材料力学阶段总结
一. 材料力学的一些基本概念 1. 材料力学的任务：
解决安全可靠与经济适用的矛盾。 研究对象：杆件
强度：抵抗破坏的能力 刚度：抵抗变形的能力
稳定性：细长压杆不失稳。
2. 材料力学中的物性假设
连续性：物体内部的各物理量可用连续函数表示。 均匀性：构件内各处的力学性能相同。 各向同性：物体内各方向力学性能相同。
3. 材力与理力的关系, 内力、应力、位移、变形、应变的概念
材力与理力：平衡问题，两者相同； 理力：刚体，材力：变形体。
内力：附加内力。应指明作用位置、作用截面、作用方向、和符号规定。 应力：正应力、剪应力、一点处的应力。应了解作用截面、作用位置（点）、作用方向、和符号规定。
正应力⎩
⎨⎧拉应力压应力
应变：反映杆件的变形程度⎩
⎨⎧角应变线应变
变形基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。
4. 物理关系、本构关系 虎克定律；剪切虎克定律：
⎪⎩⎪⎨
⎧
==∆=Gr EA Pl l E τεσ夹角的变化。剪切虎克定律：两线段
——拉伸或压缩。拉压虎克定律：线段的
适用条件：应力～应变是线性关系：材料比例极限以内。 5. 材料的力学性能（拉压）：
一张σ-ε图，两个塑性指标δ、ψ，三个应力特征点：b s p σσσ、、，四个变化阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。 拉压弹性模量E ，剪切弹性模量G ，泊松比v ，）
（V E
G +=12
塑性材料与脆性材料的比较：
6. 安全系数、 许用应力、工作应力、应力集中系数
安全系数：大于1的系数，使用材料时确定安全性与经济性矛盾的关键。过小，使构件安全性下降；过大，浪费材料。
许用应力：极限应力除以安全系数。
塑性材料
[]s
s
n σσ=
s σσ=0
脆性材料
[]b
b
n σσ=
b σσ=0
7. 材料力学的研究方法
1) 所用材料的力学性能：通过实验获得。
2) 对构件的力学要求：以实验为基础，运用力学及数学分析方法建立理论，预测理
论应用的未来状态。
3) 截面法：将内力转化成“外力”。运用力学原理分析计算。
8.材料力学中的平面假设
寻找应力的分布规律，通过对变形实验的观察、分析、推论确定理论根据。
1) 拉（压）杆的平面假设
实验：横截面各点变形相同，则内力均匀分布，即应力处处相等。 2) 圆轴扭转的平面假设
实验：圆轴横截面始终保持平面，但刚性地绕轴线转过一个角度。横截面上正应力为零。
3) 纯弯曲梁的平面假设
实验：梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁的纵向纤维；正应力成线性分布规律。
9 小变形和叠加原理 小变形：
① 梁绕曲线的近似微分方程 ② 杆件变形前的平衡 ③ 切线位移近似表示曲线 ④ 力的独立作用原理 叠加原理：
① 叠加法求内力 ② 叠加法求变形。
10 材料力学中引入和使用的的工程名称及其意义（概念）
1) 荷载：恒载、活载、分布荷载、体积力，面布力，线布力，集中力，集中力偶，极限荷载。
2) 单元体，应力单元体，主应力单元体。
3) 名义剪应力，名义挤压力，单剪切，双剪切。 4) 自由扭转，约束扭转，抗扭截面模量，剪力流。 5) 纯弯曲，平面弯曲，中性层，剪切中心（弯曲中心），主应力迹线,刚架，跨度, 斜弯曲，截面核心，折算弯矩，抗弯截面模量。 6) 相当应力，广义虎克定律，应力圆，极限应力圆。 7) 欧拉临界力，稳定性，压杆稳定性。 8)动荷载，交变应力，疲劳破坏。
二. 杆件四种基本变形的公式及应用 1. 四种基本变形：
刚度 = 材料的物理常数×截面的几何性质 1)物理常数：
某种变形引起的正应力：抗拉（压）弹性模量E ； 某种变形引起的剪应力：抗剪（扭）弹性模量G 。 2)截面几何性质：
拉压和剪切：变形是截面的平移： 取截面面积 A ； 扭转：各圆截面相对转动一角度或截面绕其形心转动：
取极惯性矩ρI ；
梁弯曲：各截面绕轴转动一角度：取对轴的惯性矩Z I 。 3. 四种基本变形应力公式都可写成：
应力=截面几何性质
内力
对扭转的最大应力：截面几何性质取抗扭截面模量max
ρ=
ρI W p
对弯曲的最大应力：截面几何性质取抗弯截面模量max
y I W Z Z =
4. 四种基本变形的变形公式，都可写成：
变形=
刚度
长度
内力⨯
因剪切变形为实用计算方法，不考虑计算变形。 弯曲变形的曲率
221dx
y
d x ±=ρ）（，一段长为 l 的纯弯曲梁有：
z
x EI l M x l
=ρ=
θ）（
补充与说明：
1、关于“拉伸与压缩”
指简单拉伸与简单压缩，即拉力或压力与杆的轴线重合；若外荷载作用线不与轴线重合，就成为拉（压）与弯曲的组合变形问题；杆的压缩问题，要注意它的长细比
λ（柔度）。
这里的简单压缩是指“小柔度压缩问题”。 2、关于“剪切”
实用性的强度计算法，作了剪应力在受剪截面上均匀分布的假设。要注意有不同的受剪截面： a.单面受剪：
受剪面积是铆钉杆的横截面积； b.双面受剪：
受剪面积有两个：考虑整体结构，受剪面积为2倍销钉截面积；运用截面法，外力一分为二，受剪面积为销钉截面积。 c.圆柱面受剪：
受剪面积以冲头直径d 为直径，冲板厚度 t 为高的圆柱面面积。 3.关于扭转
表中公式只实用于圆形截面的直杆和空心圆轴。等直圆杆扭转的应力和变形计算公式可近似分析螺旋弹簧的应力和变形问题是应用杆件基本变形理论解决实际问题的很好例子。
4.关于纯弯曲
纯弯曲，在梁某段剪力 Q=0 时才发生，平面假设成立。
横力弯曲（剪切弯曲）可以视作剪切与纯弯曲的组合，因剪应力平行于截面，弯曲正应力垂直于截面，两者正交无直接联系，所以由纯弯曲推导出的正应力公式可以在剪切弯曲中使用。
5.关于横力弯曲时梁截面上剪应力的计算问题
为计算剪应力，作为初等理论的材料力学方法作了一些巧妙的假设和处理，在理解矩形截面梁剪应力公式时，要注意以下几点：
1) 无论作用于梁上的是集中力还是分布力，在梁的宽度上都是均匀分布的。故剪应力在宽
度上不变，方向与荷载（剪力）平行。
2) 分析剪应力沿梁截面高度分布变化规律时，若仅在截面内，有Q bdh h n
=τ⎰
)(，
因
)(h τ=τ 的函数形式未知，无法积分。但由剪应力互等定理，考虑微梁段左、右内
力的平衡，可以得出：
b
I QS z Z *=
τ
剪应力在横截面上沿高度的变化规律就体现在静矩
*z S 上， *z S 总是正的。
剪应力公式及其假设： a.矩形截面
假设1：横截面上剪应力τ与矩形截面边界平行，与剪应力Q 的方向一致； 假设2：横截面上同一层高上的剪应力相等。 剪应力公式：
b I y QS y z z )()(*=
τ ，
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=22*
22y y b y S Z
）（）（ 平均ττ2
3
23max
=⋅=bh Q b. 非矩形截面积 假设1： 同一层上的剪应力
τ
作用线通过这层两端边界的切线交点，剪应力的方向与剪力
的方向。
假设2：同一层上的剪应力在剪力Q 方向上的分量
y τ相等。
剪应力公式：
z z y I y b y QS y )()
()(*
=
τ
2
3
22*
)(3
2)(y R y S z -=
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ℜ•=222134)(R y Q y y πτ 平均
ττ34
max =
c.薄壁截面
假设1：剪应力τ与边界平行，与剪应力谐调。 假设2：沿薄壁t ，τ均匀分布。 剪应力公式：
z
z tI QS *=
τ
学会运用“剪应力流”概念确定截面上剪应力的方向。 三.梁的内力方程，内力图，挠度，转角
☐ 遵守材料力学中对剪力 Q 和弯矩 M 的符号规定。
☐ 在梁的横截面上，总是假定内力方向与规定方向一致，从统一的坐标原点出发
划分梁的区间，且把梁的坐标原点放在梁的左端（或右端），使后一段的弯矩方程中总包括前面各段。
☐ 均布荷载 q 、剪力Q 、弯矩M 、转角θ、挠度 y 间的关系： 由：
，M dx
y
d EI =22
Q dx dM =， q dx dQ = 有
）（）
（x q dx
y
d EI x Q dx dM
dx
y d EI ===4433
设坐标原点在左端，则有：
q ：
q dx
y d EI =4
4， q 为常值 Q ：
A qx dx
y
d EI +=33
：M B Ax x q dx
y d EI ++=2
2
22 ：θ C Bx x A x q dx dy EI
+++=2
32
6 ：y D Cx x B x A x q y EI ++++=⋅2
342
624
其中A 、B 、C 、D 四个积分常数由边界条件确定。 例如，如图示悬臂梁：
则边界条件为：
4
3
008
0600000l q
D y l
q C B M A Q l x l x x x =→=-=→=θ=→==→=====|||| 8
6244
34ql x ql x q y EI +
-=⋅
EI
ql y
x 84
==
截面法求内力方程：
内力是梁截面位置的函数，内力方程是分段函数，它们以集中力偶的作用点，分布的起始、终止点为分段点；
1) 在集中力作用处，剪力发生突变，变化值即集中力值，而弯矩不变； 2) 在集中力偶作用处，剪力不变，弯矩发生突变，变化值即集中力偶值；
3) 剪力等于脱离梁段上外力的代数和。脱离体截面以外另一端，外力的符号同剪力符号
规定，其他外力与其同向则同号，反向则异号；
4) 弯矩等于脱离体上的外力、外力偶对截面形心截面形心的力矩的代数和。外力矩及外
力偶的符号依弯矩符号规则确定。 梁内力及内力图的解题步骤： 1) 建立坐标，求约束反力； 2) 划分内力方程区段；
3) 依内力方程规律写出内力方程；
4) 运用分布荷载q 、剪力Q 、弯矩M 的关系作内力图；
关系：
()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+====⎰⎰d c d c C D C D
x d x Q M M x d x q Q Q x Q dx dM
x q dx dQ dx
M d ，22
规定：①荷载的符号规定：分布荷载集度 q 向上为正；
②坐标轴指向规定：梁左端为原点，x 轴向右为正。
剪力图和弯矩图的规定：剪力图的 Q 轴向上为正，弯矩图的 M 轴向下为正。 5) 作剪力图和弯矩图：
① 无分布荷载的梁段，剪力为常数，弯矩为斜直线；Q ＞0，M 图有正斜率（﹨）；Q ＜0，有负斜率（／）；
② 有分布荷载的梁段（设为常数），剪力图为一斜直线，弯矩图为抛物线；q ＜0，Q 图有负斜率（﹨），M 图下凹（︶）；q ＞0，Q 图有正斜率（／），M 图上凸（︵）； ③ Q=0的截面，弯矩可为极值；
④ 集中力作用处，剪力图有突变，突变值为集中力之值，此处弯矩图的斜率也突变，弯矩图有尖角；
⑤ 集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变值为力偶之矩； ⑥ 在剪力为零，剪力改变符号，和集中力偶作用的截面（包括梁固定端截面），确定最大弯矩（max
M
）；
⑦ 指定截面上的剪力等于前一截面的剪力与该两截面间分布荷载图面积值的和；指定截面积上的弯矩等于前一截面的弯矩与该两截面间剪力图面积值的和。
共轭梁法求梁的转角和挠度： 要领和注意事项：
1) 首先根据实梁的支承情况，确定虚梁的支承情况
2) 绘出实梁的弯矩图，作为虚梁的分布荷载图。特别注意：实梁的弯矩为正时，虚分布荷载
方向向上；反之，则向下。 3) 虚分布荷载
()x q 的单位与实梁弯矩 ()x M 单位相同()m KN ⋅若为，虚剪
力的单位则为
2m KN ⋅，虚弯矩的单位是3m KN ⋅
4) 由于实梁弯矩图多为三角形、矩形、二次抛物线和三次抛物线等。计算时需要这些图
形的面积和形心位置。
叠加法求梁的转角和挠度：
各荷载对梁的变形的影响是独立的。当梁同时受n 种荷载作用时，任一截面的转角和挠度可根据线性关系的叠加原理，等于荷载单独作用时该截面的转角或挠度的代数和。
四. 应力状态分析 1.单向拉伸和压缩
应力状态划分为单向、二向和三向应力状态。是根据一点的三个主应力的情况而确定
的。
如：
x σ=σ1 ，032==σσ 单向拉伸
有：E
X
X
σε=
，
x z Y v εεε-==
主应力只有x σ=σ1，但就应变，三个方向都存在。
若沿
α 和
2
π
+α 取出单元体，则在四个截面上的应力为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧α
σ-=τασ=σασ=τασ=σπ+απ+ααα222222
2
2
Sin Sin Sin Cos x x x x ，， 看起来似乎为二向应力状态，其实是单向应力状态。
2.二向应力状态.
有三种具体情况需注意
1) 已知两个主应力的大小和方向，求指定截面上的应力
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧ασ-σ=τασ-σ+σ+σ=σαα22222212121Sin Cos
由任意互相垂直截面上的应力，求另一任意斜截面上的应力
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧ατ+ασ-σ=τατ-ασ-σ+σ+σ=σαα2222222Cos Sin Sin Cos x y x
x y
x Y x
由任意互相垂直截面上的应力，求这一点的主应力和主方向
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧σ-στ-=ατ-σ-σ±σ+σ=⎭
⎬⎫σσy
x x
x
y x y x tg 2222022
21）（
（角度
α 和 0α 均以逆时针转动为正）
2) 二向应力状态的应力圆 应力圆在分析中的应用：
a) 应力圆上的点与单元体的截面及其上应力一一对应；
b) 应力圆直径两端所在的点对应单元体的两个相互垂直的面；
c) 应力圆上的两点所夹圆心角（锐角）是应力单元对应截面外法线间夹角的两倍2； d) 应力圆与正应力轴的两交点对应单元体两主应力；
e) 应力圆中过圆心且平行剪应力轴而交于应力圆的两点为最大、最小剪应力及其作用面。 极点法：确定主应力及最大（小）剪应力的方向和作用面方向。
3) 三方向应力状态，三向应力圆，一点的最大应力（最大正应力、最大剪应力） 广义虎克定律：
弹性体的一个特点是，当它在某一方向受拉时，与它垂直的另外方向就会收缩。反之，沿一个方向缩短，另外两个方向就拉长。 主轴方向：
[]()[]()[]⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧σ+σ-σ=εσ+σ-σ=εσ+σ-σ=ε213
313223211111v E v E v E ）
（ 或()()()()[]()()()()[]()()()()[]⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧ε+ε+ε+-+=σε+ε+ε--+=
σε+ε+ε--+=σ213313223211121112111211v v v V E v v v v E
v v v v E
非主轴方向：
()[]()[
]
()[]
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
σ+σ-σ=εσ+σ-σ=εσ+σ-σ=εy x z z x z y y
z y x x v E v E v E 111
体积应变：
()32132121σσσεεε++-=++E
v
五. 强度理论 1.计算公式.
强度理论可以写成如下统一形式：
[]σσ≤r
其中：
r σ：相当应力，由三个主应力根据各强度理论按一定形式组合而成。
[]σ：许用应力，[]n
σσ=
，0σ：单向拉伸时的极限应力，n ：安全系数。
1) 最大拉应力理论（第一强度理论）
11σ=σr ， 一般：[]n
b
σσ=
2) 最大伸长线应变理论（第二强度理论）
()3212σσσσ+-=v r ，一般：[]n
b
σσ=
3) 最大剪应力理论（第三强度理论）
313
σσσ+=r ， 一般：[]n
s
σσ=
4) 形状改变比能理论（第四强度理论）
()()()[
]21323222142
1
σσσσσσσ-+-+-=
r ， 一般：[]n
s
σσ=
5) 莫尔强度理论
[][]31σσσ-
σ=σ-+M ， []n
+
=σσ，
0+σ：材料抗拉极限应力
强度理论的选用：
1) 一般，
脆性材料应采用第一和第二强度理论； 塑性材料应采用第三和第四强度理论。
2) 对于抗拉和抗压强度不同的材料，可采用最大拉应力理论 3) 三向拉应力接近相等时，宜采用最大拉应力理论； 4) 三向压应力接近相等时，宜应用第三或第四强度理论。
六.分析组合形变的要领
材料服从虎克定律且杆件形变很小，则各基本形变在杆件内引起的应力和形变可以进
行叠加，即叠加原理或力作用的独立性原理。
分析计算组合变形问题的要领是分与合：
分：即将同时作用的几组荷载或几种形变分解成若干种基本荷载与基本形变，分别计算应力和位移。
合：即将各基本变形引起的应力和位移叠加，一般是几何和。 分与合过程中发现的概念性或规律性的东西要概念清楚、牢记。
斜弯曲：
平面弯曲时，梁的挠曲线是荷载平面内的一条曲线，故称平面弯曲；斜弯曲时，梁的挠曲线不在荷载平面内，所以称斜弯曲。 斜弯曲时几个角度间的关系要清楚： 力作用角（力作用平面）：ϕ
斜弯曲中性轴的倾角：
α
斜弯曲挠曲线平面的倾角：
θ
ϕ=αtg I I tg y z
ϕ=θtg I I tg y
z
θ=α∴
即：挠度方向垂直于中性轴
一般，
α≠ϕθ≠ϕ或即：挠曲线平面与荷载平面不重合。
强度刚度计算公式：
[]σ≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ϕ+ϕ=σsin cos max
max
c z z
W W W M
2
2z y f f f +=
ϕ==cos z
z y y EI pl EI l P f 3333
ϕ
==sin y
y z z EI pl EI l P f 333
3
拉（压）与弯曲的组合：
拉（压）与弯曲组合，中性轴一般不再通过形心，截面上有拉应力和压应力之区别 偏心拉压问题，有时要求截面上下只有一种应力，这时载荷的作用中心与截面形心不能差得太远，而只能作用在一个较小的范围内这个范围称为截面的核心。
强度计算公式及截面核心的求解：
[]σ≤±=σz
W M A N max min
max
012020=+
+
y
p z
p i
z z i
y y
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-
=p
y
z
p
z y z i a y i a 2
2
扭转与弯曲的组合形变：
机械工程中常见的一种杆件组合形变，故常为圆轴。 分析步骤：
根据杆件的受力情况分析出扭矩和弯矩和剪力。
找出危险截面：即扭矩和弯矩均较大的截面。由扭转和弯曲形变的特点，危险点在轴的表面。
剪力产生的剪应力一般相对较小而且在中性轴上（弯曲正应力为零）。一般可不考虑剪力的作用。
弯扭组合一般为复杂应力状态，应采用合适的强度理论作强度分析，强度计算公式：
[]σ≤τ+σ=σ2
23
4r
[]σ≤⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛=σ2
2
3
4P T r W M A P
[]σ≤τ+σ=σ224
3r []σ≤⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛=σ2
2
4
3P T r W M A P
扭转与拉压的组合：
杆件内最大正应力与最大剪应力一般不在横截面或纵截面上，应选用适当强度理论作强度分析。
强度计算公式
[]σ≤+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛=τ+σ=σ222
22231244T T r M M W
W M W M
[]σ≤+=
τ+σ=σ2
22
2
47501
3T r M M W
.
七．超静定问题：
总结：分析步骤
关键点：变形协调条件—力力—简单超静定梁问题拉压压杆的超静定问
⎪⎭
⎪
⎬⎫
求解简单超静定梁主要有三个步骤：
1) 解得超静定梁的多余约束而以其反力代替；
2) 求解原多余约束处由已知荷载及“多余”约束反力产生的变形； 3) 由原多余支座处找出变形协调条件，重立补充方程。 能量法求超静定问题：
⎰
⨯=
l
dx U 0
2
2刚度
内力
⎰⎰⎰⎰
A +I M +EI M +EA N =ρ
τ
l l l l
dx G kQ dx G dx dx U 002
2020
22222
卡氏第一定理：应变能对某作用力作用点上该力作用方向上的位移的偏导数等于该作用力，即：
i i
P U
=δ∂∂
注1：卡氏第一定理也适用于非线性弹性体； 注2：应变能必须用诸荷载作用点的位移来表示。
卡氏第二定理：线弹性系统的应变能对某集中荷载的偏导数等于该荷载作用点上沿该荷载方
向上的位移，即
i i
P
U
δ=∂∂*
若系统为线性体，则：
U U =* 注1： 卡氏第二定理仅适用于线弹性系统；
卡氏第二定理的应变能须用独立荷载表示。
注2： 用卡氏定理计算，若得正号，表示位移与荷载同向；若得负号，表示位移与荷载反向。计算的正负与坐标系无关。
八．压杆稳定性的主要概念
压杆失稳破坏时横截面上的正应力小于屈服极限（或强度极限），甚至小于比例极限。即失稳破坏与强度不足的破坏是两种性质完全不同的破坏。
临界力是压杆固有特性，与材料的物性有关（主要是E），主要与压杆截面的形状和尺寸，杆的长度，杆的支承情况密切相关。
计算临界力要注意两个主惯性平面内惯矩I和长度系数μ的对应。
压杆的长细比或柔度表达了欧拉公式的运用范围。细长杆（大柔度杆）运用欧拉公式判定杆的稳定性，短压杆（小柔度杆）只发生强度破坏而一般不会发生失稳破坏；中长杆（中柔度杆）既有强度破坏又有较明显失稳现象，通常根据实验数据处理这类问题，直线经验公式是最简单实用的一种。
折剪系数ψ是柔度λ的函数，这是因为柔度不同，临界应力也不同。且柔度不同，安全系数也不同。
压杆稳定性的计算公式：欧拉公式及ψ系数法（略）
材料力学各章重点内容总结 第一章 绪论 一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性 要求。 二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够 的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能 力。 三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假 设和各向同性假设。 第二章 轴向拉压 一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。 二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。注意此规定只 适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。 三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F A σ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。 四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα= 注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。 五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],max max N F A σσ=≤ 六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],max max N F A σσ=≤ 一定要有结论 2.设计截面[],max N F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤ 七、线应变l l ε?=没有量纲、泊松比'εμε =没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F l l EA ?= 注意当杆件伸长时l ?为正，缩短时l ?为负。 八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应 的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服 极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。 会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。
材料力学阶段总结 一. 材料力学的一些基本概念 1. 材料力学的任务： 解决安全可靠与经济适用的矛盾。 研究对象：杆件 强度：抵抗破坏的能力 刚度：抵抗变形的能力 稳定性：细长压杆不失稳。 2. 材料力学中的物性假设 连续性：物体内部的各物理量可用连续函数表示。 均匀性：构件内各处的力学性能相同。 各向同性：物体内各方向力学性能相同。 3. 材力与理力的关系, 内力、应力、位移、变形、应变的概念 材力与理力：平衡问题，两者相同； 理力：刚体，材力：变形体。 内力：附加内力。应指明作用位置、作用截面、作用方向、和符号规定。 应力：正应力、剪应力、一点处的应力。应了解作用截面、作用位置（点）、作用方向、和符号规定。 正应力? ??拉应力压应力 应变：反映杆件的变形程度? ??角应变线应变 变形基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 4. 物理关系、本构关系 虎克定律；剪切虎克定律： ???? ? ==?=Gr EA Pl l E τεσ夹角的变化。剪切虎克定律：两线段 ——拉伸或压缩。拉压虎克定律：线段的 适用条件：应力～应变是线性关系：材料比例极限以内。 5. 材料的力学性能（拉压）： 一张σ-ε图，两个塑性指标δ、ψ，三个应力特征点：b s p σσσ、、，四个变化阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。 拉压弹性模量E ，剪切弹性模量G ，泊松比v ，） （V E G +=12 塑性材料与脆性材料的比较：
6. 安全系数、 许用应力、工作应力、应力集中系数 安全系数：大于1的系数，使用材料时确定安全性与经济性矛盾的关键。过小，使构件安全性下降；过大，浪费材料。 许用应力：极限应力除以安全系数。 塑性材料 []s s n σσ= s σσ =0 脆性材料 []b b n σσ= b σσ =0 7. 材料力学的研究方法 1) 所用材料的力学性能：通过实验获得。 2) 对构件的力学要求：以实验为基础，运用力学及数学分析方法建立理论，预测理 论应用的未来状态。 3) 截面法：将内力转化成“外力”。运用力学原理分析计算。 8.材料力学中的平面假设 寻找应力的分布规律，通过对变形实验的观察、分析、推论确定理论根据。 1) 拉（压）杆的平面假设 实验：横截面各点变形相同，则内力均匀分布，即应力处处相等。 2) 圆轴扭转的平面假设 实验：圆轴横截面始终保持平面，但刚性地绕轴线转过一个角度。横截面上正应力为零。 3) 纯弯曲梁的平面假设 实验：梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁的纵向纤维；正应力成线性分布规律。 9 小变形和叠加原理 小变形： ① 梁绕曲线的近似微分方程 ② 杆件变形前的平衡 ③ 切线位移近似表示曲线 ④ 力的独立作用原理 叠加原理： ① 叠加法求内力 ② 叠加法求变形。 10 材料力学中引入和使用的的工程名称及其意义（概念） 1) 荷载：恒载、活载、分布荷载、体积力，面布力，线布力，集中力，集中力偶，极限荷载。 2) 单元体，应力单元体，主应力单元体。
名词解释： 1加工硬化：试样发生均匀塑性变形，欲继续变形则必须不断增加载荷，这种随着随性变形的增大形变抗力不断增大的现象叫加工硬化。 2弹性比功：表示金属材料吸收弹性变形功的能力。 3滞弹性：在弹性围快速加载或卸载后，随着时间延长产生附加弹性应变的现象。 4包申格效应：金属材料通过预先加载产生少量塑性变形（残余应变小于1%-4%），而后再同向加载，规定残余伸长应力增加；反向加载，规定残余伸长应力降低的现象。 5塑性：金属材料断裂前发生塑性变形的能力。常见塑性变形方式：滑移和孪生 6弹性极限：以规定某一少量的残留变形为标准，对应此残留变形的应力。 7比例极限：应力与应变保持正比关系的应力最高限。 8屈服强度：以规定发生一定的残留变形为标准，如通常以0.2%的残留变形的应力作为屈服强度。 9韧性断裂是材料断裂前发生产生明显的宏观塑性变形的断裂，这种断裂有一个缓慢的断裂过程，在裂纹扩展过程中不断的消耗能量。韧性断裂的断裂面一般平行于最大切应力并于主应力成45度角。 10脆性断裂是突然发生的断裂，断裂前基本上不发生塑形变形，没有明显征兆，危害性很大。断裂面一般与主应力垂直，端口平齐而光亮，常呈放射状或结晶状。 11剪切断裂是金属材料在切应力作用下，沿着滑移面分离而造成的断裂，又分滑断和微孔聚集性断裂。 12解理断裂：是金属材料在一定条件下，当外加正应力达到一定数值后，以极快速率沿一定晶体学平面产生的穿晶断裂，总是脆性断裂。 13缺口效应：由于缺口的存在，在静载荷作用下，缺口截面上的应力状态发生变化，产生所谓“缺口效应“ ①缺口引起应力集中，并改变了缺口应力状态，使得缺口试样或机件中所受的应力由原来的单向应力状态改变为两向或者三向应力状态。 ②缺口使得材料的强度提高，塑性降低，增大材料产生脆断的倾向。 8缺口敏感度：有缺口强度的抗拉强度σbm与等截面尺寸光滑试样的抗拉强度σb的比值. NSR=σbn / σs NSR越大缺口敏感度越小 9冲击韧性：Ak除以冲击式样缺口底部截面积所得之商 10冲击吸收功：式样变形和断裂所消耗的功，称为冲击吸收功以Ak表示，单位J 11低温脆性：一些具有体心立方晶格或某些秘排立方晶格的金属，当温度降低到、某一温度时，会由韧性状态变为脆性状态，冲击吸收功明显下降，断裂机理由微孔聚集变为穿晶解理，断口特征由纤维状变为结晶状，这种现象称为低温脆性 12 脆性转变温度：当温度降低时，材料屈服强度急剧增加，而塑形和冲击吸收功急剧减小。材料屈服强度急剧升高的温度，或断后延伸率，断后收缩率，冲击吸收功急剧减小的温度就是韧脆转变温度tk，tk是一个温度区间 16应力场强度因子KI ：表示应力场的强弱程度，对于某一确定的点的大小直接影响应力场的大小，KI 越大，则应力场各应力分量也越大 17应力腐蚀：金属在拉应力和特定的化学介质共同作用下，经过一段时间后产生的低应力脆断现象 第一章 3.金属的弹性模量主要取决于什么因素？为什么说它是一个对组织不敏感的力学性能指标？ 答：由于弹性变形时原子间距在外力作用下可逆变化的结果，应力与应变关系实际上是原子
材料力学总结一、基本变形
二、还有： （1）外力偶矩：)(9549 m N n N m •= N —千瓦；n —转/分 （2）薄壁圆管扭转剪应力：t r T 22πτ= （3）矩形截面杆扭转剪应力：h b G T h b T 32max ;βϕατ= = 三、截面几何性质 （1）平行移轴公式：;2A a I I ZC Z += abA I I c c Y Z YZ += （2）组合截面： 1．形 心：∑∑=== n i i n i ci i c A y A y 1 1 ； ∑∑=== n i i n i ci i c A z A z 1 1 2．静 矩：∑=ci i Z y A S ； ∑=ci i y z A S 3. 惯性矩：∑=i Z Z I I )( ；∑=i y y I I )( 四、应力分析： （1）二向应力状态（解析法、图解法） a ． 解析法： b.应力圆： ：拉为“+”，压为“-” ：使单元体顺时针转动为“+” ：从x 轴逆时针转到截面的 法线为“+” α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += x y στα
ατασστα2cos 2sin 2 x y x +-= y x x tg σστα-- =220 22 min max 22 x y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-±+= c ：适用条件：平衡状态 (2)三向应力圆： 1max σσ=； 3min σσ=；2 3 1max σστ-= （3）广义虎克定律： [])(1 3211σσνσε+-= E [] )(1z y x x E σσνσε+-= [])(11322σσνσε+-=E [] )(1 x z y y E σσνσε+-= [])(12133σσνσε+-=E [] )(1 y x z z E σσνσε+-= *适用条件：各向同性材料；材料服从虎克定律 （4）常用的二向应力状态 1．纯剪切应力状态： τσ=1 ，02=σ，τσ-=3 2．一种常见的二向应力状态： 22 3122τσσ σ+⎪⎭ ⎫ ⎝⎛±= 2 234τσσ+=r x σ
材料力学知识点归纳总结(完整版) K点相邻的微小面积取得越来越小，使得合力趋近于一个点力，这个点力就是在K点处的应力。 因此，应力是指杆件横截面上单位面积内的内力分布情况，通常用符号σ表示。应力的单位是帕斯卡（Pa），即XXX/平 方米。 第三章：应变、XXX定律和XXX模量 1.应变的概念：应变是指固体在外力作用下发生形状和尺 寸改变的程度，通常用符号ε表示。应变分为线性应变和非线 性应变两种。 线性应变是指应变与应力成正比，即应变与内力的比值为常数，这个常数被称为材料的弹性模量。非线性应变则不满足这个比例关系。 2.胡克定律：胡克定律是描述材料弹性变形的基本定律， 它规定了应力和应变之间的关系，即在弹性阶段，应力与应变成正比，比例系数为弹性模量。 3.XXX模量：杨氏模量是描述材料抗拉、抗压变形能力 的物理量，它是指单位面积内拉应力或压应力增加一个单位时，材料相应的纵向应变的比值。XXX模量的大小反映了材料的
柔软程度和刚度。杨氏模量的单位是帕斯卡（Pa）或兆帕（MPa）。 综上所述，材料力学是研究构件在外力作用下内力、变形、破坏等规律的科学。构件应具备足够的强度、刚度和稳定性以负荷所承受的载荷。截面法是求解内力的基本方法，应力是指杆件横截面上单位面积内的内力分布情况，应变是指固体在外力作用下发生形状和尺寸改变的程度。胡克定律描述了材料弹性变形的基本定律，而XXX模量则描述了材料抗拉、抗压变 形能力的物理量。 应力是指在截面m-m上某一点K处的力量。它的方向与 内力N的极限方向相同，并可分解为垂直于截面的分量σ和 切于截面的分量τ。其中，σ称为正应力，τ称为切应力。将应力的比值称为微小面积上的平均应力，用表示。在国际单位制中，应力的单位是帕斯卡（Pa），常用兆帕（MPa）或吉帕（GPa）。 杆件是机器或结构物中最基本的构件之一，如传动轴、螺杆、梁和柱等。某些构件，如齿轮的轮齿、曲轴的轴颈等，虽然不是典型的杆件，但在近似计算或定性分析中也可简化为杆。
材料力学知识点归纳总结（完整版） 1.材料力学：研究构件（杆件）在外力作用下内力、变形、以及破坏或失效一般规律的科学，为合理设计构件提供有关强度、刚度、稳定性等分析的基本理论和方法。 2.理论力学：研究物体（刚体）受力和机械运动一般规律的科学。 3.构件的承载能力：为保证构件正常工作，构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。构 4.件应当满足以下要求：强度要求、刚度要求、稳定性要求 5.变形固体的基本假设：材料力学所研究的构件，由各种材料所制成，材料的物质结构和性质虽然各不相同，但都为固体。任何固体在外力作用下都会发生形状和尺寸的改变——即变形。因此，这些材料统称为变形固体。 第二章：内力、截面法和应力概念 1.内力的概念：材料力学的研究对象是构件，对丁所取的研究对象来说，周围的其他物体作用丁其上的力均为外力，这些外力包括荷载、约束力、重力等。按照外力作用方式的不同，外力乂可分为分布力和集中力。 2.截面法：截面法是材料力学中求内力的基本方法，是已知构件外力确定内力的普遍方法。 已知杆件在外力作用下处丁平■衡，求m — m截面上的内力，即求m 一m截面左、右两部分的相互作用力。 首先假想地用一截面m - m截面处把杆件裁成两部分，然后取任一部分为研究对象，另一部分对它的作用力，即为m-m截面上的内力No因为整个杆件是平衡的，所以每一部分也都平■衡，那么，m-m截面上的内力必和相应部分上的外力平■衡。由平衡条件就可以确定内力。例如在左段杆上由平衡方程
研=。N — F= 0 可得N=F 3.珠上所述，截面法可归纳为以下三个步骤： 1、假想截开在需求内力的截面处，假想用一截面把构件截成两部分。 2、任意留取任取一部分为究研对象，将弃去部分对留下部分的作用以截面上的内力N来代替。 3、平衡求力对留下部分建立平衡方程，求解内力。 4、应力的概念：用截面法确定的内力，是截面上分布内力系的合成结果，它没有表明该分布力系的分布规律，所以，为了研究相伴的强度，仅仅知道内力是不够的。例如, 有同样材料而截面面积大小不等的两根杆件，若它们所受的外力相同，那么横截面上的内力也是相同的。但是，从经验知道，当外力增大时，面积小的杆件一定先破坏。 这是因为截面面积小，其上内力分布的密集程度大的缘故。 如图所示，在杆件横截面m— m上围绕一点K取微小面积徵，并设徵上分布内力的合力为藤如藤的大小和方向与所取K点的位置和面积徵有关。 代表了基1上瓯力分布前平均集申程度.为了更藉师地描述应力的分布情况，应使AATL 曲此彳割平均勒醐圈蹲称为微小面积上的平均应力，用表示，即： Z? = hm ——— 夕辨称为截面m—m上一点K处的应力。应力#厩的方向与内力N的极限方向相同，通常，它既不与截面垂直也不与截面相切。将应力户州分解为垂直丁截面的分量°和相名听外腺量弓其中°称为正应力，i称为切应力。在国际单位制中，应力单位是娜Ml筋犁小冲破妒工程上常用兆帕（MPa），有时也用吉帕（GPa）。 5.杆件变形的基本形式：在机器或结构物中，构件的形状是多种多样的。如果构件的纵向（长度方向）尺寸较横向（垂直丁长度方向）尺寸大得多，这样的构件称为杆件, 杆是工程中最基本的构件。如机器中的传动轴、螺杆、房屋中的梁和柱等均届丁杆件。
= N ⎝ ⎭ 2 [ σ ⎪ t 材料力学总结 一、根本变形 轴向拉压 扭 转 弯 曲 外 外力合力作用线沿杆轴 力偶作用在垂直于轴 外力作用线垂直杆轴，或外力偶作用 力 线 的平面内 在杆轴平面 剪力：Q 内 规定： 轴力：N 规定：左上右下为“+” 扭转：T 弯矩：M 规定： 规定：左顺右逆为“+” 力 拉为“+” 矩矢离开截面为“+” 微分关系： 压为“-” 反之为“-” dQ = q ; dM = Q dx dx 几 变形现象： 何 平面假设： 应 方 应变规律： 面 ε = d ∆l = 常数 变形现象： 平面假设： 应变规律： d φ 弯曲正应力 变形现象： 平面假设： 应变规律： 弯曲剪应力 dx γ ρ = ρ dx 应 力 = ρϕ σ = My ε = y ρ τ = QS * z 力 N 公 σ = A 式 τ = T ρ I P τ = T max W t I Z σ = M max W τ max I b z = QS I max b Z z 应 σ 力 τ 分布 应 等直杆 用 外力合力作用 条 线沿杆轴线 件 圆轴 应力在比例极限内 平面弯曲 应力在比例极限内 应力-应变 关系 σ = E ε 〔单向应力状态〕 τ = G γ 〔纯剪应力状态〕 ⎛ ⎫ ≤ [σ ] 弯曲正应力 强 max 度 ⎝ A ⎭ σ max ⎛ T ⎫ [ ] 1． [σ σ ]= [σ ] t [σ ] c 弯曲剪应力 [σ ]= u τ = ⎪ ≤ τ ≤ 条 n max W ⎪ t max max ． σ ]≠ [σ ] τ = Q max S max ≤ [τ ] 件 σ ≤ [σ ] c max I b z 塑材： σ = σ u s σ t max ≤ [σ t ] 脆材： σ = σ u b cmac c
材料力学总结一、根本变形
二、还有： 〔1〕外力偶矩：)(9549 m N n N m •= N —千瓦；n —转/分 〔2〕薄壁圆管扭转剪应力：t r T 22πτ= （3） 矩形截面杆扭转剪应力：h b G T h b T 32max ;βϕατ= = 三、截面几何性质 （1） 平行移轴公式：;2A a I I ZC Z +=abA I I c c Y Z YZ += （2） 组合截面： 1． 形 心：∑∑=== n i i n i ci i c A y A y 1 1 ； ∑∑=== n i i n i ci i c A z A z 1 1 2．静 矩：∑=ci i Z y A S ； ∑=ci i y z A S 3. 惯性矩：∑=i Z Z I I )( ；∑=i y y I I )( 四、应力分析： （1） 二向应力状态〔解析法、图解法〕 a ． 解析法：b.应力圆： σ〞 x
τ：使单元体顺时针转动为“+〞 α：从x 轴逆时针转到截面的 法线为“+〞 ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ατασστα2cos 2sin 2 x y x +-= y x x tg σστα-- =220 22 min max 22 x y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-±+= c ：适用条件：平衡状态 (2)三向应力圆： 1max σσ=； 3min σσ=；2 3 1max σστ-= 〔3〕广义虎克定律： [])(1 321 1σσνσε+-= E [] )(1z y x x E σσνσε+-= [])(11322σσνσε+-=E [] )(1 x z y y E σσνσε+-= [])(12133σσνσε+-=E [] )(1 y x z z E σσνσε+-=
材料力学各章重点内容总结 材料力学各章重点内容总结 第一章绪论 一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性 要求。 二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够 的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。 三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假 设和各向同性假设。 第二章轴向拉压 一、轴力图。注意要标明轴力的大小、单位和正负号。 二、轴力正负号的规定。拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。注意此规定只 适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。 f三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式。。。n注意正应力有正负号， a拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
。 四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式。。。。。cos2。，。。。sin2。 2注意角度。是指斜截面与横截面的夹角。 五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件。max。fn，maxa。。。。 fn，maxa六、利用正应力强度条件可解决的三种问题： 1.强度校核。max。。。。。 一定要有结论2.设计截面a。fn，max。。。 3.确定许可荷载fn，max。a。。。 。'。l七、线应变。。没有量纲、泊松比。。没有量纲且只与材料有关、 。l胡克定律的两种表达形式：。。e。，。l。fnl注意当杆件伸长时。l为正，ea缩短时。l为负。 八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应 的四个极限应力。弹性阶段（比例极限。p，弹性极限。e）、屈服阶段（屈服极限。s）、强化阶段（强度极限。b）和局部变形阶段。 会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。 九、衡量材料塑性的两个指标。伸长率。。l1。l。100。及断
材料力学知识点总结
材料力学总结一、基本变形
二、还有： （1）外力偶矩：)(9549m N n N m •= N —千瓦；n —转/分 （2）薄壁圆管扭转剪应力：t r T 22πτ= （3） 矩形截面杆扭转剪应力：h b G T h b T 32 max ;βϕατ== 三、截面几何性质 （1） 平行移轴公式：;2A a I I ZC Z += abA I I c c Y Z YZ += （2） 组合截面： 1． 形 心：∑∑=== n i i n i ci i c A y A y 1 1 ； ∑∑=== n i i n i ci i c A z A z 1 1 2．静 矩：∑=ci i Z y A S ； ∑=ci i y z A S 3. 惯性矩：∑=i Z Z I I )( ；∑=i y y I I )( 四、应力分析： （1） 二向应力状态（解析法、图解法） a ． 解析法： b.应力圆： σ：拉为“+”，压为“-” τ：使单元体顺时针转动为“+” α：从x 轴逆时针转到截面的 法线为“+” x
ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ατασστα2cos 2sin 2 x y x +-= y x x tg σστα-- =220 22 min max 22 x y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-±+= c ：适用条件：平衡状态 (2)三向应力圆： 1max σσ=； 3min σσ=；2 3 1max σστ-= （3）广义虎克定律： [])(13211σσνσε+-=E [] )(1 z y x x E σσνσε+-= [])(11322σσνσε+-=E [] )(1 x z y y E σσνσε+-= [])(12133σσνσε+-=E [] )(1 y x z z E σσνσε+-= *适用条件：各向同性材料；材料服从虎克定律 （4）常用的二向应力状态 1． 纯剪切应力状态： τσ=1 ，02=σ，τσ-=3 2． 一种常见的二向应力状态： 22 3122τσσ σ+⎪⎭ ⎫ ⎝⎛±= 2234τσσ+=r 2243τσσ+=r σx σ
材料力学重点总结要点 1、材料力学的任务：解决安全可靠与经济适用的矛盾。研究对象：杆件强度：抵抗破坏的能力刚度：抵抗变形的能力稳定性：细长压杆不失稳。 2、材料力学中的物性假设连续性：物体内部的各物理量可用连续函数表示。均匀性：构件内各处的力学性能相同。各向同性：物体内各方向力学性能相同。 3、材力与理力的关系, 内力、应力、位移、变形、应变的概念材力与理力：平衡问题，两者相同；理力：刚体，材力：变形体。内力：附加内力。应指明作用位置、作用截面、作用方向、和符号规定。应力：正应力、剪应力、一点处的应力。应了解作用截面、作用位置（点）、作用方向、和符号规定。正应力应变：反映杆件的变形程度变形基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 4、物理关系、本构关系虎克定律；剪切虎克定律： 适用条件：应力～应变是线性关系：材料比例极限以内。 5、材料的力学性能（拉压）：一张σ-ε图，两个塑性指标δ、ψ，三个应力特征点：，四个变化阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。拉压弹性模量E，剪切弹性模量G，泊松比v，塑性材料与脆性材料的比较：变形强度抗冲击应力集
中塑性材料流动、断裂变形明显拉压的基本相同较好地承受冲击、振动不敏感脆性无流动、脆断仅适用承压非常敏感 6、安全系数、许用应力、工作应力、应力集中系数安全系数：大于1的系数，使用材料时确定安全性与经济性矛盾的关键。过小，使构件安全性下降；过大，浪费材料。许用应力：极限应力除以安全系数。 塑性材料脆性材料 7、材料力学的研究方法1) 所用材料的力学性能：通过实验获得。2) 对构件的力学要求：以实验为基础，运用力学及数学分析方法建立理论，预测理论应用的未来状态。3) 截面法：将内力转化成“外力”。运用力学原理分析计算。 8、材料力学中的平面假设寻找应力的分布规律，通过对变形实验的观察、分析、推论确定理论根据。1) 拉（压）杆的平面假设实验：横截面各点变形相同，则内力均匀分布，即应力处处相等。2) 圆轴扭转的平面假设实验：圆轴横截面始终保持平面，但刚性地绕轴线转过一个角度。横截面上正应力为零。3) 纯弯曲梁的平面假设实验：梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁的纵向纤维；正应力成线性分布规律。9 小变形和叠加原理小变形：① 梁绕曲线的近似微分方程② 杆件变形前的平衡③ 切线位移近似表示曲线④ 力的独立作用原理叠加原理：