第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}
2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．
2. 参数方程为2
2x t y t ?=?=?
（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．
3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．
4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2
1()3
n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．
5. 若*1()(4,)2n
x n n N x
+
≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）
7. 若行列式1
24
cos
sin 022sin cos
8
2
2
x x
x x 中元素4的代数余子式的值为1
2，则实数x 的取值集合为
____________．
8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．
9. 已知函数2log 02()25()23
9x x x f x x <
=?+≥??，
，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围
是____________．
10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．
11. 如图：在ABC ?中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足
2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r
，则229x y +的最小值为____________．
12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2
()3
h x x =
-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. “1x >”是“
1
1x
<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委
米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）
（A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛
15. 将函数1
y x
=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的
所有交点的横坐标之和等于（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
16. 过椭圆22
1(4)4
x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）
（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==．
（1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
F
P
（2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．
18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数41
()2x x
m f x ?+=是偶函数．
（1）求实数m 的值；
（2）若关于x 的不等式2
2()31k f x k ?>+
在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．
19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测
得
030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其
它因素忽略不计）
（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；
（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）
如图：椭圆22
12x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r
．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB
右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在
第一象
限),设此时M F 1=1m F P ?u u u r
.
（1）求2W 的方程; （2）证明:1
p x m
=
，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ?的面积S 的取值范围.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3
第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4
第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……
第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,?,直至按原序抄写第1k -行,
最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.
将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,?,73a =,?,
14153,4,a a ==L )．
（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；
（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和 0n a 的值；若不是，请说明理由；
（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．
参考答案
一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)
1. {}1,4
2. (1,0)
3. []1,3
4. 1
5. 8
6. 7
10
7. |2,3x x k k Z π
π??
=±
∈???
?
8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1 二、选择题：(共20分，每题5分)
13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题
17、
解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则
(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分
所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r
,--------4分 设,PC AB u u u r u u u r
的夹角为α，
则cos PC AB PC AB α?==
=?u u u r u u u r u u u r u u u r 分 所以，,
PC AB u u u r u u u r 的夹角为
arccos 3
，
即异面直线PC 与AB 所成角的大小为分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，
可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r
，--------8分 又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r
，--------10分
计算可得0,0EF PC EF BC ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r
，--------12分
所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC .--------14分
18、(1) 因为函数41
()2x x
m f x ?+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分
即4141
22x x x x
m m --?+?+=，
即441
22x x x x
m m +?+=， ------------------------------4分 故m =1. -----------------------------------------6分
(2)2
41()0,3102x x
f x k +=>+>，且22()31k f x k ?>+在(,0)-∞上恒成立，
故原不等式等价于
2
21
31()
k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分 又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分
所以
110,()2f x ??
∈ ???
，----------------------------11分 从而
221
312
k k ≥+，----------------------------12分
因
此
，
1,13k ??∈????
.
-------------------------------------------------------------------14分 19、(1)在APB ?中，由正弦定理，得
1sin sin 2
AP AB AB
ABP APB
==∠∠，-----------2分 在
BPC
?中，由正弦定理，得
sin sin 1
CP BC BC
CBP CPB ==
∠∠，-----------4分 又
3
1
BC AB =，sin sin ABP CBP ∠=∠，--------------------------------------------6分 故
2
3
AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分
(2)由:3:1BC AB =得AC =400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分 由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分 在APC ?中，由余弦定理，得160000=(2x )2
+(3x )2
-2(2x )(3x )cos1200
，------12分
解得x
=
即无人机到丙船的距离为CP =3x
=
27519
≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r
知，F 2、A 、B 三点共线，
且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x =1
，从而得(1,2A
，(1,2
B -.--------------2分 所以，
22
1112a b
-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以22
1a b +=， 解得221
2
a b ==
. ---------------------------------------------------------------3分 因此，2W 的方程为
22
11122
x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r
=(x M +1,y M )，
C
B A
P
由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+???=??，即1
M p M p
x mx m y my =+-???=??， ---------------5分
由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有
2
222122(1)2()1
p p p p x y mx m my ?+=?
??+--=?
，消去y p ，得
2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分
将
1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m =,结合韦达定理得另一根为143p m x m
-=，因为1m >,所以143p m
x m
-=
<-1，舍去. 所以，1
p x m
=
. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(1m
)，
所以，直线2PF
的斜率2PF k =
，-------------------------------------9分
由1M p x mx m m =+-=,得M (m
所以，直线2MF
的斜率2MF k =
.--------------------10分
因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分
（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故
N (
m 1,1m
-2
1
2-
m ), -----------------------------12分 因此，S=
21?|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21?2(212
-m +
m 12
12-
m ) =212
-
m +2
21
1m -，-----------14分 因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S
的取值范围是
)
+∞.----------------------------------------------------16分
21、解：（1）当2k ≥时，
1211
k k t t t t -=+++L ，
----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，
于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分
所以1
2k k t -=，
故21122221k k
k T -=++++=-L . ---------------4分
（2）由1
2k k t -=得第8行中共有27
=128个数，
所以，第8行中的数超过73个，-------6分
7
0773*******n T =+=-+=，-----7分
从而，020073n a a a ==， 由26
-1=63<73，27
-1=127>73，
所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知
7310a a ==2，
--------------------------------------------------------9分
所
以
，
02
n a =.
--------------------------------------------------------------10分 （3）由于数表的前n 行共有21n
-个数，于是，先计算21n S -.
方法一：在前21n -个数中，共有1个n ，2个1n -，22
个2n -，……，2n -k
个k ，……，
2n-1
个1， ---------------------------------------------------12分 因此21n S -=n ×1+(n -1)×2+…+ k ×2n -k +…+2×2n -2+1×2n -1
则2×21n S -=n ×2+(n -1)×22
+…+ k ×2
n-k+1
+…+2×2n-1+1×2n
两式相减，得21n S -=n -+2+22
+…+2n-1
+2n
＝2n+1
-n -2. ------------15分
方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分 则21n S -+n +2=2(121n S --+n +1)，
即数列{21n S -+n +2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,
所以21n S -+n +2＝4×2n-1
，即21n S -=2n+1
-n -2. ------------------------------15分 S 2017=
1021
S -+S 994
-----------------------------------------------------------------16分
=1021S -+921S -+S 483
=1021S -+921S -+821S -+S 228
＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101
=1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7
=(211
-12)+(210
-11)+(29
-10)+(28
-9)+(27
-8)+(26
-7)+(24
-5) =3986.
------------------------------------------------------------------------18分