北京邮电大学随机信号分析与处理综合练习题
一、判断题：
1. 设()X t 和()Y t 是相互独立的平稳随机过程，则它们的乘积也是平稳的。
2.()X t 为一个随机过程，对于任意一个固定的时刻i t ，()i X t 是一个确定值。
3. 设X 和Y 是两个随机变量，X 和Y 不相关且不独立，有()()()D X Y D X D Y +=+。
4. 一般来说，平稳正态随机过程与确定性信号之和仍然为平稳的正态过程。
5. 设()X t 是不含周期分量的零均值平稳随机过程，其自相关函数为()X R τ，从物
理概念上理解，有lim ()0X R ττ→∞
=。
6. 对于线性系统，假设输入为非平稳随机过程，则不能用频谱法来分析系统输
出随机过程的统计特性。 7. 若随机过程X (t )满足
，与t 无关，则X (t )是广义平稳（宽
平稳）过程。
8. 随机过程的方差表示消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值。 9. 广义循环平稳的随机过程本身也是一种广义平稳的随机过程。 10. 高斯白噪声经过匹配滤波器后仍然为高斯白噪声。 二．选择填空
1．对于联合平稳随机过程()X t 和()Y t 的互相关函数()XY R τ，以下关系正确的是
（1） 。
（1） A ．()()XY XY R R ττ-= B. ()-()XY YX R R ττ-=
C. )()(ττYX XY R R =-
D. )()(ττXY XY R R -=-
2. 随机过程X(t)的自相关函数满足1212(,)()()0X X X R t t m t m t =≠，则可以断定1()X t 和2()X t 之间的关系是 （2） 。
（2） A. 相互独立 B.相关 C. 不相关 D. 正交
3．两个不相关的高斯随机过程)(t X 和)(t Y ，均值分别为X m 和Y m ，方差分别为
2X σ和2Y σ，则)(t X 和)(t Y 的联合概率密度为 （3） 。
（3） A
．22
22
()()(,)22X Y X Y x m y m f x y σσ????--??=-+??????????
B. 22
22
()()1
(,)exp 222X Y X Y X Y x m y m f x y πσσσσ????--??
=-+?????????
?
C. 2222
()()(,)2()X Y X Y x m y m f x y σσ??
-+-=-??+??
D. 2222
()()1
(,)exp 22()X Y X Y X Y x m y m f x y πσσσσ??
-+-=-??+??
4. 设()sin()()c X t A t n t ω=+，其中()()cos()()sin()c c s c n t n t t n t t ωω=-是零均值平稳窄带高斯噪声，A 是不等于0的常数，则()X t 的包络服从 （4） ，()X t 的复包络服从 （5） 。
（4）A. 莱斯分布 B. 瑞利分布 C. 高斯分布 D. 均匀分布 （5）A. 莱斯分布 B. 瑞利分布 C. 高斯分布 D. 均匀分布 5. 设()N t 是平稳随机过程，其功率谱密度为()N G ω，定义()0()()sin X t N t t ωθ=+，
θ在0到2π之间均匀分布，则()X t 的平均功率谱密度为 （6） 。
（6）A. 001[()()]4
N N G G ωωωω++- B. 001[()()]2
N N G G ωωωω++-
C. 001
[()()]4
N N G G ωωωω+-- D. 001[()()]4
N N G G ωωωω--+
6. 已知2110ωω=，信号12()cos cos m t t t ωω=的Hilbert 变换为 （7） ，复包络为 （8）。
（7）A. 12sin sin t t ωω B. 12cos sin t t ωω C. 12sin cos t t ωω D. 12sin cos t t ωω- （8）A. 1sin t ω B. 1cos t ω C. 2sin t ω D. 2cos t ω
7. 设频带信号()X t 为一实数平稳过程，?()()()Z t X t jX
t =+，则()Z t 的平均功率是()X t 平均功率的 （9） 倍，()X t 的平均功率是?(t)X 平均功率的 （10） 倍。
（9）A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/4
（10）A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/4
8. 设有理想限幅器,()0
(),()0a X t Y t a X t ≥?=?-为常数。假定输入()X t 为零
均值正态随机过程，则输出()Y t 的均值为 （11） ，方差为 （12） 。
（11）A. a B. /2a C. 0 D. a - （12）A. a B. /2a C. 2a D. 22a
9. 双边功率谱密度为02N 的高斯白噪声的自相关函数为 （13） 。 （13）A. ()δτ B. 02N C.
()0
2
N δτ D. +∞。 10. 白噪声通过某线性系统后的物理谱（即单边功率谱）密度如图1所示，则
该系统的等效通能带（即等效矩形带宽）为 （14） Hz 。 （14） A.02wN π B. 0wN π C. 2w π D. w
π
图1
11. 已知三状态（编号0、1、2）马尔可夫链一步转移概率矩阵为0.10.70.20.40.30.30.30.50.2??
????
????
，则P{X 2=0|X 0=1}= (15) 。
（15） A. 0.35 B. 0.25 C. 0.23 D. 0.52
三、（8分）随机过程0()=cos()X t A t ω+Φ，其中0ω为常数，A 和Φ是统计独立的随机变量，A 以等概率分别取值{}3,1,1,3--++，Φ在[0,2]π之间均匀分布。
（1） 判断()X t 是否是广义平稳的； （2） 求()X t 的平均功率； （3） 求()X t 的功率谱密度。
四、（8分）考虑如图2所示的具有一个输入、两个输出的线性系统。
图2
（1）证明：1()Y t 和2()Y t 的互功率谱密度为()()()()12
*12YY X G H H G ωωωω=，其中()X G ω为输入信号()X t 的功率谱密度；
（2）若输入信号()X t 为均值为0，双边功率谱密度为02N 的高斯白噪声，请问
何种()1H ω和()2H ω可保证1()Y t 和2()Y t 统计独立。
五、（10分）假设某通信系统在0时刻发送波形()11020s t T s t else ≤≤?=??，发送的
信号首先经过一个传递函数为()C f 的滤波器后叠加了白高斯噪声，再通过一个匹配滤波器后进行取样判决，如图3（a ）所示，其中()n t 是均值为0，双边功率谱密度为02N 的白高斯噪声。发送滤波器的结构如图3(b)所示。
(a)
(b) 图3
(1)请画出发送()1s t 时发送滤波器输出的波形()1g t ； (2)请写出匹配滤波器的冲激响应()h t ，并画出图形；
(3)求发送()1s t 条件下，匹配滤波器输出端最佳采样时刻的均值、方差及信噪比。
六、（16分）考虑如图4(a)所示的系统，已知输入信号()N t 为均值为0，双边功率谱密度为02N 的高斯白噪声，带通滤波器1()H ω和低通滤波器2()H ω的频率响应分别如图4(b)中所示。
(a)
c
c
(b) 图4
（1） 令()()()cos ()c X t A t t t ωφ=+，写出()A t 的一维概率密度函数，求其均值和
方差；
（2） 若检波器为平方律检波器，其传输特性为2()[()]Y t X t =，求系统输出信号
()Z t 的均值、方差及其一维概率密度函数；
（3） 若检波器为同步检波器，即传输特性为()()()cos c Y t X t t ω=，求输出信号
()Z t 的均值、方差及其一维概率密度函数。
七、（8分）设有一质点在线段上随机游动，线段的两端设有反射壁。假定质点只能停留在 a 1= -L ，a 2=0，a 3=L 三个点上，每经过一单位时间按以下规则改变一次位置：如果游动前质点在 a 2位置上，则下一时刻向左、向右移动一个单位L 的概率均为1/4，停留在原地的概率为1/2；若游动前质点在 a 1 位置，则下一时刻或以概率 1/2 向 a 2 移动，或以概率1/2 停留在原地；若游动前质点在 a 3位置，则下一时刻或以概率 1/2 向 a 2 移动，或以概率1/2 停留在原地。 (1)试画出状态转移图； (2)写出一步转移概率矩阵；
(3)求在平稳情况下，各点的状态概率。