山东省青岛市2020届高三上学期期末考试
数 学
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第I 卷(选择题 共60分)
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()1
122
1,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +
B ．1i -+
C ．1i --
D ．1i -
2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．向量a b r r ，
满足()()
1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r
，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45o
B ．60o
C ．90o
D ．120o
4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ??
????
为等差数列，则5a = A ．
23
B ．
32
C ．
43
D ．
34
5．已知点()2,4M 在抛物线()2
:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是 A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．在ABC ?中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，若，则
A ．2y x =
B ．2y x =-
C ．2x y =
D ．2x y =-
7．已知双曲线()22
22:1,0,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P
是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >?=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r
，则双曲线C 的渐
近线方程为 A ．1
2
y x =±
B ．2
2
y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则
A. 233231log 224g g g --?????
?>> ? ? ???????
B ．23
3231log 224g g g --?????
?>> ? ? ???????
C. 2332
3122log 4g g g --??????>> ? ? ???????
D. 2332
3122log 4g g g --??????>> ? ? ???????
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分。 9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是： A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4
π
B ．点
C 到面11ABC
D 的距离为
2 C ．两条异面直线11D C BC 和所成的角为4
π D ．三棱柱1111AA D BB C -外接球半径为
3 10．要得到cos 2y x =的图象1C ，只要将sin 23y x π??
=+
??
?
图象2C 怎样变化得到? A ．将sin 23y x π??
=+
??
?
的图象2C x 沿轴方向向左平移
12
π
个单位
B ．sin 23y x π??
=+
??
?
的图象2C x 沿轴方向向右平移
1112
π
个单位 C ．先作2C x 关于轴对称图象3C ，再将图象3C x 沿轴方向向右平移512
π
个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C x 沿轴方向向左平移12
π
个单位 11．已知集合()(){}=
,M x y y f x =，若对于()()1
1
2
2
,,,x y M x y M ?∈?∈，使得
12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：
(){}
2
1,1M x y y x =
=+；
(
){2,M x y y =
=
；(){}
3,x
M x y y e =
=；
(){}4,sin 1M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为
A ．1M
B ．2M
C ．3M
D ．4M
12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ，1805～l859)在数学领域成就显著．19世纪，狄利
克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R
x Q
y f x x C Q ∈?==?∈?其中R 为实数集，Q 为有理数集．则
关于函数()f x 有如下四个命题： A ．函数()f x 是偶函数
B ．()()()121212,,R x x
C Q f x x f x f x ?∈+=+恒成立
C ．任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立
D ．不存在三个点()()()()()()
112233,,,A x f x B x f x C x f x ，，，使得△ABC 为等腰直角三角形其中真命题的个数是__________________．
第II 卷(非选择题 共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线2
2
02x y a y -+=+=与圆O ：x 相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且AOB ?为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；
14．已知直线2y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为_________；
l5．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到
国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t(单位：年)的衰变规律满足573002
T
N N -=?
(0N 表示碳14原有的质量)，
则经过5730年后，碳14的质量变为原来的__________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的
31
72
至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到__________年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)(本题第一空2分，第二空3分)
16．已知ABC ?的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α异侧，且2AB AC ==，AB ，AC 与α所成的角分别为
36
ππ
，，则线段BC 长度的取值范围为___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 l7．(本小题满分10分)
已知()()
2cos sin f x x x x =+(I)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； (II)求函数()f x 在区间,02π??
-????
的取值范围．
18．(本小题满分12分)
在ABC ?，,,a b c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且()
2228sin 3ab C b c a =+-，若
5a c ==．
(I)求cosA
(Ⅱ)求ABC ?的面积S ．
19．(本小题满分l2分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,21,n n a S S n N *
+=-=∈．
(I)证明：{}1n S +为等比数列，求出{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若n n
n b a =
，求{}n b 的前n 项和n T ，并判断是否存在正整数n 使得1
250n n T n -?=+成立?若存在求出所有n 值；若不存在说明理由．
20．(本小题满分12分)
《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥． (I)求证：四棱锥11B A ACC -为阳马；
(Ⅱ)若12C C BC ==，当鳖膈1C ABC -体积最大时，求锐二面角11C A B C --的余弦值．
21．(本小题满分12分)
给定椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>，称圆心在原点O ，半径为22
a b +的圆是椭圆C 的“卫
星圆”.若椭圆C 的离心率
2
2
，点()
2,2在C 上． (I)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；
(Ⅱ)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l ， 与椭圆C 与椭圆C 都只有一个交点，且12,l l ，分别交其“卫星圆”于点M ，N ，证明：弦长MN 为定值．
22．(本小题满分12分)
已知函数()()()ln 2sin ,f x x x x f x f x '=-+为的导函数． (I)求证：()()0f x π'在，上存在唯一零点； (Ⅱ)求证：()f x 有且仅有两个不同的零点