专题7 立体几何
江苏省黄埭中学 李其龙
一、填空题
例1.下列结论正确的是 ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案：④，简单几何体基本概念与性质 例2．在正方体1111ABCD A B C D -各个表面的12条对角线中，与1BD 垂直的有____ _ 条． 答案：6，异面直线垂直判断
例3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，这个正四棱锥的侧面积是 ． 答案：24，正四棱锥的结构特征、侧面积的计算方法
例4．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝2 3 ，则棱锥O —ABCD 的体积为
．
答案：
例5．如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ,分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为 . 答案：考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得321S S S <<.
例6． 若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是________.
①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；
③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．
答案：①为假命题，②为真命题，在③中n 可以平行于β，也可以在β内，是假命题，④中，m 、n 也可以不互相垂直，为假命题；故答案为②.
例7．α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线，下列四个条件中是a
⊥b 的充分条件的有 ．
①a//α，b ?β；②a ⊥α，b//β；③a ⊥α，b ⊥β；④a//α，b//β且a 与α的距离等于b 与
β的距离．
答案：③，本题主要考查空间线面之间的位置关系，特别是判断平行与垂直的常用方法． 例8．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为4
3π，半径为18 cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________． 答案：23
例9．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是_____． 答案：29
R 4
π，将全面积表示成底面半径的函数，即可求出函数的最大值
设内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，全面积为S ，则有
3R h r
h 3R 3r 3R R -=?=-， ∴()22222339
S 2rh 2r 2r 3R 3r 2r 4r Rr 4r R R 244
πππππππ=+=-+=--=--+（）（）。
∴当3r R 4=时，S 取的最大值29
R 4
π。故选B 。
例10．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P 是
BC 重点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为
再展开如图，则可得最短路程为
例11．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 . 答案：1 2?
??
?，，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB 的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得
到结果
∵正四面体的对角线互相垂直，且棱AB ∥平面α，
∴当CD ⊥平面α，这时的投影面等于正四面体的侧视图的面积，根据正四面体的性质，面
积此时最大，是11
22
=； 当面ABC ⊥平面α面积最小时构成的三角形底边是1，
∴正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是1 42?
??
?，。
例12． 已知正四棱锥S ABCD -
中，SA =当该棱锥的体积最大时，它的高为_____. 答案：本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为a
，则高
h ==所以体
积2613V a h =
=，设461
122
y a a =-，则35'483y a a =-，当y 取最值时，35'483y a a =-，解得a=0或a=4
时，体积最大，此时2h ==.
例13．如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且
3,2,1PA PB PC ===．设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三
棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(,,)2
f M x y =,
且
18a
x y
+≥恒成立,则正实数a 的最小值为________． 答案：1 ，由题意可知，12x y +=
，又18a
x y
+≥，得111(8)()5822a x x x x ≥--=--恒成立，再由基本不等式可知当1
4
x y ==
是a 取最小值1 例14．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端
点除外）上一动点．现将AFD ?沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ▲ ．
M
C
B
A
P
答案：21, 52?? ???
此题的破解可采用二个极端位置法：
（1）当F 点位于DC 的中点E 时，过点D 作DG ⊥AF ，连接BG 。
∵0901ADF AD DF ∠===，，∴AG DG =。 在△ABG 中，∵0452
BAG AG AB ∠==
，，=2，
∴2
2205222cos 452BG =+-?=??
。
∴在Rt △BDG 中， BD =∴△ABD 是直角三角形。∴11
cos 122
t AD DAB =∠=?
=。 （2）当F 点到C 点时，过点D 作DH ⊥AF ，连接BH 。
∵0901, 2ADF AD DF ∠===，，∴AC ∴
AH DH =
=。 在△ABH 中，∵cos
BAH AH AB ∠=
==2， ∴2
2
2
13222
5BH =+-=。 ∴在Rt △BDH 中， 2
2
1317
55BD =+=。
∴在△ABD 中，2217
1225cos 2125
DAB +-
∠==??。∴22cos 155t AD DAB =∠=?=。
∴t 的取值范围是21, 52??
???
。
二、解答题
例15．如图，已知直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是直角梯形，AB BC ⊥，//AB CD ，
E ，
F 分别是棱BC ，11B C 上的动点，且1//EF CC ，11CD DD ==，2,3AB BC ==.
（Ⅰ）证明：无论点E 怎样运动，四边形1EFD D 都为矩形； （Ⅱ）当1EC =时，求几何体1A EFD D -的体积．
答案：（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，11//DD CC ， ∵1//EF CC ，∴1//EF DD ，
又∵平面//ABCD 平面1111A B C D ，平面ABCD 平面1EFD D ED =， 平面1111A B C D 平面11EFD D FD =，
∴1//ED FD ，∴四边形1EFD D 为平行四边形， ∵侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又DE ?平面ABCD 内， ∴1DD DE ⊥，∴四边形1EFD D 为矩形；
（Ⅱ）证明：连结AE ，∵四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱， ∴侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又AE ?平面ABCD 内，∴1DD AE ⊥，
在Rt ABE ?中，2AB =，2BE =，则AE =
在Rt CDE ?中，1EC =，1CD =，则DE =；
在直角梯形中ABCD ，AD =
=
∴222AE DE AD +=，即AE ED ⊥，又∵1ED DD D = ，∴AE ⊥平面1EFD D ；
由（Ⅰ）可知，四边形1EFD D 为矩形，且DE =11DD =，
∴矩形1EFD D 的面积为11EFD D S DE DD =?=，
∴几何体1A EFD D -的体积为11114
333
A EFD D EFD D V S AE -=?==．
例16．在边长为6cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合，构成一个三棱锥． （1）判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）求多面体E -AFMN 的体积．
答案：（1）因翻折后B 、C 、D 重合（如图），所以MN 应是ABF ?的一条中位线， 则
MN AF MN AEF MN AEF AF AEF ??
??????
平面平面平面． （2）因为}
AB BE AB AB AF
⊥?⊥
⊥平面BEF ， 且6,3AB BE BF ===，∴9A BEF V -=，
又
3
,4
E AFMN AFMN E AB
F ABC V S V S --?== ∴274E AFMN V -=．
例17．如图，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED,FB=a 5 （1）证明：EB ⊥FD
（2）求点B 到平面FED 的距离.
答案：（1）证明： 点E 为弧AC 的中点
,2
ABE BE AC π
∴∠=
⊥即
又BED BE BED FC ⊥∈ 平面，平面
FC BE ∴⊥
又FC AC FBD FC AC=C ∈ 、平面，
BE FBD FD FBD ∴⊥∈ 平面平面
EB FD ∴⊥
（2
）解：2a =
M
N F
B
C
D
A
F
A
C
211
222
Rt EBD S BE
BD a a a ?
=
?=?= 在Rt FBE
FE ?=
中，
由于：FD ED =
所以2
1122FDE FE S FE h ?=
?= 由等体积法可知：
11
33
Rt EBD FDE
S FC S h ???=? 即2
2
2a a h ?=
?，所以
h = 即点B 到平面FED 的距离为
21
a 例18． 如图，三角形ABC 中，AC=BC=
AB 2
2
，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点． (Ⅰ)求证：GF//底面ABC ； (Ⅱ)求证：AC⊥平面EBC ；
(Ⅲ)求几何体ADEBC 的体积V ．
答案：（I ）证法一：取BE 的中点H ，连结HF 、GH ，（如图） ∵G、F 分别是EC 和BD 的中点∴HG//BC，HF//DE ， 又∵ADEB 为正方形 ∴DE//AB，从而HF//AB ∴HF//平面ABC ，HG//平面ABC, HF ∩HG=H, ∴平面HGF//平面ABC∴GF//平面ABC
证法二：取BC 的中点M ，AB 的中点N 连结GM 、FN 、MN （如图）
∵G、F 分别是EC 和BD 的中点∴DA
NF DA ，NF BE ，GM BE GM 2
1
//2
1
,//==
且且
A
C
A
F
又∵ADEB 为正方形 ∴BE//AD，BE=AD ∴GM//NF 且GM=NF∴MNFG 为平行四边形
∴GF//MN，又ABC MN 平面?，∴GF//平面ABC
证法三：连结AE ，∵ADEB 为正方形，∴AE∩BD=F，且F 是AE 中点， ∴GF//AC，又AC ?平面ABC ，∴GF//平面ABC
（Ⅱ）∵ADEB 为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面ABC
又∵平面ABED⊥平面ABC ，∴BE⊥平面ABC ∴BE⊥AC 又∵CA 2
+CB 2
=AB 2
∴AC⊥BC , ∵BC∩BE=B, ∴AC⊥平面BCE
（Ⅲ）连结CN ，因为AC=BC ，∴CN⊥AB， 又平面ABED⊥平面ABC ，CN ?平面ABC ，∴CN⊥平面ABED.
∵三角形ABC 是等腰直角三角形，∴11
22
CN AB =
=， ∵C—ABED 是四棱锥,∴V C —ABED =13ABED S CN ?=111
1326
??=
2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第 一讲空间几何体课时作业文 1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为( ) 解析：根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是边长与正方体棱长相等的正方形、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，因此结合选项知，它的正视图为B. 答案：B 2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A．2πB．π C．2 D．1 解析：所得圆柱体的底面半径为1，母线长为1，所以其侧面积S＝2π×1×1＝2π，故选A. 答案：A 3．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为( )
解析：三棱柱一定有两个侧面垂直，故只能是选项C中的图形． 答案：C 4．(2016·郑州质量预测)已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于( ) A．1 B.2 C．2 D．22 解析：由题意知，所求正视图是底边长为2，腰长为2的正方形，其面积与侧视图面积相等为2. 答案：C 5．(2016·河北五校联考)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( ) A．2 B．22 C. 3 D．23 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1-BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2,22，22，23，故选D. 答案：D 6.(2016·郑州模拟)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( )
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 专题七立体几何专题 三视图和球 一、知识清单 1.空间几何体的结构特征 注意区别：1.正三棱柱 2.正四面体 3.直棱柱 4.正棱柱 2. 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用________画法来画，基本规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直。 (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中______________________。平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中__________，平行于y轴的线段长度在直观图中_________________。 3.几何体的三视图 三视图包括_______________,____________,_________________. 三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐” 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝_____S圆台侧＝__________ 5.空间几何体的表面积和体积公式 二、实例演练 1.【2017课标II ，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A.90π B.63π C.42π D.36π 【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为221 3634632 V πππ= ???+??=，故选B. 2.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） （A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 试题分析：该几何体是三棱锥，如图： 图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是 ，故选D. 3.【2018届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 故该几何体的表面积 4.【2017课标1，】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 5.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是( ) A ．314 B ．4 C ．3 10 D ．3 【解析】几何体如图，体积为：422 1 3=?，故选择B 11 5341032 V =????=3π4π24π＋34π＋1 222342 S πππ=? ?++?=+（） ， 2015届高三数学立体几何专题训练 1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 解析：选A. 原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V ＝4×2×2＋1 2 π×22×4＝16＋8π. 2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析：选A. 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝1 2 ×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5， ∴V 球＝43π×53＝500π 3 (cm 3)． 3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ?α，l ?β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 解析：选D. 根据所给的已知条件作图，如图所示． 由图可知α与β相交，且交线平行于l ，故选D. 4．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析：选A.法一： 如图，连接AC ，交B D 于点O ，由正四棱柱的性质，有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ，所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC ＝C ，所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ，垂足为H ，则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O ＝O ，所以CH ⊥平面B D C 1，连接D H ，则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影，所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2.在Rt △COC 1中，由 等面积变换易求得CH ＝23.在Rt △C D H 中，s in ∠C D H ＝CH CD ＝2 3 . 法二： 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0,0)，C (0,1,0)， B (1,1,0)， C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→ ＝(0,1,2)． 设平面B D C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 n ⊥DB →，n ⊥DC 1→ ，所以有????? x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0， 令y ＝－2，得平面B D C 1的一个法向量为n ＝(2， －2,1)． 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ，则s in θ＝|co s n ，DC → ＝???? ??n ·DC →|n ||DC →|＝23. 5．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 第一部分 一 13(文) 一、选择题 1．(2015·东北三校二模)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m [答案] B [解析] 当l 、m 是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A 的条件，故A 错误；对于C ，过l 作平面与平面α相交于直线l 1，则l ∥l 1，在α内作直线m 与l 1相交，满足C 的条件，但l 与m 不平行，故C 错误；对于D ，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l 、m ，满足D 的条件，故D 错误；对于B ，由线面垂直的性质定理知B 正确． 2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 [答案] C [解析] 若α、β换成直线a 、b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ?b ⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ?b ⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α?a ⊥b ”，此命题为真命题，故选C. 3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.1 3＋2π B.13π 6 C.7π3 D.5π2 [答案] B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1， 专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系 (1)如图所示，在正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，M，N分别是C 1 C， B 1C 1 的中点．求证：MN∥平面A 1 BD. (2)在正方体AC 1 中，M，N，E，F分别是A 1 B 1 ，A 1 D 1 ，B 1 C 1 ，C 1 D 1 的中点， 求证：平面AMN∥平面EFDB. 思考题1 (1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. (2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 求证：PQ∥平面BCD. 题型二证明垂直关系(微专题) 微专题1：证明线线垂直 (1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中 点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN. (2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A 1B 1 C 1 中，AA 1 ＝AB ＝AC＝1，E，F分别是CC 1，BC的中点，AE⊥A 1 B 1 ，D为棱A 1 B 1 上的点，求 证：DF⊥AE. 微专题2：证明线面垂直 (3)在正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，求证：BD 1 ⊥平面ACB 1 . (4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A 1B 1 C 1 为三棱柱， 且AA 1 ⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°. 若AA 1＝AC，求证：AC 1 ⊥平面A 1 B 1 CD. 微专题3：证明面面垂直 (5)已知正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是BB 1 ，CD的中点，求 证：平面DEA⊥平面A 1FD 1 . 第2讲 综合大题部分 1．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点． (1)证明：PO ⊥平面ABC ； (2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解析：(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝ 22 AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12 AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知，PO ⊥平面ABC . (2)如图，作CH ⊥OM ，垂足为H ， 又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423 ，∠ACB ＝45°， 所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455 . 所以点C 到平面POM 的距离为455 . 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是上异于C ，D 的点． (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC . (2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． 解析：(1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD . 因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ， 故BC ⊥DM . 因为M 为上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ?平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC . 2020年高考数学专题复习（立体几何） 1．如图，一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．323 π B ．16π C ．8π D ．4π 2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”. 已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积， 则该“堑堵”的体积为( ) A ． 2 3 B ．1 C ．2 D ．4 3．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图 的面积之和为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ） A ．4π B ．16π C ．36π D ． 643 π 3．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中， AC 与BD 相交于O .剪去AOB ?，将剩余部分沿 OC ，OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、 C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为________. 6．一副直角三角板（如图1）拼接，将BCD ?折起，得到三棱锥A BCD -（如图2）. （1）若,E F 分别为,AB BC 的中点，求证：//EF 平面ACD ； （2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD . 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点． （1）求证：； （2）求证：平面 ； （3）求三棱锥的体积． 高三立体几何专题复习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考立体几何专题复习 一．考试要求： （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 （2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 （3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 （4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 （5）会用反证法证明简单的问题。 （6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 （9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 （10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用． 2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力． 4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 重庆高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立 第2讲 综合大题部分 1.(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF . (1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ?平面ABFD ， 所以平面PEF ⊥平面ABFD . (2)如图，作PH ⊥EF ，垂足为H . 由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF → |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz . 由(1)可得，DE ⊥PE . 又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3. 又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF . 所以PH ＝ 32，EH ＝32 . 则H (0,0,0)，P ? ? ???0，0，32，D ? ? ???－1，－32，0， DP → ＝? ? ???1，32 ， 32，HP →＝? ????0，0，32. 又HP → 为平面ABFD 的法向量， 设DP 与平面ABFD 所成角为θ， 则sin θ＝????????HP →·DP →|HP →||DP →|＝3 4 3＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为 3 4 . 2．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4， O 为AC 的中点． (1)证明：PO ⊥平面ABC ； (2)若点M 在棱BC 上，且二面角M -PA -C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：因为PA ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 如图，连接OB . 因为AB ＝BC ＝ 2 2 AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝1 2AC ＝2. 由OP 2 ＋OB 2 ＝PB 2 知PO ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，得PO ⊥平面ABC . (2)如图，以O 为坐标原点，OB → 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O -xyz . 由已知得O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0，23)，AP → ＝(0,2,23)． 取平面PAC 的一个法向量OB → ＝(2,0,0)． 设M (a,2－a,0)(0≤a ≤2)，则AM → ＝(a,4－a,0)． 设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由AP →·n ＝0，AM → ·n ＝0得 ?? ? 2y ＋23z ＝0，ax ＋－a y ＝0， 可取y ＝3a ，得平面PAM 的一个法向量为n ＝(3(a －4)，3 a ，－a )， 所以cos 〈OB → ，n 〉＝ 23a － 2 a －2 ＋3a 2＋a 2 . 由已知可得|cos 〈OB → ，n 〉|＝cos 30°＝32 ， 专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） 2010年高考立体几何专题复习 岱山中学 孙珊瑚 鲁纪伟 高考立体几何试题一般有选择、填空题, 解答题,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概 念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ???? ， 二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力． 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面，设∩＝OA ，∩＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥，垂足为B ，AC ⊥，垂足为C ，则∠BAC ＝或∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面内的射影图形的面积为S ，则cos ＝S S ' . 5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线 高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体 的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 D C B A F E A B C A 1 O B 1 C 1 1 2015届高三二轮复习立体几何专题训练 1．如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠= ． （1）求证：平面//BCF 面AED ； （2）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积． 2．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ， 将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （1）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （2）求证：BD ⊥1A F ； （3）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由. 3．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面M ABCD ,和N 分别是AD 和BC 的中点。 （1）求证：MN PM ⊥； （2）求证：平面PMN ⊥平面PBC ； （3）在PA 上是否存在点Q ，使得平面//QMN 平面PCD ？若在求出Q 点位置，并证明；若不存在，请说明理由。 4．如图，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN \是矩形，平面⊥MADN 平面ABCD ，F E ,分别为DC MA ,的中点，求证： （1）//EF 平面MNCB ； （2）平面MAC ⊥平面BND ． 5．如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,1 22 AD CD AB == =, 点E 为AC 中点.将ADC ?沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. （1）在CD 上找一点F ,使//AD 平面EFB ; （2）求点C 到平面ABD 的距离. 6．如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面0 90,=∠BCA ABC ，BC AC AA ==1. （1）求证：1AC ⊥平面BC A 1; （2）若21=AA ，求三棱锥AB A C 1-的高的大小． 7．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）//1O C 面11AB D ； （2）1A C ⊥面11AB D ． （3）平面//11D AB 平面BD C 1 A B C D 图2 E B A C D 图1 E 1 图 高三数学立体几何专 题 专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空 间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三 视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的 高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 专题--立体几何 1．[2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-1所示，则该多面体的体积是( ) 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4 A.233 B.47 6 C ．6 D ．7 2．[2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1-2所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________． 3．[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-3所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．[2014·浙江卷] 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．72 cm 3 B ．90 cm 3 C ．108 cm 3 D ．138 cm 3 5．[2014·辽宁卷] 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ?α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 6．[2014·浙江卷] 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α C ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α D ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α 7.（2016年3卷9题）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（） （A ）18+B ）54+C ）90（D ）81 7． [2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217. 点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH . (1)证明：GH ∥EF ； (2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积． 图1-5 8．[2014·北京卷] 如图1-6，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点． (1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E - ABC 的体积． 图1-6 立体几何专题复习 编者注：本专题中的练习题都是从最近全国各地的模拟考试题中选出来的，具有很高的训练价值，请同学们认真完成。 1．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， (1)在棱AD 上有一点P ，当 PD PA 为多少时，使二面角D 1-PC-D 的大小等于60°？ (2)在(1)的条件下，求直线A 1 B 1 与平面CD 1P 所成的角. 解：(1)设PD=x ，AB=1，作DE ⊥PC 于E ，可得2 2 x = ，比值为2-1. 6分 (2)30°. 12分 2．如图，将长AA′=33，宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示： (1)求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值； (2)求三棱锥A 1—APQ 的体积. 解：(1)依题意知三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，且侧棱AA 1=3.底面边长为3，BP=1，CQ=2， 延长QP 交BC 的延长线于点E ，连结AE. 在△ACE 中，AC=3，CE=2BC=23，∠ACE=60°于是AE=3， 则AE ⊥AC 于A ，QA ⊥AE. 所以∠QAC 为平面APQ 与平面ABC 所成的锐二面角的平面角. 4分 又AC=3， 于是tanQAC= 33 2 32AC QC ==. 即面APQ 与面ABC 所成锐二面角的正切值为3 3 2. 6分 (2)连A 1P ，△A 1AP 的面积为33 2 ， 8分 点Q 到平面A 1AP 的距离为2 3， 34 33232 33 1 V V AP A Q APQ A 11=? ?==--. 12分 3. 如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BCD=90°，PA=PB ，PC=PD. (1)证明：CD 与平面PAD 不重直； (2)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ； (3)如果CD=AD ＋BC ，二面角P －BC －A 等于60°，求二面角P －CD －A 的大小. (1)证明：若CD ⊥平面PAD ， 1分 则CD ⊥PD ， 2分 由已知PC=PD ，得∠PCD=∠PDC ＜90°， 这与CD ⊥PD 矛盾，所以CD 与平面PAD 不垂直. 3分 (2)证明：取AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF 、EF ， 由PA=PB ，PC=PD ，得PE ⊥AB ，PF ⊥CD. 5分 ∴EF 为直角梯形的中位线. ∴EF ⊥CD ，又PF∩EF=F. ∴CD ⊥平面PEF. 6分 由PE ?平面PEF ，得CD ⊥PE ， 又AB ⊥PE 且梯形两腰AB 、CD 必相交，∴PE ⊥平面ABCD. 7分 又PE ?平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD. 8分 (3)解：由(2)及二面角的定义知∠PFE 为二面角P —CD —A 的平面角， 9分 作EG ⊥BC 于G ，连PG ，由三垂线定理得BC ⊥PG ， 故∠PGE 为二面角P —BC —A 的平面角. 10分 即∠PGE=60°，由已知，得EF=21(AD+BC)=2 1 CD. 又EG=CF= 2 1 CD ， ∴EF=EG ，易证得Rt △PEF ≌Rt △PEG. 11分 ∴∠PEF=∠PGE=60°即为所求. 12分 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BB 1=BC=1，E 为D 1C 1的中点，连结ED 、EC 、EB 和DB. (1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值； (3)求异面直线EB 和DC 的距离. (1)证明：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BB 1=BC=1，E 为D 1C 1的中点. ∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED=45°. 同理∠C 1EC=45°. ∴∠DEC=90°，即DE ⊥EC. 2分 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面D 1DCC 1，又DE ?平面D 1DCC 1， ∴BC ⊥DE. 3分 又EC∩BC=C ， ∴DE ⊥平面EBC. ∵平面DEB 过DE ， ∴平面DEB ⊥平面EBC. 4分 (2)解：如图，过E 在平面D 1DCC 1中作EO ⊥DC 于O.专题 立体几何三视图、球
2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案
2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：13立体几何综合练习(文)
立体几何专题复习(自己精心整理)
2020高考数学大二轮复习专题7立体几何第2讲综合大题部分增分强化练文
高三二轮复习立体几何试卷及答案
高三立体几何专题复习
2020高考数学大二轮复习专题7立体几何第2讲综合大题部分真题押题精练理
2021高考数学立体几何专题
2010年高考立体几何专题复习-6
高中数学立体几何专题
2015届高三二轮复习立体几何专题训练
高三数学立体几何专题复习课程
立体几何专题(二轮复习)
立体几何专题复习
相关主题
文本预览