练习一（直线和圆部分）
知识梳理
1．直线的倾斜角α的范围是 ；求直线斜率的两种方法：①定义：k = ()2πα≠； ②斜率公式：k =2121
y y x x --12()x x ≠．答案)0,180???? 2．直线方程的几种形式：
①点斜式 ，适用范围：不含直线0x x =；
特例：斜截式 ，适用范围：不含垂直于x 轴的直线；
②两点式 ，适用范围：不含直线112()x x x x =≠和直线112()y y y y =≠； 特例：截距式 ，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线；
③一般式 ，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用．
3．求过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程时：
（1）若12x x =，且12y y ≠时，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；
（2）若12x x ≠，且12y y =时，直线垂直于y 轴，方程为1y y =；
（3）若120x x ==，且12y y ≠时，直线即为y 轴，方程为0x =；
（4）若12x x ≠，且120y y ==时，直线即为x 轴，方程为0y =。
4．已知直线1l ：11y k x b =+，直线2l ：22y k x b =+，则
①1l 与2l 相交? ； ②1l 与2l 平行? ；
③1l 与2l 重合? ； ④1l 与2l 垂直? ．
5．已知直线1l ：1110A x B y C ++=，直线2l ：2220A x B y C ++=，则
①1l 与2l 相交? ； ②1l 与2l 平行? ；
③1l 与2l 重合? ； ④1l 与2l 垂直? ．
6．两点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离12=PP ；
点(,)P x y ??到直线l ：0Ax By C ++=的距离d = ；
两平行直线1l ：10Ax By C ++=与2l ：20Ax By C ++=之间的距离d = ．
7．圆的标准方程为222
()()(0)x a y b r r -+-=>，其中 为圆心， 为半径 ；
圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是2240D E F +->， 其中圆心为 ，半径为 ．
8．点与圆的位置关系
圆的标准方程为222
()()x a y b r -+-=，点00(,)M x y ，
（1）点在圆上：22200()()x a y b r -+-=；
（2）点在圆外：22200()()x a y b r -+->；
（3）点在圆内：22200()()x a y b r -+-<。 9．直线与圆的位置关系
判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：
（1）代数法：直线方程和圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，
计算判别式①240b ac ?=->? ；
②240b ac ?=-=? ；
③240b ac ?=-
（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径的大小关系
①d r ? 。
10．圆的切线方程
①若圆的方程为222x y r +=，点00(,)P x y 在圆上，则过P 点，且与圆222
x y r +=相
切的切线方程为200xx yy r +=； ②经过圆222
()()x a y b r -+-=上的00(,)P x y 的切线方程为：
200()()()()x a x a y b y b r --+--=。)(00x x k y y -=-
点00(,)P x y 在圆外，则可设切线方程为
)(00x x k y y -=-,利用直线与圆相切，利用
圆心到直线的距离等于半径，解出k 。
11．计算直线被圆截得的弦长的两种方法：
（1）几何法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
（2）代数法：利用韦达定理及弦长公式
A B AB x =-=12．设圆1C ：222111()()x x y y r -+-=，圆2C ：222222()()x x y y r -+-=，则有两圆 ①相离12C C ?> ；②外切12C C ?= ；③内切12C C ?= ； ④相交? 12C C << ；⑤内含12C C ?< ．
13．对称问题
①点关于点的对称：利用中点坐标公式。
②直线关于点对称：利用取特殊点法或转移法。
③点关于直线对称：利用垂直和平分。
④直线关于直线对称：转化为点关于直线对称问题解决。如果是平行直线，还可以利用平行直线之间距离。如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。
常用的对称关系：点(a,b)
点(a,b)关于原点的对称点(-a,-b), 点(,)a b 关于点00(,)a b 的对称点的坐标为00(2,2)a a b a --
点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)， 点(a,b)关于y 轴的对称点为(-a,b)，
点(a,b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)， 点(a,b)关于直线y= -x 的对称点(-b,-a)， 点(a,b)关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m), 点(a,b)关于直线y= -x+m 的对称点(m-b,m-a).
练习题（第一部分）
1．直线的倾斜角为,α若3sin 5
α=
，则此直线的斜率是（ ） A ．43 B ．34 C ． 43± D ． 3
4± 2.直线过点（-1，2）且与直线x y 32=垂直，则的方程是
A ．0123=-+y x B.0723=++y x C. 0532=+-y x D.0832=+-y x
3．已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
解析：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a =－1，选D. 点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况 4．已知(2,3)A -、(3,2)B --，直线l 过(1,1)P 且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围（ ）
A ．34k ≥或4k ≤-
B ．334k -≤≤
C ． 34k ≥或14k ≤-
D ．344
k -≤≤ 解析：过点(3,2)B --、(1,1)P 的直线斜为11(2)31(3)4k --=
=--，过点(2,3)A -、(1,1)P 的直线斜率为21(3)412
k --==--，画图可看出过点(1,1)P 的直线与线段AB 有公共点可看作直线绕点(1,1)P 从PB 旋转至PA 的全过程。
5．直线l 经过点(2,1)P ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则S =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．8
解析：设直线方程为1x y a b +=，则有211a b +=，当,0a b >时，21212a b ab
+=≥ 得8ab ≥，即l 与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为4，显然与两坐标
轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为4，共可作且只可作三条符合条件的直线l 。
6．已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程
为（ ）
A ．210x y -+=
B ．210x y --=
C ．10x y +-=
D ．210x y +-=
解析：在1l 上取两点(0,2),(1,0)-，则它关于直线l 的对称点为(1,1),(1,0)--，所以2l 的方
程为210x y --=。
7．已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ， 则点N 的坐标是（ ）
A ．)1,2(--
B ．)3,2(
C ． )1,2(
D ．)1,2(- 二、填空题
8．过点（1，2）且与直线210x y +-=平行的直线方程是_250x y +-=_ .
9．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ____. 解：两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，233
a -=-，则a =2． 10．若过点)1,1(a a P +-和)2,3(a Q 的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是
.(2,1)a ∈-
11．如果,0>ab 直线0=++c by ax 的倾斜角为,α且,sin 1sin 12sin ααα
--+=则
直线的斜率为___________
.
解析：由sin sin cos sin cos 22222α
α
α
α
α
==+--，
因为,0>ab 直线0=++c by ax 的倾斜角为,α所以tan 0a b
α=-<，又[)0,απ∈，
X
所以(
,)2παπ∈，(,)242αππ∈，所以0cos sin 22αα<<， 所以sin (sin cos )(sin cos )2cos 222222α
ααααα
=+--=， 所以tan 22α
=，2
2tan 42tan 31tan 2k α
αα===--。 三、解答题
12.已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线
210x y --=.
（Ⅰ）求直线l 的方程；
（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .
解：（Ⅰ）由3420,220.x y x y +-=??++=? 解得2,2.x y =-??=?
由于点P 的坐标是（2-，2）.
则所求直线l 与直线210x y --=垂直，
可设直线l 的方程为 20x y C ++=.
把点P 的坐标代入得 ()2220C ?-++= ，即2C =.
所求直线l 的方程为 220x y ++=.
（Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-，
所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积11212
S =??=. 13.求经过直线1l ：3450x y +-=与直线2l ：2380x y -+=的交点M ，且满足下列条件
①经过原点；②与直线3l ：250x y ++=平行；③与直线4l ：250x y +-=垂直的直线方程。答案：250x y -+=
14.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB
轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在的直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程。
解：（1）当0=k 时，A 、D 重合，折痕所在直线方程为2
1=y （2）当0≠k 时，设折叠后A 落在线段上的点为)1,(a G ，
所以A 与G 关于折痕所在直线对称。
∴1-=?k k AG ，可得 k a -=,
从而 )1,(k G -，线段OG 之中点为)2
1,2(k M -， ∴折痕所在直线方程为)2
(21k x k y +=-，化简得2122++=k kx y 。 练习题（第二部分）
1．直线y =与圆22(1)1x y -+=的位置关系是（ ） A ．相交但直线不过圆心 B. 相切
C.相离
D.相交且直线过圆心
2．与圆0352:2
2=--+x y x C 同圆心，且面积为圆C 面积的一半的圆的方程为（ ） A. 18)1(22=+-y x B. 9)1(22=+-y x
C. 6)1(2
2=+-y x D. 3)1(22=+-y x 3．圆心为1,32C ??- ???
的圆与直线:230l x y +-=交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，且满 足0OP OQ ?=，则圆C 的方程为（ ）
A ．221
5()(3)22x y -+-= B ．2215()(3)22
x y -++= C ．22
1
25()(3)24x y ++-= D ．22125()(3)24x y +++= 4．(,)P x y 是曲线1cos ,sin .
x y αα=-+??=?上任意一点，则22(2)(4)x y -++的最大值为（ ）
A ．36
B ．26
C ．25
D ．6
5．两个圆1C ：222220x y x y +++-=与2C ：22
4210x y x y +--+=的公切线有且仅
有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解析：因为1212120,4,r r r r OO -=+==，所以121212r r OO r r -<<+，所以两圆相
交，故两圆公切线有2条。
6．从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A ．12
B ．35 C
．2
D ．0 解析：圆222210x x y y -+-+=的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点(3,2)P 向这个
圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为1
242tan 1314θ?
==-，该角的余弦值等于35。 7．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=
的距离为,则直线l 的斜率的取值范围是( )
A ．
[22] B ．
[22-] C ．
[3 D ．[0,]+∞ 解析：圆0104422=---+y x y x
整理为222(2)(2)x y -+-=，
∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，
要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22， 则圆心到直线的距离应小于等于2，
∴
≤ 2()4()1a a b b ++≤0，
∴ 2()2a b -≤≤-+()a k b
=-，∴ 22k ≤≤+ B.
8．若直线20x y c -+=按向量()1,-1a =平移后与圆225x y +=相切，则c 的值为（ ） A ．8或2- B ．6或4- C ．4或6- D ．2或8-
解：将直线20x y c -+=按向量()1,-1a =平移得2(1)(1)0x y c --++=，
即230x y c --+=，因为230x y c --+=与圆225x y +==，
358c c -=?=或2c =-。
二、填空题
9. 圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆的方程是2210x y +-=，则实
数a 的值是 2 ．
10．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线(0)y x x =
≥相切，则这个圆的方程为 ．
解析：若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线(0)y x x =≥相切，
则圆心在直线y =上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，
这个圆的方程为22(1)(1x y -+=。
11．已知圆M ：22
(cos )(sin )1x y θθ++-=，直线l ：y kx =，下面四个命题： ①对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；
②对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；
③对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切
④对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切．
其中真命题的序号是______________（写出所有真命题的序号）
解：②④，圆心坐标为(cos ,sin )θθ-，
d =－－|sin |1θ?≤=（＋）。
12．函数()f x =
的最小值为 ．13．从原点向圆2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为
．
解析：利用数形结合解此题有优势。
因为2212270x y y +-+=，所以22(6)9x y +-=，圆心在(0,6)，半径为3， 设圆心为M ，切点为N ，则在Rt OMN ?中，6OM =,3MN =，所以6MON π∠=, 所以两切线的夹角为
3π，劣弧所对的圆心角为23π，故劣弧的弧长为2233
l l ππ=?=。 三、解答题
14．求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．（1）过原点；（2）有最小面积．
15．如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，求①x y
的最大值；②y x -的最小值； ③22x y +的最值．
分析：22410x y x +-+=表示以(2,0)点为圆心，的圆，x y
为圆上的点M 与原点连线的斜率；设y x b -=，则y x b =+，可知b 是斜率为1的直线在y 轴上的截距，于是问题①实质上是求圆上的点与原点连线的斜率的最大值；②实质上是求斜率为1的直线与已知圆有公共点时直线的纵截距的最小值；③实质上是求圆上一点到原点距离平方的最大值与最小值。
16. 已知点(2,0)P 及圆C ：22
6440x y x y +-++=. （Ⅰ）若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直
径的圆Q 的方程；
（Ⅲ）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）设直线l 的斜率为k （k 存在）则方程为0(2)y k x -=-.
又圆C 的圆心为(3,2)-，半径3r =，
由
1=， 解得34
k =-. 所以直线方程为3(2)4
y x =--， 即 3460x y +-=. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件.
（Ⅱ）由于CP =
d == 所以d
=CP =P 为MN 的中点.
故以MN 为直径的圆Q 的方程为22
(2)4x y -+=. （Ⅲ）把直线10ax y --=即1y ax =+．代入圆C 的方程，
消去y ，整理得22
(1)6(1)90a x a x ++-+=． 由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点，
故2236(1)36(1)0a a ?=--+>，即20a ->，解得0a <．
则实数a 的取值范围是(,0)-∞．
设符合条件的实数a 存在，
由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在2l 上．
所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =．
圆的知识的归纳总结与复习 【知识与方法归纳】 1. 圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。 3. 圆各部分的名称：圆心用O表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。 4. 圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。 5. 圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 6. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 7. 同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r 或r= 。 8. 圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 9. 圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14. 10. 圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。 11. 圆的周长计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。 （2）已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。 （3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C π 2. （4）已知圆的周长，求圆的直径：d=C π。 12. 圆的面积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 13. 圆的面积计算公式：如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是：S= 。 14. 圆的面积计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的面积：S= 。 （2）已知圆的直径，求圆的面积：r= ，S= 或。 （3）已知圆的周长，求圆的面积：r=C 2 π，S= 或。 【经典例题】
圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 ２. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 ３. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （１）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论１可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个:①过圆心；②垂直于弦;③平分弦（不是直径); ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或 两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 ６. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※８. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1)平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心,定长为半径的圆； （2)平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 [例题分析］ 例1. 已知:如图１，在⊙O中，半径OＭ⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ＯN=1，求MN的长; ②若半径ＯＭ=R，∠ＡOB=120°,求ＭＮ的长。 解:①∵ＡB＝,半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON=1,由勾股定理得OＡ=2 ∴MN=OＭ－ON=OA-ON=１ ②∵半径OＭ⊥AB，且∠AOＢ=1２0°∴∠AOＭ＝6０°
A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d 直线与圆 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2 (tan π α≠ =a k ，R k ∈ 斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式 能力提升 斜率应用 例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则 c c f b b f a a f ) (,)(,)(的大小关系 例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ，试求2 3 ++x y 的最大值和最小值 两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为： 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们 相交，交点坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A 直线间的夹角： ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ③当0121=+k k 或02121=+B B A A o 直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：) 2 (π θθα≤ = 第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠ C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 BC BD =AC AD = 高中圆的知识点总结 椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。下面是圆的知识点总结。 一、教学内容： 椭圆的方程 高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质. 重点：椭圆的方程与几何性质. 难点：椭圆的方程与几何性质. 二、知识点： 1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质 定义第一定义：平面内与两个定点 )的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距第二定义： 平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0 标 准 方 程焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形焦点在x轴上 焦点在y轴上 性质焦点在x轴上 范围： 对称性：轴、轴、原点. 顶点：， . 离心率：e 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式： 范围： 2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1+r2=2a (2)余弦定理： + -2r1r2cos(3)面积： = r1r2 sin ?2c| y0 |(其中P( ) 三、基础训练： 1、椭圆的标准方程为 焦点坐标是，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆的值是__3或5__; 3、两个焦点的坐标分别为 ___; 4、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是7，则点P 到另一个焦点 5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，，则椭圆的离心率为 6、方程 =10，化简的结果是 ; 满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成 一个正方形，则椭圆的离心率为 8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系顶点，顶点在椭圆上，则10、已知点F是椭圆的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x，y)(x0)是椭圆上的一个动点，则的最大值是 8 . 【典型例题】 例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程. (2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程. 解：设方程为 . 所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为，求以为焦点且过点的椭圆方程 . 解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程. 解：设方程为 例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km). 圆 知识点一、圆的定义及有关概念 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。 ' 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。 例 P 为⊙O 内一点，OP =3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；? 最长弦长为_______． 解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP 垂直的弦，答案：10 cm ，8 cm. 知识点二、平面内点和圆的位置关系 平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 。 当点在圆外时，d ＞r ；反过来，当d ＞r 时，点在圆外。 当点在圆上时，d ＝r ；反过来，当d ＝r 时，点在圆上。 当点在圆内时，d ＜r ；反过来，当d ＜r 时，点在圆内。 例 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________． 解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 % 练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系． 答案：点P 在圆O 上． 知识点三、圆的基本性质 1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2π θ∈时，0k ≥； （2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90?增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式：1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离：d = （3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠ 垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：222 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2 直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1 ）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 X 轴相交的直线l , 如果把X 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线I 重合时所转的最小正角记为，那么 就叫 做直线的倾斜角。当直线I 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围 0, < 2 一 过点P （ J3,1）,Q （0,m ）的直线的倾斜角的范围 [―,——],那么m 值的范围是 3 3 （答：m 2 或 m 4） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线 的斜率k ，即k = tan （ 丰90° ）;倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过 两点R （x 1,yJ 、卩2&2』2）的直线的斜率为 k a （1,k ），直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 如（1）两条直线钭率相等是这两条直线平行的一 X 1 X 2 ； （ 3）直线的方向向量 x 1 x 2 （4）应用：证明三点共线： k AB k BC 。 _________ 条件（答：既不充分也不必要）； （2）实数x, y 满足3x 2y 5 0 （ 1 x 3），则上的最大值、最小值分别为 ___________ （答: x （1）点斜式：已知直线过点 （x 0,y 0）斜率为k ，则直线方程为kx b ,它不包括垂直于 x 轴的直线。（3）两点式：已知直 线经过R （X 1,yJ 、卩:化皿）两点，则直线方程为 —―丄 —―生，它不包括垂直于坐 y 2 y 1 X 2 X 1 标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b ,则直线方程为— 1 , a b 它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5） 一般式：任何直线均可写成 Ax By C 0（A,B 不同时为0）的形式。如（1）经过点（2,1）且方向向量为v =（ — 1, . 3 ） 的直线的点斜式方程是 _____________________ （答：y 1 V3（x 2） ） ； （ 2 ）直线 （m 2）x （2 m 1）y （3m 4） 0 ,不管 m 怎样变化恒过点 _______ （答：（1, 2） ）； （3） 若曲线y a | x |与y x a （a 0）有两个公共点，则a 的取值范围是 ____________ （答: a 1） 提醒:（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线， 还 有截距式呢？）； （2）直线在坐标轴上的截距可正、 可负、也可为0.直线两截距相等 直线 的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点；直线 两截距绝对值相等 直线的斜率为 1或直线过原点。 如过点A （1,4），且纵横截距的绝对 值相等的直线共有―条（答：3） 4. 设直线方程的一些常用技巧 ：（1）知直线纵截距b ，常设其方 程为y kx b ； （2） 知直线横截距X 0，常设其方程为x my x °（它不适用于斜率为 0的直线）；（3）知直线过 点 （x °,y °），当斜率k 存在时，常设其方程为 y k （x x 。） y 。，当斜率k 不存在时，则其 方程 如（1）直线xcos .. 3y 2 0的倾斜角的范围是 5 （答：[。，評它，））；（2） 1） 3、直线的方程 y y 。 k （x x 0）,它不包括垂直于 x 轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为 b 和斜率k ，则直线方程为y 圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－ r 2＝0，取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2＋E 2－4F >0 时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的 圆； ②当 D 2＋ E 2－4 F ＝0 时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2 ，－ E 2 )；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (三)直线与圆的位置关系 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4切 5含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是： （1）B ＝0； （2）A ＝C ≠0； （3）D 2＋E 2－4AF ＞0. 2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上． （3）两圆切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝ 122x x + ，y ＝12 2 y y + . 考点一：有关圆的标准方程的求法 ()()()2 2 20x a y b m m +++=≠的圆心是 ，半径是 . 【例2】 点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4，则实数a 的取值围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) r B 一、知识回顾 第四章：《圆》 圆的周长 ： C=2πr 或 C=πd 、圆的面积 ： S=πr 2 圆环面积计算方法： S=πR2- πr 2或 S=π（ R2-r 2） (R 是大圆半径， r 是小圆半径） 二、知识要点一、圆的概念 集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是： 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C 在圆内； A d 2、点在圆上 d r 点B 在圆上； O d 3、点在圆外 d r 点 A 在圆外； C 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点； r d d=r r d C D 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1） 无交点 d R r ； 外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5） 无交点 d R r ； d d d R r R r R r 图 1 图2 图 3 d d r R r R 图4 图 5 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其 它 3 个结论，即： ① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 A 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 C D 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD O O ∴弧 AC 弧BD A B E B 六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定 圆的知识点归纳总结大全 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三 个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。 则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。 （1）d=r 时，直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r （r > d ） 直线与圆相交。 d > r （r 直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66 ，，π ππ ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ （答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k = ， 直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则 x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13 -） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为 00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经 过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3) 的直线的点斜式方程是___________（答：1(2)y x -=-）；（2）直线(2)(21)(34)m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（答：(1,2)--）；（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______（答：1a >） 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点。如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 圆知识点总结及归纳 一、知识清单一级标题宋体四号加粗 （一）圆的定义及方程二级标题宋体小四加粗定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)正文宋体五号标准方程(x －a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：，半径： 1、圆的标准方程与一般方程的互化三级标题宋体五号加粗（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0、（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：(x＋)2＋(y＋)2＝①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆；②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形、 2、圆的一般方程的特征是：x2和 y2项的系数都为1 ，没有 xy 的二次项、3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、 （二）点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r 2、（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r 2、（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2 直线和圆的方程知识 点总结 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行： 1l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 4. 直线的交角： 5. 过两直线? ??=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++= . 注： 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212 PP PP PP λλ=u u u r u u u r 所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,121 21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k 4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 12()x x ≠(完整版)直线与圆知识归纳
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