偏微分方程数值解
——第一次大作业
作业一：用有限差分法计算：
()()()[]()()-,0,00d du a x c x u f x x L dx dx u u L ???+=∈? ????
?==?
要求：
1）L 随机选择
2）()(),a x c x 光滑（随机），且()()min max 0,0a a x a c x <≤≤<∞≥ 3）统计L 2-误差 4）规模尽可能大 根据题意：
将线段0~L 均匀分成M 段，则网格步长/h L M =，节点分布为0,1,2,,M 共M+1个，k x kh =，可得原方程的差分形式：
1111220,1,2,,10
k k k k k k k k k M u u u u a a h h c u f k M h u u +-+---?
-??-+==-?
?
==?? 其中，下标k 表示在k x 处取值，12k +（1
2
k -）表示在k x 与1k x +（k x 与1k x -）中点处的取值。化简上式可得：
1
1112
22
211222,1,2,,1k k k k k k k k k a
a a a u c u u f k M h h h --++-++??
?-++-==- ? ?
??
写成矩阵形式：AU g =，得
()()
133
22
2122
3
35
5
2
2
2
22
22
2
522
5332
2
2
2
2
2331
2
22
12
2
1100
0000
M M M M M M M M M M a a a c h h a a a a c h h
h
a A h
a
a a c h
h
a a a c h h -
-
-
--
--
--?-+?? ?+-
?
?+ ? ?-+- ? ? ?
=-
?
?
+ ? ?+- ? ?
+ ? ?-
+?
?
12211M M M u u U u u ---?? ? ? ?= ? ? ??? ，12211
M M M f f g f f ---??
? ? ?= ? ? ???
计算时，取1L =，()x a x e =，()2x c x e =，()2f x =，可以解得原方程的解析解（精确解）为
()3233111
x x x
e e e u x e e e e e ----=++--
由于A 为对称三对角阵且主对角占优，可以用直接法求解此方程组。此外，此方程组还可以用经典的Jacobi 迭代，共轭梯度（CG ）法以及预处理CG 法分别来求解，并比较它们的统计误差以及计算时间。
但是，注意到当M 很大时，由于我们选取的函数形式，有
1
1112
2
222
2
2
i i i i i a
a a a c h
h
h
-+
-
+
++≈
+
，
所以对于Jacobi 迭代的系数矩阵()1*B D L U -=-+有()1B ρ→（M 越大，越趋近于1），也即此时Jacobi 迭代的收敛速度很慢，所以此时没有必要进行Jacobi 迭代的计算了。程序中只对直接法、共轭梯度（CG ）法和预处理CG 法的统计误差和计算时间进行了比较。
由于系数矩阵A 为对称三对角阵，所以有以下算法：
记()()
111222222
1110
000
00M M M M M M a b b a b A b a b b a -----?-??
? ? ?=
? ? ???
直接法：
111111/,/u b a q g b ==
()1/i i i i i u c b u a -=-，2,,2i M =- ()()1111/i i i i i i i q f q b a u b ----=--，2,,1i M =-
以上过程其实为消元过程，再用回代过程求出方程组的各变量：
11M M x q --=
1i i i i x q u x +=-，2,,1i M =-
共轭梯度法：
令000000,,x r g Ax g p r ==-==
对0,1,2,k = 直到收敛完成()60110r -≤?
()(),/,k k k k r r p Ap α=
1k k k x x p α+=+ 1k k k r r Ap α+=-
()()
111,,k k k k k k k r r p r p r r +--=+
，结束。
特别注意：由于A 为对称三对角，为了减少计算过程的乘法次数以及计算机的存储空间，采用两个数组来表示矩阵A ，则有
()()2
22,,1,1,11
,2M k k n k n k n n k n M k M n p Ap b p p a p a p -+--==++∑
()1,1,,1,k n k n n k n n k n n Ap b p a p b p --+=++
其中，00M b b ==，1,,1n M =- 。
预处理共轭梯度法：
采用的是Jacobi 迭代预处理，取11z M r A r --== 令100000000,,,x r g Ax g z A r p z -==-=== 对0,1,2,k = 直到收敛完成()60110r -≤?
()(),/,k k k k r z p Ap α=
1k k k x x p α+=+ 1k k k r r Ap α+=-
111k k z A r -++=
()()
111,,k k k k k k k z r p r p z r +--=+
，结束
注意：(),,k k k p Ap Ap 仍用CG 法中提到的方法简化计算，111k k z A r -++=其实就是解线性方程组11k k Az r ++=，为了提高计算速度采用直接法解此方程组。
至此，所有方法的算法都已经给出。在程序的调试过程中发现，当M>6000时，CG 法的收敛速度已经很慢了，这是由于此时系数矩阵A
非
常趋近于1。因此程序中对于CG 算法取的M 最大值为5000次。
上述1λ，1M λ-分别为A 的最大，最小特征值。 结果如下所示：
表一、计算时间（s ）
表二、计算误差
图1.M与计算误差的双对数
由表一可知，用直接法来解此问题是最快捷的，其计算时间在M<6000内基本不随M变化，CG法和预处理CG法随着规模的增大逐渐增大，同时预处理CG法比CG法快了许多。当然，由于这个矩阵为对称三对角矩阵，是一个大型稀疏矩阵，CG算法以及预处理CG算法的优势不能体现出来。但是，如果系数矩阵仅仅是一个大型矩阵，CG算法尤其是预处理CG算法的优势就非常明显了。至于Jacobi迭代方法，本人也进行了尝试，发现其在M=500时计算时间就达到了15s；至于M=1000时，计算运行了5min还是不能达到收敛，而且其计算误差也比前三者大了至少一个量级，因此对于大型系数矩阵，Jacobi方法不具有可行性。
对于计算精度，从表一可以看出三种方法的误差基本差不多，同时从图1
可以看出当M<6000时，计算误差随着M的增大稳定的减小，但是在M>6000以后减小幅度不再稳定，甚至误差还会增大，这是由于计算机的固有计算精度所致。再增大M，舍入误差的影响将会变的明显。再往后继续增加计算规模，计算误差只能维持10-8左右，这与之前做的第三次作业的结果是一致的，都是与计
算机步长有关。
作业二：同样考虑二维问题：
()()()()[][]12,0,0,0
a x u c x u f x x L L u ?Ω?-??+=∈???=?? 要求：
1）用Jacobi 迭代 2）用CG 迭代 3）用预处理CG 迭代 4）统计误差和计算时间 5）最大规模不小于40004000?
此类问题在实际中可以当作变导热系数、有内热源的二维稳态导热问题。为解决此问题，做矩形网格的差分格式。取定x 轴和y 轴方向的步长11/h L M =和
22/h L M =，设()P ,i j x y 的四个邻点为()11,i j Q x y +，()21,i j Q x y +，()31,i j Q x y -，
()41,i j Q x y -，用i N 表示i PQ 的中点，1,2,3,4i =，见下图。
原方程等价于
()()()(),,,,u u a x y a x y c x y u f x y x x y y ????????-
-+= ? ?????????
在阴影区域,i j D 上对原方程进行积分，
()121,2
11112222,,,,,j j i j y y i i i i D u u u a x y dxdy a x y x y a x y x y dy x x x x +
-++--????????????????=-?? ? ? ? ? ???????????????????
???
利用梯形公式有
(),111122222,,,,,i j j j j j i i i i D u u u a x y dxdy a x y x y a x y x y h x x x x ++--????????????????
≈-?? ? ? ? ? ???????????????????
?? 类似的有
(),111112222,,,,,i j i i i i j j j j D u u u a x y dxdy a x y x y a x y x y h y y y y ++--????????????????≈-?? ? ? ? ? ??????????????????
??? 此外，有
()()(),12
,,,i j
i
j
i
j
D c x y udxdy c x y u x y h h ≈??
()(),12
,,i j
i
j
D f x y dxdy f x y h h ≈??
利用上面的四个积分近似式并用差商代替其中的偏导数，可以得到原方程的差分表达式
11,11,11,2,,,,122221i j i j i j i j i j i j i j a u a a u a u h -+--++?
???-++- ? ? ?????
1,111,1,1,,,2,,,,222221i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j a u a a u a u c u f h -+--++?
???+-++-+= ? ? ?????
将网格的顶点先按j 由小到大，j 相同的按i 由小到大的次序排列，这种排列方式叫“自然顺序排列”，上述差分形式可以得到一个线性方程组，写成矩阵形式
AU g =，则有
()()22
1,1
1,11,11,21,2
1,2
1,21,2
1,111000
00
M M M M M M M M M M M M M M T B B T B B A B B T -------------?--??
?-- ?
?-= ?
- ? ?-?
?
，
()21,1,11,11,2,1,111i M i j M M M u u u U u u u ----??? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ??? ，()21,1,11,11,2,1,111
i M i j M M M f f f g f f f ----??? ?
? ? ?
? ?
?= ? ? ? ? ? ? ??? 其中
13
113,,1,1,,2222
21,22211
1335
115
,,,2,2,,2222
2
22,222211
1
1
5,21,21
3,221
33111,,,1,1,22
2
2
2
22
2
1
110
00
00j j j j j j
j
j
j
j j j j
j M j
M j
M j
M j
M j
M j M j a a a a a c h h h
a a a a a
a c h h
h h
a T h
a
h
a
a
a a a c h
h h -+
-
+
-------
-+
++++-
++-+
+-=--
++-
+
+
()()
1,11M j M M --?-?? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?且()()
11,22212,2
22
1,11,2
22
11j j M j
M j M M a h a
h B a
h ++--+-?-?? ? ? ? ? ? ?
= ?
? ? ? ? ? ?
?
?
可记()()()()()()()()
()()222
2
22
2
2111
122
2
21
11212
1211
111111
110
00
0000
M M M M M M M M M M A αβδβαβδβδδδββαβδβα------------------??
? ? ?
?
?=
? ?
?
?
?
?
?
?
其中，
()()1111,,,,2
2
2
2
,221
2
11,1,,1,1,,1i j i j i j i i j i j M j a
a a a c i M j M h
h
α-+-
+
+-?-+++
+=-==
-
()()
1
,22
111
,1,,20,1
i j
i M j a i M h i M β++-?-???-=-=??=-?? ，1,,1j M =-
()()1
,2
1222
,1,,1,2,1i j i M j a
i M j M h
δ+
+-?-=-
=-=-
系数矩阵A 有以下几个特点：
1）A 是块三对角矩阵，共有5条对角线上有非零元素； 2）A 是不可约对角占优的（由于0c ≥） 3）A 为稀疏矩阵
由于A 的上述特点，方程组可以用经典的Jacobi 迭代，共轭梯度（CG ）法以及预处理CG 法分别来求解，并比较它们的统计误差以及计算时间。
需要注意的是，由于A 不再是对称三对角矩阵了，在编程过程中，迭代过程的算法与第一题的有所区别：
CG 法及预处理CG 法：
()()()()()
()222111112,,,1,,11
1
1
,22M M M M k k n k n n k n k n n k n k n M n n n p Ap p p p p p αβδ------++-====++
∑∑∑
()()()()()()
2
1,1,11,11,1,1,,1k n k n n n n k n n M k n M n M k n M n Ap p p p p p n M δβαβδ--+----+-+-=++++=- 其中，00M ββ==，且()()2
011i i M M ≤>---或者时，0i δ=。
类似第一题，由于A 为五对角矩阵，为了减少存储空间以及提高计算效率，采用五个数组来表示矩阵A ，这样我们节点的最大规模可以达到256*256，但是如果用矩阵来表示A ，节点规模最多只能达到64*64。同时，预处理CG 法中，解1z A r -=不能使用直接法（LU 分解），而用CG 法来代替（也可用FFT 技巧等，但是这些技巧需要构造系数矩阵A ，相比我的算法——直接用五个数组代替稀疏矩阵A 效果不明显，此外可取的最大规模小了许多）。但是结果表明，在预处理过程中，使用CG 法来解线性方程组Az r =并不是很理想，原因在下面会分析。
Jacobi 迭代：
易知Jacobi 迭代的格式为
1(1)
()
()11
1()i n
k k k i
ij j ij j i j j i ii x a x a x g a -+==+-=+-∑∑ 由于系数矩阵A 为块三对角矩阵，上式可以简化为：
()()()()2
(1)()()()()1111111(),1,2,1k k k k k i i i i i i i i M i M i M i
x g c x b x b x c x i M a +--+----+-=
----=- 其中0,0i c i ≡≤或者()()2
11i M M >---
0,0i b i ≡≤或者()()2
11i M M >---
结合第一题的算法以及上述改动，可以得到本题的具体算法了。计算时，取
()222212212,222x x y
x y x f x y e c c e c e c c e -----=--+-，11L =，21L =，(),x a x y e -=，
(),x c x y e -=，原方程的精确解为
()()()1212,11x x y y u x y c e c e c e c e --=+-+-
其中，111c e =
+，21
e
c e =+。 在程序的调试过程中发现，当72M >时Jacobi 迭代法的收敛速度已经很慢了，通过计算表明此时系数矩阵A 的谱半径()1A ρ→。因此程序中对于Jacobi 算法取的M 最大值为128次，相应的系数矩阵A 为()()2
2
772121-?-阶。当8
2M >时，CG 算法和预处理CG 算法所需的收敛时间已经大于2min ，收敛速度这么慢
的原因是：随着M 的增大，系数矩阵A
的
1，导致迭代
的收敛变慢；同时，每一步迭代里所需要的乘法次数随着M 线性增加。二者的共同作用，导致收敛时间随着M 的增加而急剧增加。程序中对于CG 算法和预处理CG 法取的M 最大值为256次，相应的系数矩阵A 为()()2
2
882121-?-阶，
已经远大于所要求的40004000?的计算规模。
上述1λ，1M λ-分别为A 的最大，最小特征值。 统计结果如下：
表三、计算时间（s ）
表四、计算误差
图2.M 与计算误差的双对数图
由表三可知， CG 法和预处理CG 法的计算随着规模的增大逐渐增大，但与第一题的结果不同的是预处理CG 比CG 法快的并不明显，但是当计算的规模逐
渐增大时，预处理CG 法的优势逐渐体现出来。造成这种差别的原因有二：
一、
在预处理过程中，解1z A r -=不再使用直接法（LU 分解），而用CG 法来代替，由第一题的结果可知CG 法的计算耗时远大于直接法，特别是在矩阵A 的规模很大时，这种差别更加明显。但是，由于此时矩阵A 不是对称三对角，此时比较简单的直接法不再适用，只能退一步采用效率较低的CG 算法。
二、
系数矩阵A 为块对称三对角矩阵，其有更多的非零元素，增加了每一次迭代步中需要进行的乘法运算次数，从而也降低了运算速率。
至于Jacobi 迭代方法，发现其在M=128时计算时间超过1min ；至于M=256时，计算运行了5min 还是不能达到收敛，而且其计算误差也比前二者大了许多，因此对于大型的系数矩阵，Jacobi 方法不具有可行性。
对于计算精度，从表四可以看出CG 法和预处理CG 法的误差基本差不多，同时从图2可以看出两种方法的计算误差随着M 的增大而减小，由于计算时间太长的限制，没有继续增大M 以观察其规律，但可以预见是由于计算机的计算精度所限计算误差不可能随着M 的增大一直减小下去。
再观察Jacobi 迭代，可以发现在128M <时其计算误差随着计算规模的增大而不断减小，而且甚至比CG 法和预处理CG 法误差还小；但是若再增大计算规模，当256M ≥时计算误差开始变得很大（结果没有列入表中），结果已经没有可信度了。原因其实很简单，随着计算规模的增大，达到收敛所需的次数急剧增加，而每次迭代的舍入误差不断积累，导致最终的收敛值与真值存在很大的偏差。这从另一方面也说明了对于大型矩阵，Jacobi 方法不具有可行性。
相反的，CG 法和预处理CG 法则能够用于求解巨型方程组，但是也有限制条件——系数矩阵A 必须是对称正定矩阵。
另外，在作业过程中，原想取()()()22,u x y x x y y =--这样一个简单的函数，但是发现M 与计算误差的双对数图如下：
特别的，当10M <时，计算误差竟然小于1710-；M 较小时，误差先随着M 不断增大，然后又开始呈下降趋势。这与我们认为的随着节点越多误差越小的事实相矛盾，但其实出现这种现象是合理的，由于u 为简单多项式，因此理论上精确解等于差分近似解，误差是计算精度以及舍入误差共同作用的结果。因此，取的函数u 为指数函数这种无限光滑的函数形式，而不是简单的多项式形式。
附录第一题程序：
第二题程序：
姓名：田婷学号：2016300185 班级序号：06 1.Write a passage of 150-200 words to summarize the main idea of the Critical Reading Text in Unit 1. Remember to include the objective, the methods and the major findings. When you are writing the summary, please remember not to copy the exact the sentences from the text. Laypeople’s Understanding of Radioactivity and Radiation The objective of the text is to find out laypeople’s understanding of central concepts concerningradioactivity and radiation phenomena, and then to detect whether respondents feared radiation and to investigate their attitudes to the applications of radiation. The survey was conducted in the form of questionnaire given to 270 students in an elementary physics course at the University of Oslo. This group was chosen for two main reasons : 1) The group was fairly large and easily accessible and 2) the group mainly consisted of first-year students who had completed secondry education , but had not received formal instruction on radiation since leaving school . And the questionnaire consisted of 13 questions .After that, all answers were assigned to the appropriate categories and coded. They found that there was a lack of knowledge about ‘absorption’ among respondents. Besides, women tended to be more worried about radiation and more sceptical about nuclear power than were men. In addition to that, only a small number of respondents feared the exposure to radition.Sufficient knowledge of radiation has little to do with one’s political considerations and judgments. Taking the lay conceptions into account and integrating factual knowledge and practical considerations may be a solution to the problem. Analyzing preconceptions about radiation may improve the public understanding of radiation phenomena. 2. Choose and write down your own research topic and narrow it down to at least three approriate working topics. Pay careful attention to the Models and Principles from p.27 to p.32.
第一次作业参考答案 1、、电能生产的主要特点有哪些？ 答：电能生产的主要特点可以归纳为以下三点。①电能生产的连续性特点；由于电能不能大量储存，电能的生产、输送和消费是同时完成的。②电能生产瞬时性的特点；这是因为电能的传输速度非常快（接近光速），电力系统中任何一点发生故障都马上影响到整个电力系统。③电能生产重要性的特点；电能清洁卫生、易于转换、便于实现自动控制，因此国民经济各部门绝大多数以电能作为能源，而电能又不能储存，所以电能供应的中断或减少将对国名经济产生重大影响。 2、对电力系统运行的基本要求是什么？ 答：对电力系统运行的基本要求有：①保证对用户的供电可靠性；②电能质量要好；③电力系统运行经济性要好；④对环境的不良影响要小。 3、电力系统中负荷的分类（I、II、III类负荷）是根据什么原则进行的？各类负荷对供电可靠性的要求是什么？ 答：电力系统中负荷的分类是根据用户的重要程度和供电中断或减少对用户所造成的危害的大小来划分的，凡供电中断将导致设备损坏、人员伤亡、产品报废、社会秩序还乱、政治影响大的用户的用电设备称为I类负荷；凡供电中断或减少将导致产品产量下降、人民生活受到影响的用户的用电设备称为II类负荷；I类、II类负荷以外的负荷称为III类负荷。 I类负荷对供电可靠性的要求是任何情况下不得中断供电； II类负荷对供电可靠性的要求是尽可能不中断供电； III类负荷可以停电。 4、标出下图所示电力系统中发电机、变压器的额定电压。（图中已标出线路的额定电压）
答：上述电力系统中发电机、变压器的额定电压如下： G ：10.5KV ；T1：10.5/242KV ；T2：220/121/38.5KV ；T3：35/6.3KV 5、为什么110KV 及以上的架空输电线路需要全线架设避雷线而35KV 及以下架空输电线路不需全线架设避雷线？ 答：因为110KV 及以上系统采用中性点直接接地的中性点运行方式，这种运行方式的优点是：正常运行情况下各相对地电压为相电压，系统发生单相接地短路故障时，非故障相对地电压仍为相电压，电气设备和输电线路的对地绝缘只要按承受相电压考虑，从而降低电气设备和输电线路的绝缘费用，提高电力系统运行的经济性；缺点是发生单相接地短路时需要切除故障线路，供电可靠性差。考虑到输电线路的单相接地绝大部分是由于雷击输电线路引起，全线路架设避雷线，就是为了减少雷击输电线路造成单相接地短路故障的机会，提高220KV 电力系统的供电可靠性。 35KV 及以下系统采用中性点不接地或经消弧线圈接地的中性点运行方式，即使雷击输电 线路造成单相接地时，电力系统也可以继续运行，供电可靠性高，所以无需全线架设避雷线。 6、在下图所示的电力系统中已知KV U 3/10=φ，A U C 3530=φω,如要把单相接地时流过接地点的电流补偿到20A ，请计算所需消弧线圈的电感系数。 解： 单相接地故障时的相量图如下：
机械设计软件开发组长 xx 组员xxxxx 班级07210x
中文摘要回顾和总结了机械CAD/ CAM近三十年的发展历程,概述了国内外CAD/CAM的研究与应用现状,介绍了几个较为著名的机械设计软件,对未来CAD/CAM的发展趋势进行了介绍。还对机械设计软件开发的应用进行了举例。 关键词机械设计；软件开发；CAD；CAM；发展 Abstract Reviews and summarizes the mechanical CAD/CAM for nearly thirty years development course, summarizes the current research and application of CAD/CAM at home and abroad, introduces several famous mechanical design software, for the future development trend of CAD/CAM are introduced. Also for the example of the application of mechanical design software development. Key words mechanical design; Software development; CAD; CAM; development;
目录 第一章机械设计软件开发的发展与研究现状 1.1机械设计软件的发展历程 --------------------------------------3 1.2机械设计软件的研究现状 --------------------------------------3 第二章机械设计软件未来的发展方向和研究重点 2.1 机械设计软件未来的发展方向———————————-------------6 2.2、机械设计软件开发的未来研究重点——————-———------------8 第三章机械设计软件开发应用实例 3.1 三维机械设计软件Solidworks 在工程设计中的应用—9 3.2 基于PRO/E的船舶机舱三维布置设计研究——————----------11 3.3 ObjectARX 技术在电网CAD 中的应用———————----------13 分工说明————————————————————14 个人感受————————————————————14 参考文献————————————————————16
有限元分析技术课程大作业 科 目：有限元分析技术 教 师： 姓 名： 学 号： 专 业： 机械设计及理论 类 别： 学 术 上课时间： 2016 年 11 月至 2017 年 1 月 考 生 成 绩： 阅卷评语： 阅卷教师 (签名) 重庆大学研究生院
第一章 问题提出 1.1工程介绍 某露天大型玻璃平面舞台的钢结构如图1所示，每个分格（图2中每个最小的矩形即为一个分格）x 方向尺寸为1m ，y 方向尺寸为1m ；分格的列数（x 向分格）=学生序号的百位数值×10+十位数值+5，分格的行数（y 向分格）=学生序号的个位数值+4，如序号为041的同学分格的列数为9，行数为5，111号同学分格的列数为16，行数为5。 钢结构的主梁（图1中黄色标记单元）为高160宽100厚14的方钢管，其空间摆放形式如图3所示；次梁（图1中紫色标记单元）为直径60厚10的圆钢管（单位为毫米），材料均为碳素结构钢Q235；该结构固定支撑点位于左右两端主梁和最中间（如不是正处于X 方向正中间，偏X 坐标小处布置）的次梁的两端，如图2中标记为UxyzRxyz 处。 玻璃采用四点支撑与钢结构连接（采用四点支撑表明垂直作用于玻璃平面的面载荷将传递作用于玻璃所在钢结构分格四周的节点处，表现为点载荷，如图4所示）；试对在垂直于玻璃平面方向的22 /KN m 的面载荷（包括玻璃自重、钢结构自重、活载荷（人员与演出器械载荷）、风载荷等）作用下的舞台进行有限元分析.（每分格面载荷对于每一支撑点的载荷可等效于0.5KN 的点载荷）。 1.2 作业内容 （1）屏幕截图显示该结构的平面布置结构，图形中应反映所使用软件的部分界面，如图1-2； （2）该结构每个支座的支座反力； （3）该结构节点的最大位移及其所在位置； （4）对该结构中最危险单元（杆件）进行强度校核。 图1-1
实验名称 实验1 基于谐波检测的移频闭塞信号数字接收 实验目的 1.掌握基于FFT 的信号频谱分析技术，认识近似分析中出现的混叠现象、泄露现象 和栅栏现象，加深理解这些现象对频谱分析精度的影响。 2.初步掌握噪声中谐波检测算法，了解影响频率估计精度的主要因素。 3.了解铁路移频闭塞系统的信号发送和接收过程。 实验内容 1.通过理论分析推导移频闭塞信号s(t)及其等效低通形式s l(t)的傅里叶变换表达式（为 离散谱），由此计算f1取不同值时国产18信息和ZPW-2000两类闭塞信号的主谐波分量频率和有效值，并统计其功率最强的几根谱线（国产18信息为6根，ZPW-2000 为3根）的功率之和占信号总功率的百分比。将计算结果制作成表格。 2.参照实验原理部分提供的波形仿真示例程序，针对国产18信息和ZPW-2000两种制 式，产生f1为标准值时移频闭塞信号等效低通信号仿真波形（可根据需要设定生成数据的长度和对采样频率等参数进行调整），由FFT分析该信号频谱并计算其主谐波的频率和有效值，将计算结果与内容1计算结果进行比较。 3.假设移频闭塞信号的参数f c和f1取标准值（即频率偏差为0），设计算法分析接收到 的等效低通信号，通过提取移频闭塞信号的主谐波分量，估计调制低频f1的最佳取值。将编写的程序对10段信号样本进行分析，输出f1的估计结果。 4.假设移频闭塞信号的参数f c和f1的偏差满足|Δf c|<5Hz，|Δf1|<0.1Hz，根据接收到的 等效低通信号设计算法估计Δf c和Δf1，并确定调制低频f1对应的最佳标准值。将编写的程序对10 段信号样本进行分析，输出Δf c、Δf1和f1的估计结果。 实验结果与分析 内容1 记 v=Δf f1 =TΔf 由题可知 s(t)=A0∑{c n cosθ0cos[2π(f c+nf1)t]+c n sinθ0sin[2π(f c+nf1)t]} +∞ n=?∞ 其中 c n=sin π(v?n) 2 π(v?n) +(?1)n sin π(v+n) 2 π(v+n) 若要求移频信号归一化功率为1，则移频信号的各个谐波分量的归一化值为 A?n= c √∑|c n|2 +∞ n=?∞ = c √|c0|2+2∑|c n|2 +∞ n=1
微波遥感基础 大作业 学院：电子工程学院
一. 微波传感器与光学或红外相比的优缺点？ 答：优点: （1）能够全天候、全天时工作 微波具有穿透云层、雾和小雨的能力，而且太阳辐射对辐射测量没有太大的影响。因此微波辐射测量既可在恶劣的气候条件下，也可以在白天和黑夜发挥作用，具有较强的全天候、全天时的工作能力，这一特性优于可见光和红外波段的探测系统。 （2）对地物有一定的穿透能力 微波对地物的穿透深度因波长和物质不同有很大差异，波长越长，穿透能力越强。同一种土壤湿度越小，穿透越深。微波对干沙可穿透几十米，对冰层能穿透100m左右，但对潮湿的土壤只能穿透几厘米到几米。a.微波穿透土壤的深度与土壤湿度、类型及工作频率有关。b. 微波穿透植物层的深度，取决于植物的含水量，密度，波长和入射角。如果波长足够长而入射角又接近天底角，则微波可穿透植被区而到达地面。因此，微波频率的高端（波长较短）只能获得植被层顶部的信息，而微波频率的低端（波长较长），则可以获得植被层底层甚至地表以下的信息。 （3）对某些地物具有特殊的波谱特性 比如微波高度计和合成孔径雷达具有测量距离的能力，可用于测定大地水准面；还可以利用微波探测海面风在可见光、红外波段所观测的颜色基本上取决于植被和土壤表层分子的谐振特性，而微波波段范围内观察到的“颜色”则取决于研究对象面或体的几何特性以及体介电特性，这样，将微波、可见光和红外辐射配合运用，就能够研究表面上几何的和体介电的特性以及分子谐振的特性。另外，微波还可以提供某些附加的特性，这使其在某些应用方面具有独到之处。例如，根据不同类型冰的介电常数不同可以探测海冰的结构和分类；根据含盐度对水的介电常数的影响可以探测海水的含盐度等等。 （4）具有多极化特性 不同的极化特性，表现更加丰富的目标特征信息。HH 极化方式，VV 极化方式， HV 极化方式，VH 极化方式。 （5）雷达可以进行干涉测量 微波遥感的主动方式即雷达遥感不仅可以记录电磁波的振幅信号，还可以记录电磁波的相位信息，通过相位信息可以进行雷达干涉测量。例如：可以实现地形主动干涉测量，微波遥感的主动方式可进行干涉测量对地形变化进行监测，实现InSAR地形测量 缺点： （1）SAR一般是侧视成像，侧视SAR图像具有阴影、迎坡缩短、顶底倒置等几何失真。 （2）光学成像通常是一次成像，而SAR是多次扫描后的叠加成像，成像的效果与雷达的一些实际状态有关。 （3）相干斑现象严重，解译困难。 （4）微波传感器的空间分辨率要比可见光和红外传感器低。 （5）其特殊的成像方式使得数据处理和解译相对困难些。 （6）与可见光和红外传感器数据不能在空间位置上一致。
《现代设计方法》作业关于有限元法的研究 学院：机械工程学院 专业：机械制造及其自动化
0.有限元法 有限元法分析起源于50年代初杆系结构矩阵的分析。随后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。其基本思想是利用结构离散化的概念，将连续介质体或复杂结构体划分成许多有限大小的子区域的集合体，每一个子区域称为单元（或元素），单元的集合称为网格，实际的连续介质体（或结构体）可以看成是这些单元在它们的节点上相互连接而组成的等效集合体；通过对每个单元力学特性的分析，再将各个单元的特性矩阵组集成可以建立整体结构的力学方程式，即力学计算模型；按照所选用计算程序的要求，输入所需的数据和信息，运用计算机进行求解。 当前，有限元方法/理论已经发展的相当成熟和完善，而计算机技术的不断革新，又在很大程度上推进了有限元法分析在工程技术领域的应用。然而，如此快速地推广和应用使得人们很容易忽视一个前提，即有限元分析软件提供的计算结果是否可靠、满足使用精度的前提，是合理地使用软件和专业的工程分析。有限元法分析一般包括四个步骤：物理模型的简化、数学模型的程序化、计算模型的数值化和计算结果的分析。每一个步骤在操作过程中都或多或少地引入了误差，这些误差的累积最终可能会对计算结果造成灾难性的影响，进而蒙蔽我们的认识和判断。 1.受内压空心圆筒的轴对称有限元分析 例图1.1所示为一无限长的受内压的轴对称圆筒，该圆筒置于内径为120mm的刚性圆孔中，试求圆筒内径处的位移。结构的材料参数
为：200 =，0.3 E GPa μ=。 图1 结构图 对该问题进行有限元分析的过程如下。 （1）结构的离散化与编号 由于该圆筒为无限长，取出中间一段（20mm高），采用两个三角形轴对称单元，如图1.2所示。对该系统进行离散，单元编号及结点编号如图1.3所示，有关结点和单元的信息见表1.1。 图1.2 有限元模型
北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日
一．题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。
一、单项选择题。本大题共50个小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.第一台电子计算机是1946年在美国研制成功的，该机的英文缩写名是______。 A.ENIAC? B.EDVAC C.EDSAC D.MARK 2.二进制数相对应的十进制数应是______。 A.123 B.167 C.179 D.177? 3.具有多媒体功能的微型计算机系统，通常都配有CD-ROM，这是一种______。 A.只读内存储器 B.只读大容量软盘 C.只读硬盘存储器 D.只读光盘存储器? 4.计算机内部用于处理数据和指令的编码是______。 A.十进制码 B.二进制码? C.ASCII码 D.汉字编码 5.计算机的硬件系统由五大部分组成，下列各项中不属于这五大部分的是______。 A.运算器 B.软件? C.I/O设备 D.控制器 6.计算机软件分为系统软件和应用软件两大类，下列各项中不属于系统软件的是 ______。 A.操作系统 B.办公软件? C.数据库管理系统 D.系统支持和服务程序 7.计算机断电后，会使存储的数据丢失的存储器是______。 A.RAM? B.硬盘 C.ROM D.软盘 8.保持微型计算机正常运行必不可少的输入/输出设备是______。 A.键盘和鼠标 B.显示器和打印机 C.键盘和显示器?
D.鼠标和扫描仪 9.在微型计算机中，微处理器芯片上集成的是______。 A.控制器和运算器? B.控制器和存储器 C.CPU和控制器 D.运算器和I/O接口 10.自计算机问世至今已经经历了四个时代，划分时代的主要依据是计算机的______。 A.规模 B.功能 C.性能 D.构成元件? 11.计算机系统包括硬件系统和软件系统。关于二者之间的关系正确的说法是______。 A.两个系统必须互相适合﹑配套? B.硬件是首要的，软件是次要的 C.软件是首要的，硬件是次要的 D.只要有了硬件，软件可有可无 12.下列选项中，不属于计算机多媒体功能的是______。 A.编辑﹑播放视频 B.播放VCD C.自动扫描? D.编辑﹑播放音乐 13.以下应用领域中，属于典型的多媒体应用的是______。 A.科学计算 B.网上购物 C.音视频会议系统? D.网络远端控制 14.把一台普通的计算机变成多媒体计算机，要解决的关键技术不包括______。 A.多媒体数据压缩编码技术 B.多媒体数据压缩解码技术 C.网络包分发技术? D.视频音频数据的输出技术 15.多媒体技术的典型应用包括______。 A.计算机辅助教学（CAI） B.娱乐和游戏 C.视频会议系统 D.以上都是? 16.下列选项中，对多媒体技术正确的描述是______。 A.能够同时获取、处理、编辑、存储和展示两个以上不同类型信息媒体的技术? B.只能够展示两个以上不同类型信息媒体的技术 C.能够获取、处理、编辑、存储和展示一种类型信息媒体的技术 D.只能够分别处理、编辑一种类型信息媒体的技术 17.要提高计算机的运行速度，应在360安全卫士中运行_____。 A.木马查杀 B.清理插件?
What Is the Economic Function of a Bank? Commercial banks play an important role in the financial system and the economy. As a key component of the financial system, banks allocate funds from savers to borrowers in an efficient manner. They provide specialized financial services, which reduce the cost of obtaining information about both savings and borrowing opportunities. These financial services help to make the overall economy more efficient. Imagine, for a moment, a world without banking institutions, and then to ask yourself a few questions. If there were no banks… ?Where would you go to borrow money? ?What would you do with your savings? ?Would you be able to borrow (save) as much as you need, when you need it, in a form that would be convenient for you? ?What risks might you face as a saver (borrower)? How Banks Work. Banks operate by borrowing funds-usually by accepting deposits or by borrowing in the money markets. Banks borrow from individuals, businesses, financial institutions, and governments with surplus funds (savings). They then use those deposits and borrowed funds (liabilities of the bank) to make loans or to purchase securities (assets of the bank). Banks make these loans to businesses, other financial institutions, individuals, and governments (that need the funds for investments or other purposes). Interest rates provide the price signals for borrowers, lenders, and banks. Through the process of taking deposits, making loans, and responding to interest rate signals, the banking system helps channel funds from savers to borrowers in an efficient manner. Savers range from an individual with a $1,000 certificate of deposit to a corporation with millions of dollars in temporary savings. Banks also service a wide array of borrowers, from an individual who takes a loan of $100 on a credit card to a major corporation financing a billion-dollar corporate merger. The table below provides a snapshot of the balance sheet for the entire U.S. commercial banking industry. It shows that the bulk of banks' sources of funds comes from deposits - checking, savings, money market deposit accounts, and time certificates. The most common uses of these funds are to make real estate and commercial and industrial loans. Individual banks' asset and liability composition may vary widely from the industry figures, because some institutions provide specialized or limited banking services.
数值计算大作业 题目一、非线性方程求根 1.题目 假设人口随时间和当时人口数目成比例连续增长，在此假设下人口在短期内的增长建立数学模型。 （1）如果令()N t 表示在t 时刻的人口数目，β 表示固定的人口出生率，则人口数目满足微分方程() ()dN t N t dt β=，此方程的解为0()=t N t N e β； （2）如果允许移民移入且速率为恒定的v ，则微分方程变成() ()dN t N t v dt β=+， 此方程的解为 0()=+ (1) t t v N t N e e βββ -； 假设某地区初始有1000000人，在第一年有435000人移入，又假设在第一年年底该地区人口数量1564000人，试通过下面的方程确定人口出生率β，精确到 410-；且通过这个数值来预测第二年年末的人口数，假设移民速度v 保持不变。 435000 1564000=1000000(1) e e βββ + - 2.数学原理 采用牛顿迭代法，牛顿迭代法的数学原理是，对于方程0)(=x f ，如果) (x f 是线性函数，则它的求根是很容易的，牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程0)(=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程0)(=x f 有近似根k x (假定0)(≠'x f )，将函数)(x f 在点k x 进行泰勒展开，有 . ))(()()(???+-'+≈k k k x x x f x f x f 于是方程0)(=x f 可近似地表示为 ))(()(=-'+k k x x x f x f 这是个线性方程，记其根为1k x +，则1k x +的计算公式为
习题3.推广本章第一节给出的产生线段的整数Bresenham算法，去掉0<=m<=1和x1
风电主轴承有限元分析 XXX 摘要：基于有限元法在接触问题中的应用，对风电主轴承进行非线性分析。以轴承外圈的内表面和内圈的外表面为目标面，以滚子为接触面创建接触对分析滚子的接触应力情况。最大应力值出现在滚子边缘出，对最大承载滚子环向接触应力分析表明，有限元分析结果与理论计算结果相近，验证了利用有限元法分析风电主轴承应力状态的可行性。 关键词：风电主轴承；接触应力；有限元分析 0 引言 随着传统能源的日益枯竭以及环境污染问题愈发严重，风能作为一种清洁的的可再生能源近些年受到越来越多的关注。风力发电技术已广泛运用于世界各地。一些发达国家风力发电产业已得到了迅猛发展，技术日趋成熟，并开始走向产业化规模化发展阶段[1-3]。 风电主轴承是风力发电机重要的组成部分。其结构形式图下图1所示。据统计，如今安装的所有风力发电机中，采用主轴轴承支撑原理的占总数的75-80％[4]，这种支撑是轴承内圈安装在旋转的主轴上，外圈固定在单独的轴承座上，相对于圆锥滚子轴承或圆柱滚子轴承来说，主轴轴承位置处轴产生变形，需要轴承具有一定的调心作用，所以都采用了调心滚子轴承。近年来由于计算机技术的飞速发展，轴承的受力分析计算已经普遍采用有限元分析的方法，能够准确合理地解决轴承复杂的非线性接触问题，为轴承的分析和计算提供了一种新的方法，成为未来的一个发展方向。在机械设备的设计过程中,对受力较大且复杂的零件进行受力分析,校核其整体和局部强度并进行合理的布局设计,是为了防止因应力过大而导致在实际工作中损坏或寿命降低[5]。本文主要运用ANSYS Workbench有限元软件对风电主轴承进行静力学计算，分析轴承内部结构参数对轴承载荷分布和最大接触应力的影响规律。 图1 风电主轴承结构及安装图 1 有限元分析过程 1.1 风电轴承有限元分析基本步骤 不同的物理性质和数学模型的问题,有限元法求解的基本步骤是相同的,只不过 具体公式推导和运算求解不尽相同。有限元分析求解问题的基本计算步骤[6]: 1.问题及求解域定义； 2.求解域离散化； 3.确定状态变量及控制方法； 4.单元推导；
《数据库系统原理》大作业大纲 一、大作业的目的和要求 （1）培养学生运用所学课程《数据库系统原理》的理论知识和技能，深入理解《数据库系统原理》课程相关的理论知识，学会分析实际问题的能力。 （2）培养学生掌握用《数据库系统原理》的知识设计计算机应用课题的思想和方法。 （3）培养学生调查研究、查阅技术文献、资料、手册以及编写技术文献的能力。 （4）通过课程大作业，要求学生在教师的指导下，独立完成大作业要求的相关内容，包括： ①通过调查研究和运用Internet，收集和调查有关资料、最新技术信息。 ②基本掌握撰写小论文的基本步骤和写作方法。 ③根据课题的要求基本理解和掌握E-R图的设计方法和关系模式的转换。 ④根据课题的要求基本理解和掌握数据流图（DFD）和数据字典（DD）的设计方法。 ⑤创建数据库及各种数据库对象。 二、大作业题目 要求： （1）任选下列一个题目，调查分析一个具体的或模拟的实例； （2）描述该实例的业务信息和管理工作的要求； （3）列出实体、联系； （4）指出实体和联系的属性； （5）画出E-R图； （6）将E-R图转换成关系模式，并注明主码和外码； （7）建立数据字典； （8）创建数据库； （9）根据题目的要求写查询、存储过程、触发器等。 题目： （1）学校图书借阅管理系统 功能要求： ●实现图书信息、类别、出版社等信息的管理； ●实现读者信息、借阅证信息的管理； ●实现图书的借阅、续借、归还管理； ●实现超期罚款管理、收款管理； ●创建触发器，分别实现借书和还书时自动更新图书信息的在册数量； ●创建视图查询各种图书的书号、书名、总数和在册数； ●创建存储过程查询指定读者借阅图书的情况； ●建立数据库相关表之间的参照完整性约束。
第一次作业答案 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第二章财务管理的基础知识 一、计算题 1.某企业年初投资100万元生产一种新产品，预计每年年末可得净收益10万元，投资年限为10年，年利率为5%。【要求】 （1）计算该投资项目年收益的现值和终值。 （2）计算年初投资额的终值。 解：（1）年收益现值 P= 10×（P/A，5%，10） = 10×7.7217 = 77.217 (万元) 年收益终值 F= 10×（F/A，5%，10） =10×12.578 =125.78（万元） （2）年初投资额终值 F=100×（F/P，5%，10） =100×1.6289 =162.89（万元）
2.某人准备5年后支付一笔10 000元的款项，年利率为5%。 【要求】计算此人现在应存入银行多少钱，5年的复利利息为多少元。 解：复利现值 P=10000×（P/F，5%，5） =10000×0.7835 =7835（元） 复利利息 I=F-P =10000-7835 =2165（元） 3.某企业2003年年初投资一个项目，预计从2006年起至2010年每年年末可获得净收益20万元，年利率为5%。【要求】计算该投资项目年净收益的终值和现值。 解:年净收益的终值 F=20×（F/A，5%，5） =20×5.5256
=110.512（万元） 年收益的现值 P=20×[（P/A，i，m+n）﹣（P/A，i，m） =20×[（P/A，5%，8）﹣（P/A，5%，3） =20×（6.4632﹣2.7232） =74.796（万元） 4.某企业投资一个项目，每年年初投入10万元，连续投资3年，年利率为5%。 【要求】 （1）计算该项目3年后的投资总额 （2）若3年的投资额于年初一次性投入，投资总额是多少？ （3） 解：（1）预付年金终值 F=10×（F/A，5%，3）×（1+5%） =10×3.1525×1.05 =33.10（万元） （2）预付年金现值
数字逻辑第一次大作业
一．“七段数码管字形发生器”真值表（支持共阴极，1亮0灭） 输入变量输出变量数码管显 示 A B C D a b c d e f g 0000 1111110 0 000 1 0110000 1 0010 110110 1 2 001 1 111100 1 3 0100 011001 1 4 010 1 101101 1 5 0110 101111 1 6 011 1 1110000 7 1000 111111 1 8 100 1 111101 1 9 1010 111011 1 A 101 1 001111 1 B 1100 1001110 C 110 1 011110 1 D 1110 100111 1 E 111 1 100011 1 F 二．卡诺图化简： A B C D a 0000 1 000 1 0 0010 1 001 1 1 0100 0 010 1 1 0110 1 011 1 1 1000 1 100 1 1 1010 1 101 1 0 1100 1 110 1 0 1110 1 AB CD 00 01 11 10 00 1 0 1 1 01 0 1 0 1 11 1 1 1 0 10 1 1 1 1 Fa=B?D?+A?BD+A B?C?+A?C+BC+A D?
111 1 1 A B C D b 0000 1 000 1 1 0010 1 001 1 1 0100 1 010 1 0 0110 0 011 1 1 1000 1 100 1 1 1010 1 101 1 0 1100 0 110 1 1 1110 0 111 1 0 A B C D c 0000 1 000 1 1 0010 0 001 1 1 0100 1 010 1 1 0110 1 011 1 1 1000 1 100 1 1 1010 1 101 1 1 1100 0 110 1 1 1110 0 111 1 0 AB CD 00 01 11 10 00 1 1 0 1 01 1 0 1 1 11 1 1 0 0 10 1 0 0 1 Fb=B?D?+B?C?+A?C?D?+A?CD+A C?D AB CD 00 01 11 10 00 1 1 0 1 01 1 1 1 1 11 1 1 0 1 10 0 1 0 1 Fc=A?C?+A?D+A?B+A B?+C?D
第三章 平面问题的有限元法作业 1. 图示一个等腰三角形单元及其节点编码情况，设μ=0，单元厚度为t 。求 1）形函数矩阵[]N ；2）应变矩阵[]B ；3）应力矩阵[]S 。 4 第1题图 第2题图 2. 如题图所示，结构为边长等于a 的正方形，已知其节点位移分别为：11(,)u v 、 22(,)u v 、33(,)u v 、44(,)u v 。试求A 、B 、C 三点的位移。其中A 为正方形形心，B 为三角形形心。 3.直角边边长为l 的三角形单元，如题图所示。试计算单元等效节点载荷列阵（单元厚度为t ，不计自重）。 第3题图 第4题图 4. 如题图所示，各单元均为直角边边长等于l 的直角三角形。试计算（1）单元等效节点载荷列阵；（2）整体等效节点载荷列阵。已知单元厚度为t ，不计自重。
5．下列3个有限元模型网格，哪种节点编号更合理？为什么？ 9 34 6 7912 11 34 6 12142 (a) (b) (c) 第5题图 6.将图示结构画出有限元模型；标出单元号和节点号；给出位移边界条件；并计算半带宽（结构厚度为t ）。 2a (a) (b) 无限长圆筒 (c) 第6题图 7. 结构如图所示，已知结构材料常数E 和 ，单元厚度为t 。利用结构的对称性，采用一个单元，分别计算节点位移和单元应力。 第7题图
答案： 1. 1）形函数 i x N a = ， j y N a = ， 1m x y N a a =-- 2）应变矩阵 []1000101 000101011011B a -????=-??--???? 3）应力矩阵 []100010100 01 0111 110022 2 2S a ? ???-? ?=-????- -? ?? ? 2. A 点的位移为 ()2312A u u u = + ， ()231 2A v v v =+ B 点的位移为 ()24313B u u u u = ++ ， ()2431 3B v v v v =++ C 点的位移为 ()1223C a u u u = + ， ()C 1223 a v v v =+ 3. 单元等效节点载荷列阵为 {}11 11 00003 663 T e i j i j R q q q q ?? =++?? ?? 4. （2）整体等效节点载荷向量为 {}111100006 322T R qlt P qlt P P qlt qlt ?? =-???? 7. （1） 减缩后的整体刚度方程 22 12 2 1222 22221110222021102(1)2 2102x x b b ab R b ab b P v Et ab a b ab ab R v b a μμμ μμμμμμ---??- - ??????????--?????? -??? ?=????---+ +? ???? ?????????-????+?? ? ? 节点位移