图3 图4
第41课时 图形的变换（二）
【知识梳理】
一、图形的平移
1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图
形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形
在同一平面内的变换．
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，
这两个要素是图形平移 的依据．
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，
只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的
依据．
2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿
同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下
列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对
应角相等．
注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．（2）
“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，
又可作为平移作图的依据．
二、图形的旋转
1.图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距
离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；
2.中心对称图形:____________________________________
3.平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形；
【思想方法】 数形结合
【例题精讲】
1.如图，在△ABC 中，△C=90°，AC=2cm ，把这个三角形在平面内
绕点C 顺时针旋转90°，那么点A 移动所走过的路线长是 cm ．
2.将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放．(1) 将图2中△11A B C 绕点
C 顺时针旋转45°得图2，点11P A C 是与AB 的交点，求证：112CP AP ＝；(2)将图
2中△11A B C 绕点C 顺时针旋转30°到△22A B C （如图3），点22P A C 是与AB 的交
点．线段112CP P P 与之间存在一
个确定的等量关系，请你写出
这个关系式并说明理由；（3）
将图3中线段1CP 绕点 C 顺时针旋转60°到3CP （图4），
连结32P P ，求证：32P P △AB.
图1 图2
A
G(O)
E
C B
F
①
3．把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图△），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图△）.(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=，△GKH的面积为，求与
之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
5
16？若存在，求出此时
x的值；若不存在，说明理由.
4．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）
（图1）（图2）（图3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH
（图4）（图5）（图6）
x y y x
x
【当堂检测】
1．下列说法正确的是（ ）
A ．旋转后的图形的位置一定改变
B ．旋转后的图形的位置一定不变
C ．旋转后的图形的位置可能不变
D ．旋转后的图形的位置和形状都发生变化 2．下列关于旋转和平移的说法错误的是（ ） A ．旋转需旋转中心和旋转角，而平移需平移方向和平移距离
B ．旋转和平移都只能改变图形的位置
C ．旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化
D ．旋转和平移的定义是相同的
3．在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o 后不变的字是_____，在字母“X”、
“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转不超过180后能与原图形重合的是____．
4．△ABC 是等腰直角三角形，如图，A B=A C ，△BA C ＝90°，D 是BC 上一点，
△ACD 经过旋转到达△ABE 的位置，则其旋转角的度数为（ ）
A ．90°
B ．120°
C ．60°
D ．45°
5．以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、
菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．3个
6．如图的图案中，可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（ ）
7.有以下现象：△温度计中，液柱的上升或下降；△打气筒打气时，活塞的运动；
△钟摆的摆动；△传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ）
A ．△△
B ．△△
C ．△△
D ．△△
8．如图，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△，则A 点的对应点A′
的坐标是（ ） A ．（－3，－2）B ．（2，2） C ．（3，0）D ．（2，1）
A B C '''第6题图 第8题图
第4题图 A E
第一章图形的变换 战国时期的铜镜唐代花鸟纹锦瓷器 轴对称 你还见过哪些轴对称图形？画出他们的对称轴。 例1：数一数，你发现了什么？
点与点到对称轴的距离都是2小格。 例2：画出下面图形的轴对称图形。 怎样画得又好又快？ 做一做 像下面这样把一张纸连续对折三次，剪出的是什么图案？四次呢？ 旋转 你见过哪些旋转现象？ 例3： 1）时钟上的旋转问题 指针从“12”绕点顺时针旋转到“1”；
指针从“1”绕点顺时针旋转到“___” ； 指针从“3”绕点顺时针旋转____到“6” ； 指针从“6”绕点顺时针旋转到“12” 。 2）有关风车的旋转问题 风车旋转前后，每个三角形有什么变化？ 例4：画出三角形绕点顺时针旋转后的图形。 先画点，垂直于，点与点的距离还应该是6格； 这样就可以把线段绕点顺时针旋转。点…… 做一做 1）下面的图案分别是由哪个图形旋转而成的？ 2）利用旋转画一朵小花。 风车绕点逆 时针旋转____ 风车绕点逆 时针旋转____
说一说你是怎样画的？ 生活中的数学 数学与艺术 艺术家们利用几何学中的平移、对称和旋转变换，设计出了许多美丽的镶嵌图案。 欣赏设计 利用变换可以设计出许多漂亮的图案！ 在铜镜的图案中把旋转了4次。 把连续平移就得到了这条花边图案！ 我把◇连续平移2格。 我把进行对称变换，设计出了板报栏目的花边。
练习一 1）利用轴对称变换设计美丽的图案。 先设计出一个轴对称图形。 2）下面的图案分别是由哪种方法剪出来的？你还有什么剪法？ ⑴⑵⑶ 3）下面这些图案分别是由哪个图形经过什么变换得到的？ 4）利用旋转设计图案。展示作品，并说一说你是怎样画的。
人教版五年级下册数学第一单元 图形的变换包括：、、。 其中只是改变原图形位置的变换是、。 一、图形的平移 1、平移不改变图形的和。 2、平移的三要素：原图形的位置、平移的方向、平移的距离。 平移的方向一般为：水平方向、垂直方向两种。 平移的距离：一般为几个单位长度（也即几个方格）。 3、平移是整个图形的移动，图形的每个关键点都需要按要求移动。 4、图形平移的步骤：（1）确定原图形位置、平移的方向、平移的距离。 （2）找出原图形的各关键点。 （3）根据题目要求将各个点依次平移。 （4）顺次连接平移后的各点，标明各点名称。 二、轴对称 1、一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线的图形能够重合，就说这一个图形是轴对称图形。这条直线叫做图形的。 2、轴对称图形一定有对称轴，而且至少有条对称轴，常见的例如：、、、、、；有两条对称轴的常见图形有、；有三条对称轴的常见图形有；正方形有条对称轴；五角星和正五边形有条对称轴；正六变形有条对称轴。 三、轴对称图形的画法 1、轴对称图形的性质：（1）对称轴两边的图形一定完全相同 （2）对应点也关于对称轴对称 （3）对应点的连线垂直于对称轴 （4）对应点到对称轴的距离相等 2、轴对称图形的画法：（1）根据题意确定已知图形以及对称轴位置 （2）找出已知图形的关键点 （3）一次过每个点作垂直于对称轴的虚线（根据性质3） （4）在对称轴另一侧确定各对应点位置（根据性质4） （5）标明各点对应名称，顺次连接各对应点得到轴对称图形。 四、确定轴对称图形的对称轴 沿某条直线对折之后，两边的图形能够完全重叠，这条直线就是图形的对称轴。
六、图形旋转的特点 1、旋转前后图形形状和大小都不变。 2、每组对应点与旋转中心的连线所成角的度数都等于旋转角度。 3、各对应点之间的距离也相等。 七、图形旋转的三要素 1、旋转中心：可以在已知图形上也可以在已知图形外。 2、旋转方向：顺时针和逆时针。 3、旋转角度：常见的有45°、90°180°等。 八、旋转图形的画法 1、确定旋转中心、旋转方向、旋转角度 2、找去原图形的各关键点 3、依次将各关键点与旋转中心连接（用虚线） 4、将各连线按要求旋转一定角度后，确定各虚线的长度，标出对应点。 5、将个对应点连接并标出名称。
2013年图形的变换 一．填空题（共1小题） 1．（1）由①图到②图是向_________平移_________格． （2）由①图到③图是向_________平移_________格． （3）把②图向左平移3格，画出平移后的图形． （4）把③图向上平移2格，画出平移后的图形． 二．解答题（共13小题） 2．（2008?南靖县）（1）0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形1． （2）将画好的整个图形向右平移4格，再画出来． （3）将图形1绕O点顺时针旋转90°，并画出来． 3．（2007?惠山区）①画出下面三个图形中轴对称图形的对称轴． ②将梯形围绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形． ③将平行四边形先向右平移5格，再向下平移2格，画出平移后的图形．
4．（2009?兴国县模拟）（1）以0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形A． （2）将画好的图形A向右平移4格，得到图形B． （3）将图形A绕O点顺时针旋转90°，得到图形C． 5．图形A向右平移5格得到图形B，图形B向下平移2格得到图形C，请在图中画出图形B和图形C． 6．图中，图形A是如何变换得到图形B？ 7．请画出先向右平移8格，再向下平移2格后得到的图形．
8．按要求画一画． （1）在方格子中画出图①绕O点顺时针方向旋转90°后的图形．（2）画出将图②向右平移7格，再向上平移3格后的图形．（3）画出图③的另一半，使它成为轴对称图形． 9．按要求画图． （1）将图形A向上平移5格，再向右平移7格，得到图形B．（2）以横虚线为对称轴，画出和图形A对称的图形． （3）以竖虚线为对称轴，画出和图形C对称的图形． 10．先画出图形： （1）向下平移3小格后的图形 （2）再画出图形①绕顶点A逆时针旋转90度后的图形③．
唐玲制作仅供学习交流 期末测试题 本检测题满分:120 分，时间:90 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，共30分） 1. 抛物线向右平移 3 个单位得到的抛物线对应的函数关系式为（） A. B. C. D. 2. 如图，P是 Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P 作直线截△ ABC，使截得的三角形与△ ABC相似，满足这样条件的直线共有（） A. 1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 1 2 1 3. 把二次函数y x2 3x 的图象向上平移3个单位，再向右平移 4 个 22 单位，则两次平移后的图象的函数关系式是（） 1 2 1 2 A. y (x-1)2 7 B. y (x 7)2 7 22 1 2 1 2 C. y (x 3)2 4 D. y (x-1)2 1 4. 如图，△ ABC 中，点 D 在线段BC 上，且△ ABC∽△ DBA ，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，△ ABC 中，D、E分别为AC、BC 边上的点，AB∥DE，CF 为AB 边上的中线，若AD＝5，CD ＝3， DE ＝4，则BF 的长为（）
唐玲制作仅供学习交流 C.10 A. 32 B.16 D.
6. 二次函数无论k 取何值，其图象的顶点都在（ A. 直线上 B. 直线上 C.x 轴上 D.y 7. 如图，在Rt△ABC 中， C 90，AC=1 cm ， 以 1 cm/s 的速度沿折线AC→CB→BA 运动，最终回到 A 点.设点P 的运动时间 轴上 BC=2 cm，点P从点 A 出 发， 为x（s），线段AP 的长度为y（cm ），则能反映y 与x 之间函数关系的图 象 8.如 图， 在Rt△ ABC AD 中，∠ C=90 ，，点 D 在AC 上，，则D A C D的值为（） A. 3 B. 22 C. 3 1 D.不能确定 9.如 图， 在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于点E，设∠， 且 3， 5 AB＝4，则AD 的长为 （ A. 3 16 B. 3 20 C. 3 16 D. 5 第8 题 图 10. 已知反比例函数 y= k的图象如图所示，则二次函数 x22 y 2kx2 4x k2的图象大致为（） 、填空题（每小题 3 分，共24分）
三年级数学《三角形(新课标)》 1.使学生认识三角形的特性，知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180。 2.使学生认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特点并能够辨认和区别它们。 3.联系生活实际并通过拼摆、设计等活动，使学生进一步感受三角形的特征及三角形与四边形的联系，感受数学的转化思想，感受数学与生活的联系，学会欣赏数学美。 4.使学生在探索图形的特征、图形的变换以及图形的设计活动中进一步发展空间观念，提高观察能力和动手操作能力。 （二）教材说明和教学建议 教材说明 1.本单元的内容及作用。 学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习，对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形。本单元内容的设计是在上述内容基础上进行的，通过这一内容的教学进一步丰富学生对三角形的认识和理解。 本单元主要内容有：三角形的特性、三角形两边之和大于第三边、三角形的分类、三角形内角和是180及图形的拼组。内容结构及具体例题安排如下表： 三角形是常见的一种图形，在平面图形中，三角形是最简单的多边形，也是最基本的多边形，一个多边形都可以分割成若干个三角形。三角形的稳定性在实践中有着广泛的应用。因此把握好这部分内容的教学不仅可以从形的方面加深学生对周围事物的理解，发展学生的空间观念，而且可以在动手操作、探索实验和联系生活应用数学方
面拓展学生的知识面，发展学生的思维能力和解决实际问题的能力。同时也为以后学习图形的面积计算打下基础。 五单元三角形 第一课时三角形的认识 教学目的： 1使学生理解三角形的意义，掌握三角形的特征和特性，。 2经历度量三角形边长的实践活动，理解三角形三边不等的关系 3通过引导学生自主探索、动手操作、培养初步的创新精神和实践能力。 4让学生树立几何知识源于客观实际，用于实际的观念，激发学生学习兴趣。 教学重点： 掌握三角形的特性 教学难点； 懂得判断三角形三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题； 教学过程： 一、联系生活 找一找生活中有哪些物体的形状或表面是三角形？请收集和拍摄这类的图片。 二、创设情境，导入新课： 1让学生说说生活中有哪些物体的形状是三角形的。展示学生收集的有关三角形的图片 2播放录像
五年级下册数学第一单元自测卷 姓名： 一、填空。（40%） 1、下面的现象中是平移的画“△”，是旋转的画“□”。（12%） （1）索道上运行的观光缆车。（ ） （2）推拉窗的移动。（ ） （3）钟面上的分针。（ ） （4）飞机的螺旋桨。（ ） （5）工作中的电风扇。（ ） （6）拉动抽屉。（ ） 2、看右图填空。（12%） （1）指针从“12”绕点A 顺时针旋转600 到“2”； （2）指针从“12”绕点A 顺时针旋转（ 0）到“3”； （3）指针从“1”绕点A 顺时针旋转（ 0）到“6”； （4）指针从“3”绕点A 顺时针旋转300 到“（ ）”； （5）指针从“5”绕点A 顺时针旋转600到“（ ）”； （6）指针从“7”绕点A 顺时针旋转（ 0）到“12”。 3、先观察右图，再填空。（12%） （1）图1绕点“O ”逆时针旋转900 到达图（ ）的位置； （2）图1绕点“O ”逆时针旋转1800到达图（ ）的位置； （3）图1绕点“O ”顺时针旋转（ 0 ）到达图4的位置； （4）图2绕点“O ”顺时针旋转（ 0 ）到达图4的位置； （5）图2绕点“O ”顺时针旋转900 到达图（ ）的位置； （6）图4绕点“O ” 逆时针旋转900到达图（ ）的位置； 4、用线连一连绕点“O ”旋转而成的图形。（4%） 旋转1800 旋转900 二、判断题。正确的在题后的括号里画“√”，错的画“×”。（4%） （1）正方形是轴对称图形，它有4条对称轴。……………………（ ） （2）圆不是轴对称图形。……………………………………（ ） （3）利用平移、对称和旋转变换可以设计许多美丽的镶嵌图案。……（ ） 4）风吹动的小风车是旋转现象。………………………（ ） 三、画出下列轴对称图形的一条对称轴。（9%） A O 4 3 2 1 O O O
21.1二次函数 教学目标： （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点： 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学过程： 一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? (10－8－x)；(100＋100x) 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]
新人教版小学五年级数学下册第一单元《图形的变换》教材解读 一.单元教材解读 图形的变换是在学生在已有的关于对称和旋转的知识的基础上，结合学生熟悉的生活去情境进行安排的。主要内容包括：轴对称、旋转、欣赏设计。在以前的学习中，学生初步感知了生活中的对称、平移和旋转现象，初步认识了轴对称图形，能在方格纸上画出一个简单图形沿水平或垂直方向平移后的图形。本单元在此基础上，要让学生进一步认识图形的轴对称，探索图形轴对称的特征和性质，学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形和一个简单图形旋转90度后的图形，培养学生的空间观念。让学生通过观察、想象、分析和推理等过程，独立探究问题。 本单元教材先设计了画对称轴、观察轴对称图形的特征和画出一个轴对称图形的另一半的活动，加深学生的轴对称图形特征的认识，从而让学生在已有的知识的基础上探索知识。教材设计了需要学生进行想象、猜测、和推理的活动，培养学生的空间想象能力和思维能力。本单元的欣赏设计内容是结合主题图中的图案，让学生体会图形变换在生活中的应用和利用图形变换进行设计图案带来的美感。这一内容是在已有的知识的基础上进一步扩展。 二.单元总体目标 知识与能力 1.使学生进一步认识图形的轴对称，探索图形周对称的特征和性质，并能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。 2.进一步认识图形的旋转，探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上画出简单图形旋转90度后的图形。 3.使学生初步学会运用对称、平移、和旋转的方法在方格纸上设计图案，进一步增强空间观念。 过程与方法 1.重视学生已有的知识基础，探索两个图形成轴对称的特征和性质。 2.注重联系生活实际，让学生在具体情境中认识图形的旋转。 3.通过大量的活动，帮助学生理解图形对称和旋转的变换，增强空间观念。 情感、态度与价值观 1.通过欣赏与设计图案，使学生进一步熟悉已学过的几何图形，体会数学与生活的联系。 2.让学生在上述活动中，欣赏图形变换所创造的美，进一步感受对称、平移和旋转在生活中的应用，体会数学的价值。 3.引导学生欣赏美、感受美、表现美、创造美，培养学生的空间想象力、创造力和审美意识。 三.单元重难点一览 重点 1.轴对称图形的特征；准确判断轴对称图形，并找出轴对称。、 2.探索图形旋转的特征和性质。
四年级数学图形的变换教案2［人教版］ -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第四单元图形的变换 一、单元教学目标： 1、通过实例观察，了解一个简单的图形经过旋转制作复杂图形的过程，并 能在方格纸上将简单图形旋转90°。 2、通过在方格纸上的操作活动，说出图形的平移或旋转的变化过程。 二、单元教学建议： 1、在操作的过程中，认识图形变化的特点 本单元的内容主要是以操作为主，通过学生的动手活动，逐步认识图形的变化特点。如“图形的旋转”活动（教材P53），教材中展示的两幅美丽的图案是由一个简单的图案经过旋转而得到的。因此，让学生能自己进行操作，这对他们认识图形的变化是十分有利的。当然，在具体的处理上有两种方式：一是，教师在计算机多媒体中设计一个图形变化的过程，逐步展示每一步变化的过程。二是，准备四张画着同一图案的纸，然后逐张围绕某一点进行旋转，旋转90°后，贴上一张纸，再旋转90°，再贴上一张纸，直至形成一个完整的图。第二种操作的方式也可以让学生自己进行操作（让学生准备一些简单的图案）。在旋转的过程中要提醒学生观察，是沿着哪一点旋转的（这一点称为中心点），因为沿着不同的中心点旋转所得到图案是不同的。同样，在三角形的旋转中（教材P54第1题），也要让学生明白是围绕哪点旋转的。 本单元的很多练习都是可以操作的，因此，在课前请学生准备一些小的学具，这样，在教学的过程中每个学生就有操作的机会。练习中的一些问题最好都是在学生的操作后再回答，以提高学生的感性认识。 2、在图形的变换中，提倡不同的操作方法 一个图形经过变化后，可以得出新的图形，但同样得到新的图形，则有不同的操作方法。如“图形的变换”活动中（教材P56），4个三角形经过平移与旋转，得到了不同的图形，但每个人操作方法可以是不同的。因此，这一活动可以先让学生在方格纸上试一试，然后再全班来说一说。在教学的过程中，不要出现教师摆，学生看的现象，这样不容易出现学生具有个性的操作方法。3、在欣赏的过程中，设计制作美丽的图案 本单元的数学欣赏内容是任意一个简单的图形，当它围绕一点进行旋转，并把每次旋转后的图形沿周长画下来，那么就会出现一个美丽的图案。这一内容学生在三年级时已经欣赏了正方形旋转的过程，并进行了制作。本单元把这一内容进一步扩展，可以是任意的简单图形。在教学中，先请学生欣赏，然后，每个小朋友用硬纸剪一个任意的简单图形，接着进行制作。对学生制作的图案，
学期：2012至2013学年度第一学期学科：初中数学 年级：九年级（上册） 授课班级：九（） 授课教师： 2012年9月
曹店中学电子教案模板 第单元.第课时.总第课课 题 22.1 二次函数 教学目标 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教 法 教 具 问题引导法 课时 安排 一课时 课 前 准 备 复习初二一次函数的相关内容，作为二次函数的铺垫 教学过程一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC 的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。
对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： y=－2x2＋20x (0＜x＜10) (1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2) (2) 三、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y 取得最大值。
北师大版三年级数学第六册第五单元 《数学好玩》第一课时教学设计 ： 一、教学内容：第一课时《小小设计师》 二、设计理念：本节课属于综合实践活动课，主要教学目的是通过课前让学生收集各类图案或徽标，在教学中让学生欣赏各类图案或徽标，自己设计徽标等环节培养学生的观察、操作、表达和思考能力。 三、教学目标： 1、通过收集和欣赏各类作品，体会对称与不对称的区别，进一步理解轴对称图形的特点。 2、通过设计徽标的数学活动发展学生的空间想象能力，培养创新意识和审美意识。 3、在设计徽标的活动中活动积极的情感体验，体会数学与艺术、生活之间的紧密联系。 4、在欣赏图形运动所创造出的美丽图案的过程中，进一步感受对称、平移和旋转在生活中的广泛应用，感受数学的美，体会数学的价值。 四、学情分析： 1、从学生的生活实际出发，在学生交流自己收集的徽标的过程中体会对称与不对称的区别，这样就建立了轴对称图形与新知的联系 2、为学生提供动手操作、自主探究、合作交流的机会。在课堂教学中，采取小组合作、同桌讨论、全班交流等学习方式，让每个学生都有机会参与徽标的设计和绘制。这样既能培养学生的动手操作能力，又能培养学生的创新意识和审美意识。 3、引导学生在活动后对活动过程中自己的表现进行有效地反思、自我评价和互相评价，在展现个性的同时反思自己需要改进的地方，同时总结自己的收获。 五、重难点和关键 1、[教学重点] 运用对称、平移、旋转规律发挥想象，设计出有创意的作品。 2、[教学难点及关键] 培养学生的知识运用以及形象思维能力。 六、教学课时（本教学内容共设2课时，本课时为第一课时） 七、教学准备：教师准备：PPT课件学生准备：绘图工具方格本 八、教学过程： 一、联系生活，激趣引入。（3分）
六年级数学下册的知识点（图形） 如何把小学各门基础学科学好大概是很多学生都发愁的问题，查字典数学网为大家提供了数学下册的知识点（图形)，希望同学们多多积累，不断进步! 一、认识圆形 1、圆的定义：圆是由封闭的曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。 用字母表示为：d=2r或r= d 8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。 只有2条对称轴的图形是：长方形 只有3条对称轴的图形是：等边三角形 只有4条对称轴的图形是：正方形; 有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。 二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C 表示。 2、圆周率实验： 在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。 发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数()。 3.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母(pai) 表示。 (1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
沪科版九年级数学上册知识点总结 二次函数基本知识 一．二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当 2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 二．二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 4. 一次项系数b ab 的符号的判定：对称轴a b x 2- =在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0
⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 相似三角形基本知识 一．比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.合比性质： d d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） 3.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 二．黄金分割 1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果 AC BC AB AC = ，即AC 2 =AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点， AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB 。 三．平行线分线段成比例定理 1.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
五下第一单元图形的变换 一、教学内容 轴对称 旋转 欣赏设计 二、教学目标 1. 使学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，并 能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。 2. 进一步认识图形的旋转, 探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90o。 3. 使学生初步学会运用对称、平移和旋转的方法在方格纸上设计图案,进一步增强空间观念。 4. 让学生在上述活动中，欣赏图形变换所创造出的美,进一步感受对称、平移和旋转在生活中的应用，体会数学的价值。 三、编排特点 1．重视学生已有的知识基础，探索两个图形成轴对称的特征和性质。 在二年级学生已经认识了日常生活中的对称现象，有了轴对称图形的概念，并能画出一个轴对称图形的对称轴和它的另一半,这里是进一步认识两个图形成轴对称的概念，探索图形成轴对称的特征和性质，并学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。本单元教材先设计了画对称轴，观察轴对称图形的特征和画出一个轴对称图形的另一半的活动,加深对轴对称图形特征的认识，从而让学生在已有的知识基础上探索新知识。 2. 注重联系生活实际，让学生在具体情境中认识图形的旋转。 本单元联系具体情境,让学生观察钟表的表针和风车旋转的过程,分别认识这些实物怎样按照顺时针和逆时针方向旋转，明确旋转的含义，探索图形的旋转的特征和性质,再让学生学会在方格纸上把简单图形旋转90o。 3．通过大量的活动，帮助学生理解图形的对称和旋转变换，增强空间观念。 本单元不仅设计了看一看、画一画、剪一剪等操作活动，而且注意设计需要学生进行想像、猜测和推理进行探究的活动，培养学生的空间想像力和思维能力。例如，让学生判断几个图案分别是由哪种方法剪出来的。这就要求学生要根据图案的特征，不断在头脑中对这个图案进行“折叠”，并将最后的结果与下面的剪法对应起来。而且还让学生思考“还有什么剪法”，从而使学生的空间想像力和思维能力得到充分的锻炼。 四、具体编排
找规律填图形、填数字 例1、观察如图，并按规律填出空白处的字母。 例2、观察如图，并按照图形的变化规律，在（c）中填入适当的图形。 例3、仔细观察如图，并按照它的变化规律，在“？”处填上适当的图。 例4、观察如图，并按照变化规律在“？”处填上合适的图形。 例5、龚老师给晶晶带来了三个同样的正方形，每一个正方形的六个面上，都按同样的规律画着“猴”、“猫”、“虎”“兔”“狗”“鸡”六种动物，龚老师让晶晶收起正方体，然后在一张纸上画了三个正方体的示意图，请根据这个图说出“猴”、“狗”对面画的动物。 例6、下面哪个图形和其他几个不一样，请你找出来，并打上“√”。 图2 图1 (1) (2)
例7 按顺序观察下图的变化规律，想一想在带“？”处应选择哪一个图形？可供选项： 例8、仔细观察下面的三个图形，然后选择一个合适的图形填在“？”处。 ? ①②③④ (3) (4)
例9、根据等号左边两个图形的变换关系，推断出“？”处应选择第几号图形？ 例10、下面的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形。 例11、请你接着画。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） ？ ？ ？ = ？ ① ② ③ ④
例12、根据前面几幅图的规律，接下去该怎样画? 例13、根据前面几幅图的规律，接着画。 例14、在方框里画○，应该怎样画? 例15、想一想，第三幅图应该怎样画? 例16、观察下面各数有什么规律？ (1) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 ,…… (2)1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 , ……
第四单元图形的变换 单元教学目标： 1. 通过实例观察，了解一个简单的图形经过旋转制作复杂图形的过程，并能在方格纸上将简单图形旋转90°。 2. 通过在方格纸上的操作活动，说出图形的平移或旋转的变化过程。 单元教学建议： 1. 在操作的过程中，认识图形变化的特点 本单元的内容主要是以操作为主，通过学生的动手活动，逐步认识图形的变化特点。如“图形的旋转”活动（教材P53），教材中展示的两幅美丽的图案是由一个简单的图案经过旋转而得到的。因此，让学生能自己进行操作，这对他们认识图形的变化是十分有利的。当然，在具体的处理上有两种方式：一是，教师在计算机多媒体中设计一个图形变化的过程，逐步展示每一步变化的过程。二是，准备四张画着同一图案的纸，然后逐张围绕某一点进行旋转，旋转90°后，贴上一张纸，再旋转90°，再贴上一张纸，直至形成一个完整的图。第二种操作的方式也可以让学生自己进行操作（让学生准备一些简单的图案）。在旋转的过程中要提醒学生观察，是沿着哪一点旋转的（这一点称为中心点），因为沿着不同的中心点旋转所得到图案是不同的。同样，在三角形的旋转中（教材P54第1题），也要让学生明白是围绕哪点旋转的。 本单元的很多练习都是可以操作的，因此，在课前请学生准备一些小的学具，这样，在教学的过程中每个学生就有操作的机会。练习中的一些问题最好都是在学生的操作后再回答，以提高学生的感性认识。 2. 在图形的变换中，提倡不同的操作方法 一个图形经过变化后，可以得出新的图形，但同样得到新的图形，则有不同的操作方法。如“图形的变换”活动中（教材P56），4个三角形经过平移与旋转，得到了不同的图形，但每个人操作方法可以是不同的。因此，这一活动可以先让学生在方格纸上试一试，然后再全班来说一说。在教学的过程中，不要出现教师摆，学生看的现象，这样不容易出现学生具有个性的操作方法。 3. 在欣赏的过程中，设计制作美丽的图案 本单元的数学欣赏内容是任意一个简单的图形，当它围绕一点进行旋转，并把每次旋转后的图形沿周长画下来，那么就会出现一个美丽的图案。这一内容学生在三年级时已经欣赏了正方形旋转的过程，并进行了制作。本单元把这一内容进一步扩展，可以是任意的简单图形。在教学中，先请学生欣赏，然后，每个小朋友用硬纸剪一个任意的简单图形，接着进行制作。对学生制作的图案，只要基本符合要求，教师就应肯定。对一些设计特别优秀的学生，也可以当场再演示一遍，以带动动手能力较弱的学生。
九年级数学（沪科版）上册测试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线2 )2(-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（－2，0） C ．（0，2） D ．（0，－2） 2．若（2，5）、（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2 上的两个点，则它的对称轴是（ ） A.5=x B.1=x C.2=x D.3=x 3．抛物线y ＝x 2 的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（ ） A. y ＝x 2＋4x ＋5 B. y ＝x 2＋4x ＋3 C. y ＝x 2－4x ＋3 D.y ＝x 2 －4x ＋5 4．已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝3b ，则cosA 等于（ ） A ． 3 1 B ．32 C ．332 D ．310 5．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝ 2 3 ，则tanB ＝（ ） A ． 5 3 B ．5 C ．25 D ．5 6．如图，锐角△ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形有（ ） A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个 7. 如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD ＝1∶3，则BE ∶EC ＝（ ） A ．1∶2 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．1∶4 8．如图：点P 是△ABC 边AB 上一点（AB ＞AC ），下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是（ ） A ．∠ACP ＝∠B B ．∠APC ＝∠ACB C ．AC AP AB AC = D ．AB AC BC PC = （ 第6题图 ） （ 第7题图 ） （ 第8题图 ） 9.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AOD S ?∶OCD S ?＝1∶2，则AOD S ?∶BOC S ?＝（ ） A ． 61 B ．31 C ．4 1 D ．66 10．已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论： ①0a b c ++<； ②1a b c -+>； ③0abc >； ④420a b c -+<； ⑤1c a ->。 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ A E D C B O 1 1 y
课时5·图形找规律 1、观察如图，并按规律填出空白处的字母。 2、观察如图，并按照图形的变化规律，在（c）中填入适当的图形。 3、仔细观察如图，并按照它的变化规律，在“？”处填上适当的图。 4、观察如图，并按照变化规律在“？”处填上合适的图形。 5、龚老师给晶晶带来了三个同样的正方形，每一个正方形的六个面上，都按同样的规律画着“猴”、“猫”、“虎”“兔”“狗”“鸡”六种动物，龚老师让晶晶收起正方体，然后在一张纸上画了三个正方体的示意图，请根据这个图说出“猴”、“狗”对面画的动物。 6、下面哪个图形和其他几个不一样，请你找出来，并打上“√”。 (2) (3)
7 按顺序观察右图的变化规律，想一想在带“？”处应选择哪一个图形？ 可供选项： 8、根据等号左边两个图形的变换关系，推断出“？”处应选择第几号图形？ 9、下面的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形。 ① ② ③ ④ =
例11、请你接着画。 例12、根据前面几幅图的规律，接下去该怎样画 ? 例13、根据前面几幅图的规律，接着画。 （1） （2） （3） （4） （5） （7） （8） （9） ？ ？ ？
例14、在方框里画○，应该怎样画? 例15、想一想，第三幅图应该怎样画? 例16、观察下面各数有什么规律？ (1) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 ,…… (2)1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 , …… 例17、指出下面数列的规律，并在（）里填上适当的数。（1）3 , 6 , 9 , 12 , ( ) , ( ) （2）2 , 5 , 8 , 11 , ( ) , ( ) （3）97 , 93 , 89 , ( ) , 81 , ( ) 例18、找规律填空。 （1） 2 , 4 , 8 , 16 ，（），（）
第 21 章 二次函数与反比例函数 【知识点 1 函数 y=ax 2+bx+c 的解析式】 1. 形如 y ax 2 bx c （a ≠0）的函数叫做 x 的二次函数； 2. 形如 y k (k 0) 的函数叫做 x 的反比例函数； 典例 1 x y 是 x 在下列函数表达式中，表示 的二次函数关系的有 。 ① y 1 3x 2 ；② y x(x 5) ；③ y 1 ；④ y 3( x 1)( x 2) ；⑤ y x 4 2x 2 1 ； 3x 2 ⑥ y (x 1)2 x 2 ；⑦ y ax 2 bx c 典例 2 在下列函数表达式中，表示 y 是 x 的反比例函数关系的有 。 ① y 3 ；② y k ；③ y 3 ；④ y 1 2 ；⑤ y 1 ；⑥ y 2x 1 ；⑦ xy 2 2x x x 1 x x 2 典例 3 若函数 y (a 2)x a 2 2 是反比例函数，则 a= ,若是二次函数，则 a=。 【知识点 2 二次函数的图象与性质】 函数 y ax 2 bx c(a, b, c 是常数 , a 0) a 的值 a ＞ 0 a ＜0 1. 抛物线开口 ，并向 无限延伸； 1. 抛物线开口 ，并向 ； 2. 对称轴是 ，顶点坐标 2. 对称轴是 ，顶点坐标 （ ， ）； （ ， ） 3. 当 x 时，y 随 x 的增大而减小， 3. 当 x 时，y 随 x 的增大而减小， 性质 当 x 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x 时， y 随 x 的增大而增大； 4. 抛物线有最 点，当 x= 时，y 4. 抛物线有最 点，当 x= 时， 有最 值， y ___ 4ac b 2 ； y 有最 值， y ___ 4ac b 2 ； 4a 4a 典例 4 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表：则下列判断中正确 的是（ ） x -1 0 1 2 y -3 1 3 1 A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与 y 轴交于负半轴 C. 当 x=4 时， y ＞0 D. 方程 ax 2+bx+c=0 的正根在 2 与 3 之间 典例 5 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象过点 A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若 点 M （-2 ，y 1 ）， N （﹣ 1，y 2）， K （8，y 3）也在二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象上，则 下列结论正确的是（） A.y 1 ＜ y 2＜ y 3 B ．y 2＜ y 1 ＜y 3 C ． y 3 ＜ y 1 ＜ y 2 D ． y 1＜ y 3 ＜y 2 【知识点 3 二次函数解析式的确定】 1. 待定系数法：