高斯随机过程

高斯随机过程

高斯分布

?中心极限定理证明：在满足一定条件下，大量随机变量和的极限分布是高斯分布。?特殊地位：无线电技术理论中最重要的概率分布。

?噪声理论、信号检测理论、信息理论?高斯过程-统计特性最简单

{}{}ik X i k X X i k X X

k i X k i X ik X i k X X X k i X k i X ik n n ik

n n ik C m t t R m t t R m t t R t t C C m t t R m m t t R t t C C C C C C =??=?+?+=′?++=++=′??=?==′=′=××2222)()]()[(),(),()(),(),(..,.........εεεεεεv v Q X

i X i X X m t m t m m ==+=′)()(εQ )

,...,;,...,(),...,;,...,(1111n n X n n X t t x x f t t x x f =++∴εε所以，高斯随机过程的宽平稳?等价严平稳。

C C v v =′X

X M M =′∴

如果高斯过程X(t)在n 个不同时刻的状态两两互不相关，即

则这些状态之间也是互相独立的。n t t ,...,

1)

(),...,(1n t X t X )(,0)])()()([(),(k i m t X m t X E t t C C k k i i k i X ik ≠=??==0

=ik C ??????

????????=)(0...0:...:::...)(00...0)(22212n t t t C σσσv 2、互不相关?互相独立

证明：由于则:

t B t A t X 00sin cos

)(ωω+=0][][==B E A E 222][][σ==B E A E 0ω1.已知随机过程其中A 与B 是相互独立的高斯变量，

且, ,

为常数。求此过程的一、二维概率密度。

解：在任意时刻ti对过程X(t)进行采样，由于它是高斯变量A与B的线性组合，

故X(ti)也是高斯变量。

从而可知，X(t)是一高斯过程。

为确定高斯过程X(t)的概率密度。

只要求出X(t)的均质和协方差函数即可。

sin ][cos ][]sin cos [)]([0000=+=+=t B E t A E t B t A E t X E ωωωω)(cos sin ][)(sin cos ][)

(sin sin ][)(cos cos ][))]

(sin )(cos )(sin cos [()]()([),(0000002

0020000τωωτωωτωωτωωτωτωωωττ+++++++=++++=+=+t t AB E t t AB E t t B E t t A E t B t A t B t A E t X t X E t t R X 因为A 与B 相互独立，有

E[AB ]=E[A ]E[B ]=0，则

)(cos )(sin sin ][)(cos cos ][),(02002

002ττωστωωτωωτX X R t B E t t A E t t R ==+++=+

)

cos()(0Φ+=t a t X ω0ωΦ)2,0(π2.设随机过程式中a ，皆为常数，是服从上均匀分布的随机变量。判断X(t)是否宽各态历经，给出理由。

3.随机过程X(t)=Y，其中Y是方差不为零的随机变量。讨论该过程的各态历经性。