)
(d )(11x G x x g =?
即有c x G y G +=)()(12
上式就是可分离变量的微分方程)()(21y g x g y ='的通解，其中c 是任意常数．
三、例题讲解
例1??
??
?=-=?300)2(1d d q p q
q p ．
解：分离变量得p p q
q d d -
=
两边积分??-=p
p q q d d
得c
p q +-=ln ln p c c p 11ln
ln ln =+-=，p c
q 1
=
将300)2(=q 代入上式得
23001
c =
，即6001=c ．由此得p q 600= 例2求2
2xy y y +='的通解．
解：)1(d d 222x y xy y x y +=+=分离变量为x x y y d )1(d 2
+= 两边积分??+=x x y y d )1(d 2得c
x y ++=-2)1(12
方程2
2xy y y +='的通解是c x y ++=-2)1(12
其中c 是任意常数．
四、课堂练习
求微分方程
y x
y x y +
+
+='11的通解．
分后便得到方程的通解，一般是隐函数的形式．
将带有y 与y d 的表达式放到方程的一端，将带有x 与x d 的表达式放到方程的另一端．原
五、课后作业
1．求下列可分离变量的微分方程的通解：
（1）0ln ='+y x y y ；（2）y y e 1='+.
2．求微分方程y x y -='2e 满足初始条件0)0(=y 的特解.
第五单元 一阶线性微分方程
一、学习目标
通过本节课的学习，掌握一阶线性微分方程的解法．
二、内容讲解
方程)()(x Q y x P y =+'称为一阶线性微分方程． 下面导出求解公式．
我们希望将)()(x Q y x P y =+'的左端变为某个函数的导数，这样只需对右端求积分就可简单求解，但一般做不到，需要在方程两端乘一个函数)(x g ，得
)()(])()[(x g x Q y x P y x g =+'
适当选择)(x g 使])()[(y x P y x g +'成为某个函数的导数
y x P x g y x g y x P y x g )()()(])()[(+'=+'])(['=y x g
根据乘积的导数公式，应该有)()()(x P x g x g ='
由上式解出?=x
x P x g d )(e )(
称?x
x P d )(e
为积分因子，将其乘到方程两端，等式左端
???+'=+'x x P x x P x x P y x P y y x P y d )(d )(d )(e )(e ])([e )e (e d )(d )('+'=??x x P x x P y y )e (d )('=?x x P y
等于右端??='x x P x
x P x Q y d )(d )(e )()e (
两端积分得c
x x Q y x x P x x P +=???d e )(e d )(d )(
整理得
]
d e )([e d )(d )(c x x Q y x x P x x P +=???-
得到一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式
]
d e )([e d )(d )(c x x Q y x x P x x P +=???-
其中c 是任意常数．
注意：必须将一阶线性微分方程写成标准形式.
三、例题讲解
例1求解??
?==++'1)0(022y x xy y ．
解：先求通解，将方程化为x xy y 22-=+' 得到x x Q x x P 2)(,2)(-==，由求解公式得
]d e )([e d )(d )(c x x Q y x x P x x P +=???-
]
d e 2[e d 2d 2c x x x x x x +-=???-
]
d e 2[e 2
2c x x x x +-=?-
]e [e
2
2
c x x +-=-
2
e 1x c -+-=
将1)0(=y 代入上式得
0e 11c +-=
即2=c ，求解得
2
e 21x y -+-=
例2求52x y y x =-'的通解．
解：将方程化为
42
x y x y =-
'
得到
4)(,2
)(x x Q x x P =-
=，由求解公式得
]d e
)([e
d )(d )(c x x Q y x
x P x
x P +=???-]
d e
[e
d 24
d 2
c x x x x
x x
+=??-?
]d [242c x x x x +=?-]
3[3
2
c x x +=
四、课堂练习
求初值问题1)1(2
=+'-xy y x ，1)0(=y 的解．
此方程为一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'
可由公式求解，也可用积分因子法求解．由初始条件确定积分常数．
五、课后作业
1.求微分方程x
y y -=+'e 的通解.
2.求初值问题x x y y 2e 2=-'，1)0(=y 的解． 1．x c x y -+=e )( 2．x
x x y 2e )1(2e 3-+=
一、选择题： 1．设 x x f 1 )(= ，则=))((x f f （x ）． 2．已知1sin )(-=x x x f ，当（ x →0）时，)(x f 为无穷小量． 3. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )． B ． )()(d )(a F x F x x f x a -=? 4．以下结论或等式正确的是（对角矩阵是对称矩阵）． 5．线性方程组?? ?=+=+0 1 2121x x x x 解的情况是（无解）． 6下列函数中为偶函数的是（ x x y sin =）． 7．下列函数中为奇函数的是（ x x y -=3 ） 8．下列各函数对中，（1)(,cos sin )(2 2=+=x g x x x f ）中 的两个函数相等． 9．下列结论中正确的是（奇函数的图形关于坐标原点对称）． 10．下列极限存在的是（ 1 lim 22-∞→x x x ）． 11．函数 ?? ? ??=≠+-=0,0,211)(x k x x x x f 在x = 0处连续，则k =（-1）． 12．曲线x y sin =在点)0,π(（处的切线斜率是（1-）． 13．下列函数在区间(,)-∞+∞上单调减少的是（x -2）． 14．下列结论正确的是0x 是)(x f 的极值点，且)(0x f '存在， 则必有0)(0='x f ）． 15．设某商品的需求函数为2 e 10)(p p q -=，则当p =6时，需求弹性为（－3）． 16．若函数 x x x f -= 1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( -2 )． 17．下列函数中为偶函数的是（ x x y sin =）． 18．函数 ) 1ln(1 -= x y 的连续区间是） ，（），（∞+?221 19．曲线 1 1 += x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ 21- ）． 20．设 c x x x x f += ? ln d )(，则)(x f =（ 2ln 1x x - ）． 21．下列积分值为0的是（ ?--1 1-d 2 e e x x x ）． 22．设)21(= A ，)31(-= B ，I 是单位矩阵， 则I B A -T ＝（ ?? ? ???--5232 ） ． 23．设B A ,为同阶方阵，则下列命题正确的是（ ）.
微积分的应用 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛
的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据，在数学发展中的地位是十分重要的。例如，微分可以解决近似计算问题。比如：求sin29°的近似值，求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理，能够及时的放缩多项式，有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次，数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用，我们可以运用微积分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，极值，最值，凸函数法等来证明不等式。在物理问题上，通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度，已知速度——时间函数计算加速度（即生活中交通管理方面的应用）；运动学中的曲线轨迹求解（即生活中在篮球投篮训练中的应用）；求不规则物体的重心；力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域，用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时，我们得到的并不是直观的数字结果，而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的，而我们进行定量计算的根据，就是这些峰的面积。而求这些峰的面积，就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪，只要选定某一个峰，它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的 微积分的应用不仅仅遍及各个学科，也渗透到了社会的各个行业，甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析（经济函数的
1 引言 微积分广泛地应用在自然科学、社会科学及应用科学等各个领域，用来解决那些仅靠代数学不能有效解决的问题．经济学作为社会科学“皇冠上的明珠”，其与微积分的联系也尤为紧密，我们就拿微观经济学为例．微观经济学是研究社会资源配置以及社会微观个体的经济关系的一门科学，从它诞生之日便和数学结下了不解之缘．自威廉-斯坦利和卡尔-门格尔等人的“边际革命”将边际分析引入经济学分析起，微积分在经济学研究中的作用越来越重要，它为解决以“变量”为研究对象的大量问题提供了一种深刻的思想方法，是运用定量分析方法研究经济理论的有效工具．微积分以其特有的严密性为微观经济学理论提供了科学的论证和精确的数理分析，严格的量化的论证与分析提高了经济学理论的科学性．微观经济学这一百多来的发展实践证明：将现代的数学方法例如微积分引入到微观经济学领域，大大地推动了经济学的研究和发展． 本文主要结合微观经济学中的典型的经济模型和经济问题，探讨微积分在微观经济学研究中的具体运用，以提高用高等数学中的方法来处理复杂经济现象的能力．下面研究主要集中在诸如边际分析、弹性分析、成本问题、收入问题、消费者剩余和生产者剩余这些方面，从而让我们对微积分这个分析工具在经济学中的运用有个更加清晰全面的认识． 2 经济学中常用函数[1] 在引入微积分在微观经济学中的运用之前，先来简要介绍下经济学中的几个常用的函数．需要注意的是，由于在现实中许多经济函数并不是连续函数，为了能够进行微积分运算，我们不妨先假设它们是连续且可微函数． 需求函数 需求函数是反映在每一可能的价格水平下消费者对某种商品愿意并且能够购买的有效需求量Q 与该商品的价格P 之间一一对应关系的函数,记作()d Q Q P =． 供给函数 供给函数是反映在每一可能的价格水平下生产者对某种商品愿意并且能够提供的有效供给量Q 与该商品的价格P 之间一一对应关系的函数，记作()S Q Q P =． 效用函数 效用函数是反映消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间数量关系的函数．它被用以衡量消费者从消费既定的商品组合中所获得满足的程度．其表达式是：(),,...U U x y z =式中,,...x y z 分别代表消费者所拥有或消费的各种商品的数量．
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题 在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本 C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(10 5210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为
五、应用题（本题20分） 1．设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：q q q C 625.0100)(2++=（万元）, 求：（1）当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q 为多少时，平均成本最小？ 解：（1）总成本q q q C 625.0100)(2++=， 平均成本625.0100 )(++= q q q C ， 边际成本65.0)(+='q q C ． 所以，1851061025.0100)10(2=?+?+=C （万元）， 5.1861025.010 100 )10(=+?+=C （万元） 116105.0)10(=+?='C ． （万元） （2）令 025.0100 )(2=+-='q q C ，得20=q （20-=q 舍去）． 因为20=q 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20=q 时， 平均成本最小. 2．.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为201.0420)(q q q C ++=（元），单位销售价格为q p 01.014-=（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少． 解：成本为：201.0420)(q q q C ++= 收益为：2 01.014)(q q qp q R -== 利润为：2002.010)()()(2 --=-=q q q C q R q L q q L 04.010)(-='，令004.010)(=-='q q L 得，250=q 是惟一驻点，利润存在最 大值，所以当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为12302025002.025010)250(2=-?-?=L （元） 。
微积分在实际中的应用 一、微积分的发明历程 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。微积分是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求合”就是积分。微分学包括求导的运算，是一套关于变化的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可以用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念、求面积的无限小方法、积分与微分的互逆关系。前两阶段的工作，欧洲及中国的大批数学家都做出了各自的贡献。 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。 二、微积分的思想 从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述， 与此同时，战国时期庄子在《庄子·天下篇》中说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，体现了无限可分性及极限思想。公元3世纪,刘徽在《九章算术》中
积分学在经济中的应用 §1 已知边际函数求总函数 已知总成本函数)(Q C C =，总收益函数)(Q R R =（通称总函数），由微分法可得边际成本函数和边际收益函数分别为 dQ dR MR dQ dC MC ==，。 由于积分法是微分法的逆运算，所以，利用积分法当已知边际成本函数MC 和边际收益函数MR ，可求得总成本函数和总收益函数分别为 ?=dQ MC Q C )()(， （1-1） ?=dQ MR Q R )()(， （1-2） 由于求不定积分时含有一个任意常数，因此，为了得到所求的总函数，在利用公式（1-1）或公式（1-2）时，必须知道确定积分常数的条件。一般在求总成本函数时，题设中给出固定成本)0(0C C =作为条件，在求总收益函数时，确定任意常数的条件是0)0(=R ，即尚未销售出产品时，总收益为零。 由于变上限函数的定积分是被积函数的一个原函数，因此，已知边际成本函数MC 和边际收益函数MR ，也可用变上限函数的定积分求总函数。 00)()(C dQ MC Q C Q +=?， （1-3） ?=Q dQ MR Q R 0)()(， （1-4） 例1 已知边际成本函数131511832+-=Q Q MC ，固定成本为20000=C ，求总成本函数。 解 用不定积分法，利用公式（1-1）得总成本函数为 C Q Q Q dQ Q Q Q C ++-=+-=?131559)13151183()(232， 利用固定成本20000=C 条件，确定积分常数为2000=C ，所以， 2000131559)(23++-=Q Q Q Q C 。 用定积分法，利用公式（1-3）得总成本函数为 2000 1315592000)13151183()(2 302++-=++-=?Q Q Q dQ Q Q Q C Q 。 例2 某产品的总成本)(Q C C =（单位：万元）的边际成本为1=MC （万元/百台），
高等数学在实际生活中的应用 在学习高数之前，总是听学长、学姐提起，高数十分难学，我对高数的印象一直都是：高数是一门特别难、特别高深的学科。但在学习了高等数学之后，我发现了数学的美，同时我发现在实际生活中也时常可以看高数的身影。 高等数学在实际生活中的应用十分广泛，而且也特别有趣。我就简单的举几个生活中常见的，我所发现的高等数学在生活中的运用的例子分析一下。 首先，我发现在支付宝当中，有一个小功能，叫做蚂蚁森林，这个功能是模拟出了一颗树苗，当人们在生活中做出了一些绿色、低碳的行为时，对用户发放绿色能量进行奖励，当用户的绿色能量积累到一定的值时，支付宝模拟出的小树苗就会长成一颗大树，用户可以通过兑换，将这颗模拟出来的小树（电子数据）兑换成为一颗真实的、种植在沙漠里的树木，现在可以兑换的树木类型越来越丰富了，有梭梭树、沙柳、樟子松、胡杨树等一些树苗。 这个时候我就发现，不同的地区的树苗不尽相同，而且，肯定不同的树木类型各自的水土保持能力也不尽相同，因此，在什么地区选择什么样的树木类型、分别种植在哪里，可以起到最好的水土保持功能以及，每平方米需要种植几颗树苗，我相信，这些问题都离不开高等数学进行周密的计算。 首先，我们需要认真计算防护林需要种植多大面积、到底种植在哪里可以起到最佳的水土保持作用，我们需要了解到风沙的源地与我
们需要保护的地区的距离，同时量化考虑风沙的强度，将不同的树苗类型的水土保持力以及他们的防风沙能力量化考虑。我们所了解到的资料很少，因此只能做一下简单的模型的建立，以及一些较为简单的分析。当然，这只是我的个人想法，很不成熟，也很可能有错误。我是这样考虑的，比如：我们设距离风沙源地越远，风沙程度越弱，当风沙强度吹到我们所居住的地区时即为0，风沙的总强度为F，风沙源地与我们所居住地区的距离为f。因此可以得出结论，距离风沙源地越远，所需要的防护林面积就越小，设防护林种植地与风沙源地之间的距离为x，设所需要的防护林面积为y，同时将不同的树苗类型的水土保持能力量化：当种植了梭梭树之后，其每平米的水土保持力即可以阻挡的风沙的程度为a，沙柳为b，樟子松为c，胡杨树则为d。这时我们可以相应的依据量化关系列出一个方程式来：y=（F - F/f*x）/a（其中的a是指当所种的防护林是梭梭树时的方程式，相应的，当我们分析的是其他的树木，沙柳、樟子松以及胡杨树等，我们则可以将a替换为b、c以及d）。 根据上述所列的方程式，当我们了解了各种类型的树木的水土保持能力以及他们的防风沙的能力时，我们可以代入上述的方程式中进行计算，计算当距离风沙源地的距离不同时，所需要种植的防护林的面积也不尽相同。同时，我们可以分析得出，当x趋于无限小或者无穷大时，即防护林的种植地距离风沙源地极近或者极远时，这个方程式就转换为了一个极限问题的研究。 如果我们可以再多收集一些资料，具体了解到风沙强度与距离远
PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院系 : 经济与管理学院 题目 : 定积分在生活中的应用 年级专业: 11级市场营销班 学生姓名 : 孙天鹏
定积分在生活中的应用 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<< <<=,把区间[],a b 分成 n 个小区间[][][]01121,,,, ,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ?=-， 221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。 ②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积 ()i i f x ξ?（1,2, ,i n =） ， ③作出和 ()1 n i i i S f x ξ==?∑。记{}12max ,,,n P x x x =???作极限()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当 0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在 区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b a f x dx ?，即 ()b a f x dx ?=I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。
第三章 积分及其应用 一、定积分—求总量的模型 案例1 [物体的运动路程] 以速度2 ()2v t t =(米/秒)行驶的汽车在0t =秒到4t =秒行驶的路程为 4 20 2s t dt =? 案例2 [水箱积水] 设水流到水箱的速度为)(t r 升／分钟，问从0=t 到2=t 分钟这段时间内水流入水箱 的总量W 是多少？ 解: 第一步 在[,]t t t +?时间段内，“以常代变”，将水的流速视为匀速的，得水量微元 ()d dW r t t =． 步 以为被积表达式，在时间段]2,0[内积分，得0=t 到2=t 分钟这段 第二 的总量W ， 时间内水 流入水箱案例3 [电容器充电时电量的计算]下图所示的电路，当开关K 合上时，电源E 就对电容器C 充电， 计算经过时间T 后，电容器极板上积累的电量Q 是多少？ 解: 电量微元为 由微元法，在[0,T]时间段极板上积累的电量为 二、 微积分基本公式 案例1 [自由落体运动] 一物体在地球引力的作用下开始作自由落体运动，重力加速度为g ． (1) 求物体运动的速度方程和运动方程． (2) 如果一只球从一幢高楼的屋顶掉下，20s 落地，求此屋的高度． ?=2 0d )(t t r W ()d r t t dt t i dQ )(=dt t i Q T )(0 ?=
解:（1）由于物体只受地球引力的作用，由加速度与速度的关系，有 dv a g dt = =， 且0t =时，0v =， 积分后得 将(0)0v =代入上式，得0C =，故作自由落体运动的物体的速度方程为 v gt =， 又由 ds v gt dt = =，积分得 2 12s gtdt gt C == +?， 将 (0)0s =代入上式，得0C =，即自由落体的运动方程为 2 12s gt = ． （2）因球作的是自由落体运动，所以它满足运动方程2 12s gt = ，将时间20t =代入上式，可得屋顶距地 面的高度h 为 如果取重力加速度9.8g =m/s 2 ，可得此幢楼的高度为 1960h =(m)． 案例2． [运动方程] 已知一物体作直线运动，其加速度为t t a sin 3122 -=，且当0=t 时，5=v ， 3=s ．(1) 求速度v 与时间t 的函数关系；(2) 求路程s 与时间t 的函数关系． 解: (1)由速度与加速度的关系()()v t a t ' =知速度()v t 满足 ()()v t a t '=2123sin t t =-，且(0)5v = 求不定积分，得 2()(123sin )v t t t dt =-?=343cos t t C ++， v gdt gt C ==+?21 202002 h g g = ?=
定积分在经济中的应用 一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量 根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分： ()()()b a R b R a R x dx '-=? （1） ()()()b a C b C a C x dx '-=? （2） ()()()b a L b L a L x dx '-=? （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润 ()I x 的改变量（增量） 。 解 首先求边际利润 ()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+ 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出： 300 250 (300)(250)()R R R x dx '-=?300250(0.0825)x dx =-+?=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==? ?=250万元 300 300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+??=-100万元 二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称 2 121 ()t t f t dt t t -? 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。 例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：
经济数学基础应用题 1、设生产某种产品q 个单位时的成本函数为:q q q C 625.0100)(2++=(万元), 求:(1)当10=q 时的总成本、平均成本与边际成本;(2)当产量q 为多少时,平均成本最小？解:(1)因为总成本、平均成本与边际成本分别为: q q q C 625.0100)(2++=,625.0100)(++=q q q C ,65.0)(+='q q C . 所以,1851061025.0100)10(2=?+?+=C , 5.1861025.010 100)10(=+?+=C ,116105.0)10(=+?='C . (2)令 025.0100)(2=+-='q q C ,得20=q (20-=q 舍去). 因为20=q 就是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当q =20时,平均成本最小. 2、某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q 为需求量,p 为价格)。试求:1)成本函数,收入函数;2)产量为多少吨时利润最大？ 解 1)成本函数C(q)=60q+2000、因为q=1000-10p,即p=100-q 10 1, 所以收入函数R(q)=p ?q=(100-q 101)q=100q-210 1q (2)因为利润函数L(q)=R(q)-C(q)=100q-210 1q -(60q+2000) =40q-2101q -2000且'L (q)=(40q-210 1q -2000)'=40-0、2q 令'L (q)=0,即40-0、2q=0,得q200,它就是L(q)的最大值点,即当产量为200吨时利润最大。 3、设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元,又已知需求函数q=2000-4p,其中p 为价格,q 为产量。这种产品在市场上就是畅销的,问价格为多少时利润最大？并求最大利润。 解:C(p)=50000+100q=50000+100(2000-4p)=250000-400p R(p)=pq=p(2000-4p)=2000p-42p 利润函数L(p)=R(p)-C(p)=2400p-42p -250000,且另'L (p)=2400-8p=0 得p=300,该问题确实存在最大值,所以,当价格为p=300元时,利润最大。最大利润L(300)=2400×300-42300?-250000=11000(元) 4、某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0、01q 2(元),单位销售价格为p = 14-0、01q (元/件),问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润就是多少 解:由已知收入函数 201.014)01.014(q q q q qp R -=-== 利润函数 22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 于就是得到 q L 04.010-=' 令004.010=-='q L ,解出唯一驻点250=q 因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大.且最大利润为 1230125020250025002.02025010)250(2=--=?--?=L (元) 5、某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为C(q)=0、52q +36q+9800(元)、为使
第3章 微积分及其经济学应用 3、1 一元函数与多元函数 在数学上,函数的定义为:如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对任意给定的x 值,仅存在一个y 值与其对应,则称y 就是x 的函数,表示为)(x f y =。 其中x 为自变量,y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量,因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域,y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中,我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如,在商品的供求关系中,定义某种商品价格为P ,需求量为D Q ,供给量为S Q 。那么,需求与价格的函数关系可以表示为:)(P f Q D =,)(P g Q S =。 然而我们所处的经济环境就是非常复杂的,每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此,采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数就是在一个函数关系中函数值就是由多个变量确定的,用 ),,,(21n x x x f y K =的形式来表示,它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21K 的 大小。 例如在消费理论的基本假设中,每个消费者都同时对多种商品有需求,“效用”取决于所消费的各种商品的数量,效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U K =,其中U 表示消费者的效用,n x x x ,,,21K 就是对n 种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样,生产函数常表示为),(K L f y =,y 为产出水平,K 表示资本,L 表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。 Q=A*L^ alpha *K^ belta A=1;alpha=0、5;belta=0、5;
教学题目： 选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用 教学目标： 一、知识与技能： 1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法 二、过程与方法： 1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。 三、情感态度与价值观： 探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 教学难点： 如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 课型、课时： 新课，一课时 教学工具： 常用教具，多媒体，PPT课件 教学方法： 引导法，探究法，启示法 教学过程
积分?b a f (x )dx 在几何上表示 x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形 的面积。 当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a 1．设生产某种产品个单位时的成本函数为 （万元） 求：①时的总成本、平均成本和边际成本；②产量为多少时，平均成本最小． 解：①∵ 平均成本函数为：625.0100)()(++==q q q q C q C （万元/个） 边际成本为：65.0)(+='q q C ∴ 当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本分别为： )(1851061025.0100)10(2元=?+?+=C 5.1861025.010 100)10(=+?+=C （万元/个） 116105.0)10(=+?='C （万元/个） ②由平均成本函数求导得：25.0100)(2+-='q q C 令0)(='q C 得驻点201=q （个），201-=q （舍去） 由实际问题可知，当产量q 为20个时，平均成本最小。 2．某厂生产某种产品件时的总成本函数为 （元），单位销售价格为（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少？ 解：①收入函数为：201.014)01.014()(q q q q pq q R -=-==（元） ②利润函数为：2002.010)()()(2 --=-=q q q C q R q L （元） ③求利润函数的导数：q q L 04.010)(-=' ④令0)(='q L 得驻点250=q （件） ⑤由实际问题可知，当产量为250=q 件时可使利润达到最大，最大利润为 12302025002.025010)250(2max =-?-?==L L （元）。 3．投产某产品的固定成本为36（万元），边际成本为 （万元/百台）．试 求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解：①产量由4百台增至6百台时总成本的增量为 10046)40()402()(2646 4=+=+='=???x x dx x dx x C C (万元) ②成本函数为： 0240)402()()(C x x dx x dx x C x C ++=+='=?? 又固定成本为36万元，所以 3640)(2++=x x x C (万元) 平均成本函数为： x x x x C x C 3640)()(++== (万元/百台) 求平均成本函数的导数得：2361)(x x C -=' 令0)(='x C 得驻点61=x ，62-=x （舍去） 由实际问题可知，当产量为6百台时，可使平均成本达到最低。 4．生产某产品的边际成本为（万元/百台），边际收入为（万元/百台），其中为产量，求：①产量为多少时利润最大；②在最大利润产量的基础上再生产2百台，利润将会发生什么变化． 解 (x ) = (x ) - (x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令 (x )=0, 得 x = 10（百台） 又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 保定市智慧城市（一期）土建装修项目 经济数学基础的最后一道题一定在下面11题中出现。 1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 ? +=?64d )402(x x C =642)40(x x += 100（万元） 又 x c x x C x C x ?+'=00 d )()(=x x x 36402++ =x x 3640++ 令 0361)(2=-='x x C ， 解得6=x . x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小. 2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 2．解 因为边际利润 )()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令)(x L '= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=?? =500 - 525 = - 25 （元） 即利润将减少25元. 3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 3. 解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令L '(x )=0, 得 x = 10（百台） 又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 x x x x L L d )10100(d )(12101210??-='=20)5100(12102-=-=x x 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 4．已知某产品的边际成本为34) (-='x x C (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 4．解：因为总成本函数为 ?-=x x x C d )34()(=c x x +-322 当x = 0时，C (0) = 18，得 c =18 即 C (x )=18322+-x x 又平均成本函数为 x x x x C x A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='x x A ， 解得x = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 微积分在经济学中的应用分析 李博 西南大学数学与统计学院，重庆 400715 摘要：本文从经济学与数学的紧密联系出发,分析了数学,尤其是微积分在经济学研究中的地位和作用。 关键词:微积分;经济学;边际分析 Calculus’s Applied Analysis in Economics Li bo School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: Based on the close relationship between economics and maths,this paper analyzes the role and function of maths especially calculus in economics. Key words: calculus; Economics; marginal analysis 1.数学与经济学的紧密联系 经济学与数学之间有天然的联系, 经济学从诞生之日起便与数学结下了不解之缘。 经济学应用数学有客观基础。经济学研究的对象是人与人之间的“物的交换”，是有量化规则的。经济学基本范畴如需求、供给、价格等是量化的概念。经济学所揭示的规律性往往需要数量的说明。特别是经济学的出发点是“理性经纪人”。由于经纪人在行为上是理性的,经纪人能够根据自己的市场处境判断自身利益,且在若干不同的选择场合时,总是倾向于选择能给自己带来最大利益的那一种。所以,数学中所有关于求极值和最优化的理论,都适用于分析各种各样的最优经济效果问题,而很多求极值的数学理论和概念,也只能在最优经济效果中找到原型。 数学方法本身所提供的可能性。多变量微积分的理论特别适用于研究以复杂 经济数学基础（05）春模拟试题及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各函数对中，（ ）中的两个函数是相等的． A ．1 1)(2--=x x x f ，1)(+=x x g B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g 2．设函数?????=≠+=0, 10,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k = ( )． A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 3. 函数x x f ln )(=在1=x 处的切线方程是（ ）． A .1=-y x B . 1-=-y x C . 1=+y x D . 1-=+y x 4．下列函数在区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ ）． A ．x sin B ．2 x C ．x 2 D ．3 - x 5.若 c x F x x f +=?)( d )(，则x x xf d )1(2?-=（ ）. A. c x F +-)1(212 B. c x F +--)1(2 12 C. c x F +-)1(22 D. c x F +--)1(22 6．下列等式中正确的是（ ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln x x x = C. )d(ln 1d x x a a x a = D. )d(d 1x x x = 二、填空题（每小题2分，共10分） 7．若函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 8．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性为E p = ． 9．=?x x c d os d ． 一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q 在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(= ；（2）以dx x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 精选文库 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限） 在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论： 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲线)0()(≥=x f y 与直线 )(,b a b x a x <==及 x 轴所围曲边梯形面积为 A ,则 x x f A d )(d = x x f A b a d )(?= y O最新经济数学基础形考任务四应用题答案
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