江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练：导数及其应用.doc

专题15 导数的综合应用（教学案） 2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2.会利用导数解决某些实际问题．1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数．高频考点一 用导数解决与不等式有关的问题例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xfx －f xx 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)答案 D 解析 x >0时⎣⎡⎦⎤f x x ′<0，∴φ(x )＝f xx为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0， 此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)． 【变式探究】证明：当x ∈时，22x ≤sin x ≤x .高频考点二、不等式恒成立问题例2、已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0)．(1)解 设两曲线的公共点为(x 0，y 0)， f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x，由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即⎩⎨⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a2x.由x 0＋2a ＝3a 2x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．于是当t (1－3ln t )>0，即0<t <e 13时，h ′(t )>0；当t (1－3ln t )<0，即t >e 13时，h ′(t )<0.故h (t )在(0，e 13)上为增函数，在(e 13，＋∞)上为减函数，于是h (t )在(0，＋∞)上的最大值为h (e 13)＝32e 23，即b 的最大值为32e 23.(2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x＝x －a x ＋3a x(x >0)．故F (x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数． 于是F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．【感悟提升】(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，利用导数求F (x )的值域，得到F (x )<0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．【变式探究】 已知函数f (x )＝ln x －a x.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解 ∵f (x )<x 2，∴ln x －ax<x 2，又x >0，∴a >x ln x －x 3，令g (x )＝x ln x －x 3，则h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x ，∵当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0. ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数， ∴g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立． 高频考点三、利用导数解决函数零点问题例3、已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.【感悟提升】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．【变式探究】已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x的图象与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解f′(x)＝x(2＋cos x)，令f′(x)＝0，得x＝0.∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，b的取值范围是(1，＋∞)．高频考点四、利用导数解决生活中的优化问题例4、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6. 从而，f ′(x )＝10 ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【感悟提升】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．【变式探究】某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．答案 40解析 由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0；x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．1.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。

、填空题实根的个数为立，则实数m 的取值范围是 ▲y f (x) a 在区间［3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ▲x - 1x , x >a , 5、(南京市2016届高三三模)设函数 f(x)= eg(x) = f(x) — b .若存在实数 b ,使得函—x — 1, x v a ,2x 4x,0 x 4,右存在X 1 , x 2 € R ,log 2 (x 2),4 x 6当 0W X 1<4 < X 2W 6 时， f(x 1 )=f(x 2).则 X 1f(X 2)的取值范围是 ____ 。

江苏省 2017年高考一轮复习专题突破训练1、( 2016年江苏高考)设f ( x )是定义在 R 上且周期为 2的函数，在区间 -1,1)上,f(x)x a, 15x,00,其中a1,R.若 f( 52)f(9)，则f (5a)的值是—▲2、( 2015年江苏高考) 已知函数f(x) |lnx|，g(x)0,0 x x 2 4| 2,x1，则方程 | f(x) g(x)| 13、(2014年江苏高考)已知函数 f(X ) x 2 mx 1，若对于任意x[m,m 1]，都有 f (x)4、( 2014年江苏高考)已知f (x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x[0,3)时，f(x) | x 2 2x6、(南通、 扬州、 泰州三 市2016届高三二模)已知函数f Xlog a x b ( a 0,a1,bR )的图像如图所示， 则a b的值是 ▲7、(南通市2016届高三一模)若函数 f(x)x(x b),x 0c (a 0,b 0)为奇函数，则f(ab)的值ax(2),x 0& (苏锡常镇四市 2016届高三一模)已知函数 f(x)=数g(x)恰有3个零点，则实数 a 的取值范围为 ▲39、(苏锡常镇四市市2016届高三二模)已知函数f(x) x 2x,若f(1) f (log ! 3) 0 ( a 0且aa 1),则实数a的取值范围是—▲10、(镇江市2016届高三一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) = 1 —log2x, 则不等式f(x)<0的解集是__________ .11、 (常州市2016届高三上期末)函数f(x) log2( x2 2、、2)的值域为 __________________12、 (淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末)定义在R上的奇函数f(x)满足当x 0 时，f(x) log2(x 2) (a 1)x b ( a , b 为常数)，若f (2) 1,则f( 6)的值为 _mx13、 (南京、盐城市2016届高三上期末)设f (x)是定义在R上的奇函数，且f(x) 2 x，设f (x), x 1,g(x) 若函数y g(x) t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是f( x), x 1,▲___ .14、 (泰州市2016届高三第一次模拟)设f(x)是R上的奇函数，当x 0时，f(x) 2x In-,4记a n f (n 5)，则数列｛aj的前8项和为▲lx3 2x2 x|,x 1 卄15、(无锡市2016届高三上期末)已知函数fx ，右对于ln x, x 1t R, f t kt恒成立，则实数k的取值范围是_____________二、解答题1、(江苏省运河中2016届高三上期第一次诊断考试) 设f (x)是定义在［1,1］上的奇函数，函数g(x)与f (x)的图象关于y轴对称，且当x (0,1］时，g(x) ln x ax2.(1) 求函数f(x)的解析式;(2) 若对于区间0,1上任意的x，都有|f(x)| 1成立，求实数a的取值范围.2、(盐城市2015届高三上期期中考试)设函数y lg( x24x 3)的定义域为A，函数2y -------- , x (0, m)的值域为B .x 1(1)当m 2 时，求Al B ;(2)若x A”是‘x B ”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.3、(泰兴市第三高级中2015高三上第一次质检)已知函数f(x) = x2+ mx + n的图象过点(1, 3),且f( —1 + x) = f( —1 - x)对任意实数都成立，函数y= g(x)与y= f(x)的图象关于原点对称.(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x) = g(x)—入f(x在( —1, 1］上是增函数，求实数入的取值范围.4、(泰兴市第三高级中2015高三上第一次质检)已知函数f(x) = lg(1 —x) + lg(1 + x) + x4—2x2.(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 判断函数f(x)的奇偶性；(3) 求函数f(x)的值域.(1)当a = 4时，证明函数f(x)在(0,2］上是减函数;⑵求函数f(x)的最小值.6、已知函数f (x) log2(4x b 2x 4) , g(x) x .(1 )当b 5时，求f(x)的定义域；2)若f(x) g(x)恒成立，求b的取值范围.参考答案一、选择题21、【答案】-5匸丄丄q 4 q j J5、已知函数f (x)2 小x 2x a,xx(0,2］，其中常数a > 0.因此f(5d)= /(3) = /(1)= /f-1) ■= -1+- = --2、40,0 x 1ln x,0 x 1 2「，、，、解析：由f(x) ,g(x) 2 x ,1 x 2 得到：f(x) g(x)In x,x 12 x6,x2In x,0x 1. 2 几,In x x 2,1 x2，由于：In x x26,x 2x (0,1]时, f(x)g(x)单调递减，且取值范围在[0,)，故在该区域有1根；x (1,2]时，f(x)g(x)单调递减，且取值范围在[In 22,1)，故该区域有1 根;x (2,)时，f(x) g(x)单调递增，且取值范围在(I n2 2,)，故该区域有2根。

课时2 导数与函数的极值、最值题型一 用导数解决函数极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值例1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的极大值、极小值分别是________．答案 f (－2)、f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <1时，f ′(x )<0； 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 命题点2 求函数的极值例2 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a(a ∈R 且a ≠0)，求函数f (x )的极大值与极小值．解 由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a .令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↘↗∴f (x )极大值＝f (0)＝1－a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－a 2－a＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↘↗↘∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a＋1.综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.命题点3 已知极值求参数例3 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.(2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是____________．答案 (1)－7 (2)(2，103)解析 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值， 而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. (2)若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．思维升华 (1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．(1)函数y ＝2x －1x2的极大值是________．(2)设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 答案 (1)－3 (2)－14解析 (1)y ′＝2＋2x3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3.(2)由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－a ＋x1＋x ，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0， 得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x x －1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (1)是函数f (x )的极小值， 所以a ＝－14.题型二 用导数求函数的最值例4 已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝a x＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2.令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增， 所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae .思维升华 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________． 答案 1解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.题型三 函数极值和最值的综合问题 例5 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋cex(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝ax ＋bx－ax 2＋bx ＋cxx2＝－ax 2＋a －b x ＋b －cex.令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x>0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0，所以－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g ＝b －c ＝0，g －＝－9a －a －b ＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5， 所以f (x )＝x 2＋5x ＋5ex.因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者， 而f (－5)＝5e－5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.思维升华 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.3．利用导数求函数的最值问题典例 (14分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)两小问中，由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞.[4分]综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞.[5分](2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[7分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[9分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[13分] 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .[14分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用 以下几步答题第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型． (2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况． (3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题．[方法与技巧]1．如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．3．当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值．4．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小． [失误与防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论． 3．函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝________. 答案 －1ln 2解析 令y ′＝2x＋x ·2xln 2＝0， ∴x ＝－1ln 2.经验证，－1ln 2为函数y ＝x ·2x的极小值点．2．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为________． 答案 －1解析 函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)． 又y ′＝1x －1＝1－xx，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′>0，函数单调递增； 当x ∈(1，e]时，y ′<0，函数单调递减． 当x ＝1时，函数取得最大值－1.3．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________．答案 20解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)＝________. 答案 18解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10， ∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， ∴f (2)＝18.5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.6．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173， f (2)＝－103，可知最小值为－173.7．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x<－1.8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________． 答案 (22，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减； 当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增． ∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0， 解得a >22. ∴a 的取值范围是(22，＋∞)． 9．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.综上，f (x )的单调增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2,3)，f (x )的极大值为92＋6ln2，极小值为2＋6ln 3. 10．已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )随x 的变化情况如下表：↘↗所以，f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集是__________． 答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x·f (x )－e x－1， 求导得到g ′(x )＝e x·f (x )＋e x·f ′(x )－e x＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x·f (x )>e x＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}．12.若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为________．答案 ③解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除①、④；从适合f ′(x )＝0的点可以排除②.13．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________． 答案 (－1,1)解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：↗↘从而⎩⎨⎧－a 3－3a －a ＋b ＝6，a 3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.所以f (x )的单调递减区间是(－1,1)．14．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )极小值点必在区间(a,6－a 2)内， 即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2.解a <1<6－a 2，得－5<a <1. 不等式a 3－3a ≥f (1)＝－2，即a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3(a －1)≥0， 即(a －1)(a 2＋a －2)≥0， 即(a －1)2(a ＋2)≥0，即a ≥－2. 故实数a 的取值范围是[－2,1)． 15．已知函数f (x )＝a e 2x－b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝2a e 2x＋2b e－2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )恒成立， 即2(a －b )(e 2x－e－2x)＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x－e－2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0，当且仅当2e 2x＝2e－2x，即x ＝0时，“＝”成立．故f (x )在R 上为增函数． (3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x＋2e －2x－c ，而2e 2x＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立． 下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x＋2e－2x－c >0，此时f (x )无极值； 当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1＝c －c 2－164，t 2＝c ＋c 2－164>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0； 又当x >x 2时，f ′(x )>0， 当x <x 1时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。

第三章导数及其应用
【知识网络】
【考情分析】
近几年江苏高考对导数的考查十分重视，难度保持中等以上，考试中有时会涉及一些文字型应用题，在数学思想上也有很强的体现.其考查情况如下：
【备考策略】
1.由上面的考情分析可知，导数的复习重点是理解导数的概念，熟记导数的运算法则和求导公式，熟练掌握导数的几何意义及在实际问题中的应用，会利用导数研究函数的单调性与极(最)值，并且能够将导数知识灵活地运用于求解不等式等相关内容.
2.导数是求解函数的单调性、极(最)值问题及曲线的切线方程等最有力的工具.对导数问题的考查多以三次函数、二次函数为载体，常常伴随不等式的证明一起考查，复习时应加强这方面的训练.
3.导数是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容及解决相关问题的重要工具，它常与方程、不等式等内容交叉渗透、自然交汇.这类问题的解决，首先利用导数判断其单调性(对方程而言首先构造函数)，然后画出草图，利用数形结合的思想，并根据图象与x 轴的交点情况，建立参数方程组或不等式组进行求解.复习时要求学生领会应用函数和导数解决问题的思想方法，并将知识融会贯通.。

第20课 导数的综合应用(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(选修2-2P27习题15改编)如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波面的圆面积的膨胀率是 cm 2/s .(第1题)【答案】25 000π【解析】设时间t 对应的水波面的圆的半径为r ，面积为S ，则r=50t ，S=πr 2=2 500πt 2，当r=250时，t=5，故有s'=(2 500πt 2)'=5 000π·t=25 000π(cm 2/s).2.(选修1-1P83习题3改编)若做一个容积为256的方底无盖水箱，为使它的用料最省(全面积最小)，则它的高为 . 【答案】4【解析】设高为h ，底边长为x ，则x 2h=256，所以S=4hx+x 2=4x ·2256x +x 2=1024x +x 2，S'=-21024x +2x.令S'=0，解得x=8，此时h=4，S 取最小值.3.(选修2-2P34习题4改编)设函数f (x )=13x-ln x (x>0)，则y=f (x )的最小值为 .【答案】1-ln 3【解析】函数f (x )的定义域为(0，+∞)，由f'(x )=13-1x =0，得x=3，所以f (x )在(0，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，所以f (x )min =f (3)=1-ln 3.4.(选修1-1P79例2改编)设计一种体积为v 0的圆柱形饮料罐，为了使它的用料最省，则它的高为 .【解析】设圆柱的高为H ，底面半径为R ，则表面积为S=2πRH+2πR 2，又πR 2H=v 0，H=02v R π，故S=2πR ·02v R π+2πR 2=02v R +2πR 2，由S'=-022v R +4πR=0，解得，此时S 最小，H=02πv R5.(选修2-2P35例1改编)用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为 cm 时，容器的容积最大. 【答案】10【解析】设容器的高为x cm ，即小正方形的边长为x cm ，该容器的容积为V ，则V=(90-2x )(48-2x )x=4(x 3-69x 2+1 080x )，0<x<12，V'=12(x 2-46x+360)=12(x-10)(x-36)，当0<x<10时，V'>0；当10<x<12时，V'<0，所以V 在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x=10时，V 最大.1.最值与不等式各类不等式与函数最值的关系如下表：(续表)2.实际应用题(1)解题的一般步骤：理解题意，建立函数模型，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题.(2)注意事项：注意实际问题的定义域；实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值点的函数)，这样的极值点也是最值点.【要点导学】要点导学各个击破利用导数研究函数的性质例1设函数f(x)=c ln x+12x2+bx(b，c∈R，c≠0)，且x=1为f(x)的极值点.(1)若x=1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；(2)若f(x)=0恰有两解，求实数c的取值范围.【思维引导】(1)条件：x=1为f(x)的极大值点；目标：确定函数f(x)的单调区间；方法：利用f'(1)=0使用c表示b后确定导数大于零和小于零的区间.(2)条件：使用c表达的函数解析式；目标：c的取值范围；方法：讨论函数的单调性和极值点，根据极值点的位置和极值大小确定方程有解的条件.【解答】f'(x)=cx+x+b=2x bx cx++，又因为f'(1)=0，所以b+c+1=0，所以f'(x)=(-1)(-)x x cx且c≠1，b+c+1=0.(1)因为x=1为f(x)的极大值点，所以c>1.当0<x<1时，f'(x)>0；当1<x<c时，f'(x)<0；当x>c时，f'(x)>0，所以f(x)的单调增区间为(0，1)，(c，+∞)；单调减区间为(1，c).(2)①若c<0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，要使f(x)=0恰有两解，如图(1)所示，只需f(1)<0，即12+b<0，所以-12<c<0；图(1)图(2)图(3) (例1)②若0<c<1，则f (x )极大值=f (c )=c ln c+12c 2+bc=c ln c-22c -c ，f (x )极小值=f (1)=12+b=-12-c ，显然f (c )=c ln c-c-22c <0，f (x )极小值=-12-c<0，如图(2)所示，所以f (x )=0只有一解；③若c>1，则f (x )极小值=c ln c-c-22c <0，f (x )极大值=-12-c<0，如图(3)所示，所以f (x )=0只有一解.综上，使f (x )=0恰有两解的c 的取值范围为1-02⎛⎫⎪⎝⎭，. 【精要点评】本题中讨论方程实数根的个数的基本思想是数形结合思想，在定义域区间端点函数值达到无穷大的、有两个极值点的函数类似三次函数，当其中两个极值都大于零或者都小于零时函数只有一个零点，当其中一个极值点等于零时函数有两个零点，当极大值大于零、极小值小于零时有三个零点.如果函数在定义域区间端点的函数值不是无穷的，还要结合端点值和极值的情况进行综合比较.变式 (2015·哈尔滨三中模拟)已知函数f (x )=x 3+ax 2-a 2x+m+2(a>0). (1)若f (x )在[-1，1]内没有极值点，求实数a 的取值范围；(2)当a=2时，方程f (x )=0有三个互不相同的解，求实数m 的取值范围.【思维引导】(1)若f (x )在[-1，1]内没有极值点，则f'(x )=0的根不在区间[-1，1]上；(2)方程f (x )=0有三个互不相同的解，则函数f (x )的极大值大于零、极小值小于零.【解答】(1)因为f'(x )=3x 2+2ax-a 2=3-3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+a )，令f'(x )=0，得x=3a或-a ，因为f (x )在[-1，1]内没有极值点，而且a>0，所以13--1aa⎧>⎪⎨⎪<⎩，，解得a>3，故实数a的取值范围是(3，+∞).(2)当a=2时，f'(x)=32-3x⎛⎫⎪⎝⎭(x+2)=0的两根为23，-2，要使方程f(x)=0有三个互不相同的解，需使(-2)023ff>⎧⎪⎨⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎩，，解得-10<m<-1427，所以m的取值范围为1410,27⎛⎫--⎪⎝⎭.利用导数解决实际生活中的优化问题例2在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门(该门为轴对称图形)，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为6 dm的材料弯折而成，BC边的长为2t dm312t⎛⎫≤≤⎪⎝⎭.曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=cos x-1，此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t).(1)试分别求出函数h1(t)，h2(t)的表达式；(2)要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线?此时，最大值是多少?(例2)【思维引导】(1)可以通过求点D的坐标求出点O到BC边的距离；(2)利用导数的方法求出最大值，并进行比较.【解答】(1)对于曲线C1，因为曲线AOD的解析式为y=cos x-1，所以点D的坐标为(t，cos t-1)，所以点O到AD的距离为1-cos t，而AB=DC=3-t，则h1(t)=(3-t)+(1-cos t)=-t-cos t+4，1≤t≤3 2.对于曲线C2，因为抛物线的方程为x2=-94y，即y=-49x2，所以点D的坐标为24-9t t⎛⎫⎪⎝⎭，，所以点O到AD的距离为49t2，而AB=DC=3-t，所以h2(t)=49t2-t+3，1≤t≤32.(2)由(1)知h'1(t)=-1+sin t<0，所以h1(t)在312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以当t=1时，h1(t)取得最大值3-cos 1.又h2(t)=249-98t⎛⎫⎪⎝⎭+3916，而1≤t≤32，所以当t=32时，h2(t)取得最大值52，因为cos 1>cos π3=12，所以3-cos 1<3-12=52.故选用曲线C2，当t=32时，点O到BC边的距离最大，最大值为52 dm.【精要点评】用导数解决实际问题的注意事项：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值舍去.(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得f'(x )=0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值，就是问题的最优解.(3)在列函数关系式解决优化问题中，不仅要注意函数关系式表达要恰当，还要注意自变量的实际意义，依此确定定义域.变式 (2014·南京、盐城一模)如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心，在四个角分别建半径为x m(x ≥9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m .(1)求x 的取值范围(取1.4)；(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为1211a元/m 2，问：当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低?(变式)【解答】(1)由题意得29100-2601-22105x x x x ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪⨯≥⨯⎩，，，解得920-2015x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，即9≤x ≤15.所以x 的取值范围是[9，15]. (2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得y=a×π×2215x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+433ax×πx 2+1211a ×24221105x x ππ⎡⎤⎛⎫-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=11a 432414*********x x x π⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝+⨯⎭⎣+-⎦-.令f (x )=-125x 4+43x 3-12x 2，则f'(x )=-425x 3+4x 2-24x=-4x21-625x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由f'(x )=0，解得x=0(舍去)或x=10或x=15.列表如下：所以当x=10答：当x=10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低.导数在研究方程、不等式中的应用例3 已知函数f (x )=2x 2，g (x )=a ln x (a>0). (1)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围；(2)求证：44ln22+44ln33+…+44ln n n <2e .【思维引导】(1)条件：已知函数f (x )，g (x )的解析式；目标：在不等式f (x )≥g (x )恒成立时求参数a 的取值范围；方法：构造函数F (x )=f (x )-g (x )，只要函数F(x )在(0，+∞)上的最小值大于0即可得参数a 的不等式，解此不等式即得所求.(2)条件：(1)的求解结果；目标：证明(2)中的不等式；方法：根据(1)中结果得到不等式，使用特殊赋值法和放缩法可得.【解答】(1)令F (x )=f (x )-g (x )=2x 2-a ln x ，a>0，x>0，则F'(x )=4x-ax ，令F'(x )=0，得x=，所以F(x)的单调减区间为⎛⎝⎭，单调增区间为∞⎫+⎪⎪⎝⎭，F(x)min=F(x)极小值=F2⎛⎝⎭=2a-aln ，只要2a-aln 2≥0即可，得a≤4e且a>0，即a∈(0，4e].(2)由(1)得2x2≥4eln x，即44ln xx≤22e x，所以44ln22+44ln33+…+44ln nn≤2222111…e23n⎛⎫+++⎪⎝⎭<2e112⎡⎢⨯⎣+123⨯+…+1(-1)n n⎤⎥⎦<2e.【精要点评】含有参数的不等式恒成立问题是高考的一个热点题型，解决这类试题的基本思想是转化思想，即把含参不等式的恒成立问题转化为函数的最值或者值域问题，根据函数的最值或者值域找到参数所满足的不等式，即得到了参数的取值范围.变式(2016·苏州期中)已知函数f(x)=x2-2ax+1.(1)若函数g(x)=log a[f(x)+a](a>0，a≠1)的定义域是R，求实数a的取值范围；(2)当x>0时，不等式()f xx>ln x恒成立，求实数a的取值范围.【解答】(1)由题意知，对任意的x∈R，f(x)+a>0恒成立，即x2-2ax+1+a>0恒成立，即Δ=4a2-4(1+a)<0，即a2-a-1<0，解得2<a<12+.又因为a>0，a≠1，所以实数a的取值范围是(0，1)∪11,2⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭.(2)当x>0时，不等式()f xx>ln x等价于x-2a+1x>ln x，即2a<x+1x-ln x.设g(x)=x+1x-ln x(x>0)，则g'(x )=1-21x -1x =22--1x x x ，令g'(x )=0，得x=12+，当0<x<时，g'(x )<0，g (x )单调递减；当x>时，g'(x )>0，g (x )单调递增.故当x=时，g (x )取得极小值，也是最小值，且g (x )min=g12⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ln 12+.因为2a<x+1x -ln x ，所以2ln ，所以实数a 的取值范围是11,ln 222⎛⎫+-∞- ⎪ ⎪⎝⎭.1.(2015·全国卷)设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，且当x>0时，xf'(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 .【答案】(-∞，-1)∪(0，1)【解析】记函数g (x )=()f x x ，则g'(x )=2'()-()xf x f x x ，因为当x>0时，xf'(x )-f (x )<0，故当x>0时，g'(x )<0，所以g (x )在(0，+∞)上单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(-∞，0)上单调递增，且g (-1)=g (1)=0.当0<x<1时，g (x )>0，则f (x )>0；当x<-1时，g (x )<0，则f (x )>0，综上所述，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(-∞，-1)∪(0，1).2.(2015·启东调研)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为 cm .【答案】【解析】设圆锥的高为x cmV=13πx (202-x 2)(0<x<20)，V'=13π(400-3x 2)，令V'=0，解得x 1=3，x 2=-3(舍去).当0<x<3时，V'>0；当<x<20时，V'<0，所以当x=时，V 取最大值.3.(2014·苏锡常镇连徐调研(一))已知函数f (x )=22(2-)e 0-430x x x x x x x ⎧≤⎨++>⎩，，，，g (x )=f (x )+2k ，若函数g (x )恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 .【答案】73--22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪0⎧⎪⎨⎪⎩(第3题)【解析】当x ≤0时，f'(x )=(2-x 2)e x，当时取得极小值f ()=-+1)·e当x<0时，f (x )<0，且f (0)=0，函数f (x )的图象如图所示，函数g (x )恰有两个不同的零点，就是f (x )的图象与直线y=-2k 有两个不同的交点，所以3<-2k<7或-2k=0或-2k=-+1)ek ∈73,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪⎧⎫⎪⎨⎪⎩.4.(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l.如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5 km 和40 km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为20 km 和2.5 km ，以l 1，l 2所在的直线分别为x轴、y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y=2a xb +(其中a ，b 为常数)的模型.(1)求a ，b 的值.(2)设公路l 与曲线C 相切于点P ，点P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短?求出最短长度.(第4题)【解答】(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)，将其分别代入y=2a xb +，得4025 2.5400aba b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，，解得10000.a b =⎧⎨=⎩，(2)①由(1)知，y=21000x (5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为21000t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.设在点P 处的切线l 交x 轴、y 轴分别于A ，B 两点，y'=-32000x ，则直线l 的方程为y-21000t =-32000t (x-t )，由此得A 302t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 230000t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 所以f (t )t ∈[5，20]. ②设g (t )=t 2+64410t ⨯，则g'(t )=2t-651610t ⨯. 令g'(t )=0，解得t=.当t ∈(5，)时，g'(t )<0，g (t )是减函数； 当t ∈20)时，g'(t )>0，g (t )是增函数. 从而，当t=时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min =300，此时f (t )min =答：当t=l 的长度最短，最短长度为.【融会贯通】融会贯通 能力提升(2014·南京学情调研)已知函数f (x )=ax 2-ln x (a 为常数).(1)当a=12时，求f (x )的单调减区间；(2)若a<0，且对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a-2)x 恒成立，求实数a 的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1)f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=2ax-1x =22-1ax x .当a=12时，f'(x )=2-1x x (2)分由f'(x )<0及x>0，解得0<x<1，所以函数f (x )的单调减区间为(0，1).………………………………………………………4分(2)方法一：设F (x )=f (x )-(a-2)x=ax 2-ln x-(a-2)x.因为对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a-2)x 恒成立， 所以当x ∈[1，e]时，F (x )≥0恒成立.F'(x )=2ax-1x -(a-2)=22-(-2)-1ax a x x =(1)(2-1)ax x x .因为a<0，令F'(x )=0，得x 1=-1a ，x 2=12<1.………………………………………………7分 ①当0<-1a ≤1，即a ≤-1时，因为x ∈(1，e)，所以F'(x )<0，所以F (x )在(1，e)上单调递减.因为对任意的x ∈[1，e]，F (x )≥0恒成立，所以F (x )min =F (e)≥0，即a e 2-1-(a-2)e≥0，解得a ≥21-2e e -e . 因为21-2e e -e >-1，所以此时a 不存在.…………………………………………………………………………10分②当1<-1a <e ，即-1<a<-1e 时，因为x ∈11-a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，F'(x )>0；x ∈1-e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，F'(x )<0， 所以F (x )在11-a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1-e a⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减. 因为对任意的x ∈[1，e]，F (x )≥0恒成立， 所以F (1)=2>0，且F (e)≥0，即a e 2-1-(a-2)e≥0，解得a ≥21-2ee -e . 因为-1<21-2e e -e <-1e ，所以21-2e e -e ≤a<-1e (13)分③当-1a ≥e，即-1e ≤a<0时，因为x ∈(1，e)，所以F'(x )>0，所以F (x )在(1，e)上单调递增，由于F (1)=2>0，符合题意.……………………………15分综上所述，实数a 的取值范围是21-2e 0e -e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.………………………………………………16分 方法二：因为f (x )≥(a-2)x 在x ∈[1，e]上恒成立， 即a (x 2-x )≥ln x-2x 在x ∈[1，e]上恒成立.2 当x=1时，此不等式恒成立，故此时a ∈R .……………………………………………6分②当x ∈(1，e]时，a ≥2ln -2-x x x x 在x ∈(1，e]上恒成立，令g (x )=2ln -2-x x x x ，x ∈(1，e]，则g'(x )=22(2-1)[(1)-ln ](-)x x x x x +， …………………………………………………………………9分令h (x )=x+1-ln x ，x ∈(1，e]，则h'(x )=1-1x =-1x x >0在x ∈(1，e]上恒成立，故h (x )在x ∈(1，e]上单调递增，从而h (x )>h (1)=2>0.……………………………………12分从而知，当x ∈(1，e]时，g'(x )>0恒成立， 故g (x )在(1，e]上单调递增，14分所以g (x )max =g (e)=21-2e e -e ，故a ≥21-2e e -e ，又a<0，故实数a 的取值范围是21-2e 0e -e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.…………………………………………………16分【精要点评】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析，验证其不符合题意，即可确定所求.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第39~40页.【检测与评估】第20课 导数的综合应用一、 填空题1.若函数y =ax 3-x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 .2.已知函数f (x )=x 3-3a 2x +1的图象与直线y =3只有一个公共点，那么实数a 的取值范围是 .3.(2015·无锡模拟)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y =-13x 3+81x -234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件.4.若函数y =m 与y =3x -x 3的图象有三个不同的交点，则实数m 的取值范围为 .5.(2015·海门中学)若对任意的x ∈[1，e ]，都有a ln x ≥-x 2+(a +2)x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .6.已知a ∈R ，且函数y =e x+ax ，x ∈R 有大于零的极值点，那么实数a 的取值范围是 .7.(2014·河北质检)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，那么当正六棱柱的体积最大时，其高为 .8.(2015·汇龙中学)现有一张长为80 cm ，宽为60 cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一个无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处的损失.如图，若长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，则该铁皮盒体积V 的最大值为 cm 3.(第8题)二、解答题9.(2014·南京一中)甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(单位：元)与年产量t(单位：t)满足函数关系x.若乙方每生产1 t产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润ω(单位：元)表示为年产量t的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(单位：元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少?10.(2015·曲塘中学)设函数f(x)=x3-92x2+6x-a.(1)若对于任意实数x，f'(x)≥m恒成立，求实数m的最大值；(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求实数a的取值范围.11.(2015·全国卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求实数a的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·福建卷)已知函数f(x)=ln x-2 (-1)2x.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)求证：当x>1时，f(x)<x-1；(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)>k(x-1).【检测与评估答案】第20课 导数的综合应用1.(-∞，0] 【解析】y'=3ax 2-1，因为函数y=ax 3-x 在R 上是减函数，所以3ax 2-1≤0在R 上恒成立，所以a ≤0.2.(-1，1) 【解析】f'(x )=3x 2-3a 2，令f'(x )=0，则x=±a.由题意知当a<0时，f (a )=a 3-3a 3+1<3，即a 3>-1，所以-1<a<0；当a=0时，成立；当a>0时，f (-a )=-a 3+3a 3+1<3，即a 3<1，所以0<a<1.故实数a 的取值范围为(-1，1).3.9 【解析】因为y'=-x 2+81，所以当x>9时，y'<0；当x ∈(0，9)时，y'>0，所以函数y=-13x 3+81x-234在(9，+∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x=9是函数的极大值点.又因为函数在(0，+∞)上只有一个极大值点，所以函数在x=9处取得最大值.4.(-2，2) 【解析】y'=3(1-x )(1+x )，令y'=0，得x=±1，所以y 极大值=2，y 极小值=-2，作出函数y=3x-x 3和y=m 的大致图象如图所示，根据图象知-2<m<2.(第4题)5.(-∞，-1] 【解析】由a ln x ≥-x 2+(a+2)x ，得(x-ln x )a ≤x 2-2x.由于x ∈[1，e]，lnx ≤1≤x ，且等号不能同时取得，所以ln x<x ，x-ln x>0.从而a ≤2-2-ln x xx x 恒成立，即a ≤2min -2-ln x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设t (x )=2-2-ln x x x x ，x ∈[1，e].求导，得t'(x )=2(-1)(2-2ln )(-ln )x x x x x +，x ∈[1，e]，x-1≥0，ln x≤1，x+2-2ln x>0，从而t'(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数，所以t(x)min=t(1)=-1，所以a≤-1.6. (-∞，-1)【解析】y'=e x+a，由y'=0，得x=ln(-a).因为x>0，所以-a>1，所以a<-1，即实数a的取值范围是(-∞，-1).7.【解析】设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2+24h=9，即a2=9-24h，那么正六棱柱的体积V=6×4a2×h=2×29-4h⎛⎫⎪⎝⎭h=2×3-94hh⎛⎫+⎪⎝⎭.设y=-34h+9h(0<h<6)，则y'=-234h+9，令y'=0，得h=易知当h=y取得最大值，此时正六棱柱的体积最大.8.32000【解析】设长方体的底面边长为x cm，高为y cm，则x2+4xy=4 800，即y=24800-4xx，0<x<60.铁皮盒体积V(x)=x2y=x2·24800-4xx=-14x3+1 200x，令V'(x)=0，得x=40，因为当x∈(0，40)时，V'(x)>0，V(x)是增函数；当x∈(40，60)时，V'(x)<0，V(x)是减函数，所以V(x)=-14x3+1 200x在x=40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm3.9. (1)因为赔付价格为s元/t，所以乙方的实际年利润为ω=-st.因为ω=-s)2=-s2310s⎫⎪⎭+610s，所以当t=6210s时，ω取得最大值.所以乙方取得最大年利润时的年产量是6210s t.(2)设甲方净收入为v元，则v=st-0.002t2，当t=6210s 时，v=610s -94210s ⨯. v'=-6210s +95810s ⨯=63510(8?000-)s s ⨯，令v'=0，得s=20.当s<20时，v'>0；当s>20时，v'<0，所以当s=20时，v 取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格为20元/t 时，获得最大净收入.10.(1) f'(x )=3x 2-9x+6=3(x-1)(x-2)，因为x ∈(-∞，+∞)，f'(x )≥m ， 即3x 2-9x+(6-m )≥0恒成立，所以Δ=81-12(6-m )≤0，解得m ≤-34，即m 的最大值为-34.(2) 因为当x<1时，f'(x )>0；当1<x<2时，f'(x )<0；当x>2时，f'(x )>0，所以当x=1时，f (x )取得极大值f (1)=52-a ；当x=2时，f (x )取得极小值f (2)=2-a.故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )=0仅有一个实根， 解得a<2或a>52，即实数a 的取值范围为(-∞，2)∪52∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，.11.(1) f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=1x -a.若a ≤0，则f'(x )>0，f (x )在(0，+∞)上单调递增；若a>0，则当x ∈10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，f'(x )>0，当x ∈1a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，时，f'(x )<0，所以f (x )在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递减.(2) 由(1)知当a ≤0时，f (x )在(0，+∞)上无最大值；当a>0时，f (x )在x=1a 处取得最大值，最大值为f 1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=ln 1a +a 11-a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-ln a+a-1.因此f 1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭>2a-2⇔ln a+a-1<0.令g (a )=ln a+a-1，g'(a)=1a+1，当a>0时，g'(a)>0，所以g(a)在(0，+∞)上是增函数，g(1)=0，于是当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0，因此实数a的取值范围为(0，1).12.(1) f'(x)=1x-x+1=2-1x xx++，x∈(0，+∞)，令f'(x)>0，得2-10xx x>⎧⎨++>⎩，，解得<x<.故f(x)的单调增区间是⎛⎝⎭.(2) 令F(x)=f(x)-(x-1)，x∈(0，+∞)，则有F'(x)=21-x x.当x∈(1，+∞)时，F'(x)<0，所以F(x)在(1，+∞)上单调递减，故当x>1时，F(x)<F(1)=0，即当x>1时，f(x)<x-1.(3) 由(2)知，当k=1时，不存在x0>1满足题意.当k>1时，对于x>1，有f(x)<x-1<k(x-1)，则f(x)<k(x-1)，从而不存在x0>1满足题意.当k<1时，令G(x)=f(x)-k(x-1)，x∈(0，+∞)，则有G'(x)=1x-x+1-k=2-(1-)1x k xx++.由G'(x)=0，得-x2+(1-k)x+1=0，解得x1=<0，x2=>1，x∈(0，+∞).当x∈(1，x2)时，G'(x)>0，故G(x)在[1，x2)内单调递增. 从而当x∈(1，x2)时，G(x)>G(1)=0，即f(x)>k(x-1)，综上，实数k的取值范围是(-∞，1).。

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】专题3.3 导数的综合应用1．(2017·南通调研)已知函数f(x)＝a＋x ln x(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)的零点个数．解(1)由函数f(x)＝a＋x ln x∈(a∈R)得f′(x)＝12x(ln x＋2)．令f′(x)＝0，得x＝e－2，列表如下：x (0，e－2)e－2(e－2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值因此，函数f(x)所以当a≤0时，函数f(x)零点个数为1.②当0<a<2e－1时，2．(2016·天津卷节选)设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝0. (1)解 由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，有f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立， 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3－3a3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 33a3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞ f′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值极小值所以f (x )的单调递减区间为 ⎛⎪⎫－3a ，3a ，单调递增区间为 ⎛⎪⎫－∞，－3a ， ⎛⎪⎫3a ，＋∞. (2)证明 因为f (x )存在极值点， 所以由(1)知a >0，且x 0≠0.由题意，得f ′(x 0)＝3x 20－a ＝0，即x 20＝a3，进而f (x 0)＝x 30－ax 0－b ＝－2a3x 0－b . 又f (－2x 0)＝－8x 30＋2ax 0－b ＝－8a 3x 0＋2ax 0－b ＝－2a3x 0－b ＝f (x 0)，且－2x 0≠x 0， 由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝－2x 0，所以x 1＋2x 0＝0.3．(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝axe x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x .(1)求实数a 的值；(2)若对任意的x ∈(0,2)，都有f (x )<1k ＋2x －x 2成立，求实数k 的取值范围；(3)若函数g (x )＝ln f (x )－b 的两个零点为x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的正负，并说明理由．由题意得函数g (x )＝ln f (x )－b ＝ln x －x －b ， 所以g ′(x )＝1x －1＝1－xx，易得函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以要证g ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<0，只需证明x 1＋x 22>1即可．因为x 1，x 2是函数g (x )的两个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋b ＝ln x 1，x 2＋b ＝ln x 2，4．(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝a x＋b x(a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．解 (1)①由已知可得2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，即2x＋12x ＝2.∴(2x )2－2·2x＋1＝0， 解得2x ＝1，∴x ＝0.②f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2x ＋2－x ，令t ＝2x ＋2－x，则t ≥2. 又f (2x )＝22x＋2－2x＝t 2－2，故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6， 即m ≤t ＋4t ，又t ≥2，t ＋4t≥2t ·4t＝4. (当且仅当t ＝2时等号成立)．∴m ≤⎝⎛⎭⎪⎫t ＋4t min ＝4.即m 的最大值为4.(2)∵0＜a ＜1，b ＞1，∴ln a ＜0，ln b ＞0.g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2.g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b 且g ′(x )为单调递增，值域为R 的函数．∴g ′(x )一定存在唯一的变号零点． ∴g (x )为先减后增且有唯一极值点． 由题意g (x )有且仅有一个零点．， 则g (x )的极值一定为0，而g (0)＝a 0＋b 0－2＝0，故极值点为0. ∴g ′(0)＝0，即ln a ＋ln b ＝0.∴ab ＝1. 5．(2017·衡水中学质检)已知函数f (x )＝x ＋aex.(1)若f (x )在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝0，x 0<1，设直线y ＝g (x )为函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线，求证：f (x )≤g (x )．6．(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解(1)f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a)．(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′ (x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．。

第三章 导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算突破点(一) 导数的运算基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式 原函数 sin x cos x a x (a >0) e x log a x (a >0，且a ≠1)ln x 导函数cos x－sin_xa x ln_ae x1x ln a1x4.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”已知函数的解析式求导数本节主要包括2个知识点： 1.导数的运算；2.导数的几何意义.[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e ； (5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1.[解] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2 ＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(5)y ′＝[ln (2x ＋3)]′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2＋1)－2x ln (2x ＋3)(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2.[方法技巧]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．导数运算的应用[例2] (1)(2016·济宁二模)已知函数f (x )＝x (2 017＋ln x )，f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ， 所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017， 即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故f ′(1)＝1＋2×(－2 018)＋2 017＝－2 018. [答案] (1)B (2)－2 018[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f (x )＝f ′(x 0)x ＋sin x ＋ln x (x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一](2017·东北四市联考)已知y ＝ 2 017，则y ′＝( ) A.12 2 017B ．－12 2 017C.2 0172 017D ．0解析：选D 因为常数的导数为0，又y ＝ 2 017是常数函数，所以y ′＝0. 2.[考点二](2016·大同二模)已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选A ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.3.[考点二](2017·湖北重点中学月考)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.故选C.4.[考点二]在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.又数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝4 096.答案：4 0965.[考点一]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x； (4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .突破点(二) 导数的几何意义基础联通 抓主干知识的“源”与“流”函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求切线方程[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程(高考常考类型)，则点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程，则切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．[提醒] “过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．求切点坐标[例2] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P的坐标为________．[解析] y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m ＞0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)． [答案] (1,1)求参数的值[例3] 直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2[解析] 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ×1＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ×1＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.[答案] C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知f (x )＝2e x sin x ，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝xD ．y ＝－2x解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .2.[考点三]曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选C f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，即3－a 4＝－1，∴a ＝7.3.[考点二]在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x +1上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：由y ′＝3x 2－1＝2，得x ＝±1，又点M 在第二象限内，故x ＝－1，此时y ＝1，故点M 的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)4.[考点三](2017·衡阳八中模拟)已知函数f (x )＝a x ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：因为f (x )＝a xln x ，所以f ′(x )＝ln a ·a xln x ＋a xx.又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案：35.[考点二]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．答案：(e ，e)6.[考点一]如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0.答案：y －3＝0[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2016·全国甲卷)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：易得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点横坐标为x 1，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点横坐标为x 2，则y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1，y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1.根据题意，有⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 23．(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x －3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.答案：y＝－2x－14．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－a(x－1)x＋1＞0.设g(x)＝ln x－a(x－1) x＋1，则g′(x)＝1x－2a(x＋1)2＝x2＋2(1－a)x＋1x(x＋1)2，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋(a－1)2－1.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)解析：选C∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．2．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析：选C∵y＝sin x＋e x，∴y′＝cos x＋e x，∴y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 3．(2016·安庆二模)给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题可知f ″(x 0)＝0，即4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.4．(2016·贵阳一模)曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b 的值为( )A ．－12eB ．－2e C.2e D.12e解析：选D y ′＝e x ＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e，∴a b ＝12e ，故选D.5．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a e x 图象的切线，则实数a ＝________. 解析：设切点为(x 0，y 0)．f ′(x )＝－1a e x ，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.答案：e 2[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C 由题可知，f (π)＝－1π，f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 3．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1 B.2 C.22D. 3 解析：选B 由题可得，y ′＝2x －1x .因为y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以由2x －1x ＝1，得x ＝1，则P 点坐标为(1,1)，所以曲线在点P 处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝2，即点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为 2. 4．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 5．(2017·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)的值为( )A ．0B ．2C ．2 017D ．－2 017解析：选B ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x (e －x ＋1)2－cos(－x )＝0，∴f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝2.6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.二、填空题7．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(2)，则函数f (x )的解析式为________． 解析：由题意得f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，则f ′(2)＝4＋2f ′(2)，所以f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2－8x .答案：f (x )＝x 2－8x8．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝09．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)10.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________．(用“<”连接)解析：(1)依题意，f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2， 故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ，h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)．答案：(1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1) 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2， 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ， 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.第二节导数与函数的单调性本节主要包括2个知识点：1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.突破点(一)利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时，f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．(2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”证明或讨论函数的单调性判断函数单调性的三种方法定义法在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)与0的大小关系来确定函数f(x)的单调性图象法利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某个区间内呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数导数法利用导数判断可导函数f(x)在定义域内(或定义域的某个区间内)的单调性[例1]已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＋2ax＝2ax2＋a－1x.(1)当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝1－a2a，则当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a2a时，f′(x)<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在 1－a2a，＋∞上单调递增．[方法技巧]导数法证明或讨论函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)得出结论：当f ′(x )>0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递增；当f ′(x )<0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递减．[提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．求函数的单调区间[例2] 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，求函数f (x )的单调区间．[解] 对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x2－1x ，由曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.所以f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 所以函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)． [方法技巧]用导数求函数单调区间的三种类型及方法(1)当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点二]函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，所以f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.2.[考点一]下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.3.[考点二]函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选A 对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x <0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)．4.[考点一]已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性． 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a (x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0， 即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 由①②知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 5.[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． 解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24， 令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴函数f (x )＋g (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6.突破点(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”已知函数的单调性求参数的取值范围由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[例1]已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求a的取值范围；(3)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．[解](1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f(x)在区间(－1,1)上为减函数，所以f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即a的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f(x)＝x3－ax－1，所以f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)．因为f(x)的单调递减区间为(－1,1)，所以3a3＝1，即a＝3.应用结论“函数f(x)在(a，b)上单调递增⇔f′(x)≥0恒成立；函数f(x)在(a，b)上单调递减⇔f′(x)≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a，b)上恒为0.[易错提醒]比较大小或解不等式[例2](1)若0<x1<x2<1，则()A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)构造函数f (x )＝e x－ln x ，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此f (x )＝e x －ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A ，B 错；构造函数g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，故函数g (x )＝e x x 在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，则x 2e x 1>x 1e x 2，故选C.(2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)C (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)解析：选C ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋4＋a x ＝2x 2＋4x ＋ax ，f (x )在(1,2)上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，即2x 2＋4x ＋a ≥0或2x 2＋4x ＋a ≤0在(1,2)上恒成立，即a ≥－(2x 2＋4x )或a ≤－(2x 2＋4x )在(1,2)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋4x )，1<x <2，则－16<g (x )<－6，∴a ≥－6或a ≤－16，故选C.2.[考点二](2016·南昌三模)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若在△ABC 中，角C 是钝角，则( ) A ．f (sin A )>f (cos B ) B ．f (sin A )<f (cos B ) C ．f (sin A )>f (sin B ) D ．f (sin A )<f (sin B )解析：选A ∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，故函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，又A 、B 都是锐角，且A ＋B <π2，∴0<A <π2－B <π2，∴sin A <sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，故f (sin A )>f (cos B )，故选A.3.[考点一]若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f ′(x )<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.答案：(－3，－1)∪(1,3)4.[考点一]已知函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意可得f ′(x )≥0在x ∈R 上恒成立，所以Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝4(m 2－6m ＋8)≤0，解得2≤m ≤4.答案：[2,4]5.[考点二]已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．解析：令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则f (x )<3x －15的解集即为g (x )<0的解集．又g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以g (x )<g (4)，故x >4.所以f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国乙卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析：选C 取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x . 因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D.2．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A f ′(x )＝32x 2＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，即a >0时，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．3.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．4．若函数f (x )＝sin x ＋ax 为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝cos x ＋a ，由题意可知，f ′(x )≤0对任意的x ∈R 都成立，∴a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．解析：∵导函数f ′(x )是偶函数，且f (0)＝0，∴原函数f (x )是奇函数，∴所求不等式变形为f (1－x )<f (x 2－1)，∵导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，又f (x )的定义域为(－1,1)，∴－1<1－x <x 2－1<1，解得1<x <2，∴实数x 的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x ＝(x －2)(2x －1)x >0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B.(]－∞，3 C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞D.[)3，＋∞解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C. 3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．4．(2017·甘肃诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选C 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x >0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b )B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a )D ．af (b )<bf (a )解析：选B 由f ′(x )＋f (x )x >0得xf ′(x )＋f (x )x >0，即[xf (x )]′x>0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.二、填空题7．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为________．解析：由题图可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)∪(－∞，－1)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)10．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x ) 极大值 极小值此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．12．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x .当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x. ∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9， 即m ＜－9；由g ′(3)＞0，得m ＞－373.所以－373＜m ＜－9. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9. 第三节。

第16课 导数的概念及运算(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(选修1-1P57例4改编)函数f (x )=-2x+10在区间[-3，-1]内的平均变化率为 . 【答案】-2【解析】ΔΔy x =(-1)-(-3)(-1)-(-3)f f =-2.2.(选修2-2P14练习2改编)若函数f (x )f'(1)= .【答案】13【解析】因为f'(x )=2-313x ，所以f'(1)=13×2-31=13.3.(选修2-2P12练习2改编)一个物体的运动方程为s=1-t+t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是 m/s . 【答案】5【解析】s'(t )=2t-1，s'(3)=2×3-1=5.4.(选修2-2P20练习2改编)已知函数f (x )=sin x+cos x ，x ∈(0，2π).若f'(x 0)=0，则x 0= .【答案】π5π44，【解析】f'(x )=cos x-sin x ，因为f'(x 0)=0，则f'(x 0)=cos x 0-sin x 0=0，所以x 0=π5π44，.5.(选修2-2P26习题8改编)已知函数f (x )=2(-2)1x x +，则f (x )的导函数f'(x )= .【答案】222-8(1)x x x ++【解析】因为f (x )=2-441x x x ++，所以由导数运算法则得f'(x )=22(2-4)(1)-(-44)(1)x x x x x +++=222-8(1)x x x ++.1.函数的平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为2121()-()-f x f x x x .2.导数的概念设函数y=f (x )在区间(a ，b )上有定义，且x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔΔy x =00(Δ)-()Δf x x f x x +无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x=x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x=x 0处的导数，记作f'(x 0).若函数y=f (x )在开区间(a ，b )内任意一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f (x )的导函数，记作f'(x ).3.导数的几何意义(1)设s=s (t )是位移函数，则s'(t 0)表示物体在t=t 0时刻的瞬时速度. (2)设v=v (t )是速度函数，则v'(t 0)表示物体在t=t 0时刻的瞬时加速度.4.基本初等函数求导公式(1)(xα)'=α-1xα(α为常数)；(2)(a x)'=a x ln a(a>0且a≠1)，(e x)'=e x；(3)(log a x)'=1lnx a(a>0且a≠1)，(ln x)'=1x；(4)(sin x)'=cos x，(cos x)'=-sin x.5.导数的四则运算法则(1)[]()()f xg x±'=f'(x)±g'(x)；(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；(3)[]()cf x'=cf'(x)(c为常数)；(4)()()f xg x⎡⎤⎢⎥⎣⎦'=2'()()-()'()()f xg x f x g xg x(g(x)≠0).*6.复合函数求导的运算法则一般地，设函数u=φ(x)在点x处有导数u'x=φ'(x)，函数y=f(u)在u处有导数y'u=f'(u)，则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数，且y'x=y'u·u'x.【要点导学】要点导学各个击破利用定义求导数例1利用导数的定义解答下列问题.(1)求f(x)x=1处的导数；(2)求f (x )=12x +的导数.【思维引导】由导数的定义可知，函数y=f (x )在x 处的导数是函数的增量Δy=f (x+Δx )-f (x )与自变量的增量Δx 之比在Δx →0时的无限趋近值.【解答】(1)因为ΔΔy x =(1Δ)-(1)Δf x f x +==，所以当Δx →0时，ΔΔy x →-12. 所以f'(1)=-12.(2)因为ΔΔy x =(Δ)-()Δf x x f x x +=11-2Δ2Δx x x x +++=(2)-(2Δ)Δ(2)(2Δ)x x x x x x x ++++++=-1(2)(2Δ)x x x +++，所以当Δx →0时，ΔΔyx →-21(2)x +， 所以f'(x )=-21(2)x +.【精要点评】(1)根据概念求函数的导数是求导的基本方法，要注意遵照“一差”、“二比”、“三趋零”的求导步骤；(2)要注意区分函数的导数与导数值的区别与联系，欲求导数值，先求其导数，再将数值代入.变式 设函数f (x )在x=x 0处可导.(1)若当Δx无限趋近于0时，00(4Δ)-()Δf x x f xx+无限趋近于1，求f'(x0)的值；(2)若当Δx无限趋近于0时，00(-4Δ)-()Δf x x f xx无限趋近于1，求f'(x0)的值.【解答】(1)00(4Δ)-()4Δf x x f xx+=14·00(4Δ)-()Δf x x f xx+，当Δx→0时，上式→14，故f'(x0)=1 4.(2)00(-4Δ)-()-4Δf x x f xx=-14·00(-4Δ)-()Δf x x f xx，当Δx→0时，上式→-14，故f'(x0)=-1 4.求导公式的应用例2(1)函数f(x)=-cos x在x=π4时的导数值为；(2)函数y=x3-2x的导数为；(3)函数y=sin x-2e x的导数为.【思维引导】(1)注意到-cos x的导数是sin x，再将x=π4的值代入即可；(2)函数和与差的导数等于导数的和与差，e x的导数仍然是e x.【答案】(1)2(2)y'=3x2-2(3)y'=cos x-2e x【解析】 (1)f'(x)=sin x，当x=π4时，f'π4⎛⎫⎪⎝⎭=2.【精要点评】求函数的导数的方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导.变式 (1)函数的导数为 ； (2)函数y=x 2311x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的导数为 . 【答案】 (1)y'=22(1-)x(2)y'=3x 2-32x【解析】(1)因为21-x ，所以y'=21-x ⎛⎫⎪⎝⎭'=22(1-)x .(2)因为y=x 3+1+21x ，所以y'=3x 2-32x .导数物理意义的应用例3 神舟飞船发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )=5t 3+30t 2+45t+4，其中h 的单位为m ，t 的单位是s .(1)求第1 s 内的平均速度v ； (2)求第1 s 末的瞬时速度；(3)经过多长时间飞船的速度达到75 m/s?【思维引导】飞船在t s 到(t+Δt )s 时间内的平均速度为ΔΔh t =(Δ)-()Δh t t h t t +.飞船在t s末的瞬时速度是当Δt →0时，ΔΔh t =(Δ)-()Δh t t h t t +无限趋近的常数值，也就是h (t )在(t ，h (t ))处的导数，即v (t )=h'(t ).【解答】(1)v=(1)-(0)1-0h h =80(m/s).(2)v (t )=h'(t )=15t 2+60t+45， 所以v (1)=120(m/s).(3)由v (t )=75，得15t 2+60t+45=75，解得-2或-2(舍去)，所以-2(s).【精要点评】抓住导数的定义v(t)=h'(t)是解决第(2)小题的关键.变式将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)，计算第2小时和第6小时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.【思维引导】要求瞬时变化率，就是要求温度函数的导数.【解答】在第2小时和第6小时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)，根据导数定义ΔΔfx=(2Δ)-(2)Δf x fx+=22(2Δ)-7(2Δ)15-(2-7215)Δx xx+++⨯+=Δx-3，所以f'(2)=-3，同理可得f'(6)=5.故在第2小时和第6小时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5，说明在第2小时附近，原油温度大约以3 ℃/ h的速率下降，在第6小时附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.【精要点评】求导的方法有定义法和公式法两种，本题用定义法求导数，其中瞬时变化率就是根据定义对速度进行求导.利用导数的四则运算法则求函数的导数例4求下列函数的导数.(1)y=x4-3x2-5x+6；(2)y=x·tan x；(3)y=-11xx+.【思维引导】本题主要利用导数的四则运算法则求函数的导数，解题的关键是仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数的求导公式，不具备求导条件的函数可进行适当的恒等变形.【解答】(1)y'=(x4-3x2-5x+6)'=(x4)'-(3x2)'-(5x)'+6'=4x3-6x-5.(2)y'=(x·tan x)'=sincosx xx⎛⎫⎪⎝⎭'=2(sin)'cos-sin(cos)'cosx x x x x xx=2sin coscosx x xx+.(3)方法一：y'=-11xx⎛⎫⎪+⎝⎭'=2(-1)'(1)-(-1)(1)'(1)x x x xx+++=21-(-1)(1)x xx++=22(1)x+.方法二：因为y=-11xx+=1-21xx++=1-21x+，所以y'=21-1x⎛⎫⎪+⎝⎭'=2-1x⎛⎫⎪+⎝⎭'=-22'(1)-2(1)'(1)x xx+++=22(1)x+.【精要点评】通过本例可以看出，只有深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性.同时，在解决问题时要做到举一反三.变式设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，求f'(0).【思维引导】本题主要应用导数乘法的运算法则求导数，求f'(0)，应先求f'(x)，由已知怎样求f'(x)，考虑将多个因式之积看成两个因式之积，便可应用积的求导法则解题.【解答】令g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)，所以f(x)=xg(x).两边求导得f'(x)=x'g(x)+xg'(x)=g(x)+xg'(x).所以f'(0)=g(0)+0·g'(0)=g(0)=1×2×3×…×n=n!.【精要点评】灵活应用导数的乘法运算法则是本题的一大技巧.1.(2015·泰州中学)已知函数f(x)=1+1x，则f(x)在区间[1，2]，112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的平均变化率分别为.【答案】-12，-2【解析】(2)-(1)2-1f f =-1(1)-12121-2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；=-2.2.(2015·南通模拟)已知函数f (x )=e x -f (0)x+12x 2，则f'(1)= .【答案】e【解析】由题意得f (0)=e 0-f (0)×0+12×02=1， 则f (x )=e x -x+12x 2，所以f'(x )=e x-1+x ，所以f'(1)=e 1-1+1=e .3.某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2t 3-5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则t=2 s 时，汽车的瞬时速度为 . 【答案】4 m/s【解析】利用导数可求，注意结果要带单位.4.(2014·泰安模拟)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f'(x )存在，且导函数f'(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f″(x )=(f'(x ))'，若f″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数.以下四个函数在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为凸函数的是 .(填序号)①f (x )=sin x+cos x ； ②f (x )=ln x-2x ； ③f (x )=-x 3+2x-1； ④f (x )=x e x.【答案】①②③【解析】在定义域π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，内，由f″(x )=-sin x-cos x<0，得①是凸函数；由f″(x )=-21x <0，得②是凸函数；由f″(x )=-6x<0，得③是凸函数；由f″(x )=2e x +x e x >0，得④不是凸函数.5.求下列函数的导数.(1)y=(3x3-4x)(2x+1)；(2)y=x2sin x；(3)y=3x e x-2x+e；(4)y=cossinx xx x++.【解答】(1)方法一：因为y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x，所以y'=24x3+9x2-16x-4.方法二：y'=(3x3-4x)'(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+9x2-16x-4.(2)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2x sin x+x2cos x.(3)y'=(3x e x)'-(2x)'+(e)'=(3x)'e x+3x(e x)'-(2x)'=3x e x ln 3+3x e x-2x ln 2=(ln 3+1)·(3e)x-2x ln 2.(4)y'=2(cos)'(sin)-(cos)(sin)'(sin)x x x x x x x xx x+++++=2(1-sin)(sin)-(cos)(1cos)(sin)x x x x x xx x++++=2-cos-sin sin-cos-1(sin)x x x x x xx x++.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第31~32页.【检测与评估】第三章导数及其应用第16课导数的概念及运算一、填空题1.(2015·盐城中学)若f(x)=x2-2x-4ln x，则f'(x)>0的解集是.2.某汽车的路程函数是s(t)=2t3-gt2(g=10 m/s2)，则当t=2 s时，汽车的加速度为.3.已知函数f(x)=x2+2xf'(1)，则f'(-1)= .4.已知函数f(x)=ax在x=1处的导数为-2，那么实数a的值为.5.(2015·天津卷)已知函数f(x)=ax ln x，x∈(0，+∞)，其中a为实数，f'(x)为f(x)的导函数，若f'(1)=3，则a的值为.6.已知函数f(x)=f'π4⎛⎫⎪⎝⎭cos x+sin x，那么f（π4）的值为.7.(2014·江苏模拟)同学们经过市场调查，得出了某种商品在2013年的价格y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为y=2+220-tt(1≤t≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是元/月.8.已知f1(x)=sin x+cos x，记f2(x)=f'1(x)，f3(x)=f'2 (x)，…，f n(x)=f'n-1(x)(n∈N*且n≥2)，则f1π2⎛⎫⎪⎝⎭+f2π2⎛⎫⎪⎝⎭+…+f2 017π2⎛⎫⎪⎝⎭= .二、解答题9.求下列函数的导数.(1)y=x n e x；(2)y=cos sinxx；(3)y=e x ln x；(4)y=(x+1)2(x-1).10.在F1赛车中，赛车位移与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s的单位为m，t的单位为s).(1)当t=20 s，Δt=0.1 s时，求Δs与ΔΔs t；(2)求t=20 s时的瞬时速度.11.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导函数.若f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=x3-3x2+2x-2.(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标；(2)求证：f(x)的图象关于“拐点”A对称.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·启东最后一卷)记定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f'(x).如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)-f(a)=f'(x0)(b-a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”，那么函数f(x)=x3-3x在区间[-2，2]上的“中值点”的个数为.13.已知函数f(x)=(2x+1)ln(2x+1)，那么f'(x)= .【检测与评估答案】第三章导数及其应用第16课导数的概念及运算1.(2，+∞) 【解析】函数f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=2x-2-4x >0，解得x>2.2.4 m/s 2 【解析】由题意知汽车的速度函数为v (t )=s'(t )=6t 2-2gt ，则v'(t )=12t-2g ，故当t=2 s 时，汽车的加速度是v'(2)=12×2-2×10=4(m/s 2).3.-6 【解析】f'(x )=2x+2f'(1)，f'(1)=2+2f'(1)，所以f'(1)=-2，所以f (x )=x 2-4x ，f'(x )=2x-4，f'(-1)=-6.4. 2 【解析】由题设得f'(x )=-2ax ，当x=1时，-a=-2，即a=2.5.3 【解析】因为f'(x )=a (1+ln x )，所以f'(1)=a=3.6.1 【解析】由题意得f'(x )=-f'π4⎛⎫ ⎪⎝⎭sin x+cos x ⇒ f'π4⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f'π4⎛⎫ ⎪⎝⎭sin π4+cos π4，所以f'π4⎛⎫ ⎪⎝⎭=21，所以f (x )=-1)cos x+sin x ，所以f π4⎛⎫ ⎪⎝⎭=-1)cos π4+sin π4=1.7.3 【解析】因为y=2+220-t t (1≤t ≤12)，所以y'=2240-(20-)t t t ，可知10月份该商品价格的上涨速度应为y'|t=10=224010-10(20-10)⨯=3(元/月).8. 1 【解析】f 2(x )=f'1(x )=cos x-sin x ，f 3(x )=f'2(x )=-sin x-cos x ，f 4(x )=f'3(x )=sin x-cos x ，f 5(x )=f'4(x )=sin x+cos x ，故周期为4，前四项和为0，所以原式=f 1π2⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin π2+cosπ2=1.9. (1) y'=n -1n x e x +x n e x =-1n x e x (n+x ).(2) y'=222-sin -cos sin x x x =-21sin x .(3) y'=e x ln x+e x ·1x =e x 1ln x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(4) 因为y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x 2-1)=x 3+x 2-x-1，所以y'=3x 2+2x-1.10.(1) Δs=s (20+Δt )-s (20)=10(20+0.1)+5(20+0.1)2-10×20-5×202=21.05(m). ΔΔs t =21.050.1=210.5(m/s).(2) 由导数的定义，知在t=20 s 时的瞬时速度为v (t )=ΔΔs t =2210(Δ)5(Δ)-10-5Δt t t t t t t +++=25Δ10Δ10ΔΔt t t tt +⋅+=5Δt+10t+10.当Δt →0，t=20 s 时，v=10×20+10=210(m/s).11. (1) f'(x )=3x 2-6x+2，f″(x )=6x-6.令f″(x )=6x-6=0，得x=1， f (1)=13-3+2-2=-2.所以拐点A 的坐标为(1，-2).(2) 设P (x 0，y 0)是y=f (x )图象上任意一点，则y 0=30x -320x +2x 0-2.因为P (x 0，y 0)关于点A (1，-2)的对称点为P'(2-x 0，-4-y 0)，把P'代入y=f (x )，得左边=-4-y 0=-30x +320x -2x 0-2，右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-3x+32x-2x0-2，所以左边=右边，所以点P'(2-x0，-4-y0)在函数y=f(x)的图象上. 所以y=f(x)的图象关于点A对称.12.2【解析】因为f(2)=2，f(-2)=-2，(2)-(-2)2-(-2)f f=1，所以f'(x)=3x2-3=1，得x=±∈[-2，2]，故有2个“中值点”.13.2[ln(2x+1)+1]。