近世代数学习指导
1. 判断下列二元关系是否是等价关系:
设)},(),,(),,(),,{(},,,{1b b a a a b b a R c b a A ==；
)},(),,(),,(),,(),,{(2c c b b a a a b b a R =；
)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(3b c c b a b b a c c b b b a R =；
)},(),,(),,(),,(),,(),,{(4c a c b b a c c b b b a R =.
提示:1R 不是等价关系，因为1),(R c c ?，即不具有反身性，尽管具有对称性、传递性；2R 是等价关系，因为具有反身性、对称性、传递性；3R 不是等价关系，因为3),(R c a ?，即不具有传递性,尽管具有反身性、对称性；4R 不是等价关系，因为4),(R b c ?，即不具有对称性,尽管具有反身性、传递性．
2.设==A Z A ,{所有偶数},?是普通数的乘法.证明:),(?A 与),(?A 不同构. 提示 若),(?A 与),(?A 同构,设φ是使其同构的同构映射.
设m n 21,21 -,那么)2)(2()1()1())1(1()1(m n =-=-=-φφφφ,所以m m n 202)(2(=.若0≠m ,则12=n ,显然矛盾；若0=m ,即0)1(=-φ,则0)1()1()1(=--=φφφ,这样就有-1,1的象都是0,这与φ是一一映射矛盾.所以, ),(?A 与),(?A 不同构.
3．设},,{c b a A =，A 的代数运算 由下表给定：
1. 集合A 上的变换有几个？集合A 上的单变换有几个？
2. 定义在A 上的自同态映射有几个？
3. 定义在A 上的自同构有几个？并具体写出来？
提示：1. 27;6 2. 9 3. 2；c c b b a a ,,:σ；c c a b b a ,,:τ
4.分别举一个无单位元、有左单位元但无单位元、有单位元的半群的例子.
提示 ?,2Z 是无单位元的半群；设}2,1,|)0
{(21=∈=i Q a a a S i ，),(οS 是具有左单
位元001x
但无单位元的半群；?,Z ,其中,,ο?分别表示数的普通乘法、矩阵的普通乘法.
5.一个有限群的每一个元的阶都有限.
提示 设G 是有限群，任取G a ∈,则 ,,,32a a a 不能全不相同,因G 中只有有限个元素之故．设j i a a j i >=,,则k j i e a j i =-=-,是自然数．命
},|{N k e a k A k ∈==,则A 非空,而自然数的非空集合有最小元,设A 的最小元为m ,则e a m =,即m 是a 的周期.
6.设G 群除单位元以外的每一个元的周期均为2,则G 是交换群.
提示 G a ∈?,因e a =2,而e aa =-1,故12-=aa a ,由消去律知a a =-1；任取G b a ∈,则有11,--==b b a a ,又ba a b ab ==---111)(,但G ab ∈,故ab ab =-1)(进而, ba a b ab ab ===---111)(，即G 是交换群.
7.设a 的周期为m ,b 的周期为n ,1),(=n m ,且ba ab =,则ab 的周期为mn .
提示 设ab 的周期为k .由于e b a ab mn mn mn ==)(,故mn k |,又
km km km km b b a ab ==)(,而e ab km =)(,故km n e b km |,=,但1),(=n m ,故k n |.同样可得k n |,再一次利用1),(=n m ,有k mn |,则有k mn =,即ab 的周期为mn .
8.证明：阶是素数p 的群G 一定是循环群.
提示 因1>p ,故存在G a ∈,a 的周期为1>m ,又p m |,而p 是素数,则p m =,即)(a G =.
9. 假定群G 的元a 的周期是n .证明r a 的周期是
d n ,这里),(n r d =是r 和n 的最大公因子.
提示 首先e a a a d r n d nr d n r ===)()
(；其次,若有自然数m ,使得e a m r =)(,则e a m r =,故rm n |,又d r n =),(,故有整数t s 、,使得td r sd n ==,,且1),(=t s ,那么tdm sd |,即tm s |,但1),(=t s ,故m s |,即m d n |,从而d
n a r =)(ο. 10. 假定群G 的阶为n ,且)(a G =.证明：)(r a G =,这里1),(=n r .
提示 因1),(=n r ,故存在整数t s 、,使得1=+nt rs ,这样G a m
∈?,有 ms r mt n ms r mnt mrs m a a a a a )()()(===+,故r a 是G 的一个生成元,从而)(r a G =．
提示 因为)34251(1=-π
,故)23)(154(1=-πσπ,从而6))45)(123((=ο. (3)将1-πσπ表示成形式为)1(i 的2轮换的乘积.
提示 因为))()(()(2111121i i i i i i i i i k k k -= ,)1)(1)(1()(i j i ij =,所以
)12)(13)(12)(15)(14()23)(154(1==-πσπ.
12．设7,S ∈τσ，其中???
? ??=57316427654321σ，)45)(123(=τ. 1. 将置换σ分解为不相交轮换的乘积，并求该置换的阶;
2. 求1-τστ
及其阶; 3. 将1-τστ表示成形式为(1i)的2轮换的乘积.
提示：1.)3675)(124(=σ，12||=σ ；2. )45)(132()45)(123(1στστ
=-)235)(1674(= ； （或)45)(132()45)(123(1στστ
=-)2674)(153(=，12||1=-τστ 3. )23)(25)(16)(17)(14(1=-τστ)12)(13)(15(12)(16)(17)(14(= ；
13．求模6加群66(,)Z +的每个元的阶及生成元。
解：
14．设G 是群，,a b G ∈，并且||3,||2a b ==，ba ab =，求由,a b 生成的子群(,)a b 。 解：按定义1212(,){|,}s n n n s i i a b x x x x a b n Z ==∈或。由于ba ab =，并且
||3,||2a b ==，从而(,)a b 的任一元素可表为：,0,1,2,0,1,i j h a b i j ===
所以(,)a b 的阶最多是6。又因(||,||)1,a b ba ab ==，所以||||||6ab a b ==，
因此知(,)a b 是由ab 生成的循环群，其元素为
0()e ab =，ab ，22()ab a =，3()ab b =，4()ab a =，52()ab a b =。
15．设9次置换???
? ??=249816735987654321σ， （1）将σ表成互不相交的轮换乘积；
(2) 将σ表示成形式为对换的乘积；
(3)求出σ的逆与σ的阶。
提示：（1）(15)(2379)(468),σ=（2）)46)(48)(23)(27)(29)(15(=σ
（3）1(15)(9732)(864),||12σσ-==。
16．设3S 是三次对称群，)}12(),1{(=H 是3S 的子群。
（1）求出3S 关于H 的所有左陪集和右陪集；
（2） 写出3S 的所有子群与正规子群。
提示：左陪集：)}12(),1{(=H ；)}132(),13{()13(=H ；)}123(),23{()23(=H ---3分 右陪集：)}12(),1{(=H ；)}123(),13{()13(=H ；)}132(),23{()23(=H ---6分 子群：)}12(),1{()},1{(21==H H
36543)},132(),123(),1{()},23(),1{()}},13(),1{(S H H H H ====六个子群；---12分 )},1{(1=H 365)},132(),123(),1{(S H H ==三个正规子群；---15分
17．阶群至少有一个3阶子群
证明：设G 是一个6阶群,e 是的单位元，由Lagrange 定理, G 的非单位元的阶只能是2,3,或6.
提示：若G 中非单位元的阶皆为2,则G 是交换群。设b a ,是两个2阶元，则},,,{ab b a e 是G 的4阶子群这与Lagrange 定理矛盾，所以G 中必有3阶元或6阶元。
若b 是6阶元,则2
b 是三阶元,因此G 必有一个3阶子群；若
c 是三阶元，则G 必有一个3阶子群。
18．设G N ≤，证明：G N 的充要条件是N 的任意两个左陪集的乘积是左陪集。
证明：G N ()()()(),,;aN bN a Nb N a bN N ab NN ab N a b G ??====?∈ 充分性，,,a b G c G ?∈?∈，使得 ()aN bN cN ab cN ab N cN ?=?∈?=()aN bN ab N ??=
111,,()()()a G n N an a n aN a N aa N N ---??∈∈∈?==，
所以1ana N -∈，故G N 。
19.假定～是一个群G 的元间的一个等价关系，并且对于G
的任意三个元y x a ,,来说，有ax ～x ay ?～y 。
证明：与G 的单位元e 等价的元所作成的集合G 的一个子群。
证明：设H=[e],由于～是等价关系，故e ～e,即H e ∈;H b a ∈?,,则a ～e, b ～e 因而ae ～a 1-a , be ～b 1-b ,由题设可得e ～1-a , e ～1-b ,由对称性及传递性得1-b ～1-a ,a a 1-1-b ～1-a e,再由题设得a 1-b ～e 即a 1-b H ∈,那么与G 的单位元e 等价的元所作成的集合G 的一个子群
20.一个群G 的可以写成ab b a 11--形式的元叫做换位子,证明：
(1)所有有限个换位子的乘积组成的集合C 是G 的一个不变子群,称为G 的导群或换位子群；
提示 由于ee e e e 11--=,C e ∈；C 的两个元的乘积仍是有限个换位子的乘积,因而仍是C 的一个元；一个换位子的逆仍是一个换位子,所以C 的一个元的逆仍是的C 一个元,这样C 是G 的一个子群；对于C c G a ∈∈,,)(111---=c aca aca C c ∈，所以C 是G 的一个不变子群.
(2)G ／C 是交换群；
令G b a ∈,,那么C c ab b a ab ba ∈==---1
11)(,由此得baC abC =,即bCaC aCbC =,因而G ／C 是交换群.
(3)若N 是G 的一个不变子群，并且N G /是交换群，那么C N ?.
提示 因为N G /是交换群,所以对G 的任何两个元a 和b ,
))(())((aN bN bN aN = ,由此得N ab b a ab ba ∈=---111)()(,这样N 含有一切换位子,因而N 含有C .
21．设f 是群G 到群-G 的满同态，--G N ，)(1--=N f
N ，则G N 并且--?N
G N G 。 提示 设π是-G 到--N
G
的自然映射，则f 与的π合成是G 到--N G 满同态，---
→?→?N
G G G f ，-N x f x f x )()(
并且}))((|{)ker(-=∈=N x f G x f ππ=}))((|{-=∈N x f G x π})(|{--=∈=N N x f G x
})(|{-∈∈=N x f G x =N ，因此由同态基本定理知，G N 并且--?N G N G
。 22．设?是群G 到群-G 的一个同态满射，?Ker K =,G H ≤,则HK H =-))((1??。
提示 HK hk ∈?，)()()()()(H h k h hk ?????∈==，因此∈hk ))((1
H ??-，即
))((1H HK ??-?； ∈?x ))((1H ??-，有)()(H x ??∈，存在H h ∈，使得)()(x h ??=，因此K e x h x h ∈==---)()()(11???，存在K k ∈，使得HK hk x k x h ∈==-,1
，即HK H ?-))((1??，因此HK H =-))((1??。
23．设3S 是三次对称群。
（1） 把3S 的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。
(2) 证明3S 是阶数最小的不可换群。
提示1、)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ;
利用拉格朗日定理及素数阶群一定是循环群。-
24. 设3S 是3次对称群。
1．找出3S 的所有子群； 2．找出3S 的所有的不和)123(交换的元；
3．取3S 的子集)}123(),12{(=S ，则S 生成的子群包含哪些元素？群3S 的两个不同的子集
合会不会生成相同的子群？
提示：1。子群：)}12(),1{()},1{(21==H H
36543)},132(),123(),1{()},23(),1{()}},13(),1{(S H H H H ====六个子群；
2．)23(),13(),12(；3。3)(S S =；一个群的两个不同的子集合会生成相同的子群: 如)}132{()},123{(==B A ，)}132(),123(),1{()()(==B A 。
25. 设G 是一个阶大于1的群，证明：G 只有平凡子群当且仅当G 为素数阶循环群。 证明：充分性，由Lagrange 定理知，显然成立。
提示 必要性，因为1||>G ，所以存在e a G a ≠∈,。设)(a H =，则}{e H ≠，但是G H ?，由假设，G H =；若∞=||a ，则)(2a 是G 的非平凡子群，与假设矛盾； 若n a =||是合数，即21n n n =，1,121>>n n ，则2||1n a
n =，从而)(1n a 是G 的非平凡
子群与假设矛盾。因此G 为素数阶循环群。
26. 证明：循环群的子群是循环群.
提示: 设)(a G =是一个循环群，G H ≤。若}{e H =，则)(e H =；若}{e H ≠，则存在0,≠∈n Z n 使得H a n ∈，于是H a n ∈-，从而}|{H a P n M n ∈∈=是一个非空集合，
令r 是M 中的最小正整数。H a m ∈?，设r t t rq m <≤+=0,，则
H a a a a q r m rq m t ∈==--)(，由r 最小性的假设可得0=t ，于是rq m =，因而q r rq m a a a )(==，因此)(r a H =。故得证。
27．设循环群),(a G =且n a =||，证明：若正整数k 整除n ，则G 恰有一个k 阶子群。 证明：对n 的每一个正因子k ,，则k a k n =||，令)(k n a H =，则H 是G 一个k 阶子群；
设)(m a M =是G 任一个k 阶子群，则e a mk =，于是mk n |，因而
m k n |，从而?)(m a )(k n
a H =，然而||||M H =，因而，=M )(k n a H =，从而G .
28.证明：阶是m p 的群G 一定包含一个阶是p 的子群，其中+∈Z m ，p 是素数.
提示：取G a ∈而e a ≠，则由Lagrange 定理知，n p a =||，其中m n ≤≤1，则1-n p a
的阶是p ，所以)(1-=n p a H 是G 的一个p 阶子群。
29. 设A 是集合。
1． 集合A 上的二元关系满足什么条件时就是A 上的等价关系？
2． 设}3,2,1{=A ，A 上的二元关系有几个？A 上的等价关系有几个？A 可分几类？
提示1。反身性；对称性；传递性； 2。 92；A 可分五类：}}3{},2{},1{{1=π；
}}3{},2,1{{2=π；}}2{},3,1{{3=π；}}1{},3,2{{4=π；}}3,2,1{{5=π；由集合的分类决定等价关系知，A 上的等价关系有5个。
30. 证明：在一个没有零因子的环R 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。 提示：如果R 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是无限大，那么结论成立；假定*R 中
的某个元a 的阶是有限整数，而b 是环R 里任意不等于零的元，那么由0)()(==nb a b na 及R 是无零因子的环知0=nb ，所以b 的阶≤a 的阶，同理a 的阶≤b 的阶，即有a 的阶=b 的阶，从而结论得证。
31.环R 叫Boole 环是指R a a a ∈?=,2
。证明：每个Boole 环都是交换环并且R a a a ∈?=+,0。
提示：a a a a R a -=-==∈?22)(,，所以R a a a ∈?=+,0；
由于b a ba ab b a b a R b a +=+++=+∈?222)(,,，即有ba ab ba ab ==+,0。 32给出环R 与它的子环S 的例子,使它们分别具有以下性质:
1. R 具有单位元素,S 无单位元素;
2. R 无单位元素,S 具有单位元素;
3. R 、S 都有单位元素,但不相同;
4. R 无单位元素,S 无单位元素;
5. R 不交换,S 交换；
6. R 有零因子,S 无零因子.
提示：1。),,2(),,,(?+=?+=Z S Z R ，R 的单位元是1，关于数的普通加法和普通乘法； 2。},|00{Q b a b a R ∈???? ??=，},|000{Q b a a S ∈???? ??=，S 的单位元是???
? ??0001，关于矩阵的普通加法和普通乘法；
3。},,,|{Q d c b a d c b a R ∈???? ??=，},|000{Q b a a S ∈???? ??=，R 的单位元是???? ??1001，S 的单位元是???
? ??0001，关于矩阵的普通加法和普通乘法；4。Z S Z R 4,2==，关于数的普通加法和普通乘法；5． },,,|{Q d c b a d c b a R ∈????
??=，}|00{Q a a a S ∈???? ??=，关于矩阵的普通加法和普通乘法；
6。 },,,|{Q d c b a d c b a R ∈???? ??=，}|00{Q a a a S ∈???
? ??=，关于矩阵的普通加法和普通乘法。
33.找出模6的剩余类环的所有理想.
提示 6Z 的所有理想有4个,它们为:6},4,2,0{},3,0{},0{Z .
34.3Z 是模3的剩余类所作成的集合。找出加群3Z 的所有自同构映射，再找出域3Z 的所有
自同构映射。
提示：对加群3Z 的自同构映射，自同构映射必保持零元，所以有2个自同构映
射,;2,1,0,:1=→i i i φ 12,21,00:2→→→φ.
对域3Z 的自同构映射，自同构映射必保持零元和单位元，所以有1个自同构映
射,;2,1,0,:1=→i i i φ
35. 写出20Z 的所有理想和最大理想。
提示：20Z 的理想：]]0{[1=H ，202Z H =，]}16[],12[],8[],4[],0{[3=H
]}18[],16[],14[],12[],10[],8[],6[],4[],2[],0{[4=H ，]}15[],10[],5[],0{[5=H ，]}10[],0{[6=H ； 20Z 的最大理想：]}15[],10[],5[],0{[5=H ，
]}18[],16[],14[],12[],10[],8[],6[],4[],2[],0{[4=H
36.找出环8Z 的所有可逆元与零因子，并给出它的所有子环和最大理想。
提示：8Z 的可逆元为：]7[],5[],3[],1[；8Z 的零因子：]6[],4[],2[；子环：]]0{[1=H ，82Z H =，]}6[],4[],2[],0{[3=H ，]}4[],0{[4=H ； 8Z 的最大理想：]}6[],4[],2[],0{[3=H 。
37. 证明:有限整环是一个域.
提示 设R 是一个有限整环,任取*R a ∈,能证1-a 存在即可.
考虑R 到R 的映射ax x f :,此处x 是R 的任意元．由于R 中乘法消去律成立，故2121ax ax x x ≠?≠.设R 含有n 个元,那么}|{)(R x ax R f ∈=也含有n 个元,故R R f =)(,即f 是R 到R 的一个双射,从而存在R x ∈,使得1=ax ,即1-=a x ,故有限整环R 是一个域.
38. 证明：一个除环R 的中心是一个域.
提示：显然)(1,0R C ∈，从而?≠)(R C ；又)(,21R C c c ∈?，R x ∈?，有2211,xc x c xc x c ==，于是)()(21212121c c x xc xc x c x c x c c -=-=-=-，
)()()()()()(212121212121c c x c xc c x c xc c x c c x c c =====；*)(R C c ∈?，R x ∈?，即xc cx =，所以，x xcc cxc ==--11，x c xc 11--=，
所以21c c -，21c c ，1
-c )(R C ∈，显然)(R C 是交换子群，因此)(R C 是域。
39.假定R 是由所有复数b a bi a ,(+是整数)作成的环,
(1)环)1/(i R +有多少元? (2) 证明: )1/(i R +是一个域.
提示 R 是一个有单位元的可换环,那么理想)1(i +的元素形式为 i b a b a i bi a )()()1)((++-=++,注意到b a b a +-,同奇偶性；而且对任意的R yi x ∈+,
且y x ，的奇偶性相同,设y b a x b a =+=-,,即2
,2x y b y x a -=+=
,则)1(i yi x +∈+,因此)1(i +由一切yi x +组成,其中y x ，同奇偶性； 由此可见对任意的R yi x ∈+,只要y x ，同奇偶性,恒有)1()1(i i yi x +=+++；若R yi x ∈+,且y x ，奇偶性不相同,恒有)1(1)1(i i yi x ++=+++,即}1,0{)1/(=+i R ,从而)1/(i R +是仅含有两个元的域,即2)1/(Z i R ?+.
40.假定F 是一个四个元的域．证明：
(1)F 的特征值是2
提示 F 的特征p 是F 非零元的周期,并且p 是一个素数；F 作为加群的阶是4,且4|p ,因此2=p .
(2) F 的不为0或1的两个元都适合方程12
+=x x .
提示 乘群*F 的阶是3,因而是一个循环群)(a ,而*F 的元是2,,1a a ,这样,其},,1,0{2a a F =，加法运算表必为:
有21a a =+,222)(1a a a ==+因此F 的不等于0或1的两个元2,a a 都适合方程
12+=x x .
41.假定][x R 是整数环R 上的一元多项式,
(1)写出][x R 的理想),2(x 所含元素形式.
提示 因为][x R 是有单位元的可换环,所以),2(x 由所有形如:
),()(221x xp x p +])[)(),((21x R x p x p ∈
的元作成,即),2(x 刚好包含所有多项式:
)0,(,210≥∈+++n R a x a x a a i n n .
110011
100
10222222a a a a a a
a a a a a a +
(2)证明: ),2(x 不是主理想.
提示 假定),2(x 是主理想,即))((),2(x p x =那么)),((2x p ∈))((x p x ∈,因而 )()(),()(2x p x h x x p x q ==但由)()(2x p x q =,可得R a x p ∈=)(,即
1±=a , a x h x )(=
这样),2()(1x x p ∈=±是矛盾的.
(3)证明:若R 是有理数域,那么),2(x 是一个主理想.
提示 若R 是有理数域,那么][x R 包含有理数21,于是),2(122
1x ∈=,因而它的理想),2(x 含有单位元1,因此),2(x 等于主理想(1).
42.环R 上的一个一元多项式环][x R .当R 时整数环时, ][x R 的理想)(x 是不是最大理想？当R 是有理数域的时候,情形如何?
提示 考察][x R 的理想),2(x ,由于)(x 的元都可以写成)(x xf 的形式,其中][)(x R x f ∈,所以显然有),2()(),(2),,2()(x x x x x ???.
当R 是整数环时, ),2(x 不是一个主理想,因而][)1(),2(x R x =≠,因此)(x 不是一个最大理想.
当R 是有理数域时,设N 是的一个理想并且N x N x ≠?)(,)(,那么有)0,)(010≠∈+++=a N x a x a a x f n n ,由此得))(01a x a x a x f n n =++- ,因此N a a ∈=1100
,因而][)1(x R N ==,这就是说,在这一情形下)(x 是一个最大理想. 43. 假定R 是偶数环,
(1)证明:所有整数)(4R r r ∈是的一个理想N ．等式)4(=N 对不对？
提示 显然N 非空,令214,4r r 是N 的任意两个元,由于偶数减偶数还是偶数，
所以N r r r r ∈-=-)(4442121,令R r 是的任意元,由于偶数乘偶数还是偶数,所以N rr r r ∈=)(4)4(11,因此N 是R 的一个理想.由于}|4{)4(4是整数n n =∈,而N ?4,所以)4(≠N .
(2)证明:)4(是R 的最大理想,但)4/(R 不是一个域.
由于(4)刚好含有一切n 4,这里n 是整数 .设M 是R 的一个理想,并且
M ?)4(, M ≠)4(,那么有)4(2,2?∈m M m ,由此有242+=q m ,N q m ∈=-242,则R N ==)2(,这就是说(4)是R 的最大理想；
)4/(R 不是域，因为在R /(4)中[2]\[0],而]0[]4[]2][2[==,因此R /(4)有零因子,因而R /(4)不
是
一个域.
44. 证明：有理数域Q 是所有复数bi a +，其中b a ,是有理数，作成的域)(i R 的唯一的真子域。
提示: 设F 是域)(i R 的一个真子域，由于有理数域Q 是最小数域，则F Q ?；若F Q ≠，则存在0,≠∈+b F bi a 。于是F a bi a b i ∈-+=-))((1
，所以)(i R F =矛盾，从而有理数域Q 是)(i R 的唯一的真子域。
45.设有理数域F 上的全部22?矩阵环为22F .证明: 22F 只有零理想同单位理想,但不是一个除环.
提示 设N 是22F 的一个理想并且}0{≠N ,那么N 含有2阶矩阵0≠A . 若A 的秩是2,那么A 有逆1-A ,而N E A A ∈=???? ??=-10011
,此时22F N =； 若A 的秩是1,则存在可逆矩阵Q P 和,使得N PAQ ∈???
? ??=0001,又 N ∈???
? ??=???? ?????? ?????? ??1000011000010110
因此 E =???
? ??+???? ??10000001, 因而也有22F N =,这就是说22F 只有零理想同单位理想,但
???
? ??=???? ?????? ??000010000001,
所以22F 又零因子,因而22F 不是一个除环.
46．设R 是一个环，令},|{)(R x xc cx R c R C ∈=∈=。
证明：)(R C 是R 的交换。
显然)(0R C ∈，从而?≠)(R C ；又)(,21R C c c ∈?，R x ∈，有2211,xc x c xc x c ==，于是)()(21212121c c x xc xc x c x c x c c -=-=-=-，
)()()()()()(212121212121c c x c xc c x c xc c x c c x c c =====
所以21c c -，21c c )(R C ∈，因此)(R C 是一个交换子环。
设R 是交换环，R a ∈，令}0|{=∈=ax R x A a ，证明：R A a
显然a A 非空； a A y x ∈?,，即0==ay ax ，因此000)(=-=-=-ay ax y x a ，所以a A y x ∈-；令R r 是的任意元,00)()(===r ax r rx a , 所以a A rx ∈，由于R 是交换环，所以a A xr ∈，因此a A 是R 的一个理想。
47. 在特征是素数的域里，有等式p p p b a b a +=+)(，p p p b a b a -=-)(，F b a ∈?,。 由二项式定理，p p p p p p p p p p b ab C b a C b a C a b a +++++=+----1122211)( ，其中 !
)1()1(i i p p p C i
p +--= ，1,,2,1-=p i 都是p 的倍数，从而0=-i i p i p b a C ，因此p p p b a b a +=+)(，并且p p p p b b a b b a a +-=+-=)(])[(，于是p p p b a b a -=-)(。
48.假定有一个环R 的分类,而S 是由R 所有的类 ],[],[],[c b a 作成的集合,又假定
][][][y x y x +=+,][]][[xy y x =规定两个S 的代数运算.
证明:[0]是R 的一个理想,并且给定的类刚好是[0]模的R 剩余类.
提示 设R r v u ∈∈],0[,,那么
]0[][][==r u ;
]0[])[(][][]0[][][=+-=+-=+-=-v v v v v u ；
于是
]0[]0[]0[][][][=+=-+=-v u v u ；
]0[]0[]0][[]][[][====r r u r ru ；
]0[]0[]][0[]][[][====r r r u ur ,
因此
]0[],0[],0[∈∈∈-ur ru v u ,
故[0]是R 的一个理想.
设][][v u =,那么]0[][][][][][=-+=-+=-v v v u v u ,因而]0[∈-v u ；反之设]0[∈-v u ,那么]0[][∈-v u ,
][]0[])[(][][][]0[][u u v v u v v u v v =+=+-=+-=+=,
所以][][v u =当且仅当]0[∈-v u ,这就是说给定的类刚好是[0]模的R 剩余类.
近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．
近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.
9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续
习题五 165324 程灵芝1.谈谈你对中小学生发展时代特点的认识。 第一，生理成熟期提前，青春期教育任务繁重，性教育话题敏感而又急迫 我国中小学生的身体形态、神经系统和性发育较之过去有了巨大的变化： 1）我国中小学学生其生理特征有了明显的变化，身体和身高有了明显的增加，性发育成熟，第二性征的出现明显提前； 2）高中生的身高、体重接近成人标准，脑机能、性机能发育成熟，性意识强烈。第二，思维活跃，但学习兴趣低下，学习动力不足 中国传统文化对儿童主动交流、发展的关注度不高，并且传统教育多以预设的外在目的，成人世界的要求来代替儿童的主动发展，这就造成了儿童主动发展意识薄弱、主动发展能力不强。 1）具体内容：①学生缺乏明确的学习目标；②对所学的大多数学科失去学习兴趣而不愿意学习；③学习动力不足，没有活力，学习始终处于消极被动状态，缺乏自制力和顽强毅力；④心智活动能力差，在学习中处于消极被动状态，畏难情绪陡增，注意力分散，学习缺乏系统性和长久性。 2）学习动力不足 3）学习动力不足成因分析：在消费社会、读图时代、重视享受的时代如何提高学生学习兴趣是一个严峻的问题； ①义务教育的普及，高等教育的大众化，信息社会的所面临的“知识爆炸”为学生提供了丰富的刺激因素和时空条件。 ②信息技术的革命，计算机网络的普及使得知识、信息呈现“喷涌”状态，学生成为多种文化资源的占有者和享用者。学生选择学习内容和知识的过程中多呈现实用主义的色彩。 ③学生对学校中的课程态度多为不欢迎 3）价值观念多元化。传统社会中，社会的道德信念和标准相对单一，人们能通过基本相同的标准做出自己的价值选择，在相同的价值选择的背后，人们的道德推理基本相同。但是在多元社会中，相同的价值选择的背后却存在着不同的逻辑
《抽象代数基础》习 题 答 解 于延栋编 盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月
第一章 群 论 §1 代数运算 1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“?的乘法表如下: 证明: ”“?适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“?适合结合律,只需证明 )()(z y x z y x ??=??. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.z y x ,,中至少有一个等于e . 当e x =时,)()(z y x z y z y x ??=?=??; 当e y =时,)()(z y x z x z y x ??=?=??; 当e z =时,)()(z y x y x z y x ??=?=??. II .z y x ,,都不等于e . (I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ??=?===?=??. (II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ??=?==?=??. (III)z y x ,,中有且仅有两个相等. 当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =?=??)(,z u x z y x =?=??)(,从而,)()(z y x z y x ??=??.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ??=??. 2.设”“?是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义∏=n i i a 1为: 111a a i i =∏=,111 1+=+=????? ??=∏∏r r i i r i i a a a . 证明: ∏∏∏+==+==???? ??????? ??m n k k m j j n n i i a a a 1 11.
《近世代数初步》 习题答案与解答
引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)
群论与魔方：群论基础知识 要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。 群的基本定义 设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「?」。如果G 的元素和「?」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, ?)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, ?)」径直称为「群G」)： 1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a ? b ∈ G。 2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a ? b) ? c = a ? (b ? c)。 3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e ? a = a ? e = a。 4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a?1 (称为a的「逆元」)，使得a ? a?1 = a?1? a = e。 请注意由于「?」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a ? b ? c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a ? a ? a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a?n= (a?1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a?1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a ? b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a ? b)的逆元，而且这个逆元满足 (a ? b)?1 = b?1? a?1(1)
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
近世代数学习方法 “近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。为此，下面介绍五种常用的学习方法。 一、通过例子来加深对基本理论的理解 针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。 当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。 二、通过变换角度来寻求问题的解法 通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。下面举例说明这种方法： 例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。 对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知
陕西师范大学远程教育学院（网络教育）课程考试 《信息技术教育应用》试题 一、填空题（共10题，每题1分，共10分） 1、信息技术泛指各种能够扩展人类_______器官功能的技术； 2、在信息技术的构成体系中，信息技术的主体技术主要包括感测技术、_______技术、控制技术 和计算机技术； 3、无线电技术出现于_______世纪末期； 4、信息技术的教育应用将使现代教育朝着教材多媒体化、资源全球化、教学_______以及管理自 动化的方向发展； 5、著名数学家__________提出了存储程序计算机理论，为计算机的体系结构奠定了基础； 6、一个基本的通信系统主要由信源、信道和_______三部分构成； 7、网卡又称_______或网络接口卡，是将不同计算机进行互联的基本设备； 8、所有虚拟现实系统都有五个关键成分，即______、虚拟现实软件、计算机、输入设备和输出设备； 9、协同式专家系统又称_________，该系统可以若干领域的多个专家系统共同解决当前的问题； 10、在计算机支持的协作学习中，师生之间可进行一对一、一对多、_______和多对多等不同形 式的交互。 二、判断题（共10小题，每题1分，共10分） 1、信息只能转换和传递，但不可以再生。 2、计算机主要被用于教学领域，因此，计算机辅助教学与计算机辅助教育是同义语。 3、按照传输技术的不同，可以将通信分为模拟通信和数字通信两大类。 4、第三代移动通信系统即3G通信系统信息传输速率可以达到3000Mbps。 5、目前的数字图书馆只能提供文本和图形、图片信息，不能提供多媒体内容。 6、虚拟现实技术一般多用于电子游戏的设计与制作，在其他领域还没有得到有效利用。 7、对机器学习的研究可以增进人类对学习的过程和机制的认识与理解。 8、ICAI教学课件指具有一定智能性，可以为学习者提供个性化学习支持与帮助的教学课件。 9、数字电影和数字视频的制作流程和所采用的技术标准基本相同。 10、基于计算机支持的协同工作可以实现多人参与的实时异地协作。 三、选择题（共10小题，每题1分，共10分） 1、人类历史上第一份电报出现于19世纪的： A．30年代 B. 40年代 C. 50年代 D. 60年代
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
2019年陕师大教育学考研经验 ——一切都在继续，为何不去努力 文｜高JF/凯程网课学员 陕西师范大学教育学硕士课程与教学论专业 一、写在前面 本人本科就读于上海某市属211大学，专业是微电子科学与工程。因为个人意愿的原因，我想在以后从事中学物理教学工作，所以我便决定通过跨专业考研来实现目标。 通过多方面的考虑，最后决定在2019年硕士研究生考试中一志愿报考陕西师范大学物理学与信息技术学院的物理课程与教学论专业。最终初试成绩352分，排名专业第二，其中311教育学综合208分，复试成绩第一，总成绩第一，成功考取陕师大的教育学学硕。 在这一年的研究生考试准备过程，作为一个工科跨考教育学的考生，有许多心得想与他人分享。后来偶然在微博上看到徐影老师在征集考研经验的文章，想着这是一个不错的与学弟学妹分享经验心得的机会，也因为在我教育学的学习上凯程和徐影老师给予了我特别多的帮助，我最后才能考取研究生，所以我便决定写下这篇经验文章与大家分享我这一年多以来的心路历程和考研心得。 二、关于择校 首先，我想说说我之所以想要选择报考陕师大的原因。最先值得一提的是，在地域的选择上，
我并没有特别的要求。而是最开始的选择中，便把目标定在了六所教育部直属师范大学。其中又因为北师大和华东师大是985大学，我没有信心能够考取，所以一开始便排除了。剩下四所211大学中，东北师大、华中师大、西南大学在复试中对于我这样跨考生的考察方式更加严格，比如像是加试两门专业课或者是课程试讲。 所以综合考虑后，决定还是报考陕西师范大学的物理课程与教学论。总的来说，我是综合了自身跨考的情况和报考成功率最终选择的陕师大。我想说的是，工科生并非不能跨考教育学，但只要是考比较好的师范大学无论是在初试和复试中都会面临更多困难，想要跨考教育学就要下定决心好好努力。 三、关于专业课 我开始有想参加研究生考试的想法是在2017年的11月，这时候做的更多的是收集信息，了解教育学考研。但是一开始我并不顺利，我在一月底参加了一个学长学姐自己办的考研学习班，经过几个月的学习，发现这样的学习方法并不适合自己，因为学长学姐们并不能给你讲解各个教材，他们只能监督你的学习。 但是对于我这样的跨考生来说，教育学的学习如果纯粹靠自己的话，效率太低，我本人又是读不进书的那种，再加上前期我是决定报考专硕的学科教学的，但是后面经过了解，又决定转向学硕的课程与教学论。 这样几经折腾，最后我是等到六月底才购买了凯程的教育学宝典和配套题库。在暑假的两个月，每天都是自己看宝典，看完一章就写一章的练习题，就这样学习我学到了九月底。在九月底的时候，我觉得这样还远远不够的，由于用了几个月凯程的教材，对凯程的实力还是非常相信的，便决定报了凯程2019年311精华网课套餐。 一接触凯程的强化班的课程我便后悔了，后悔没有一开始就跟着凯程学习教育学，浪费了那么多的时间，学习效率也不高。凯程强化班的课程对于我这样的跨考生非常容易跟上，徐影老师和高歌老师的讲授非常清晰又有条理和框架，为了最大化利用强化班的课程，我决定仔仔细细地记笔记，为此买了四本A4大的笔记本，跟着课程自己做笔记，最后做了满满的四本笔记。 在这一阶段，虽然因为是第一次考研没有经验和因为是跨考身边没用一起学习的同学显得有点孤独，但是每天繁重的学习任务还是让我过的很充实，也没有那么多时间去想那些事情，
陕西师范大学硕士研究生招生考试 “750-量子力学”考试大纲 本《量子力学》考试大纲适用于陕西师范大学物理学与信息技术学院等学科各专业硕士研究生招生考试。量子力学是大学物理学本科学生的最基本的专业理论课程之一。它的主要内容包括原子结构和物质波、波函数和薛定谔方程、量子力学中的力学量、态和力学量的表象、微扰理论、散射以及自旋和全同粒子。要求考生熟悉物理背景、掌握基本物理概念、有较强的推导能力和综合分析解决问题能力。 一、考试的基本要求 要求考生比较系统地理解量子力学的基本概念和基本理论，掌握量子力学的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。 二、考试方法和考试时间 量子力学考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 三、考试内容 （一）原子结构和物质波 1．原子结构的波尔理论； 2．物质波波粒二象性。 （二）波函数和薛定谔方程 1．波函数的统计解释； 2．态叠加原理； 3．薛定谔方程； 4．粒子流密度和守恒定律； 5．一维无限深势井和线型谐振子的求解。 （三）量子力学中力学量 1．力学量算符的表示； 2．动量和角动量算符； 3．厄密算符； 4．算符与力学量的关系； 5．算符对易关系和不确定关系； 6．电子在库伦场中的运动； 7．力学量平均值随时间的变化以及守恒定律； 8．氢原子结构。 （四）态和力学量的表象 1．态的表象；
2．算符以及量子力学的矩阵表示； 3．幺正变换； 4．狄拉克符号表示； 5．占有数表象。 （五）微扰理论 1．非简并和简并定态微扰理论； 2．斯塔克效应； 3．变分法； 4．含时微扰论； 5．选择定则和跃迁几率； 6．光的发射和吸收。 （六）散射 1．碰撞过程和截面； 2．分波法； 3．玻恩近似。 （七）自旋和全同粒子 1．电子自旋及其算符和波函数； 2．塞曼效应； 3．两个角动量的耦合； 4．光谱的精细结构； 5．全同粒子的特性、波函数以及泡利不相容原理； 6．两个电子的自旋波函数。 四、掌握重点 （一）量子力学的基本假设及其应用 （二）波函数和薛定谔方程的应用 （三）常见力学算符的应用 （四）表象的变化及其狄拉克符号表示 （五）微扰理论的应用 （六）电子自旋的应用 五、主要参考书目 [1]周世勋，《量子力学教程》，高等教育出版社，2009第二版 [2]郑海荣，《量子力学》，科学出版社，2017 [3]曾谨言，《量子力学》（卷I），科学出版社，2013第五版 编制单位：陕西师范大学 编制日期：2018年9月19日
中国地质大学（武汉） 近世代数学习报告 课程名称：近世代数 学号： 20141002513 姓名：王庆涛 学院：数理学院 专业：数学与应用数学
对近世代数的重要性的认识 抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。 被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究 了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他使代数学由作为解方程的科学转变 为研究代数运算结构的科学。他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是 近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。 本学期学习总结 第一章基本概念 1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为或2A。（含n个元素的 集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个） 2、积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）|aA，bB}叫A与B的积。（A×B≠B×A） 3、A到B的对应法则为A到B的映射①②③，x的象在B中。 4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有个，一一映射共有n！个。 5、代数运算：一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算。（o为A×B到D 的代数运算（a，b）A×B，ab有意义，且ab唯一，属于D）。 6、满射：y，设y=（x），求出x（x为y的函数），若x存在且xA，则为满射。（中的每一个元素都有原象）；单射：a，bA，若a≠b，则a）≠b）。（元素不同象不同）；一一映射：即单又满。（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B有限且元素个数相同） 7、一个A到A的映射叫做A的一个变换；有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。 8、一个A 到的映射，叫做一个对于代数运算o和来说的，A 到的同态映射，假如满足：a,bA，a，b→则aob→（运算的象=象的运算）；A与同态A 与存在同态满射。 9、一个A 到的一一映射，叫做一个对于代数运算o和来说的，A 到的同构映射。（同构映射的逆映射也是同构映射）。 10、若R为法则，若R满足a，bA，要么aRb，要么ab，唯一确定，则称R为A的元间 的一个关系；集合A 的元间的一个关系叫做一个等价关系，假如满足①反射律（aA，
第一章 第二章 第一章 1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □ 2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □ 3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈. (2) 若ab ac =则b c =. (3) 若ac bc =则a b =. 求证: G 关于这个乘法是一个群. 证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ??. 由于||G <∞必然存在最 小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1, 即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有: ()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==, 再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足 i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e
为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在 最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =: i ba ba =, 即be b =. 最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e = 从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身. 如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆: 1k x -. □ 注: 也可以用下面的第4题来证明. 4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法 还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群. 证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G 的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =. 于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证. 对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □ 5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/. 解: 取(12)x =, (13)y =. □ 6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群. 解: 二面体群n D . □ 7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证 明: i i i r a ba b -=, i 是非负整数.
近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3
2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。
简答与计算１．母性影响和细胞质遗传有什么不同？ ２．残翅果蝇幼虫若用一定温度处理使其发育为长翅果蝇，这属于什么遗传现象？若将这种果蝇分别与纯合的长翅或残翅果蝇杂交，结果会怎样？ ３．一对夫妇的色觉都正常，生下两个色盲的儿子，细胞学研究表明：在一个儿子的细胞中发现有巴氏小体。试指出这个儿子有关染色体及色盲症状的基因型，怎样解释这个基因型的形成？ ４．简述真核生物与原核生物基因重组的区别。 ５．一种翅和腿缩短的鸡称为爬行鸡，爬行鸡与正常鸡交配，得到一半爬行鸡和一半正常鸡，反复试验，总是如此，这是为什么？如果爬行鸡互相交配，会得到什么结果？ ６．对于一个臂内倒位杂合体，在倒位区段内的一次单交换会产生什么效应？ ７．请分析以下遗传现象，写出每种情况下的亲本基因型、子代基因型及相应表型，并分析可能的原因。 1）夫妇都有正常色觉，他们有一个Turner综合症并患红绿色盲的孩子； 2）另一家庭母亲是红绿色盲，父亲色觉正常，他们的孩子患Klinefelter综合症，但色觉正常； 3）假设2）中的夫妻生了一个Klinefelter综合症并患红绿色盲的孩子。 ８．基因是遗传学中最基本的概念，然而基因的概念不是一成不变的，请概括叙述对基因认识的演变过程，以及目前对基因本质的看法。 ９．用P1进行普遍性转导，供体菌是pur+nad +pdx-，受体菌是pur-nad -pdx+。转导后选择具有pur+的转导子，然后在100个pur+转导子中检定其他供体菌的基因型，结果见下表。试求： 1）pur和nad的共转导频率是多少？ 2）pur和pdx的共转导频率？ 3）哪个非选择性座位最靠近pur？ 4）nad和pdx在pur的同一边，还是两侧？ 5）根据你得出的基因顺序，试解释实验中得到的基因型的相对比例。 基因型菌落数 nad + pdx+ 1 nad + pdx-24 nad - pdx+50 nad - pdx-25 合计100 １０．一个没有血友病的男子与表型正常的女子结婚后，有了一个患血友病和Klinefelter综合症的儿子。试解释此现象并说明他们三人的染色体组成和基因型。 １１．在番茄中基因o、p、s均在第二染色体上，对这三个基因是杂合的F1，用对这三个基因是纯合的隐性个体进行测交，得到下列结果： 测交的子代表型数目 + + s 348 o p + 306 + + + 73 o p s 63 + p s 96 o + + 110 o + s 2
近世代数中英对照学习 一、字母表 atom：原子 automorphism：自同构 binary operation：二元运算 Boolean algebra：布尔代数 bounded lattice：有界格 center of a group：群的中心 closure：封闭 commutative(Abelian) group：可交换群，阿贝尔群commutative(Abelian) semigroup：可交换半群comparable：可比的 complement：补 concatenation：拼接 congruence relation：同余关系 cycle：周期 cyclic group：循环群 cyclic semigroup：循环半群 determinant：行列式 disjoint：不相交 distributive lattice：分配格 entry：元素 epimorphism：满同态
factor group：商群 free semigroup：自由半群 greatest element：最大元 greatest lower bound：最大下界，下确界group：群 homomorphism：同态 idempotent element：等幂元identity：单位元，么元 identity：单位元，么元 inverse：逆元 isomorphism：同构 join：并 kernel：同态核 lattice：格 least element：最小元 least upper bound：最小上界，上确界left coset：左陪集 lower bound：下界 lower semilattice：下半格 main diagonal：主对角线 maximal element：极大元 meet：交
近世代数习题解答 第三章环与域 1加群、环的定义 1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的. 证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+?∈, '0是S 的零元,即a a =+'0 对G 的零元,000' =∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+?∈, S a S a ∈-?∈ 今证S 是子群 由S S b a S b a ,,∈+?∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-?∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件: 若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-?∈-?∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-?∈=-?∈00 故S b a b a S b a ∈+=--?∈)(, 2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定: + 0 a b c ? 0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c 证明,R 作成一个环 证R 对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(= 事实上. 当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .
这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律. 两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)( 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了. 至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看 0=y 或a y =(可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx 剩下的情形就只有 0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环. 2交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 n n n n n b b a a b a +++=+- 11)()( 在交换环中成立. 证用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的: k i i k k i k k k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++ ))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k k ++++++=-- 1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a 1111 11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11 k r k r k r -++=) 即二项式定理在交换环中成立. 2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环. 证设a 是生成元 则R 的元可以写成 na (n 整数) 2)]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2))((mna na ma =
抽象代数的人间烟火 李尚志 北京航空航天大学数学与系统科学学院北京, 100191 摘要 抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。 抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。 关键词：抽象代数，精彩案例 某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。我问她哪门课程学得最好。答曰“抽象代数”。不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。让她举一个非交换群。举不出来。举一个有限域，举不出来。我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。 如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。 现有的抽象代数教材，不是没有例子。这些例子本来就很精彩。三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。要讲清楚，课时也不够。只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵