北京市西城区2015年高三一模试卷及答案
数 学（文科） 2015.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =?，则实数a 的范围是（ ）
（A ）1a ≤
（B ）1a ≥
（C ）0a ≥
（D ）0a ≤
3．关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（ ） （A ）都是奇函数
（B ）都是偶函数
（C ）函数()f x 的值域为R （D ）函数()g x 的值域为R
4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______. （A ）4
（B ）5 （C ）6 （D ）7
2．复数z 满足i 3i z ?=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
5. 设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（ ） （A
） （B
）（C
）（D ）4
6．设函数()f x 的定义域为R ，则“x ?∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
7． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A ）7 （B ）152
（C ）233
（D ）476
8. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）
（A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 侧(左)视图
正(主)视图
俯视图
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____. 10．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____.
11．在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤
成立的概率为____. 12．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C
的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.
13. 设函数20,1
,()4,0.x x x f x x x x -?+>?=??-
则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____. 14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6
件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：
则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在ABC ?中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.
（Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求sin CBD ∠的值.
B C
A
D
16．（本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；
（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值．
17．（本小题满分14分）
如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.
（Ⅰ）证明：AG ⊥CD ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且
13
AM MC
=
，求证：GM //平面ABF ；
（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)
18．（本小题满分13分）
2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）
已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．
F
C
A D
B
G E
（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶
19．（本小题满分14分）
设点F 为椭圆22
22 1(0)x y E a b a b
+=>>：的右焦点，
点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为
12
.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ?三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.
20．（本小题满分13分）
设*
n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()x
n g x x
=，(0,)x ∈+∞.
（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；
（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；
（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论)
北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准
高三数学（文科） 2015.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9
10．π
11．13 12．22
13
y x -=
y =
13．
10
3
2 14．4900 注：第12，13题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，
所以3cos 5C =
，4
sin 5
C =，5=AC ， ……………… 3分 又因为DC A
D 4=，所以4=AD ，1=DC . ……………… 4分
在BCD ?中，由余弦定理，
得2
2
2
2cos BD BC CD BC CD C
=+-? ……………… 7分
223323123155=+-???=，
所以 5
10
4=
BD . ……………… 9分 （Ⅱ）在BCD ?中，由正弦定理，得
sin sin CD BD
CBD C
=∠，
所以
1
54sin 5
CBD
=∠， ……………… 12分
所以
sin CDB ∠= ……………… 13分
16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：设公差为d ，
由题意，得11122,1
5546,2a d a d a d +=??
?+??=+??
……………… 4分 解得12a =-，2d =， …………………5分 所以2(1)224n a n n =-+-?=-， ………………… 6分
21
2(1)232n S n n n n n =-+-?=-． ………………… 7分
（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，
所以2
444m n a a a ++=，
………………… 9分 即2(24)4(24)m n +=+， ………………… 10分
化简，得21
(2)22n m =+-， ………………… 11分
考察函数21
()(2)22
f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，
又因为5
(1)2
f =
，(2)6f =，*n ∈N ， 所以当2m =时，n 有最小值6． ……………… 13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，
所以 AG EF ⊥. …………………1分 又因为 //EF AD ，
所以 AG AD ⊥. …………………2分
因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面
ADEF 平面ABCD AD =，
AG ?平面ADEF ，
所以 AG ⊥平面ABCD . …………………4分
F
C
A
D
B
G E
M
N 因为 CD ?平面ABCD ，
所以 AG ⊥CD . ………………5分
（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ， 因为
13
AM MC
=
，所以
14
MN AM BC
AC
=
=
， ………………6分
因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点， 所以 4BC GF =，
又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形， 所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.
所以 //GM FN . ……………8分 又因为GM ?平面ABF ，FN ?平面ABF ，
所以 GM //平面ABF . ………………11分 （Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. ………………14分
18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ………………1分 由统计图可知，得120人中票价为3元、
4元、5元的人数分别为60，40，20（人）. 所以票价小于5元的有6040100+=（人）． ………………2分 故120人中票价小于5元的频率是
1005
1206
=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5
()=
6
P A ． ………………4分 （Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， ………………5分
由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，
则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. ………6分
记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ， 从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ，
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,
),(,),(,(,)d e f c d e f d e f e a a a b b b b c c c d ,
(,),(,)f f d e . ………………8分
19．（本小题满分
14分）
（Ⅰ）解：设22b a c -=
，由题意，得
2
1=a c ， 所以 2a c =，b =. …………………2分
则椭圆方程为 22
2
2143x y c c
+=， 又点)2
3,1(P 在椭圆上， 所以
2213144c c
+=，解得21c =， 故椭圆方程为
22
143
x y +=. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ……………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ……… 7分
由 22(1),
1,4
3y k x x y =-??
?+=?? 消去y ，
得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ……………… 8分
由题意，可知0>?，则有 2
221438k
k x x +=+，2122412
34k x x k -=+， ……… 9分 所以直线PA 的斜率11321PA
y k
x -
=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -
=-， ………… 10分 所以PA PB t k k k =??
121233
2211
y y k x x -
-=
??-- 12121233
[(1)][(1)]
22()1k x k x k x x x x --?--=
?-++
2121212
121239[()1](2)24()1
k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=
?-++
122121239
(2)2
4[]()1
k x x k k x x x x -+-+=+?-++ 2
33
()4
4
k k k k =--?=--
. ……………… 12分 即 2
2339()4864t k k k =--
=-++， 所以当38
k =-时，ABP ?三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值
9
64
. ……14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分
求导，得 1
1ln ()n n x
f x x
+-'=
， …………………2分 令 ()0f x '=，解得1e n
x =.
当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：
所以函数()f x 在区间1(0,e )n
上为单调递增，区间1(e ,)n
+∞上为单调递减.
所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………4分
（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()x
f x x =，e ()x
g x x
=，0x >.
由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤恒成立， 只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………5分 因为 2
1ln ()x
f x x
-'=
. 令()0f x '=，解得e x =.
当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：
所以max ()(e)e
f x f ==
. …………………7分 又因为2
e (1)
()x x g x x
-'=. 令 ()0g x '=，解得1x =.
当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：
所以min ()(1)e g x g ==. …………………9分 综上所述，得1
e e
t ≤≤. …………………10分 （Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………13分
绝密★启封并使用完毕前 2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合{} 52,A x x =-<<{} 33,B x x =-<<则A B =（ ） ( A ) {} 32x x -<< ( B ) {}52x x -<< ( C ) {}33x x -<< ( D ) {} 53x x -<< （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） （A ）()()2 2 111x y -+-= （B ）()()2 2 111x y ++-= （C ）()()2 2 112x y +++= （D ）()()2 2 112x y -+-= （3）下列函数中为偶函数的是（ ） （A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x = （C ）ln y x = （D ）2x y -= （4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ） （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300 （5） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ） （A ）3 （B ） 4 (C) 5 (D) 6 （6）设,a b 是非零向量，“a b a b ?=”是“a //b ”的（ ） （A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件
2015年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0 B．1 C．D．2 3．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5 6．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（） A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 二、填空题（每小题5分，共30分） 9．（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答） 10．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=． 13．（5分）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=． 14．（5分）设函数f（x）=， ①若a=1，则f（x）的最小值为； ②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是． 三、解答题（共6小题，共80分） 15．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值． 16．（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组；12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
2010年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）（2010?北京）（北京卷理1）集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，则P∩M=（） A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3} 【考点】交集及其运算． 【专题】集合． 【分析】由题意集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，分别解出集合P，M，从而求出P∩M．【解答】解：∵集合P={x∈Z|0≤x＜3}， ∴P={0，1，2}， ∵M={x∈Z|x2＜9}， ∴M={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴P∩M={0，1，2}， 故选B． 【点评】此题考查简单的集合的运算，集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，复习中我们应从基础出发． 2．（5分）（2010?北京）在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（） A．4+8i B．8+2i C．2+4i D．4+i 【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【专题】平面向量及应用． 【分析】根据两个复数对应的点的坐标分别为A（6，5），B（﹣2，3），确定中点坐标为C （2，4）得到答案． 【解答】解：两个复数对应的点的坐标分别为A（6，5），B（﹣2，3），则其中点的坐标为C（2，4）， 故其对应的复数为2+4i． 故选C． 【点评】本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化． 3．（5分）（2010?北京）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（） A．B．C．D． 【考点】等可能事件的概率． 【专题】概率与统计． 【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， ∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，
北京市西城区高三统一测试 数学（理科） 2019.4 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项． 1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =e （A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}- 2．若复数1i 2i z -= -，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （A ）4 （B ）5 （C ）7 （D ）9 4．下列直线中，与曲线C ：12, ()24x t t y t =+?? =-+? 为参数没有公共点的是 （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -= （D ）240x y --=
5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m a b m b +>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,) P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为 （A ），7- （B ） ，-（C ）7 ，-（D ）7，7- 7. 团体购买公园门票，票价如下表： 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为 （A ）20 （B ）30 （C ）35 （D ）40 8. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422 x y +=围成的平面区域的直径为 （A （B ）3 （C ）（D ）4
2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -= A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i -- 2．若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为 A ．0 B ．1 C ． 32 D ．2 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-， B ．()40-， C ．()44--， D ．()08-，
开始 x =1，y =1，k =0 s =x -y ，t =x +y x =s ，y =t k =k +1 k ≥3输出(x ，y ) 结束 是否 4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?．“m β∥”是“αβ∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 正(主)视图 11俯视图 侧(左)视图 21 A ．25+ B ．45+ C ．225+ D ．5 6．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是 A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +<
C ．若120a a <<，则213a a a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 7．如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是 A B O x y -1 2 2C A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{} |12x x -<≤ 8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在()5 2x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）
2014年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．（5分）（2014?北京）已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（2014?北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A．y＝B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2﹣x D．y＝log0.5（x+1） 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） A．在直线y＝2x上B．在直线y＝﹣2x上 C．在直线y＝x﹣1上D．在直线y＝x+1上 4．（5分）（2014?北京）当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） A．7B．42C．210D．840 5．（5分）（2014?北京）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列” 的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）（2014?北京）若x，y满足，且z＝y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（） A．2B．﹣2C．D．﹣ 7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3 C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2＝． 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||＝1，＝（2，1），且+＝（λ∈R），则|λ|＝． 11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2＝1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为． 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种． 14．（5分）（2014?北京）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0） 若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝f（）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为．
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试（理工类）答案 2018．3 三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）由2co s b a A =，得co s 0A >， 因为s in 5 A = ，所以c o s 5 A = . 因为2co s b a A =，所以4s in 2s in c o s 25 55 B A A ==?= ． 故ABC ?的面积1s in 22 S a c B = =． ………………….7分 （Ⅱ）因为4s in 5 B = ，且B 为锐角，所以3c o s 5 B =. 所以s in s in ()s in c o s c o s s in 25 C A B A B A B =+=+=．………….13分 16．(本小题满分14分) 证明：（Ⅰ）由已知2A B A E ==， 因为O 为B E 中点，所以A O B E '⊥． 因为平面A B E '⊥平面B C D E ，且平面A B E '平面B C D E B E =， A O '?平面A B E '，所以A O '⊥平面B C D E ． 又因为C D ?平面B C D E ，所以A O C D '⊥． ………….5分 （Ⅱ）设F 为线段B C 上靠近B 点的四等分点，G 为C D 中点．
由已知易得O F O G ⊥． 由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面B C D E ， 所以A O O F '⊥，A O O G '⊥. 以O 为原点，,,O F O G O A '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4B C =， 所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,，，，，，，，'---． 设平面A D E '的一个法向量为111(,,)x y z =m ， 因为(13 (020)A D D E ，， ，，'=--=-， 所以 0, 0, A D D E ? '?=???=??m m 即1 11130, 20. x y y ?-+- = ??-=?? 取11z =-，得 0,1)=-m ． 而A C '=(1,3,. 所以直线A C '与平面A D E ' 所成角的正弦值s in 3 θ= = ……….10分 （Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//O P 平面A D E '. 设000(,,)P x y z ，且 (0 1)A P A C λλ'=≤≤'，则A P A C λ''=，[0,1]λ∈． 因为(00 (130)A C ，，'，所以000(,,(,3,) x y z λλ -=， 所以000,3,x y z λλ ===， 所以(, 3,)P λλ ，(,3)O P λ λ=． 若 //O P 平面A D E '，则O P ⊥m .即0O P ?=m . 由（Ⅱ）可知，平面A D E ' 的一个法向量 0,1) =-m ， 0-= ，解得1[0,1]2 λ= ∈， 所以当12 A P A C '= '时，//O P 平面A D E '． ……….14分
2015年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）（2015?北京）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数的运算法则解答． 解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i； 故选：A． 点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1． 2．（5分）（2015?北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0B．1C．D．2 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值． 解答： 解：作出不等式组表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部阴影部分，由 解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移， 当l经过点A时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值== 故选：C．
点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 3．（5分）（2015?北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）． 解答：解：模拟执行程序框图，可得 x=1，y=1，k=0 s=0，i=2 x=0，y=2，k=1
2013年北京市高考数学试卷（文科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（） A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+1 4．（5分）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．1 6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A．1 B．C．D． 7．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2 8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），则p=；准线方程为． 10．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．11．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=；前n 项和S n=．
12．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为． 13．（5分）函数f（x）=的值域为． 14．（5分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=（2cos2x﹣1）sin 2x+cos 4x． （1）求f（x）的最小正周期及最大值； （2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值． 16．（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天． （Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率； （Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证： （Ⅰ）PA⊥底面ABCD； （Ⅱ）BE∥平面PAD； （Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD． 18．（13分）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．19．（14分）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是
海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（理科） 2018. 4 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合{0,},{12}A a B x x ==-<< | ，且A B ?，则a 可以是 (A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 2 （2）已知向量(1,2),(1,0)==-a b ，则+2=a b (A) (1,2)- (B) (1,4)- (C) (1,2) (D) (1,4) （3）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A) 2 (B) 6 (C) 8 (D) 10 （4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为,M 且(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为 (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 2- （5）已知a ，b 为正实数，则“1a >，1b >”是“lg lg 0a b +>”的( ) (A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
（6）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则S 的值不可能是 (A) 1 (B) 65 (C) 43 (D) 32 （7）下列函数()f x 中，其图象上任意一点(,)P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是 (A) 3()f x x = (B) ()f x =(C) ()e 1x f x =- (D) ()ln(1)f x x =+ （8）已知点M 在圆2 2 1:(1)(1)1C x y -+-=上，点N 在圆2 2 2:(1)(1)1C x y +++=上，则下列说法错误的是 （A ）OM ON ? 的取值范围为[3-- （B ）||OM ON + 的取值范围为 （C ）||OM ON - 的取值范围为2] （D ）若OM ON λ= ，则实数λ的取值范围为[33---+
2015年北京高考理科数学真题及答案 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -= A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i -- 【答案】A 【解析】 i （2－i ）＝1＋2i 【难度】容易 【难度】容易 【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。 2．若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为 A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】 可行域如图所示
目标直线的斜率为1 2 -，易知 在（0，1）处截距取得最大值，此时z ＝4． 【难度】容易 【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-， B ．()40-， C ．()44--， D ．() 08-， 【答案】B 【解析】 程序运行过程如下表所示
故输出结果为（－4，0） 【难度】容易 【点评】本题算法初步。在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。 4．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα ?．“mβ ∥”是“αβ ∥”的 A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“mβ ∥”是“αβ ∥”的必要条件． 若“mβ ∥”，“αβ ∥”不一定成立，反例如下图所示． 【难度】容易 【点评】本题考查立体几何中点到直线的距离问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解。 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 1 1 俯视图侧(左)视图 2 1 A．25 + B．45 C．225 +．5 【答案】C
2014年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 2 y= 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） （ （
4．（5分）（2014?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） 1＞
6．（5分）（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为 作出可行域如图， （﹣ （﹣ ﹣
7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx ， = 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2=﹣1． ） 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ． =．由于向量，|，且+（ = ，满足||=1=+=（ 故答案为：
11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为y=±2x． ﹣具有相同渐近线的双曲线方程可设为 ， ﹣， 故答案为：， 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．
2020北京朝阳高三一模 数 学 2020.4 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--
2017年北京市高考数学试卷（文科） 一、选择题 1．（5分）（2017?北京）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则?U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 2．（5分）（2017?北京）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞） 3．（5分）（2017?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A．2 B．C．D． 4．（5分）（2017?北京）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．9 5．（5分）（2017?北京）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（） A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数 6．（5分）（2017?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．60 B．30 C．20 D．10 7．（5分）（2017?北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“? ＜0”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 8．（5分）（2017?北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（） （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 二、填空题 9．（5分）（2017?北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=． 10．（5分）（2017?北京）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=． 11．（5分）（2017?北京）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是．12．（5分）（2017?北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则?的最大值为．
2020年北京各区高三一模数学分类----解析几何 一、选填问题： 1.（2020海淀一模）已知双曲线2 2 21(0)y x b b -=>则b 的值为（ ）B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【详解】由题知2 1a = ，c e a ==，2222 22 +5c a b e a a ===，2b ∴=.故选：B. 【点睛】本题考查利用双曲线离心率求双曲线方程. 求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a b c ，，的方程组，解出22a b ，，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为2 2 1(0)mx ny mn +=<求解． 2.（2020海淀一模）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆 M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为 3,2 π 则点M '到直线BA '的距离为（ ） A. 1 C. 2 D. 12 【答案】C 【分析】线段AB 的长度为3,2π即圆滚动了3 4 圈，此时A 到达A '，90BM A ''∠=?，则点M '到直线'BA 的距离可求.
【详解】线段AB 的长度为 3,2π设圆滚动了x 圈，则332,24x x ππ?=∴= 即圆滚动了34 圈， 此时A 到达A '，90BM A ''∠=o ，则点M '到直线BA '的距离为sin 45r ??=.故选：C ． 【点睛】本题考查圆的渐开线变式运用. 圆的渐开线性质:(1)渐开线的发生线滚过的距离等于其在基圆滚过的弧长.(2)渐开线上任一点的法线恒与基圆相切. 3.（2020海淀一模）已知点P (1，2)在抛物线C 2:2y px =上，则抛物线C 的准线方程为___. 【答案】1x =- 【分析】(1 2)P ，代入抛物线方程，求出2p =，可求准线方程. 【详解】(1 2)P ，在抛物线C 2:2y px =上，24,2p p ==，准线方程为12 p x =-=-， 故答案为：1x =-. 【点睛】本题考查抛物线的性质.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 4.（2020西城一模）设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ） A. 22(3)2x y -+= B. 22(3)8x y -+= C. 22(3)2x y ++= D. 22(3)8x y ++= 【答案】A 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r = . 【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为2 2 AB r == =，圆方程为22 (3)2x y -+=. 故选：A . 【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 5.（2020西城一模）设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2 y x =，则该双曲线的离心率为 ____________.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文科） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2015年北京，文1，5分】若集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =-<<，则A B = （ ） （A ）{}32x x -<< （B ）{}52x x -<< （C ）{}33x x -<< （D ）{}53x x -<< 【答案】A 【解析】{}32A B x x =-<< ，故选A ． （2）【2015年北京，文2，5分】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） （A ）()()2 2 111x y -+-= （B ）()()2 2 111x y +++= （C ）()()22112x y +++=（D ）()()22 112x y -+-= 【答案】D 【解析】由已知得，圆心为()1,1 ()()2 2 112x y -+-=，故选D ． （3）【2015年北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ） （A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x = （C ）ln y x = （D ）2x y -= 【答案】B 【解析】函数2sin y x x =为奇函数，2cos y x x =为偶函数，ln y x =与2x y -=为非奇非偶函数，故选B ． （4）【2015年北京，文4，5分】某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分 层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该 样本的老年教师人数为（ ） （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300 【答案】C 【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为160016 9009 =；设样本中老年教师的 人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相 等，即32016 9 x =，解得180x =，故选C ． （5）【2015年北京，文 5，5分】执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B 【解析】13322a =?=，1k =，3124a = ，由已知得cos ,1a b <>= ，即,0a b <>= ， //a b ．而当//a b 时，,a b <> 还可能是π，此时||||a b a b ?=- ，故 “a b a b ?= ”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A ． （7）【2015年北京，文7，5分】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥 侧（左）视图 正（主）视图
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（理工类） 2016．3 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数 2i 1i += A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i + 2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}2 0N x x x =-<，则下列结论 正确的是 A ．M N N = B ．( )U M N =? C ．M N U = D ．()U M N ? 3． >e e a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．3
5．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c 若 222()tan a c b B +-=，则角B 的值为 A ． 3π B ． 6π C ． 23 3 ππ或 D ． 566 ππ或 6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1 B. 结余最高的月份是7月 至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出） 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 A ．1 3 B ．12 C ．1 D ． 3 2
2015年北京市高考数学试卷（文科） 一、选择题（每小题5分,共40分） 1．若集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =-<<，则A ∩B=（ ） A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<< C ．{}33x x -<< D ．{}53x x -<< 2．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()2 2 111x y -+-= B ．()()22 111x y +++= C ．()()2 2 112x y +++= D ．()()2 2 112x y -+-= 3．下列函数中为偶函数的是（ ） A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．ln y x = D ．2x y -= 4．某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ） A ．90 B ．100 C ．180 D ．300 5．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．设,a b 是非零向量，“a b a b ?= ”是“a b // ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A ．1 B C D ．2 8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日 48 35600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升 二、填空题 9．复数()1i i +的实部为 ． 10．13 2 22,,log 5-三个数中最大数的是 ． 11．在ABC 中，23,3 a b A π ==∠= ，则B ∠= ． 12．已知()2,0是双曲线()2 2 210y x b b -=>的一个焦点，则b = ． 13．如图，ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为 ． 14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．