【高中数学专项突破】
专题14 函数的单调性
题组1 函数的单调性的概念
1.如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（）
A.>0
B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0
C.若x1 D.>0 2.在下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1 A.f（x）＝x2 B.f（x）＝ C.f（x）＝|x| D.f（x）＝2x＋1 3.下列说法中正确的有（） ①若x1，x2∈I，当x1 ②函数y＝x2在R上是增函数； ③函数y＝－在定义域上是增函数； ④函数y＝的单调减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（） A.若f（x）为增函数，g（x）为增函数，则f（x）＋g（x）为增函数 B.若f（x）为减函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为减函数 C.若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为增函数 D.若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则f（x）－g（x）为减函数 5.下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（） A.函数在区间[－5，－3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[－5,5]上没有单调性 题组2 函数的单调性的判定与证明 6.在下面的四个选项所给的区间中，函数f（x）＝x2－1不是减函数的是（） A.（－∞，－2） B.（－2，－1） C.（－1,1） D.（－∞，0） 7.已知函数f（x）在R上是增函数，则下列说法正确的是（） A.y＝－f（x）在R上是减函数 B.y＝在R上是减函数 C.y＝[f（x）]2在R上是增函数 D.y＝af（x）（a为实数）在R上是增函数 8.下列函数中在区间（－∞，0）上单调递增，且在区间（0，＋∞）上单调递减的函数为（） A.y＝ B.y＝ C.y＝x2 D.y＝x3 9.若函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上（） A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 10.对于函数f（x）＝x2＋|x－a|＋1（a∈R），下列结论中正确的是（） A.当a≥0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减 B.当a≤0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减 C.当a≥时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增 D.当a≤时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增 11.函数y＝f（x）对于任意x，y∈R，有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）＝4，则（） A.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝3 B.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝3 C.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝2 D.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝2 12.已知f（x）是定义在R上的增函数，给出下列结论：①y＝[f（x）]2是增函数；②y＝是减函数；③y ＝－f（x）是减函数；④y＝|f（x）|是增函数，其中错误的结论是________. 13.证明f（x）＝在其定义域上是增函数. （1）求m的值； 14.已知函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x>0时，0 15.已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数. 16.已知函数f（x）的定义域为R，且对m，n∈R，恒有f（m＋n）＝f（m）＋f（n）－1，且 f（－）＝0，当x>－时，f（x）>0. （1）求证：f（x）是R上的增函数； （2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 17.函数y＝的单调递增区间是（） A.（－∞，－3] B. C.（－∞，1） D. 18.函数y＝x2＋x＋1（x∈R）的递减区间是（） A.[－，＋∞） B.[－1，＋∞） C.（－∞，－] D.（－∞，＋∞） 19.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 20.求下列函数的单调区间. （1）f（x）＝（x∈[－2,4]）； （2）y＝. 21.若函数f（x）＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（） A.[，） B.（0，） C.[，＋∞） D.（－∞，]∪[，＋∞） 22.若函数f（x）＝ax2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（） A.0＜a≤ B.0≤a≤ C.0＜a＜ D.a＞ 23.若函数f（x）＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（） A.（－∞，40] B.[40,64] C.（－∞，40]∪[64，＋∞） D.[64，＋∞） 24.函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（） A.[－2,2] B.[－1,1] C.[0,4] D.[1,3] 25.设奇函数f（x）在[－1,1]上是增函数，且f（－1）＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]满足f（x）≤t2－2at＋1，则t的取值范围是（） A.－2≤t≤2 B.－≤t≤ C.t≥2或t≤－2或t＝0 D.t≥或t≤－或t＝0 26.已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有（） A.f（a）＋f（b）>－f（a）－f（b） B.f（a）＋f（b）<－f（a）－f（b） C.f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b） D.f（a）＋f（b） 27.如果f（x）＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f（3＋t）＝f（3－t），那么（） A.f（3） B.f（1） C.f（3） D.f（6） 28.设函数f（x）的定义域是（0，＋∞），且对任意正实数x，y都有f（xy）＝f（x）＋f（y）恒成立，已知f（2）＝1，且x>1时，f（x）>0. （1）求f（）的值； （2）判断y＝f（x）在（0，＋∞）上的单调性并给出证明； （3）解不等式f（2x）>f（8x－6）－1. 专题14 函数的单调性 题组1 函数的单调性的概念 1.如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（） A.>0 B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0 C.若x1 D.>0 【答案】C 【解析】因为f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1 2.在下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1 A.f（x）＝x2 B.f（x）＝ C.f（x）＝|x| D.f（x）＝2x＋1 【答案】B 3.下列说法中正确的有（） ①若x1，x2∈I，当x1 ②函数y＝x2在R上是增函数； ③函数y＝－在定义域上是增函数； ④函数y＝的单调减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】A 【解析】函数的单调性是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，①不对；②y＝x2，当x≥0时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；③y＝－在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5，而f（－3）>f（5）；④y＝的单调递减区间不是（－∞，0）∪（0，＋∞），而是（－∞，0）和（0，＋∞），注意写法. 4.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（） A.若f（x）为增函数，g（x）为增函数，则f（x）＋g（x）为增函数 B.若f（x）为减函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为减函数 C.若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为增函数 D.若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则f（x）－g（x）为减函数 【答案】C 【解析】∵若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）的增减性不确定. 例如：f（x）＝x＋2为R上的增函数，当g（x）＝－x时， 则f（x）＋g（x）＝x＋2为增函数；当g（x）＝－3x，则f（x）＋g（x）＝－2x＋2在R上为减函数，∴不能确定. 5.下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（） A.函数在区间[－5，－3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[－5,5]上没有单调性 【答案】C 【解析】若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，故选C. 题组2 函数的单调性的判定与证明 6.在下面的四个选项所给的区间中，函数f（x）＝x2－1不是减函数的是（） A.（－∞，－2） B.（－2，－1） C.（－1,1） D.（－∞，0） 【答案】C 【解析】函数f（x）＝x2－1为二次函数，单调减区间为（－∞，0]，而（－1,1）不是（－∞，0]的子集，故选C. 7.已知函数f（x）在R上是增函数，则下列说法正确的是（） A.y＝－f（x）在R上是减函数 B.y＝在R上是减函数 C.y＝[f（x）]2在R上是增函数 D.y＝af（x）（a为实数）在R上是增函数 【答案】A 【解析】设x1 所以－f（x1）>－f（x2），A选项一定成立. 其余三项不一定成立，如当f（x）＝x时，B、C不成立，当a<0时，D不成立. 8.下列函数中在区间（－∞，0）上单调递增，且在区间（0，＋∞）上单调递减的函数为（） A.y＝ B.y＝ C.y＝x2 D.y＝x3 【答案】A 【解析】对于函数y＝，令y＝f（x）＝，任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1 9.若函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上（） A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 【答案】B 【解析】由于函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f（x）＝ax2＋bx 的图象开口向下，且对称轴为x＝－<0，故函数f（x）＝ax2＋bx在（0，＋∞）上单调递减. 10.对于函数f（x）＝x2＋|x－a|＋1（a∈R），下列结论中正确的是（） A.当a≥0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减 B.当a≤0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减 C.当a≥时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增 D.当a≤时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增 【答案】A 【解析】因为f（x）＝所以当a≥0时，则0≤a，又0<，所以f（x）在区间（－∞，0）上单调递减. 11.函数y＝f（x）对于任意x，y∈R，有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）＝4，则（） A.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝3 B.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝3 C.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝2 D.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝2 【答案】D 【解析】设任意x1，x2∈R，x1＜x2，f（x2）－f（x1）＝f（（x2－x1）＋x1）－f（x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）＝f（x2－x1）－1. ∵x2－x1＞0，又已知当x＞0时，f（x）＞1， ∴f（x2－x1）＞1. ∴f（x2）－f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）. ∴f（x）在R上是增函数. ∵f（3）＝f（1＋2）＝f（1）＋f（2）－1＝f（1）＋[f（1）＋f（1）－1]－1＝3f（1）－2＝4，∴f（1）＝2. 12.已知f（x）是定义在R上的增函数，给出下列结论：①y＝[f（x）]2是增函数；②y＝是减函数；③y ＝－f（x）是减函数；④y＝|f（x）|是增函数，其中错误的结论是________. 【答案】①②④ 13.证明f（x）＝在其定义域上是增函数. 【答案】证明f（x）＝的定义域为[0，＋∞）. 设x1，x2是定义域[0，＋∞）上的任意两个实数，且x1 则f（x1）－f（x2）＝－ ＝＝. ∵0≤x1 ∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1） ∴f（x）＝在它的定义域[0，＋∞）上是增函数. 14.已知函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x>0时，0 【答案】∵对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），令m＝1，n＝0，可得f（1）＝f（1）·f （0）， ∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0，∴f（0）＝1. 令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f（m＋n）＝f（0）＝f（－x）·f（x）＝1，∴f（x）f（－x）＝1， 又∵－x＞0时，0＜f（－x）＜1，∴f（x）＝＞1. ∴对任意实数x，f（x）恒大于0. 设任意x1 ∴0 ∴f（x2）－f（x1）＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）＝f（x2－x1）f（x1）－f（x1）＝f（x1）[f（x2－x1）－1]<0，∴f（x）在R上是减函数. 15.已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数. 【答案】方法一设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2， 则x＝x1－x2>0. f（x1）－f（x2）＝f（x＋y）－f（y）＝f（x）＋f（y）－1－f（y）＝f（x）－1.∵x>0，∴f（x）>1，f（x）－1>0， ∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）. ∴函数f（x）在R上是增函数. 方法二设x1>x2，则x1－x2>0， 从而f（x1－x2）>1，即f（x1－x2）－1>0. f（x1）＝f[x2＋（x1－x2）]＝f（x2）＋f（x1－x2）－1>f（x2），故f（x）在R上是增函数. 16.已知函数f（x）的定义域为R，且对m，n∈R，恒有f（m＋n）＝f（m）＋f（n）－1，且 f（－）＝0，当x>－时，f（x）>0. （1）求证：f（x）是R上的增函数； （2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 【答案】（1）任取x1，x2∈R，且设x1 由题意，得f（x2－x1－）>0. ∵f（x2）－f（x1）＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1） ＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1） ＝f（x2－x1）－1＝f（x2－x1）＋f（－）－1 ＝f[（x2－x1）－]＝f（x2－x1－）>0， ∴f（x2）>f（x1）， ∴f（x）是R上的增函数. （2）举例为f（x）＝2x＋1， 验证过程如下： f（x）＝2x＋1，其定义域显然为R， 对x1，x2∈R， f（x1＋x2）＝2（x1＋x2）＋1， f（x1）＋f（x2）－1＝2x1＋1＋2x2＋1－1 ＝2（x1＋x2）＋1， ∴f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）－1， 当x＝－时，f＝2×＋1＝－1＋1＝0. 当x>－时，f（x）＝2x＋1>2×＋1＝0， 即f（x）>0成立. 题组3 求函数的单调区间 17.函数y＝的单调递增区间是（） A.（－∞，－3] B. C.（－∞，1） D. 【答案】B 【解析】函数由t＝2x－3与y＝复合而成，故要利用复合函数单调性的有关规律来求.首先由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在（－∞，＋∞）上单调递增，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是. 18.函数y＝x2＋x＋1（x∈R）的递减区间是（） A.[－，＋∞） B.[－1，＋∞） C.（－∞，－] D.（－∞，＋∞） 【答案】C 【解析】y＝x2＋x＋1＝（x＋）2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧函数单调递减，∴当x≤－时，函数y＝x2＋x＋1单调递减. 19.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上， 它是增函数还是减函数？ 【答案】y＝f（x）的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f（x）在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数. 20.求下列函数的单调区间. （1）f（x）＝（x∈[－2,4]）； （2）y＝. 【答案】（1）已知函数的定义域为4－x≥0，即（－∞，4]，而[－2,4]为其定义域的子区间，又y＝与y＝4－x在[－2,4]上的单调性相同，且均为减函数， 故[－2,4]为函数的单调递减区间. （2）函数y＝的定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞）， ∵函数y＝在（－∞，－1）上是减函数，在（－1，＋∞）上是减函数， ∴函数y＝的单调递减区间是（－∞，－1）（－1，＋∞）. 题组4 函数单调性的应用 21.若函数f（x）＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（） A.[，） B.（0，） C.[，＋∞） D.（－∞，]∪[，＋∞） 【答案】A 【解析】要使f（x）在R上是减函数，需满足： 解得≤a＜. 22.若函数f（x）＝ax2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（） A.0＜a≤ B.0≤a≤ C.0＜a＜ D.a＞ 【答案】B 【解析】当a≠0时，函数f（x）的对称轴为x＝－， ∵f（x）在（－∞，4]上为减函数， ∴图象开口朝上，a＞0且－≥4，得0＜a≤. 当a＝0时，f（x）＝－2x＋2，显然在（－∞，4]上为减函数. 综上知，0≤a≤. 23.若函数f（x）＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（） A.（－∞，40] B.[40,64] C.（－∞，40]∪[64，＋∞） D.[64，＋∞） 【答案】C 【解析】只需f（x）＝4x2－kx－8的对称轴x＝相对应的值在区间[5,8]外面，即≤5或≥8， ∴k≤40或k≥64. 24.函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（） A.[－2,2] B.[－1,1] C.[0,4] D.[1,3] 【答案】D 【解析】∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）. ∵f（1）＝－1，∴f（－1）＝－f（1）＝1. 故由－1≤f（x－2）≤1，得f（1）≤f（x－2）≤f（－1）. 又f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3，故选D. 25.设奇函数f（x）在[－1,1]上是增函数，且f（－1）＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]满足f（x）≤t2－2at＋1，则t的取值范围是（） A.－2≤t≤2 B.－≤t≤ C.t≥2或t≤－2或t＝0 D.t≥或t≤－或t＝0 【答案】C 【解析】由题意，得f（－1）＝－f（1）＝－1，f（1）＝1. 又∵f（x）在[－1,1]上是增函数， ∴当a∈[－1,1]时，有f（x）≤f（1）＝1， ∴t2－2at＋1≥1在a∈[－1,1]时恒成立，得t≥2或t≤－2或t＝0. 26.已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有（） A.f（a）＋f（b）>－f（a）－f（b） B.f（a）＋f（b）<－f（a）－f（b） C.f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b） D.f（a）＋f（b） 【答案】C 【解析】∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a， ∵f（x）在R上是增函数， ∴f（a）>f（－b），f（b）>f（－a）， ∴f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b）. 27.如果f（x）＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f（3＋t）＝f（3－t），那么（） A.f（3） B.f（1） C.f（3） D.f（6） 【答案】A 【解析】由于f（x）是二次函数，其函数图象为开口向上的抛物线，f（3＋t）＝f（3－t）， ∴抛物线的对称轴为x＝3，且[3，＋∞）为函数的增区间，由f（1）＝f（3－2）＝f（3＋2）＝f（5）， 又∵3<5<6，∴f（3） 28.设函数f（x）的定义域是（0，＋∞），且对任意正实数x，y都有f（xy）＝f（x）＋f（y）恒成立，已知f（2）＝1，且x>1时，f（x）>0. （1）求f（）的值； （2）判断y＝f（x）在（0，＋∞）上的单调性并给出证明； （3）解不等式f（2x）>f（8x－6）－1. 【答案】（1）对于任意正实数x，y都有f（xy）＝f（x）＋f（y）， ∴当x＝y＝1时，有f（1）＝f（1）＋f（1），∴f（1）＝0. 当x＝2，y＝时，有f（2×）＝f（2）＋f（）， 即f（2）＋f（）＝0， 又f（2）＝1，∴f（）＝－1. （2）y＝f（x）在（0，＋∞）上为单调增函数，证明如下： 设0 即f（x2）－f（x1）＝f（）. 因为>1，故f（）>0， 即f（x2）>f（x1），故f（x）在（0，＋∞）上为单调增函数. （3）由（1）知，f（）＝－1， ∴f（8x－6）－1＝f（8x－6）＋f（）＝f（（8x－6））＝f（4x－3），∴f（2x）>f（4x－3）， ∵f（x）在定义域（0，＋∞）上为增函数， ∴ 解得解集为{x| 《函数的单调性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： 1、知识目标： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2、能力目标： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k )293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数，若对任何 x1 , x2I ，当 x1x2时，总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) f ( x2)或 x1x20（x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) x1 3．函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20（x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性，当x a, b 时 u m,n，且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和 J ，且 I J： (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时，函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同， F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定；g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函数，那么： ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定； ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数， F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为偶函数；如果对于函数 f (x) 的定义域内的任 （数学1必修）函数及其表示 一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-< 高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；高中数学《函数的单调性》教案
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx
(完整版)高一数学函数试题及答案
高一数学 函数单调性讲解
必修一函数的单调性专题讲解(经典)