当前位置：文档之家› 三角函数_三角恒等变换知识点总结[1]

三角函数_三角恒等变换知识点总结[1]

高中数学苏教版必修4 三角函数三角恒等变换知识点总结

一、角的概念和弧度制：

（1）在直角坐标系内讨论角：

角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0

Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或

与α角终边在同一条直线上的角的集合：；与α角终边关于x 轴对称的角的集合：；与α角终边关于y 轴对称的角的集合：；与α角终边关于x y =轴对称的角的集合：；

②一些特殊角集合的表示：

终边在坐标轴上角的集合：；

终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：

①象限角：第一象限角：；第三象限角：；

第一、三象限角：；

②写出图中所表示的区间角：

（4）正确理解角：

要正确理解“o

90~0间的角”= ；

“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o

90的角”= ；（5）由α的终边所在的象限，通过来判断2

所在的象限。来判断

所在的象限（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一

x y O x y O

已知角α的弧度数的绝对值r

l =

||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式：；半径公式：；

扇形面积公式：；

二、任意角的三角函数：

（1）任意角的三角函数定义：

以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个

异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；

=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；

如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；

比较)2

0(π

∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：。

（3）特殊角的三角函数值：

0 6

π 4

π 3

π 2

π π

3π sin α cos α

αtan

αcot

三、同角三角函数的关系与诱导公式：

（1）同角三角函数的关系

x y

a x y O

a x

y O

a y

平方关系

sin 2α+ cos 2α=1， 1+tan 2α=

1， 1+cot 2

α=1

作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。（2）诱导公式：

ααπ?+k 2：，，； ααπ?+：，，； αα?-：，，； ααπ?-：，，； ααπ?-2：，，；

ααπ

?-2

：，，； ααπ

?+2：，，；

ααπ

?-23：，，； ααπ

?+2

3：，，；诱导公式可用概括为：

2K π±α,-α,

π±α,π±α,

23π±α的三角函数奇变偶不变，符号看象限 α的三角函数

作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o ,360o )或[0o ,180o )内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.

（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以

讨论。

②求任意角的三角函数值。步骤：

倒数关系 tan α·cot α=1

商数关系

cos sin =tan α

③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．步骤： ①确定角α所在的象限；

②如函数值为正，先求出对应的锐角1α；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角1α；

③根据角α所在的象限，得出π2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是1απ-；如果在第三或第四象限，则它是1απ+或12απ-；

④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。

如m =αtan ，则=αs i n ，=αcos ；=-)2

3sin(

απ

；=-)2

15cot(απ_________。

注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；

四、三角函数图像和性质

1．周期函数定义

定义对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．

请你判断下列函数的周期

x y sin = x y cos = |cos |x y = ||cos x y = |s i n |x y = y=tan x y=tan |x| y=|tan x| ||sin x y =

例求函数f(x)=3sin )3

5(π

+x k ()0≠k 的周期。并求最小的正整数k,使他的周期不大于1

任意负角的三角函数

任意正角的三角函数

0o ~360o 角的三角函数

求值

公式三、一

公式一 0o ~90o 角的三角函数

公式二、四、五、六、七、八、九

注意理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数

f (x )＝c （c 为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．结论：如函数)()(k x f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数f(x)的周期T=2k;

如函数)()(x k f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数f(x)的对称轴是

k x k k x x =-++=

)

()(

2．图像

3、图像的平移

对函数y ＝A sin(ωx ＋?)＋k (A ．＞．0, ．．ω＞．．0, ．．?．≠．0,．． k ．≠．0)．．,其图象的基本变换有： (1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的．A ＞1,伸长；A ＜1,缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．?＞0,左移；?＜0，右移． (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k 的变化引起的．k ＞0, 上移；k ＜0,下移

四、三角函数公式：

两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·

cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·

cos β sin α·sin β β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(?±=

倍角公式

sin2α=2sin α·cos α cos2α=cos 2α-sin 2α

=2cos 2α-1=1-2sin 2α

αα2tan 1tan 22tan -=

积化和差公式

sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=2

[sin(α+β)-sin(α-β)] 半角公式

2cos 12sin αα-±=，2

cos 12cos α

α+±=

ααcos 1tan -±==α

αsin cos 1=-

三倍角公式：θθθ3sin 4sin 33sin -=；θθθcos 3cos 43cos 3-=；

五、三角恒等变换：

三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵

活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角

之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4

α的二倍；α3是23α的二

倍；

3α是6

α的二倍；απ22±是απ

±4的二倍。

②2304560304515o o

=-=-=；问：=12sin π ；=12

cos π

；

③ββαα-+=)(；④

(

απ

--=

+；

⑤)4

(

)()(2απ

απ

βαβαα--+=-++=；等等

和差化积公式

sin α+sin β=

2cos

2sin

2β

αβ

α-+ sin α-sin β=2sin

2cos 2β

αβα-+ cos α+cos β=2cos

2cos 2β

αβα-+ cos α-cos β= -2sin

2sin 2β

αβα-+ tan α+ cot α=α

αα2sin 2cos sin 1=? tan α- cot α= -2cot2α

1+cos α=2

cos 22

1-cos α=2

sin

22α

α2

cos 2sin αα±升幂公式 1+cos α=2

cos 22

1-cos α=2

sin 22

1±sin α=(2

cos

sin α

±)

1=sin

α+ cos 2

sin α=2

cos

2sin 2α

降幂公式

sin 2α

22cos 1α

cos 2α2

2cos 1α+=

sin 2α+ cos 2α=1 sin α·cos α=

α2sin 2

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是

基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常

数“1”的代换变形有： o

45tan 90sin cot tan tan sec cos sin 12

===-=+=αααααα

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的

方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要

升幂，如对无理式

αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式

有：；；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：

_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-αα

；

____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα； ____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；

=αtan 2 ；=-α2tan 1 ； =++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；

=+ααcos sin = ； =+ααcos sin b a = ；

（其中=?t a n ；

） =+αcos 1 ；=-αc o s 1 ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有

理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：=+)10tan 31(50sin o

；=-ααcot tan ； =94c o s 92c o s

9c o s π

ππ

；

=++7

5cos 73cos 7cos πππ ；推广：

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值．例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是．对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为．对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．2 3

三角函数知识点汇总

三角函数知识点考点1、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式：弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=；考点2、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记22r OP x y ==+ 则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α= 2. 三角函数值在各个象限内的符号：(一全二正弦，三切四余弦) 考点3、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系： 1cos sin 2 2 =+αα 2. 商数关系： α α αcos sin tan =

考点4、诱导公式“奇变偶不变，符号看象限” sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin ,cos()cos ,tan()tan . πααπααπαα-=-=--=- sin()cos , 2 cos()sin .2π ααπαα-=-= sin()cos ,2cos()sin .2πααπαα+=+=-3sin()cos ,23cos()sin .2πααπαα-=--=- 3sin()cos , 2 3cos()sin . 2 πααπαα+=-+= 考点5、三角函数的图象和性质名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,}2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性单调增区间: [2,2]22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 单调减区间: 3[2,2]2 2 k k π π ππ+ + k Z ∈) 单调增区间: [2,2]k k πππ-(k Z ∈) 单调减区间: [2,2]k k πππ+(k Z ∈) 单调增区间： (,)22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 周期性 2T π= 2T π= T π= 对称性对称中心: (,0)k π,k Z ∈ 对称轴: 2 x k π π=+ ，k Z ∈ 对称中心:(,0)2 k π π+ ,k Z ∈ 对称轴: x k π=, k Z ∈ 对称中心:( ,0)2 k π ,k Z ∈ 对称轴：无最值 2,2x k k z π π=+ ∈时，max 1y =； 32,2 x k k z π π=+∈时，min 1y =- 2,x k k z π=∈时，max 1y =； 2,x k k z ππ=+∈，min 1y =- 无考点6、“五点法”作图

高中文科数学三角函数知识点总结

三角函数知识点一．考纲要求考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、三角恒等变换、解三角形三角函数任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x +

(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o|cosx| |cosx|>|sinx| |cosx|>|sinx| |sinx|>|cosx| sinx>cosx cosx>sinx 16. 几个重要结论:O O x y x y T M A O P x y

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。（答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

锐角三角函数经典总结

锐角三角函数与特殊角专题训练【基础知识精讲】一、正弦与余弦： 1、在ABC ?中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos . 斜边的邻边斜边的对边 A A A A ∠= ? ∠= cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ，则c a A = sin ，c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<