2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1} 2．（5分）复数=（）
A．2（+i）B．1+i C．i D．﹣i
3．（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．﹣C．或﹣D．﹣或4．（5分）设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）
A．6B．7C．10D．9
5．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不
能是下面的（）
A．2012B．2016C．2014D．2015
6．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）
①对于命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R，均有x2+x﹣1＞0；
②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；
③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；
④“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要
条件．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A．6B．8C．10D．12
8．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|≥d，则双曲线离心率的取值范围是（）
A．（1，]B．[，+∞）C．（1，3]D．[，+∞）9．（5分）不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）
A．B．C．D．
10．（5分）设二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则=（）
A．2n﹣1+3B．2（2n﹣1+1）C．2n+1D．1
11．（5分）已知数列{a n}满足a n=n3﹣n2+3+m，若数列的最小项为1，则m 的值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx 有且只有两个零点，则k的取值范围为（）
A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为．
14．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为．
15．（5分）某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有种不同选课方案（用数字作答）．16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜?≤4，设和的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．
18．（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2
频率分布表Ⅰ
分组（单位：岁）频数频率
[20，25]50.05
[25，30]200.20
[30，35]①0.350
[35，40]30②
[40，45]100.10
合计100 1.000
（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；
（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，
E、F分别为AB、PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，
）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．
（1）求椭圆的方程；
（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．
21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
①求证：﹣＜a＜0；
②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）求证：DE?BC=DM?AC+DM?AB．
【选修4-4：坐标系与参数方程】