2010数列
1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ??
????
的前5项和为( ) （A ）
158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15
8
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和公式． 【思路点拨】求出数列{}n a 的通项公式是关键． 【规范解答】选C ．设1
n n a q
-=，则36
361199(1)111q q q q q q
--?
=?-=---， 即33918,2q q q =+?=∴=，11112()2n n n n a a --∴=?
=，5
511()31211612
T -∴==-． 2.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{a n }是等比数列，公比2q =，S n 为{a n }的前n 项和．
记*21
17,.n n
n n S S T n N a +-=
∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = ．
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和、均值不等式等基础知识． 【思路点拨】化简n T 利用均值不等式求最值． 【规范解答】,)2(,2
1])2(1[,21])2(1[112121n n n n n n a a a S a S =--=
--=
+
∴],17)2()2(16[
2
11)2(2
1])2(1[2
1])2(1[171211-+?-=
---
--?
=
n n
n
n n n a a a T
∵
,8)2()2(16≥+n n
当且仅当16)2(2=n 即216n =，所以当n=4，即04n =时，4T 最
大． 【答案】4
3.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0． 证明：{}a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有
1223111
111n n n n a a a a a a a a +++++= ． 【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力． 【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性， 可采用数学归纳法或综合法．
【规范解答】已知数列{}n a 中的每一项都不为0，先证""? 若数列{}n a 为等差数列，设公差为d ， 当0d ≠时，有
11
1111
()n n n n a a d a a ++=-， ∴
12231111n n a a a a a a ++++ 122311111111[()()()]n n d a a a a a a +=-+-++- 11111111
1111[()]n n n n a a n d a a d a a a a ++++-=
-== 即对任何n ∈N ，有
12231111n n a a a a a a ++++ 11
n n
a a +=成立； 当0d =时，显然12231111n n a a a a a a ++++ 11
n n a a +=也成立． 再证""?
对任意n ∈N ，有
12231111n n a a a a a a ++++ 11
n n
a a +=①， 12231121111n n n n a a a a a a a a +++++++ 12
1
n n a a ++=②， 由②-①得：
121n n a a ++121n n a a ++=-11
n n a a +
上式两端同乘112n n a a a ++，得112(1)n n a n a na ++=+-③， 同理可得11(1)n n a na n a +=--④，
由③-④得：122n n n a a a ++=+，所以{}n a 为等差数列 【方法技巧】
1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等 ，转化为常见的类型进行求和；
2、对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为n 1+或n 1-得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n 取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.
4.（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； （2）令n b =
2
11n
a -(n ∈N *
)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.
【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求n a 及n
S ；
(2)由(1)求出n b 的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.
【规范解答】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
11
27
21026a d a d +=??
+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（
；n S =n(n-1)
3n+22
?=2n +2n . （2）由（1）知2n+1n a =，所以b n =
211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111
(-)4n n+1
?，
所以n T =
111111(1-+++-)4223n n+1?- =11
(1-)=
4n+1?n 4(n+1)
， 即数列{}n b 的前n 项和n T =
n
4(n+1)
.
【方法技巧】数列求和的常用方法：
1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比1≠q 的讨论.
2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，
即等比数列求和公式的推导过程的推广.
3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.
5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广). 5.（2010·安徽高考文科·Ｔ21）设12,,,,n C C C 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线3
3
y x =
相切，对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互外切，以n r 表示n C 的半径，已知{}n r 为递增数列. (1)证明：{}n r 为等比数列；
（2）设11r =，求数列{}n
n
r 的前n 项和.
【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力．
【思路点拨】（1）求直线倾斜角的正弦，设n C 的圆心为(,0)n λ，得2n n r λ=，同理得
112n n r λ++=，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{}n r 中1
n r +与n r 的关系，可证明{}n r 为等比数列；
（2）利用（1）的结论求{}n r 的通项公式，代入数列n
n
r ，然后采用错位相减法求和. 【规范解答】
331,sin ,332x θθθ=（1）将直线y=
的倾斜角记为,则有tan =
n
n n n n n r 1
sin 2r ,2C λθλλ===设的圆心为（，0），则由题意得知，得 n+1n+12r λ=同理，
又
n+1n n n+1
r r λλ=++
n n n+1n+1n+1n 2r 2r r 3r λλ===将和，代入上式解得，
{}n r q 3=故为公比的等比数列。
n 11n n n n
n
r 1q 3r 3n 3r --∏====?（）由于，，故，从而
，
n 1212.....,r r r n
n
=
+++记S 则有
121n 121n
12333......31323......(1)333n
n n n n n -------=+?+?++?=?+?++-?+?S S
121n 1333133...333()3,
23223n n n
n n n n n ---------=++++-?=-?=-+?①②,得
2S
119139(23)3()34224n n
n n S n ---+?∴=-+?=
．
【方法技巧】
1、对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为n 1+或n 1-得到相关的式子，再进行化简变形处理；
2、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的处理，如分组、列项相消、错位相减等 ，转化为常见的类型进行求和．
6.（2010·江苏高考·Ｔ１9）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
3122a a a +=，数列
{}n
S 是公差为d 的等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；
（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。求证：c 的最大值为
2
9
． 【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．
【思路点拨】（1）先求n S ，然后利用n n a S 与的关系求解；（2）利用（1）中所求n S 利用基
本不等式解决．
【规范解答】（1）由题意知：0d >，
11(1)(1)n S S n d a n d
=
+-=+-
21323213
233()a a a a S S S S =+?=?-=，
2
1121)2(])[(3d a a d a +=-+
化简，得：
22
111120,,a a d d a d a d -?+===
22
(1),n n S d n d nd S n d =+-==，
当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形．
故所求
2
(21)n a n d =-．
（2）（方法一）
222222222
m n k S S cS m d n d c k d m n c k +>?+>??+>?， 22
2m n c k +<恒成立． 又n m k n m ≠=+且3，
222
2
2
2
2
9
2()()92m n m n m n k k ++>+=?>， 故
92c ≤
，即c 的最大值为29．
（方法二）由
1a d
=及
1(1)n S a n d
=+-，得0d >，22n S n d =．
于是，对满足题设的k n m ,,，m n ≠，有
22
2
2
222()99
()222m n k
m n S S m n d d d k S ++=+>==．
所以c 的最大值
max 92c ≥
．
另一方面，任取实数
92a >
．设k 为偶数，令33
1,1
22m k n k =+=-，则k n m ,,符合条件，
且22222222331
()[(1)(1)](94)
222m n S S m n d d k k d k +=+=++-=+．
于是，只要22
942k ak +<，即当
229k a >
-时，221
22m n k
S S d ak aS +
所以满足条件的
92c ≤
，从而
max 9
2c ≤
． 因此c 的最大值为9
2．
7.（2010·天津高考文科·Ｔ22）在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *
N ∈，2k 12k 2k+1
a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）记2222323n n n T a a a =+++ ，证明n 32n T 2n 2
<-≤≥（2）. 【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．
【思路点拨】（Ⅰ）（Ⅱ）应用定义法证明、求解；（Ⅲ）对n 分奇数、偶数进行讨论． 【规范解答】（I ）由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，
54412a a =+=， 65618a a =+=。从而
65543
2
a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列． （II ）由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈
所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441...41k k =+-++? ()21,*k k k N =+∈.
由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而2
22122k k a a k k +=-=.
所以数列{}n a 的通项公式为221
,2
,2
n n n a n n ?-??=????为奇数为偶数
或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈．
（III ）由（II ）可知()2121k a k k +=+，2
22k a k =，
以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n 为偶数时，设n=2m ()*m N ∈
若1m =，则2
222n
k k
k n a =-=∑， 若2m ≥，则
()()()2
2
222112211112212214441221n
m m m
m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑ ()()21111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==??+??
??=++=++-?? ???++-???
???∑∑ ()11312211222m m n m n
??=+-+
-=-- ???. 所以223122n
k k k n a n =-=+∑，从而2
2322,4,6,8,....2n
k k
k n n a =<-<=∑ （２）当n 为奇数时，设()21*n m m N =+∈．
()()()22
222222121213142221n
m k k k k
m m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()1131
4222121
m n m n =+
-=---+ 所以2231221n
k k k n a n =-=++∑，从而2
2322,3,5,7,....2n k k
k n n a =<-<=∑ 综合（1）和（2）可知，对任意2,*,n n N ≥∈有
3
2 2.2
n n T <-≤
2011数列 一、选择题
1.（2011·江西高考理科·Ｔ5） 已知数列 {n a }的前n 项和n s 满足：n s +m s =n m s +，且1a =1，那么10a =( )
A.1
B.9
C.10
D.55 【思路点拨】
n m n m 911010s s s m,n 9,m 1,S S S ,1.
++===+==结合，对赋值，令n 即得即得a
【精讲精析】选A.
n m n m 911011091010s s s 9,m 1,S S S ,S S S a 1a 1.
-===++=∴==+==∴ 令n 即得即，
2.（2011·安徽高考文科·Ｔ7）若数列{}n a 的通项公式是a n =(-1)n
(3n -2),则12a a ++…
10a +=
（A ）15 (B)12 （C ）-12 (D) -15 【思路点拨】观察数列{}n a 的性质，得到.31094321=+==+=+a a a a a a 【精讲精析】选A. .31094321=+==+=+a a a a a a 故.151021=+++a a a 二、填空题
3.（2011·江苏高考·Ｔ13）设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________
【思路点拨】本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题，解题的关键是找出等差数列与等比数列的结合点，从而找到q 满足的关系式，求得其最小值。 【精讲精析】答案：33 由题意：
231212121112a a a q a a q a a q =≤≤≤+≤≤+≤，
222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+3223q a ≥+≥，而
212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++ 的最小值分别为1，2，3；3min 3q ∴=。
4.（2011·浙江高考文科·Ｔ17）若数列2(4)()3n n n ??+???
?
中的最大项是第k 项，则
k =_______________.
【思路点拨】可由不等式组1
1k k k
k a a a a +-≥??≥?解得.
【精讲精析】答案：4设最大项为第k 项，则由不等式组1
1
k k k k a a a a +-≥??
≥?得
1
1
22(4)(1)(5)3322(4)(1)(3)33k k k k k k k k k k k k +-?????+≥++? ? ????????????
+≥-+ ? ???????
,即2(4)(1)(5)3
2(4)(1)(3)3k k k k k k k k ?+≥++?????+?≥-+??,解得10101k ≤≤+,故4k =.
三、解答题
5.（2011·安徽高考理科·Ｔ18）在数1和100之间插入n 个实数，使得这n +2个数构成递增的等比数列，将这n +2个数的乘积记作n T ，再令lg n n a T =，1n ≥ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设,tan tan 1+?=n n n a a b 求数列{}n b 的前n 项和n S .
【思路点拨】本题将数列问题和三角问题结合在一起，解决此题需利用等比数列通项公式，等差数列前n 项和公式，及两角差的正切公式等基本知识.
【精讲精析】（Ⅰ）设这n +2个数构成的等比数列为n c ，则100,121==+n c c ，则
1001
=+n q
，1
1
100
+=n q ，又2
)
2)(1(1
22211++++=???=??=n n n n n q
q
q q c c c T
所以 .1,2100
lg lg lg 2
22
)
2)(1(≥+====+++n n q
T a n n n n n
（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知
.1),3tan()2tan(≥+?+=n n n b n
另一方面，利用
[]tan(1)tan tan1tan (1),1tan(1)tan k k
k k k k
+-=+-=
++?
得 .11
tan tan )1tan(tan )1tan(--+=?+k
k k k
所以
2
1
3
2
3tan(1)tan tan(1)tan 1tan1tan(3)tan 3.
tan1
n n n k k k n k S b k k
k k n n +======+?+-??=-??
?
?+-=-∑∑∑
6.（2011·江苏高考·Ｔ20）设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k ∈M ，当整数n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立 （1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值； （2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式。
【思路点拨】本题考查的是等差数列概念、和与通项关系，其中（1）问较为容易，（2）问解决的关键是抓住题目的)(2k n k n k n S S S S +=+-+的转化从中找到解决问题的规律。 【精讲精析】由题设知，当2≥n 时，)(2111S S S S n n n +=+-+
即1112)()(S S S S S n n n n =----+，从而2211==-+a a a n n ，又22=a ， 故当2≥n 时，22)2(22-=-+=n n a a n ，所以5a 的值为8. (2) 由题设知, 当{}4,3=∈M k ,且k n >时，
)(2k n k n k n S S S S +=+-+且)(2111k n k n k n S S S S +=++-+++，
两式相减得1112+-+++=-n k n k n a a a ，即1111+-++++-=-n k n n k n a a a a ，所以当8≥n 时，
6336,,,,++--n n n n n a a a a a 成等差数列，且6226,,,++--n n n n a a a a 也成等差数列，
从而当8≥n 时，332-++=n n n a a a 66-++=n n a a )(*， 且22-++n n a a 66-++=n n a a 。
所以当8≥n 时，222-++=n n n a a a ，即22-+-=-n n n n a a a a ，于是， 当9≥n 时，3113,,,++--n n n n a a a a 成等差数列，
从而33-++n n a a 11-++=n n a a ，故由)(*式知=n a 211-++n n a a ，即11-+-=-n n n n a a a a ，当9≥n 时，设1--=n n a a d ，当82≤≤m 时，86≥+m ， 从而由)(*式知1262+++=m m m a a a ，故13172++++=m m m a a a ，
从而1213167()(2+++++-+-=-m m m m n n a a a a a a ，于是d d d a a m m =-=-+21。 因此d a a n n =-+1，对任意都2≥n 成立。
又由k n k n k n S S S S 22=-+-+（{})4,3∈k 可知k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+， 故329S d =且4216S d =。解得d a 274=
，从而d a 232=，d a 2
1
1=。 因此，数列{}n a 为等差数列，由11=a 知2=d ， 所以数列{}n a 的通项公式为12-=n a n 。
7.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且
212326231,9.a a a a a +==
（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??
?
???
的前n 项和. 【思路点拨】第（1）问可由12231a a +=，2
3269a a a =联立方程组求得1a 和公比q ，从而求得n a 的通项公式.第（2）问中，需先利用对数的性质化简n b ，再用裂项相消的方法求数列1
{
}n
b 的前n 项和. 【精讲精析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得3
2
349a a =所以2
1
9
q =
. 由条件可知0n a >,故13q =
.由12231a a +=得11231a a q +=，所以113a =. 故数列{}n a 的通项式为n a =1()3
n
.
（Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++
(12...)(1)2
n n n =-++++=-
.
故
1211
2()(1)1n b n n n n =-=--++,
12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++.
所以数列1{
}n b 的前n 项和为21n
n -+.
8.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ17）已知等比数列{}n a 中，11a =3，公比1
3
q =. （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：
12
n
n a S -=
（II ）设31323log log log n n b a a a =++???+，求数列{n b }的通项公式.
【思路点拨】第（1）问利用等比数列通项公式和求和公式求出n S 、
n a 然后证明等式12
n
n a S -=
成立； （2）利用对数的性质化简n b ，即得{n b }的通项公式.
【精讲精析】（I ） =
=??
? ??-311
3
1n n a 13n
?? ???
，
111
1-1-312
1-3
33
n n
n
S
?? ?
???=
=
∴12
n
n a S -=
（II ）31323log log log n n b a a a =++???+
n(n 1)
(123...n)2
+=-++++=
. ∴数列n b 的通项公式为n b =n(n 1)
2+-. 9.（2011·广东文科·T20）设b>0，数列{n a }满足a 1=b,1
1(2)1
n n n nba a n a n --=
+-≥.
(1)求数列{n a }的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n ，2a ≤b
n 1
++1
【思路点拨】（1）把题中条件变形为1
111--?+=n n
a n
b b
a n ，构造成为)111(1111
b
a n
b b
a n n n
-+-=-+-，转
化为等比数列，求得}11{b
a n n
-+的通项公式，进而求出}{n a 的通项公式.
（2）利用均值不等式证明.
【精讲精析】（1）【解】由已知得1
111--?+=n n
a n
b b
a n ）
（2≥n ，当1≠b 时，上式变形为：)111(1111b
a n
b b a n n n -+-=-+-，
即数列}11{b a n n -+是以)1(1
1111
b b b a -=-+为首项，以b 1为公比的等比数列，由等比数
列的通项公式得：n
n n b b b b b b a n )1(1)1()1(1111-=
-=-+-，解得n n n b nb b a --=1)1(； 当1=b 时，有111
=---n n
a n a n ，即{n
a n }是首项公差均为1的等差数列，则1=n a .
综上所述???
??≠>--==)1且0(1)1()1(1b b b
nb b b a n
n n .
（2）【证明】方法一：当12(1)1,(21,1
n
n n n
nb b b a b b +-≠=≤+-时欲证
只需112(1))1
n
n n b nb b b +-≤+-
1
2211121(1)11
n n n n n n n b b
b b b b b b +-+---+=+++++++-
11111n n n n n b b b b b b b --?
?=++++++ ??
?
(222)n b >+++ 2,n nb =
12(1)
21.1
n n n n
nb b a b b +-∴=<+-
综上所述12 1.n n a b +≤+
方法二：由（1）及题设知: 当1=b 时，1+n b +1=2=2n a ；
当1且0≠>b b 时，n
b b
nb b
nb
b b a n
k k
n n
n
k k n n
n ∑∑=-==?==
--=1
1
1
1
1)1(11，而
21
01)2()1(01211
)1()1()1()1()1()1(1
-++???+-+---=-=≥++???++=∑n n n n n n n
k k
n b b n b b b b n
b ，∴21211111+-=≥n n n b
b b a ）（， 即22
1
2+≤n n b
a ，又2
111221+++=≥+n n n b
b b ，∴121+≤+n n b a .
综上所述，对于一切正整数n 有121+≤+n b a .
10.（2011·广东高考理科·Ｔ20）设0>b 数列{}n a 满足1
11=,(2)22
n n n nba a b a n a n --=≥+-.
求数列{}n a 的通项公式；
证明：对于一切正整数n,1
112
n n n b a ++≤+
【思路点拨】（1）把题中条件变形为1
121
+-?=?-n n
a n a n
b ，构造成为
)211(2211b a n b b a n n n -+-=-+-，转化为等比数列，求得b a n n -+21
的通项公式，进而
求出}{n a 的通项公式.，或用猜想证明的方法解决. （2）利用均值不等式证明.
【精讲精析】（1）方法一：由已知得11)22(--=-+n n n n nba a n a a ，两边同除以1-n n a a ，
整理得11
21
+-?=?-n n
a n a n
b ，
当2≠b 时有： )
211(2211b a n b b a n n n -+-=-+-（2≥n ）令b a n c n n -+=21，则}{n c 是以)2(22111
1b b b a c -=-+=为首项，b q 2
=为公比的等比数列.由等比数列通项公式得
)2(2)2()2(21b b b b b c n n
n n -=-=
-，即)2(221b b b a n n n n
-=-+ 从而n
n n
n b nb b a --=2)2(.
当2=b 时，有2111=---n n a n a n ，即}{n
a n 是首项与公差均为21的等差数列，从而有2n a n n =，得2=n
a .
综上所述?????≠>--==)2且0(2)2()2(2b b b
nb b b a n
n n
n
方法二：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以
12为首项，1
2
为公差的等差数列，
即111
(1)222
n b n n =
+-?=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33223
333(2)242b b b a b b b -==++-， 猜想(2)
2
n n n n
nb b a b -=-，下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立；
②假设当n k =时，(2)
2k k k k
kb b a b -=-，则
11
11
(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++?+?-+-===+--+?--， 所以当1n k =+时，猜想成立，
由①②知，*n N ?∈，(2)2n n n n
nb b a b -=-．
综上所述???
??≠>--==)2且0(2)2()2(2b b b
nb b b a n
n n n
（2）【证明】方法一：（ⅰ）当2b =时， 1
12212
n n n a ++==+，故2b =时，命题成立；
（ⅱ）当2b ≠时，222212222n n n n n n b b b ++≥?=，
212122122222n n n n n n b b b b --+?+?≥?=，
1111221,22222n n n n n n n n b b b b +--++?+?≥?= ，以上n 个式子相加得
2212n n b b -+?+111122n n n n b b +--++?+?+ 2121222n n n n b n b -++?+≥?，
1221212112(2)[(222)2](2)
2(2)2(2)n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b a b b +--++?-+?++?+-?-=≤
-- 2212121(222)(2)2(2)
2(2)
n n n n n n n n n
b b b b b b b --++?++?+--?-=- 212111
1(2)222(2)
n n n n n n n n n
b b b b +++++--?+?=-
2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n n
b b b b +++++-?+?-=-1
112
n n b ++=+．故当2b ≠时，命题成立； 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．
方法二：由（1）及题设知: 当2b =时，1
1122
n n n b a +++==
当02b b >≠且时，1
11
111122
1212121;(2)n k
n
n
n k
k n n
n k k n k n n n k
k k n
n
n n k
k k n b
b b b a n b b nb nb b nb b b n
-------==--==-=====-∑∑∑∑ 而1(1)(2)10
1210
22222
1()
()
()()1222n n n n n n k
n
b
b
b
b
n n k
k n b n b b --+-+++----=+++??
??=≥= ?
???
??
∑
112
2
112122n n n a b b b -+????∴
≥= ? ???
??
，即12
22n n b a +??≤ ???
，又111
2
11122222n n n n n b b b +++++??+≥= ?
??
综上所述：对于一切正整数n,1
112
n n n b a ++≤+. 11.（2011·山东高考理科·Ｔ20）（本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n
n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和S n .
【思路点拨】（Ⅰ）由题意易知1232,6,18a a a ===.由等比数列的通项公式写出数列的通项公式.（Ⅱ）由题意易知数列{}n b 为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前n 项和，但是要分奇数和偶数两种情况讨论
【精讲精析】（Ⅰ）由题意可知1232,6,18a a a ===，公比3
212
3a a q a a ===， 通项公式为1
23
n n a -=?；
（()1
111ln 23(1)ln 2323(1)[ln 2(1)ln 3]---=+-=+-=+-+-n
n n n n n n n n b a a n ×××Ⅱ
）
当2(*)n k k =∈N 时，122n k S b b b =+++
212(133)[1(23)((22)(21))]ln 3
k k k -=+++++-+++--+- 2132ln 331ln 3132
-=+=-+-k n n k ×
当21(*)n k k =-∈N 时1221n k S b b b -=+++
222(133)[(12)((23)(22))]ln 3ln 2k k k -=++++-++----
21132(1)ln 3ln 213--=----k k ×(1)31ln 3ln 22n n -=---
故31ln 3,2
(1)31ln 3ln 22
n n n n n S n n ?-+??=?-?---??为偶数；，为奇数.
另解：令1
1
(1)
ln 23
-=
-∑n
n
n n T ×，即1
1
(1)
ln 2(1)(1)ln 3n
n
n
n n T n =
-+--∑∑
223[1(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln 3n n n T n =-+-++-+-?+-?++-?- 231341[(1)(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln 3n n n T n ++-=-+-++-+-?+-?++-?-
则1
2312[1(1)
]ln 2[(1)(1)(1)(1)(1)]ln 3n n n n T n ++=---+-+-++----
211
111(1)(1)[1(1)]ln 2[(1)(1)]ln 3222
n n n n T n +++---=---+---
12111
[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324
n n n T n ++=---+----
故1
122(133)n n n n S b b b T -=+++=++++
12111
31[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324
n n n n ++=-+---+----.
12.（2011·山东高考文科·Ｔ20）（本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：n b =(1)ln n
n n a a +-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .
【思路点拨】（I ）由题意易知1232,6,18a a a ===.由等比数列的通项公式写出数列.（II ）由题意易知数列{}n b 为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前2n 项和.
【精讲精析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式1
23
n n a -=?.
（Ⅱ）n b =(1)ln n
n n a a +-=1
23n -?+(1)[ln 2(1)ln 3]n
n -+-
=1
23
n -?+(1)ln 2(1)(1)ln 3n n n -+--,
所以
0122112212(23232323)[(1)(1)(1)]ln 2[(1)0-=?+?+?+?+-+-++-+-?+ n n n S
232(1)1(1)2(1)(21)]ln 3
-?+-?++-?- n n 22(13)(111111)ln 2[01234(22)21]ln 313
-=+-+-+--+++-+-+--+-- n n n
=91n
-+0ln 2ln391ln3n
n n ?+=-+
13.（2011·辽宁高考理科·Ｔ17）（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10
（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）求数列?
??
??
?-12n n a 的前n 项和． 【思路点拨】(Ⅰ)先求首项1a 和公差d ，再求通项公式；（Ⅱ）可利用错位相减法求和． 【精讲精析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ， ??
?
-=+=+,
10122,
011d a d a 由已知条件可得
?
?
?-==.1,
11d a 故数列{}n a 的通项公式为 .2n a n -= ……5分 （Ⅱ）设数列?
??
??
?-12n n a 的前n 项和为n S ，即n S =,221
21-+++n n a a a 故1S =1， n n n a a a S 242221+++= .所以，当n ＞1时，2n S =1
11
2122---++-+n n n a a a a a -n n a 2
=n n n 22)214121
(11--++
-- =n n n 22)211(11-----=n n 2，所以n S =12-n n 综上，数列?
??
??
?-12n n a 的前n 项和n S =1
2-n n . ……12分 14.（2011·北京高考理科·T20）(13分)若数列n A :12,,...,(2)n a a a n ≥满足
11(1,2,...,1)k k a a k n +-==-，则称数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++.
（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5S(A )0>的E 数列5A ；
（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011； （Ⅲ）对任意给定的整数n （n ≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由.
【思路点拨】（Ⅰ）写出满足条件的一个数列即可；（Ⅱ）分别证明必要性与充分性；（Ⅲ）先假设存在，看能否求出，求出即存在，求不出则不存在. 【精讲精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E 数列5A . （答案不唯一，0，1，0， 1，0也是一个满足条件的E 数列5A ）
（Ⅱ）必要性：因为E 数列n A 是递增数列，所以11(1,2,,1999)k k a a k +-== .
2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C
专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析：对于B ，令2 104x λ-+=，得12 λ=， 取112a = ，所以211 ,,1022n a a ==
所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ，所以6 10432a a ??> ???，所以107291064a > >故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==． 从而* 22,n a n n =-∈N ． 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -． 所以2* ,n b n n n =+∈N ． （2 ）*n c n = ==∈N ． 我们用数学归纳法证明． ①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++ 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． 数列 1（2017山东文）（本小题满分12分） 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ） {}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ??????的前n 项和n T . 2（2017新课标Ⅰ文数）（12分） 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。 3（（2017新课标Ⅲ文数）12分） 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ????+?? 的前n 项和. 4（2017浙江）（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n N *∈）． 证明：当n N *∈时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1? x n ≤12 n n x x +； （Ⅲ）112 n -≤x n ≤212n -． 112()2 n n n n x x x x n *++-≤∈N ． 5（2017北京理）（本小题13分） 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???， 其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数． （Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时， n c M n >；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列． 6（2017新课标Ⅱ文）（12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S . 7（2017天津文）（本小题满分13分） 已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于 0， 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 历年数列高考题汇编 1、(全国新课标卷理） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ?? ??的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由 2 3 26 9a a a =得 3234 9a a =所以 21 9q = .有条件可知a>0,故 13q = . 由 12231 a a +=得 12231 a a q +=，所以 113a = .故数列{a n }的通项式为a n =13n . （Ⅱ ） 111111 log log ...log n b a a a =+++ (12...)(1)2 n n n =-++++=- 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n - + 2、（全国新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时， 111211 [()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L 21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=. 而 12, a =所以数列{ n a }的通项公式为 21 2n n a -=. （Ⅱ）由 21 2n n n b na n -==?知 3521 1222322n n S n -=?+?+?++?L ① 从而 235721 21222322n n S n +?=?+?+?++?L ② ①-②得 2352121 (12)22222n n n S n -+-?=++++-?L . 即 211 [(31)22] 9n n S n +=-+ 3.设}{n a 是公比大于1的等比数列，S n 为数列}{n a 的前n 项和．已知S 3=7,且 a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令Λ2,1,ln 13==+n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和T n ． . 4、（辽宁卷）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤ 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 2020年高考试题分类汇编（数列） 考法1等差数列 1.（2020·全国卷Ⅱ·理科）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心由一块圆心石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一层多 9块， 已知每层的环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） A ．3699块 B ．3474块 C ．3402块 D ．3339块 2.（2020·全国卷Ⅱ·文科）记n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，若12a =-，262a a +=，则10S = . 3. （2020·山东卷）将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为 ． 4.（2020·上海卷）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910 a a a a +++= . 5.（2020·浙江卷）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差0d ≠， 11a d ≤．记12b S =，122n n n b S S ++=-，n N *∈，下列等式不可能成立的是 A.4262a a a =+ B.4262b b b =+ C. 2428a a a =? D.2428b b b =? 6.（2020·北京卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12n n T a a a =（1,2,n =），则数列{}n T A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D历年高考数学试题分类汇编
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