开关变换器的状态空间平均建模

第3章 开关变换器的状态空间平均建模

开关变换器是通过调整开关元件的工作状态实现开关变换器输出电压的调整，在一个开关周期内，开关变换器是一个周期性时变电路，但在每一个开关工作状态，开关变换器又可以看作是一个线性电路。因此，不能用常规的线性电路理论对开关变换器进行分析，而必须研究适用于开关变换器的建模分析方法。

3.1 CCM 开关变换器的状态空间平均模型

3.1.1 CCM 开关变换器的状态空间方程及其近似解

对于在开关周期T 内有两个开关工作状态的开关变换器，即开关变换器工作在CCM 模式，可以分别写出它在每一个开关工作状态的状态方程，并进行求解。

工作状态1：在一个开关周期的[0，DT ]时间段，开关变换器的状态方程为：

d ()()()d t t t t

=+11x A x B u

(3.1a)

工作状态2：在一个开关周期的[DT ，T ]时间段，开关变换器的状态方程为：

d ()()()d t t t t

=+22x A x B u

(3.1b)

其中：x (t )是状态向量；u (t )是输入向量；A 1、A 2、B 1、B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵。

（I ）开关工作状态1对应的状态方程的解为

()()0d t

t

e t t e ττ?111A A u x =x()+B

(3.2)

当开关变换器的开关频率(f s =1/T )远大于状态方程的特征频率f 0，即f s >> f 0时，存在下述线性近似关系

DT DT e +≈11A I A

(3.3)

将式(3.3)代入式(3.2)，可得

00

()()0()d 0d DT

DT

DT DT

e

t DT e

t e

τ

ττ

τ

+=+

??111A A A 111I A B u x()=x()+B u x() (3.4a)

当开关变换器的输入向量u (t )在一个开关周期内是常数，或相对于开关频率是慢变化量时，可以

用u (t )在一个开关周期内的平均值u 等效，于是，由式(3.4a)可得

221

2

0DT

DT D T DT e

++1A 111A x()=x()B u B u

(3.4b)

对于f s >> f 0，可以忽略式(3.4b)中的T 2项，从而得到下述线性近似关系

0DT DT DT e ≈+11A u x()x()B

(3.4c)

（II ）开关工作状态2对应的状态方程的解为

()

()()d t

DT

t DT e

t t e

DT τ

τ-?22A 2A u x =x()+

B (3.5)

同理，由式(3.5)可得： ()00T T T

T

T

D D D D D D T D T T e e DT e

e

DT e

''''+'=+1

1222A A 22A A A 22u

u u u

x()=B B x()+x()+B B (3.6)

其中

)(T D D T DT DT e ''=+2A 121u u A B I B

(3.7)

忽略式(3.7)中的T 2项，可得

)(T D D T DT DT DT e ''≈=+2A 1211u u u

A B I B B (3.8)

将式(3.8)代入式(3.6)，得

)()0(T D D T T e D D +'+'1

2A A 12u x()=x()+B B

(3.9)

式(3.9)对应的状态方程为：

)d d ()(D D D t

t t D ''++1212A A u x()

=x()+B B

(3.10)

其中t x()为开关变换器在一个开关周期内状态向量的平均值，式(3.10)即为描述CCM 开关变换器在一个开关周期内的状态空间平均方程。

值得注意的是，在上述分析过程中，存在两个基本的假定：

（1）开关变换器的开关频率(f s = 1/T )远大于状态方程的特征频率f 0，即f s >> f 0；

（2）开关变换器的输入向量u (t )在一个开关周期内是常数，或是相对于开关频率的慢变化量。 上述假定，对PWM 开关变换器是始终成立的。

3.1.2 CCM 开关变换器的状态空间平均方程

以上分析了开关变换器在一个开关周期内两个开关工作状态的状态方程，及其近似解的表达式。类似地，可以得到描述开关变换器所有变量行为的状态方程和输出方程及其平均等效方程。

当开关变换器工作于CCM 时，开关变换器在一个开关周期内存在两个开关工作状态，针对每一个开关工作状态，建立其对应的状态方程和输出方程。

工作状态1：在一个开关周期的[0，dT ]时间段，开关管导通，二极管关断，在这一时间段内，开关变换器的状态方程和输出方程为：

d ()

()()

d ()()()

t t t t

t t t =+=+1111x A x B u y C x E u (3.11a)

工作状态2：在一个开关周期的[dT ，T ]时间段，开关管关断，二极管导通，在这一时间段内，开关变换器的状态方程和输出方程为：

d ()

()()

d ()()()

t t t t

t t t =+=+2222x A x B u y C x E u (3.11b)

其中：x (t )是状态向量；u (t )是输入向量；y (t )是输出向量；A 1，A 2，B 1，B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵；C 1，C 2，E 1，E 2分别是工作状态1和工作状态2对应的输出矩阵和传递矩阵。

式(3.11)描述了CCM 开关变换器在一个开关周期内的状态方程，当开关变换器的开关频率远大于特征频率时，可以认为状态向量在一个开关周期内保持不变；此外，当开关变换器的输入向量u (t )在一个开关周期内保持不变，或是相对于开关频率的慢变化量时，在一个开关周期内，状态向量x (t )和输入向量u (t )可以分别用它们在一个开关周期内的平均值()t x 和()t u 近似。通过在一个开关周期内对所有变量进行时间平均（加权平均），可以得到CCM 开关变换器在一个开关周期内的状态空间平均方程为：

d ()

()(()())()(()())d t d t t t d t t t t

'=+++1122x A x B u A x B u (3.12a)

其中()1()d t d t '=-。类似地，可以得到CCM 开关变换器在一个开关周期内的平均输出方程为：

()()(()())()(()())t d t t t d t t t '=+++1122y C x E u C x E u

(3.12b)

将式(3.12)重新组合成线性连续系统的状态空间方程后，得到CCM 开关变换器在一个开关周期内的平均状态方程和平均输出方程

d ()

(()())()(()())()

d ()(()())()(()())()

t d t d t t d t d t t t

t d t d t t d t d t t ''=+++''=+++12121212x A A x B B u y C C x E E u (3.13)

其中()t x ，()t u 和()t y 是状态向量，输入向量和输出向量在一个开关周期内的时间平均值，d (t )是开关管的导通占空比。

图3.1给出了在一个开关周期内，状态向量x (t )在工作状态1和工作状态2的变化率与在一个开关周期内状态向量的净变化率之间的关系。从图3.1可以看出，当开关变换器的开关频率远大于电路的特征频率，即状态向量在一个开关周期内的变化很小时，可以用一个开关周期内状态向量的平均值()t x 很好的近似等效状态向量的变化。

式(3.13)所描述的状态空间平均模型可以表示成标准的状态方程形式

d ()

()()d ()()()

t t t t t t t =+=+x Ax Bu y Cx Eu (3.14a)

图3.1 状态变量变化的直线近似

其中

1D D D D D D D D D D

'=+'=+'=+'=+'=-1212

1212A A A B B B C C C E E E (3.14b)

比较式(3.14)和式(3.11)可以发现，在开关变换器的状态空间平均模型中，状态方程的状态矩阵A 和输入矩阵B 分别是对应工作状态的状态矩阵A 1，A 2和输入矩阵B 1，B 2的加权平均值；输出方程的输出矩阵C 和传递矩阵E 分别是对应工作状态的输出矩阵C 1，C 2和传递矩阵E 1，E 2的加权平均值。

3.1.3 CCM 开关变换器的直流稳态和交流小信号等效方程

基于式(3.13)所给出的状态空间平均方程，对开关变换器的直流稳态和交流小信号特性进行分析。当开关变换器的输入向量()t u 和控制变量d (t )存在小信号扰动时，即

?()()t +t =u U u

，?()()d t D d t =+，?()()d t D d t ''=- (3.15a)

时，将引起开关变换器中的状态向量和输出向量的小信号扰动，即

?()()t t =+x X x

，?()()t t =+y Y y (3.15b)

其中X ，U ，Y ，D 分别是()t x ，()t u ，()t y ，d (t )的直流分量；?x

，?()t u ，?()t y ，?()d t 分别是()t x ，()t u ，()t y ，()d t 的交流小信号分量。

对于小信号扰动，存在

?<

X ，?()t <

于是，开关变换器的状态空间平均方程为

?d [()]???{[()][()]}{()}d ???{[()][()]}{()} t D d t D d t t t D d

t D d t t '=++-'+++-12

1

2

X +x A A X +x B B U +u

(3.16a)

????(){[()][()]}{()}???{[()][()]}{()} t D d t D d t t D d

t D d t t '=++-'+++-12

1

2

Y +y C C X +x E ΕU +u

(3.16b)

x x (t

将式(3.16)进一步整理后得到

?d [()]???()[]()d ???[()()]() t t d t t t t d t =+++12121212X +x AX +BU +Ax(t)+Bu (A -A )X +(B -B )U (A -A )x

(B -B )u

(3.17a)

????()[()()]()????()()()()()()t d t t d t t d t +++-+-+-12121

2

1

2

Y +y(t)

=CX +EU Cx(t)+Eu C -C X E E U C C x

E E u

(3.17b)

由于式(3.17)中存在与时间相关的变量?()t x

、?()t u 和?()d t 的乘积，因此式(3.17)是关于小信号扰动的非线性函数。当式(3.15c)的小信号近似成立时，对式(3.17)进行线性化近似，可以得到 ?d [()]???()() d t t d t t =1212X +x AX +BU +Ax(t)

+Bu +[(A -A )X +(B -B )U] (3.18a)

????()[()()]()t d t ++-+-1212Y +y(t)

=CX EU +Cx(t)Eu +C C X E E U (3.18b)

分离式(3.18)中的直流稳态部分和交流小信号部分，可以得到开关变换器的直流稳态和线性化交流小信号方程。

1. 直流稳态方程 由于在直流稳态时d 0d t

=X

，可得直流稳态方程

0=AX +BU

Y =CX +EU

(3.19a)

求解式(3.19)，可得开关变换器的直流稳态工作点为

-1-1X =-A BU Y =(E -CA B)U

(3.19b)

2. 线性化交流小信号方程

由式(3.18)，可得开关变换器的线性化交流小信号方程为

?d ()???()d ????()()t d t t t t d t ==12121212x Ax(t)+Bu(t)+[(A -A )X +(B -B )U]y

Cx()+Eu(t)+[(C -C )X +(E -E )U]

(3.20)

由式(3.20)，可以求解得到开关变换器的交流小信号传递函数。当开关变换器初始状态为零时，对式(3.20)做拉氏变换，得

????()()()[]()????()()s s s s d s s s s d s =++=12121

2

1

2

x

Ax Bu (A -A )X +(B -B )U y

Cx()+Eu()+[(C -C )X +(E -E )U] (3.21)

由式(3.21）可得

???()s s s d s -1-11212x(s)

=(I -A)Bu()+(I -A)[(A -A )X +(B -B )U] (3.22a)

???()s s s s d

s -1-1

12121212y(

)=(C(I -A)B +E)u()+{C(I -A)[(A -A )X +(B -B )U]+[(C -C )X +(E -E )U]} (3.22b)

其中I 为与A 相同阶数的单位矩阵。

3. CCM 开关变换器的交流小信号传递函数

由式(3.22)描述的交流小信号方程，可以对开关变换器的交流小信号特性进行分析。

当控制变量?()0d s =时，可得状态向量?()s x 对输入向量?()s u 的传递函数为

?,()0?()()(?()x u d

s s G s s s ==

=-1x

I -A)B u

(3.23a)

当输入向量?()0s =u

时，可得状态向量?()s x 对控制变量?()d s 的传递函数为

?,0?()()?()x d s s G s s d

s ==

=-1u(

)1212x

(I -A)[(A -A )X +(B -B )U]

(3.23b)

当控制变量?()0d s =时，可得输出向量?()s y 对输入向量?()s u 的传递函数为

?,()0?()()?()y u d

s s G s s s ==

=-1y

C(I -A)B +E u

(3.23c)

当输入向量?()0s =u

时，可得输出向量?()s y 对控制变量?()d s 的传递函数为

?,0?()()?()y d s G s s d

s ==

=-1u(s)

12121212y

C(I -A)[(A -A )X +(B -B )U]+(C -C )X +(E -E )U (3.23d)

3.2 DCM 开关变换器的状态空间平均模型

3.2.1 DCM 开关变换器的状态空间平均方程

对于DCM 开关变换器，在一个开关周期内存在三种工作状态，前两个工作状态与CCM 基本相同，工作状态1的持续时间为[0，d 1T ]，工作状态2的持续时间为[d 1T ，(d 1+d 2)T ]。

工作状态3：在每一个开关周期的[(d 1+d 2)T ，T ]时间段，开关管关断，二极管也关断，在这一时间段内，开关变换器的状态方程和输出方程为：

d ()

()()d ()()()

t t t t t t t =+=+3333x A x B u y C x E u (3.24)

其中：A 3，B 3分别是工作状态3对应的状态矩阵和输入矩阵；C 3，E 3分别是工作状态3对应的输出矩阵和传递矩阵。

与CCM 类似，可以得到DCM 开关变换器在一个开关周期内的状态空间平均方程和平均输出方程：

123d ()

()(()())()(()())()(()())d t d t t t d t t t d t t t t

=+++++112233x A x B u A x B u A x B u (3.25a)

1123()()(()())()(()())()(()())t d t t t d t t t d t t t =+++++12233y C x E u C x E u C x E u

(3.25b)

其中d 3 = 1 - d 1 - d 2。

将式(3.25)重新组合成线性连续系统的状态空间方程后，得到DCM 开关变换器在一个开关周期内的平均状态方程和平均输出方程为：

123123123123d ()

(()()())()(()()())()

d ()(()()())()(()()())()

t d t d t d t t d t d t d t t t

t d t d t d t t d t d t d t t =+++++=+++++123123123123x A A A x B B B u y C C C x E E E u (3.26)

其中()t x ，()t u 和()t y 是状态向量，输入向量和输出向量在一个开关周期内的时间平均值，d 1(t )是开关管的导通占空比，d 2(t )是二极管的导通占空比。

式(3.26)所描述的状态空间平均模型可以表示成标准的状态方程形式，且与式(3.14a)一致，其中

123123123123312

1D D D D D D D D D D D D D D D =++=++=++=++=--123123

123123A A A A B B B B C C C C E E E E (3.27)

3.2.2 DCM 开关变换器的直流稳态和交流小信号等效方程

基于式(3.26)所给出的状态空间平均方程，对DCM 开关变换器的直流稳态和交流小信号特性进行分析。当开关变换器的输入向量()t u 和控制变量d (t )存在小信号扰动时，即

?()()t +t =u U u ，111

?()()d t D d t =+，222?()()d t D d t =+，333?()()d t D d t =+ (3.28a)

时，将引起开关变换器中的状态向量和输出变量的小信号扰动，即

?()()t t =+x X x

，?()()t t =+y Y y (3.28b)

其中X ，U ，Y ，D 1，D 2分别是()t x ，()t u ，()t y ，d 1(t )，d 2(t )的直流分量；?x ，?()t u ，?()t y ，1

?()d t ，2

?()d t 分别是()t x ，()t u ，()t y ，d 1(t )，d 2(t )的交流小信号分量，3121D D D =--，123???()()()0d t d t d t ++=。 对于小信号扰动，存在

?<

?()d t D <<，22?()d t D << (3.29)

于是，DCM 开关变换器的状态空间平均方程为

1122331

1

2

2

3

3

??d [()]()d ????{[()][()][()]}{()}????{[()][()][()]}{()} t d d t t dt dt

D d t D d t D d t t D d

t D d t D d t t =+

=+++++++++++1231

2

3

X +x

x x A A A X +x B B B U +u (3.30a)

1122332

2

2

2

3

3

?????(){[()][()][()]}{()}????{[()][()][()]}{()} t D d t D d t D d t t D d

t D d t D d t t =+++++++++++123

1

2

3

Y +y C C C X +x E ΕΕU +u

(3.30b)

将式(3.30)进行整理后得到

1212

1

2

?d [()]???()[]()d ????[]()[()()()()]()???[()()()()]()t t d t t

d t d t d t t d

t d t t +=++++-+-+-+-+-+-+-+-1313232313231

3

2

3

X x AX BU Ax(t)Bu (A A )X (B B )U (A A )X (B B )U A A A A x B B B B u (3.31a)

1

212

1

2

????()()()[()]????[()()]()[()()()()]()???[()()()()]()t t t d d t d t d t t d

t d t t +++++-+-+-+-+-+-+-+-1313232313231

3

2

3

Y y =CX EU Cx Eu (C C )X E E U C C X E E U C C C C x E E E E u (3.31b) 由于式(3.31)中存在与时间相关的变量?()t x 、?()t u 和1?()d t 、2

?()d t 的乘积，因此式(3.31)是关于小信号扰动的非线性函数。当式(3.29)近似成立时，对式(3.31)进行线性化近似，可以得到

1

2

?d [()]???()[]()d ?[]() t t d t t d

t +=++++-+-+-+-13132

3

2

3

X x AX BU Ax(t)Bu (A A )X (B B )U (A A )X (B B )U

(3.32a)

1

2

????()()()[()]()?[()()]()

t t t d t d t +++-+-+-13132

3

2

3

Y +y =CX +EU Cx +Eu (C -C )X E E U C C X E E U

(3.32b)

分离式(3.32)中的直流稳态部分和交流小信号部分，可以得到DCM 开关变换器的直流稳态和线性化交流小信号方程，其直流稳态方程与式(3.19)一致。

1. 线性化交流小信号方程

由式(3.32)，可得DCM 开关变换器的线性化交流小信号方程为：

12

12

?d ()????()[]()[]() d ?????()()[()]()[()()]()t t d t d t t t t d t d t =++--+-+-=++-+-+-+-1313232313132323x Ax(t)Bu (A A )X +(B B )U (A A )X (B B )U y Cx(t)Eu (C C )X E E U C C X E E U (3.33)

由式(3.33)，可以求解得到DCM 开关变换器的交流小信号传递函数。当开关变换初始状态为零时，对式(3.33)做拉氏变换，得

12

1

2

?????()()()[()()]()[()()]()?????()()()[()()]()[()()]()s s s s d s d s s s s d s d s =++-+-+-+-=++-+-+-+-131323231

3

1

3

2

3

2

3

x Ax Bu A A X B B U A A X B B U y

Cx Eu C C X E E U C C X E E U (3.34)

由式(3.34)可得

111

12

???()?()[()()]()s s s d s s d

s -------+--+-13132

3

2

3

x(s)=(I A)Bu()+(I A)[(A A )X +(B B )U]I A A A X B B U

(3.35a)

-1-11

-12

??(())()?)[()()][()()]}()?)[)()][)()]}()s s s s d s s d

s =-++--+-+-+-+--+-+-+-131313132

3

2

3

2

3

2

3

y(

)C I A B E u {C(I A A A X B B U C C X E E U {C(I A (A A X B B U (C C X E E U (3.35b)

2. DCM 开关变换器的交流小信号传递函数

由式(3.35)描述的交流小信号方程，可以对DCM 开关变换器的交流小信号特性进行分析。

当1

?()0d s =，可得状态向量?()s x 对输入向量?()s u 的传递函数为

1

?,()0?()()?()x u d s s G s s ==

x

u

(3.36a)

当?()0s =u 时，可得状态向量?()s x 对控制变量1

?()d s 的传递函数为

1?,01

?()()?()x d s s G s d s ==

u(

)x

(3.36b)

当1

?()0d s =时，可得输出向量?()s y 对输入向量?()s u 的传递函数为

1

?,()0?()()?()y u d s s G s s ==

y u

(3.36c)

当?()0s =u 时，可得输出向量?()s y 对控制变量1

?()d s 的传递函数为

1?,01

?()()?()y d s s G s d s ==

u(

)y (3.36d)

注意，式(3.36)很难描述成如式(3.23)的解析形式，因为存在中间变量2

?()d s ，该变量与状态变量、输入变量、控制变量有关，实际求解过程中需引入电感电流辅助方程。

3.3 Buck 变换器的状态空间平均建模分析

下面将状态空间平均建模方法应用于Buck 变换器进行分析，以实例形式推导出带有寄生参数的Buck 变换器的状态空间平均方程模型，并进一步求得其直流稳态和交流小信号方程。

3.3.1 CCM Buck 变换器的状态空间平均建模分析

1. 状态空间平均方程

图3.2所示为Buck 变换器的主功率电路图，图3.3为Buck 变换器工作在CCM 时一个开关周期内的两个开关工作状态。

图3.2 Buck 变换器电路

(a) (b)

v o

v o

图3.3 CCM Buck 变换器在一个开关周期内的两个开关工作状态

在开关周期的[0，dT ]时间段内，开关管导通，二极管关断，Buck 变换器在这一时间段内的等效电路如图3.3(a)所示，其状态方程为：

d ()

()()d t t u t t

=11x A x +B 而在开关周期的[dT ，T ]时间段，开关管关断，二极管导通，Buck 变换器在这一时间段内的等效电路如图3.3(b)所示，其状态方程为：

d ()

()()d t t u t t

22x =A x +B 其中：

[]T

L C ()t i v x =，T

g o ()t i v ????=y ，

g ()u t v = (3.37a)

()()()()C C C C C 1

()L

C RR R R R R

R R L

R R L R R R L R R C ??++-

-

??

++?

?

==??-?

?++???

?

12A A (3.37b)

[]T

1/0L 1B =，[]T

002B =

(3.37c)

C

C

C 1

RR R R R R R ????????++??1C =，C C

C 0

RR R R R R R ??

???

???++??

2C = (3.37d)

012E =E =

(3.37e)

由CCM 开关变换器的状态空间平均模型，可以得到CCM Buck 变换器的状态空间平均方程：

C C L

L C C L g C C C C ()d ()()()()d 1()d ()0()()d RR R R R R i t d R R L R R L i t t v L R v t v t R R C R R C t ++??

??--

?

?

????++?????

?=+??????

?

?????-??????++???

? (3.38a)

g L C

o C C C 0

()()()()()d

i t i t y t RR R v t v t R R

R R ??

????

??=???

???????++???

?

(3.38b)

2. 直流稳态和交流小信号方程

由式(3.19)，式(3.20)和式(3.38)，可以得到CCM Buck 变换器的直流稳态模型和交流小信号模型。 由式(3.19)与式(3.20)，可得：

L

C C L g C C C ()()()001

0()()++??

--

?

?

??++????????=+????????????-???

?++?

?C C RR R R R R D R R L R R L I V L V R R R C R R C (3.39a)

求解该方程，可得

o g L =

+R

V DV R R

(3.39b)

由式(3.39)，可得CCM Buck 变换器的直流电压增益为：

o g L =

=+V R M D V R R

(3.40)

该式表明，当电感的寄生电阻R L 趋于零时，CCM Buck 变换器的直流电压增益为D ，而当存在寄生参数R L 时，实际Buck 变换器的直流电压增益小于理想Buck 变换器的直流电压增益。另外，从该式可以发现，电容等效串联电阻R C 的存在并不影响CCM Buck 变换器的直流电压增益。其本质上是由于稳态时电容电荷平衡所造成的，具体原因在于：整个开关周期内流入电容的电流在R C 上产生的压降与流出电容的电流在该电阻上产生的压降在求平均的过程中被相互抵消，有兴趣的读者可以尝试给出该证明。

由式(3.20)和式(3.38)，可得CCM Buck 变换器的交流小信号状态方程为：

C C L C C L L g g C C C C ()1??()()()()d ??()1??d ()()00()()RR R R R R

D R R L R R L i t i t v V d t L L R t v

t v t R R C R R C ++??

--

??????++?????????

?=

++??????

????????-??????++?? (3.41)

由交流小信号状态方程(3.41)，可得控制—输出和输入—输出的传递函数，也可以得到CCM Buck 变换器的线性化交流小信号等效电路。

由式(3.21)、式(3.22)可以很方便地建立变换器的小信号传递函数，将以上状态空间模型通过拉氏变换进行求解，可得相应的传递函数。这里给出在含有寄生参数情况下CCM Buck 变换器的控制—输出传递函数和输入—输出的传递函数：

()()()

o C 2g C C C L L ?()?()v s RR CDs RD

v s R R LCs RR C R R R C L s R R +=??+++++++?? (3.42a)

()()()C g g o 2C C C L L ?()?()RR CV s RV v

s R R LCs RR C R R R C L s R R d s +=

??+++++++??

(3.42b)

3. 状态空间平均等效电路模型

由CCM Buck 变换器的状态空间平均方程，我们可以得到其对应的线性化交流小信号等效电路模型，在此基础上，可以采用常规的线性电路分析方法和电路仿真软件进行分析和仿真。

由状态空间平均方程(3.38)，可以得到输出电压o v 与电容电压C v 的关系为：

C

C C L o R R v R i v R

+=-+

或者，以矩阵的形式表示为：

L L C C o C

10i i R R v v R R ??

??????=+??????-????????

(3.43)

将式(3.43)代入式(3.38)可得：

L L L g o C d 1d +10d 1

d i R L d i t v v v C R t ??

--??

????????=????????-????????

????

(3.44)

由该式可以得到CCM Buck 变换器的状态空间平均等效电路模型，如图3.4所示，其中S1 L =i di ，

S2g v dv =。

图3.4 CCM Buck 变换器的状态空间平均等效电路模型

根据图3.4，进一步可用理想变压器模型代替其中的受控电压源、受控电流源，如图3.5所示。 当CCM Buck 变换器工作于直流稳态时，占空比控制变量是常数，即d = D 。此时，可将电感L 视为短路，电容C 视为开路，理想变压器的变比为1:D 。于是，可直接从图3.5得到与式(3.40)相同的直流电压增益表达式。另外，从该图中可以直接求得开环输出阻抗表达式，如下：

图3.5 CCM Buck 变换器的等效理想变压器电路模型

()()out C L 1////Z s R R sL R sC ??

=++ ???

(3.45)

通过CCM Buck 变换器的等效理想变压器电路模型可以发现：理想变压器的匝数比1:d 是动态变化的，是时间的函数，通过控制占空比d 的调整，实现Buck 变换器的控制。因此，开关变换器可以看成是匝数比可控的直流变压器；而普通的交流变压器的匝数比是固定的，它只能成比例的实现交流电压的变换，不能实现交流电压的控制。

4. 交流小信号等效电路模型

对图3.4所示的状态空间平均等效电路模型，通过施加小信号扰动和线性化近似，可以得到CCM Buck 变换器的交流小信号等效电路模型，在此基础上，可以方便地进行CCM Buck 变换器的交流小信号特性分析。为了简化，在进行交流小信号分析时，假定Buck 变换器为理想的(R L = R C = 0)。

i

v

v g

:i

对图 3.4中的所有变量施加小信号扰动g g g ?=+v V v

，L L L ?=+i I i ，?=+d D d ，C C C ?=+v V v ，o o o ?v V v

=+，则得到如图3.6所示存在小信号扰动时Buck 变换器的等效非线性电路模型。

图3.6 存在小信号扰动时CCM Buck 变换器的非线性电路模型

当g g ?v

V <<，L L ?i I <<，?<

????()()()++≈++D d V v D V v dV ，L L L L L

????()()()++≈++D d I i D I i dI 。

图3.7 Buck 变换器的交流小信号电路模型

3.3.2 DCM Buck 变换器的状态空间平均建模分析

1. 状态空间平均方程

当开关变换器工作在轻载状况下时，容易进入DCM 导电模式。DCM 工作模式下Buck 变换器将拥有三个工作状态，如图3.8所示，其中图3.8(a)、(b)与CCM 模式完全相同，图3.8(c)为DCM 特有的电感电流断续状态，注意到此时电感电流下降至零，由于开关管关断、二极管不能反向续流的缘故，电感电流将保持为零值，直到下一个开关周期起始时刻开关管再次导通。

(a) (b)

(c)

图3.8 DCM Buck 变换器在一个开关周期内的三个工作状态

?

V g +v g ?

+v o

?v g

:v o

v o

v o

对于图3.8，在开关周期的[0，d 1T ]时间段，开关管导通，二极管关断；在开关周期的[d 1T ，(d 1+d 2)T ]时间段，开关管关断，二极管导通；在开关周期的[(d 1+d 2)T ，T ]时间段，开关管关断，二极管关断。Buck 变换器在这三个时间段内的等效电路分别如图3.8(a)、(b)、(c)所示，其状态方程分别为：

()d ()

()()d ()()t t u t t t t u t ?=??

?=?

1111x A x +B C x +E y (3.46a)

()d ()

()()d ()()t t u t t t t u t ?=??

?=?

2222x A x +B C x +E y (3.46b)

()d ()

()()d ()()t t u t t t t u t ?=??

?=?

3333x A x +B C x +E y (3.46c)

其中[]T

L C ()t i v x =，T

g o ()t i v ????=y ，

g ()u t v =，且 ()()()C C C C C C 1

()()??++-

-

??

++?

?==??-?

?++???

?

12A A L

RR R R R R

R R L

R R L R R R C R R C ，C 0010()????=??-+????

R R C 3A (3.47a)

10??

??=????

L 1B ，00??

==????23B B

(3.47b)

C

C

C 1

0RR R R R R R ????=????++??1C ，C C C 00RR R R R R R ????=????++??2C ，C 0

00

R R R ??

??=??+???

?

3C (3.47c)

0===123E E E

(3.47d) 1231D D D ++=

(3.47e)

由DCM 开关变换器的状态空间平均模型，可以得到DCM Buck 变换器的状态空间平均方程： ()()()()

()()C C L 12

121C C L g C C 12C C d ()()d ()d ()10d ()()L

RR R R R R

i t d d d d d R R L R R L i t t v L v t v t R d d t R R C

R R C ++????-+-+??

????++????????=

+??????????????+-????

????++??

(3.48a)

()1g L C

1

2o C C C 0

() ()d i i t RR R d d v v t R R R R ?

?

????

??=???

???+????++???

?

(3.48b)

2. 直流稳态和交流小信号方程

由式(3.19)，式(3.33)和式(3.48)，可以得到DCM Buck 变换器的直流稳态模型和交流小信号模型。 由式(3.19)和式(3.48)，可得

()()()()

()()C C L 12121L

C C g C 12C C ()0()010()()RR R R R R

D D D D D I t R R L R R L V L V t R D D R R C R R C ++?

?-+-+???

?++???????

???=+?????????

???

??+-???

?

++?

?

(3.49a)

求解式(3.49a)，可得

()()()()()()()C g 1

2

12C

12C L L C C g 12

C 12C L ()()R R V

D D D RR D D R R R R I t V t R R RV D RR D D R R R R +??????+++++??????=????

+????

??++++??

(3.49b)

由式(3.14)、式(3.27)，可以求出输出变量：

()()()C g 1

o 2C 12C L

R R RV D V RR D D R R R R +=

++++ (3.49c)

因此，直流稳态下DCM Buck 变换器的增益为：

(3.50)

注意到式(3.50)中含有两个未知量D 1、D 2，由该式无法求得仅含D 1的表达式，因此需要引入新的信息进行求解。在DCM 的状态空间方程中，A 3矩阵不是满秩的，这是因为在第三个工作状态电感电流保持为零所致。因此，需要加入适当的电感电流信息。由于A 3中I L 对应系数为0，I L 表示了变换器在[0, (D 1+D 2)T ]时间段的平均值。根据电感电流波形，在直流稳态下，I L 也可以表示为下式：

()()L1L11

L 121121

122V V TD I D D T D T D D T

L L ??=

?+?=??+??

(3.51a)

其中V L1是电感[0, D 1T ]时间段内的平均电压。在直流稳态下，该电压可表示为：

L1g o L L =--V V V I R

(3.51b)

求解式(3.51)可得：

()g

o 1

L L 1

2V

V TD I L R TD -=

+ (3.52)

将式(3.51)式与(3.52)联立，可求解得D 1、D 2之间的关系式(I L >0)

： (22

1

2D R T

α=-

(3.53a)

其中：

()()()()21C 1C L 2C C 1121C 1C L 142(1)(1)R TD RR T D R R R T

R T L R R RR TD D R TD RR T D R R R T

αβη=+-++=+--????=+-++

(3.53b)

将式(3.53)带入式(3.50)，消去D 2即可得到仅含有D 1表示的直流增益M 。 理想情况下(R C = 0, R L = 0)，式(3.50)与式(3.53)退化为：

(3.54b)

进一步化简可得理想情况下DCM Buck 变换器的直流增益为：

(3.55)

为简化分析，下面考虑理想情况(R C = 0, R L = 0)下DCM Buck 变换器的交流小信号模型。由式(3.33)和式(3.48)，可得DCM Buck 变换器的小信号方程为 ()12g o o L 1L g 12

12L C C L ?d ()0?()d ??? ()()()1??()d ()0d D D V V V i t D i t L L t L v t d t d t L D D I v t v t I C RC C t C ??+-??????-

-????????????????=+++?????

?????+??????????-???????

???????????

(3.56)

(3.57a)

对式(3.52)进行小信号分离，并考虑到R L =0，可得

()g o 11L c g 1????()()()()222V V T D T D T i t v t v t d t L L L

-=-++ (3.57b)

将式(3.57a)与式(3.57b)带入式(3.56)，并考虑表达式(3.52)，可得

()()()()2g o 12112C 121g o 2?d ()1???()()()d 22V V T D D D T D D v t T D D d t v t v t t LC LC LC RC -++??+=+-+???

? (3.58) 上述直流稳态和交流小信号方程完整地描述了DCM Buck 变换器的直流稳态和交流小信号行为，可以很方便的利用上述直流稳态和交流小信号方程分析DCM Buck 变换器的直流稳态和交流小信号特性（控制—输出以及输入—输出的传递函数），也可以获得DCM Buck 变换器的线性化交流小信号等效电路模型。

这里给出DCM Buck 变换器输入—输出和控制—输出的传递函数，分别为：

(3.59b)

3. 状态空间平均等效电路模型

与CCM Buck 变换器类似，可以建立DCM Buck 变换器的状态空间平均等效电路模型。由式(3.48)，可得DCM Buck 变换器输出电压o v 与电容电压C v 的关系：

()C

C 12C L o R R v d d R i v R

+=-++

(3.60)

可进一步化为矩阵形式：

() L L C C o 12C

10i i R R v v d d R R ?

?

????

??=+?????

?-+??????

(3.61)

带入式(3.48)可得

()()C L 1

23L 121L C g o C 12d d +0d 1

d RR i d d d R d d L d i R R t v v v C d d t R ?

?????-++-+?? ???????+???

?=??????????????+-???????

? (3.62)

由该式可以得到DCM Buck 变换器的状态空间平均等效电路模型，如图3.9所示，其中S11 L i d i =，S21g v d v =，()S312g v d d v =+，()S412 L i d d i =+。根据图3.9，进一步可用理想变压器模型代替其中的受

控电压源、受控电流源，如图3.10所示。

图3.9 DCM Buck 变换器的状态空间平均等效电路模型

图3.10 DCM Buck 变换器的等效理想变压器电路模型

当DCM Buck 变换器工作于直流稳态时，D 1、D 2均为常数。此时，可将电感L 视为短路，电容C 视为开路，理想变压器的变比为1: D 1和(D 1+D 2):1。于是，可以直接从图3.10得到与式(3.55)相同的直流电压增益表达式（理想情况下），同时可以求出DCM Buck 变换器的开环输出阻抗，如下：

()()out C 12C 3L 212

11////()//()Z s R R D D R R D R sL sC D D ??

=++++?? ???+?? (3.63)

4. 交流小信号等效电路模型

与CCM Buck 变换器类似，可以通过施加小信号扰动和线性化近似，得到DCM Buck 变换器的

i v

v d :))

3L +d R d 1+d 2 ):1

i

交流小信号等效电路模型，在此基础上，可以方便地进行DCM Buck 变换器的交流小信号特性分析。为了简化，在进行交流小信号分析时，假定Buck 变换器为理想的(R L =R C =0)。

对图 3.9中的所有变量施加小信号扰动g g g ?=+v V v ，L L L ?=+i I i ，111

?=+d D d ，222?=+d D d ，C C C ?=+v V v

，o o o ?v V v =+，则得到如图3.11所示存在小信号扰动时DCM Buck 变换器的等效非线性电路模型。

当g g ?v V <<，L L ?i I <<，11?<

?<

1212o o 12o o 12o ??????()()()D D d d V v D D V v d d V ++++≈++++，()()

1212L L 12L L 12L

??????()()()++++≈++++D D d d I i D D I i d d I 。

图3.11 存在小信号扰动时DCM Buck 变换器的非线性电路模型

图3.12 DCM Buck 变换器的交流小信号电路模型

需要注意的是，为了表示上的简洁和直观，这里的交流小信号电路模型同时使用了D 1、D 2两个变量。在实际计算过程中，利用前文所述D 1、D 2之间的关系式及其对应小信号分量之间的关系式，从而消去D 2，将得到和前文推导相同的结果。

3.4 Boost 变换器的状态空间平均建模分析

3.4.1 CCM Boost 变换器的状态空间平均建模分析

1. 状态空间平均方程

下面将应用状态空间平均方法对工作于CCM 的Boost 变换器进行分析。

如图3.13所示Boost 变换器，在开关周期的[0，dT ]时间段，开关管导通，二极管关断。Boost 变换器在这一时间段内的等效电路如图3.14(a)所示，其状态方程为：

d ()

()()d t t u t t

=11x A x +B (3.64)

v o

V g +v ?

+

?

D 1

:1v g ?d 1V ?d 1+d 2)V o

?D 1+D 2):1

图3.13 Boost 变换器电路

(a) (b)

图3.14 Boost 变换器在一个开关周期内的两个开关工作状态

而在开关周期的[dT ，T ]时间段，开关管关断，二极管导通，Boost 变换器在这一时间段内的等效电路如图3.14(b)所示，其状态方程为：

()()t t u t t

22dx()

=A x +B d (3.65)

其中[]T

L C t i v x()=，T

g o ()t i v ????=y ，

()g u t v = L

C 0

10()R L R R C ??

-???

?=??-??+?

?1A ，L C C C C //()1

()()R R R R L

L R R R R R C

R R C +??

--

??

+??=??-??++??2A

[]1/0T

L =12B =B =B

(3.66a)

C 100R R R ???

???+???

?1C =，C C 1

0//R R R

R R ??

????+???

?

2C = (3.66d) 012E =E =

(3.66c)

其中C C C //R R

R R R R

=

+表示电阻C R 和R 的并联电阻值。 则由开关变换器的状态空间平均模型，可以得到Boost 变换器的状态空间平均方程

L C L C L g C C C C (//)d ()1()()d ()1

d ()0()()d ''+??

??--

?

?

????+?????

???=+????'?

?????-??????++????R d R R d R i t L L R R i t t v L v t d R v t R R C

R R C t (3.67a)

L C C C 10()()(//)()??

???

?=????'??+???

?

i t y t R d R R v t R R

(3.67b)

2. 直流稳态和交流小信号方程

o

v o

由式(3.19)，式(3.20)和式(3.67)，可以得到Boost 变换器的直流稳态模型和交流小信号模型。由式(3.19)和式(3.67)，可得

L C C L g C C C (//)1()0010()()R D R R D R L L R R I V L V D R R R C

R R C ''+??

--

?

?

??+????????=+??????'????

??-????++?

? (3.68a)

由式(3.68a)，解得

g L C 1(1)V I V D R R ????

=????'-?

???

(3.68b)

其中2L C (1)(1)(//)R D R R D D R R '=-++-，I L 是电感的直流电流，V C 是电容的直流电压。则由式(3.68)，可以得到Boost 变换器的直流电压增益为：

(3.69)

式(3.69)表明，当所有的寄生参数为零(R L = R C = 0时)，Boost 变换器的直流电压增益为1/D '；而当存在寄生参数时，实际Boost 变换器的直流电压增益小于理想Boost 变换器的直流电压增益。从式(3.69)可以发现，电容的等效串联电阻(R C ≠ 0)对直流电压增益的影响是通过电阻DD ' (R C // R )与电感电阻R L 的串联而实现的。

由式(3.20)和式(3.67)，可得Boost 变换器的小信号方程为

L C C L L C C C C C g C g C (1)(//)

(1)??()()()d (1)1??d ()()()()1??()()0()R D R R D R L L R R i t i t D R t v

t v t R R C R R C D R R R V

L R R v

t d t L R R R R C +--??--

??+??????=????

??-????-??++??

'+??

????+????++??'??-????

+??

(3.70)

由交流小信号状态方程(3.70)，可以获得控制—输出以及输入—输出的传递函数，也可以得到Boost 变换器的线性化交流小信号等效电路。

上述直流稳态和交流小信号状态方程完整的描述了Boost 变换器的直流稳态和交流小信号行为，利用上述直流稳态和交流小信号状态方程分析Boost 变换器的直流稳态和交流小信号特性（控制—输出以及输入—输出的传递函数），也可以获得Boost 变换器的线性化交流小信号等效电路模型。

为了简化起见，当Boost 变换器的寄生参数为零(R L = R C = 0)时，由式(3.18)和式(3.23)，可以得到Boost 变换器的输入—输出和控制—输出的传递函数分别为

o 22g ?()?()v

s D sL v

s D s LC

R

'

='++ (3.71a)