变力做功问题
吴云坤
玉溪市第一中学，云南玉溪，653100
[内容摘要]：变力做功问题是个难点，如果力不是一个恒定的常量，在计算力所做功的时候就不能直接用功的计算式，本文利用功率、功能关系、平均力三个方面求解变力做功的问题，通过实例讲解总结变力功的几种方法。
[内容摘要]：变力做功位移能量图像
初高中物理教材中关于力对物体做功的基本定义式为：W =Fs 。或者W =Fs cos（式中θ表示力与位移之间的夹角）。在没有学习微积分之前我们只能用于解答恒力做功的问题。可是在实际问题中变力做功的问题经常遇到，这里给出三种求解变力做功的方法：
方法一：利用功率求解（W =Pt ）
功率公式W =Pt 中没有要求恒力条件，所以只要给出功率与过程经历的时间都可以用该公式求解。
例1：质量为m 的车在平直公路上以恒定功率P 从静止起动，已知：在时间t 内发生了位移s，最终以速度v 行驶，起动过程中的阻力 f 恒定。求汽车牵引力对汽车所做的功。
分析：由P =Fv ，汽车起动过程，速度越来越快（v增大），则在功率P 不变时牵引力F 就会变小，因此牵引力对汽车做的功属于变力做功的问题，不可用公式W =Fs 求解。而公式W =Pt 则不管是否为恒力做功都可以。
解：由功率公式W =Pt ，可以求解牵引力所做的功。
方法二：利用功能关系
功能关系解答问题的好处是不用关心中间的过程，只要找准初末状态确定的能量值。中间过程所有力（变力或者恒力）对物体做的功就等于做功过程初末状态的能量差。在例 1 中我们对汽车运用动能定理：
解：设起动时为零时刻初态，动能为零；汽车到达最大速度时为末态，动能为E =1 mv 2。由动能定理有：W =?E
K 2 总K
列等式：W =W -W =1 mv 2
总 F f 2
变为：W
F =
1
mv 2+W 2 f
得：W
F =
1
mv 2+f ?s 2
例题2、如图所示，一个质量为1kg 的物体从A 点沿半径为10 m 的粗糙半球内表面由静止开始下滑，到达最低点 C 时的速度为9m/s，求物体从A 到C 的过程中，摩擦力所做的功是多少？（g 取10m/s2）
解：物体由 A 滑到C 的过程中，根据牛顿第二定律：
N-mgcosθ= m v 2
R
所以N= mgcosθ+ m v 2
R
由此可看出弹力N 是个变力，而由
于摩擦力f =μN=μ（mgcosθ+ m v 2 ），摩擦力也是个变力，而此力
R
所做的功显然不能用公式W=Fscosα来做，但我们用动能定理却很方便的将之求出。
根据动能定理有：mgR+W f= 1 mv 2-0 可得物体从A 滑到C 的过
2
程中，摩擦力所做的功为：W f = 1 mv 2 -mgR = 1
?1? 92 - 1×10×10=-
2
2
119/2J
当然此题也可以用功能关系做，根据功能关系，物体克服摩擦力 所做的功等于物体减少的机械能。-W f =mgR- 力所做的功为 W f = 1
mv 2 -mgR=-119/2J
2
1
mv 2 2
所以摩擦
方法三：平均力求解（W = Fs ）
对于力 F 的大小改变的首要条件是均匀改变，而力 F 的改变联系
的参量一般有两个，时间 t 和位移 s 。
讨论一、力 F 的大小随位移 s 均匀变化之，
我们用图像法讨论。作出 F-s 图像如右图。
分析：功的公式W = Fs 一般适用于恒力做功，对于变力做功我们可以采用微元法处理，我们把位移 s 平均分成 n 等分。设每一分为 s 0。可见 n 越大 s 0 就越小。在每一个单元中，s 0 越小，直角梯形就越接近矩形，所以 s 0 越小，则在一个单元中的力 F 0 就可以看作常力。在每一个单元的力做功可写成：W 0 = F 0 ? s 0 。
依次可写出每一个单元中力做的功： W 1 = F 1 ? s 0 ，W 2 = F 2 ? s 0 ，W 3 = F 3 ? s 0 ，
W n = F n ? s 0
整个过程的力 F 做的功为所有单元的位移 s 0 内做功的总和：
W = W 1 + W 2 + W 3 + + W n
W = F 1 ? s 0 + F 2 ? s 0 + F 3 ? s 0 + + F n ? s 0 W = (F 1 + F 2 + F 3 + + F n )s 0
由于 s 是均匀分割的，所以 F 的变化是按等差数列变化。由等差
2 2 2 数列的前 n 项和公式有：
W = n (F 1 + F n ) ? s 2 0 = F 1 + F n ? (ns ) 2 0
由三角形可知
F 1 + F n 为中位线，相当于变力的平均值F ，ns 0 为整
2
个过程的中位线，所以：W = F ? s 0
当力的大小随着位移均匀变化时，变力做功可以用力的平均值与位移的乘积计算边里做的功。
例 3、用锤子把钉子钉入木块中，设每次打击时锤子对铁钉做的功都相等，铁钉进入木块受的阻力跟钉入的深度成正比。如果钉子第一次被钉入的深度为 4cm ，则第二次打击后可再进入几 cm ?
解：力 F 与深度 s 成正比，而在本例中位移就是深度，力 F 与位移 s 满足正比关系，故每次锤子打击铁钉时所做的功可以用公式W= Fs cos 来计算。第一次打击时锤子对钉子做的功 W 1= F 1 s 1，第二 次做的功 W 2= F 2
(s 2- s 1)， 设 F=ks ,有： F 1 =
0 + ks 1
2
F = ks 1 + ks 2
2
2
根据题意 W 1 = W 2，解得：s 2= s 1，Δs= s 2- s 1=( -1) s 1=2( -1)cm 。
讨论二：如果力 F 的大小随时间 t 做均匀 变化，作 F-t 图像如图所示，设物体的质量为 m ， 在变力 F 的作用下物体的速度从 v 0 变到 v t 。
由动能定理：W = ?E = 1 mv 2 - 1
mv 2
① K
2
t
2 0
由动量定理： F ? t = ?p = mv t - mv 0 = m (v t - v 0 ) ②
由①变形得：W = 1
m (v 2 - v 2 ) = 1
m (v - v )(v + v )
③
2
t 0 2
t 0 t
F
t
把②式代入③式得：W = 1
F ? t (v + v ) = F ? ?
v 0 + v t t
?
④
2
t 0
? ? 2 ?
对于④式中的
v 0 + v t t ，在匀变速运动中是平均速度v 与位移 s 的
2
乘积,即 v 0
+ v t
t = v ? t = s 。 对于匀变速直线运动：W = F ? s 。
2
这里就有一个矛盾，力 F 的大小在均匀变化时物体不可能做匀变
速直线运动！对于非匀变速运动： v 0
+ v t
t ≠ s 。
v
2
v t
我们可用 v-t 图像直观得来了解：如右图 Ⅰ
v
Ⅱ
所示的Ⅰ线表示物体做匀速直线运动，Ⅱ线表 v t
示物体做加速度增加的变加速度运动。在 v-t
t
图像中可以用“面积”表示位移。Ⅰ线与坐标轴围成的面积为一梯形。
S = s =
v 0 + v t
t ； I
2
而Ⅱ线与坐标轴围成的面积与梯形面积不相同（图中S ∏ < S I ，若
力 F 随时间逐渐减小，物体做加速度逐渐减小的变加速度运动，则
S ∏ > S I ）， 力 F 的 大 小 随 时 间 t 做 均 匀 变 化 变 力 F 做 功 ： W = F ?
v 0 + v t
? t ≠ F ? s 。
2
所以当力 F 的大小随时间 t 做均匀变化时，求力 F 对物体做功不能用平均力与位移的乘积来计算。
力对物体做功问题的求解，是高中阶段的一个学习主线，对这一部分知识的学习是为进一步认识功能关系，建立能量守恒思想打基础。这里讨论了力对物体做功的部分情况，它也是高中阶段常用的解
答力对物体做功问题的主要方法，通过讨论大家可以加深对做功问题的理解认识。而“微元法”、“动能定理”、“图像法”、“动量定理”求解力对物体做功方法的应用，能帮助我们渗透物理思想，体会物理学中的知识联系，为建立物理学系统性打下重要基础。
[参考文献]：
1花洪平.高中物理解题重要方法:微元法[J].2009（27）.
2徐鹏.怎样求解变力做功[J].数理化学习(初中版).2009(04).
3邢彦君，邢星.变力做功的计算[J].物理教师.2009（01）.
[作者简介]：
吴云坤，男，云南省江川县人，学士，工作单位：云南省玉溪市第一中学高中物理组，邮编：653100。