数学函数知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |======
中元素各表示什么？
A 表示函数y=lgx 的定义域，
B 表示的是值域，而
C 表示的却是函数上的点的轨迹
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
(注重借助于数轴和文氏图解集合问题)
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-????
??1013
显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质：
{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n
要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元
素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。
当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在和全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -
；）若（B B A A B A B A =?=?? 2
（3）德摩根定律：
()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5
0352
的取值范围。
()（∵，∴·∵，∴
·，，）335305555015392522∈--
M a a a 5.熟悉命题的几种形式、
()()().∨∧?可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非” 1.若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 2.若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 3, 若为真，当且仅当为假?p p
命题的四种形式及其相互关系是什么？
答:（互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
6.熟悉充要条件的性质（高考经常考）
x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，
若 ；则p 是q 的充分非必要条件B A _____?；
若 ；则p 是q 的必要非充分条件B A _____?；
若 ；则p 是q 的充要条件B A _____?；
若 ；则p 是q 的既非充分又非必要条件___________?；
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，
哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）
注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。
如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。
8.求函数的定义域有哪些常见类型？ ()
()例：函数的定义域是y x x x =--432lg ()()()（答：，，，）022334
函数定义域求法：
（1）.分式中的分母不为零；
（2）.偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
（3）.指数式的底数大于零且不等于一；
（4）.对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
（5）.正切函数x y tan = ???
??∈+≠∈Z π
πk k x R x ,2,且
（6）.余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且
9. 如何求复合函数的定义域？
[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>->
义域是_____________。 []（答：，）a a -
复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由
n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。
例：若函数)(x f y =的定义域为??????2,21
，则)(log 2x f 的定义域为 。
分析：由函数)(x f y =的定义域为??????2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 21
2≤≤x 。
解：依题意知：2log 21
2≤≤x
解之，得：42≤≤x
∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x
10．函数值域的求法
（1）、配方法配：求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
（2）、判别式法：对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用
（3）、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=654
3++x x 值域。
（4）、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y=11+-x x e e
，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 1
1cos y θθ-=+的值域。
22
21
10
112sin 1
1|sin |||1,
1sin 22sin 1
2sin 1(1cos )
1cos 2sin cos 14sin()1,sin()41sin()11
4即又由知解不等式，求出，就是要求的答案
x x x e y
y e y e y
y y y y y y y x y x y y
x y y θθθθθθθθθθθθ-+=?=>-+-+=?=≤+--=?-=++-=+++=++=+++≤≤+
（5）、函数单调性法：通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例：求函数y=+-25x log 31-x （2≤x ≤10）的值域
（6）、换元法：通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例：求函数y=x+1-x 的值域。
（7）、数形结合法：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，
这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单。
例:求函数y=1362+-x x + 542++x x 的值域
解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x
上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2，-1）的距离之和，
由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，y m in =∣AB ∣=)12()23(22
+++=43，
故：所求函数的值域为[43，+∞）。
(8)、不等式法：利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈R +），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：
(9).倒数法：有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例： 求函数y=32
++x x 的值域
2011
202201
2
时，
时，=0
0y x y y x y y =+≠==≥?<≤+=∴≤≤
11. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）
求反函数的步骤：①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域
()
()如：求函数的反函数f x x x x
x ()=+≥-
()
(
)（答：）f x x x x x -=->--
12. 反函数的性质：1.反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x 对应原函数中y ）
2.反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ）
3.反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于
直线y=x 对称
①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈?=-()b a
2
(0)
1
1
3
322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）
x x x x +>++≥=≥
[][]∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()，
13.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法：
根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系 可以变形为求1212()()f x f x x x --的正负号或者12()
()
f x f x 与1的关系
()如：求的单调区间y x x =-+log 12
22
（设，由则u x x u x =-+><<22002 ()且，，如图：log 12
211u u x ↓=--+
当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]log 0112
当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)log 1212
∴……）
14.如何利用导数判断函数的单调性？
()在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0 零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0 [)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大a f x x ax a >=-+∞013() 值是（ ）
（令f x x a x a x a '()=-=+?? ???-?? ???≥33330
2
则或x a x a
≤-≥33
由已知在，上为增函数，则，即f x a a ()[)131
3
+∞≤≤