代数---观察与归纳 姓名： 日期：
第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（一）
【备注】
一、考察的思维品质
考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。
二、考察的思维能力
1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。
2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。
、44、（ ）、（ ）
（2）2, 6, 4, 12, 10, 30, 28，（ ），（ ）
【参考答案】
（1）30、36、31、40、32、44、（ 33 ）、（ 48 ）
（2）2, 6, 4, 12, 10, 30, 28，（84 ），（ 82 ）
乘3减2
2．根据规律填数。
43×101=4343 29×101=2929
51×101=（ ） 86×（ ）=8686
（ ）×101=7272 （ ）×（ ）=9494
【参考答案】51×101=（ 5151 ） 86×（ 101 ）=8686
（72 ）×101=7272 （ 94 ）×（ 101 ）=9494
3．根据规律填数。
67×67=4489
667×667=444889
6667×6667=（ ）
66......67× 66......67=44......488 (89)
【参考答案】101个4，100个8
4．观察下面的几个算式,找出规律：
1＋2＋1=4,
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25,
……
利用上面的规律,请你迅速算出：
1＋2＋3＋……＋99＋100＋99＋……＋3＋2＋1=________.
【参考答案】1002=10000
5. 一串分数按规律排列：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51……，那么，第100个分数是多少？ 20
11是排列中的第 个分数。 【参考答案】通过分子、分母规律，发现分子与分母之和的规律为：和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个……；1＋2＋3＋4＋…＋13=91，100－91=9，第100个分数
为第14组的第9个，分母为9，分子为14－9＋1=6，所以第100个分数为9
6。 分子与分母的和为11＋20=31的有30个，排列规律为： 4
27328229130…，2011…。2011是第20个分数，20
11排列在：（1＋2＋3＋…＋29）＋20=455（个）
6. 如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走5m ，
然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加10°。第一次直走5m
后转动10°，第二次直走5m 后转动20°，第三次直走5m 后转动30°，
如此下去。那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了 米。
【参考答案】一共移动了450度，一共移动了10+20+30+…+90=450度，一
共移动了5×9=45（米）。
7．如图，将黑白两种小球自上而下地层层地排，每层又是从左到右逐颗地排下去。当白球第一次比黑球多2013个时，那么，恰好排到第几层的第几个？
【参考答案】奇数层是黑球，偶数层是白球，每层小球的
个数＝2×层数－1，每两层中白球比黑球多2个，2013÷
2＝1006……1，当排到1006×2＝2012（层）时，白球比黑球多2012个。要满足条件，必须还要再排一层黑球和一层白球，并且白球比黑球多1，所以恰好排到2012＋2＝2014（层），每层白球比上层黑球多2个，则白球应少排1个，所以白球是2×2014－1－1＝4026（个）。
8.将奇数1、3、5、7、9、……按下表排列成五列。
1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23
31 29 27 25
33 35 37 39
1，2
3，4，5，6
7，8，9，10，11，12
13，14，15，16，17，18，19，20
……
【参考答案】首先要算出2011这个数是这个数列中的第几个数。（2011＋1）÷2＝1006，由上表可看出，每行有4个数，而1006÷4＝251……2。就是说第1006个数是第252行中从右往左数第二个。偶数行的数是从小到大依次排列在第4、3、2、1列的，因此2011这个数排在第252行第3列。
9. 把正整数按以下方法排列，相信你能发现这些数字的排列方法。
1 2 5 10 17 ……
4 3 6 11 18 ……
9 8 7 12 19 ……
16 15 14 13 20 ……
25 24 23 22 21 ……
………………
如图，比如第5列第2行的数是18，可以记作为（5，2）；则（11，7）所表示的数字是多少？2013可以记作（ ， ）？
【参考答案】第一行第11个数是1＋1＋3＋…＋19＝101，那么第11列第7个数是101＋7－1＝107，即（11，7）表示的数是107.又1＋（1＋2n －1）×n ÷2＝1＋n 2，又1＋452＝2025＞2013，1＋442＝1936＜2013，2013－1936＝76，（45＋45－1）－76＝13，所以2013在第13列第45行，可以记作（13，45）。
10. 现有如下数字塔：
（1）第10行有多少个数？
（2）第100行最后一个数是多少？
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
… … … … … … … …
【参考答案】（1）2n-1=2×10-1=19（个）
（2）1002=10000
11. 一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59
，1216，2125，32
36，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________．
【参考答案】)
4()2(4)2()22
22++=-++n n n n n （
12. 有一串数，第100行的第六个数是 。
【参考答案】第1行最后一个数是1×2=2；第2行最后一个数是2×3=6；第3行最后一个数是3×4=12；…第99行最后一个数是99×100=9900，第100行第一个数为9901，第二个数
13.将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形，2处拐一个弯，在3
处拐第二个弯，在5处拐第三个弯…，问拐第20个弯的地方是哪个
数？
【参考答案】第一个拐弯为2；第三个拐弯为3；第三个拐弯为5；
第四个拐弯为7；第五个拐弯为10；第六个拐弯为13；第七个拐弯
为17；第八个拐弯为21；...第20个拐弯为：1+（1+2+3+4+ (10)
×2=111。
14. 70个数排成一列，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一列数最左边的几个是这样的：0、1、3、8、21……，问最右边的一个数被6除余几？
【参考答案】余数的规律：0、1、3、2、3、1、0、5、3、4、3、5、0、1、3、…除第一个数和最后一个数外，每个余数的3倍除以6的余数等于它两边两个数之和除以6的余数。70÷12=5（个周期）…10，第10个余数是4。
15.将五位数“12345”重复写403次组成一个2015位数：“123451234512345……”，从左往右删去这个数中所有位于奇数位上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位的数字；按上述规则一直删下去，直到剩下一位数为止，则最后剩下的数字是多少？
【参考答案】第一次操作剩下的数是21的倍数；第二次操作剩下的数是22的倍数；第三次操作剩下的数是23的倍数；……第十次操作剩下的数是210＝1024的倍数；第十一次操作剩下的
数是211＝2048的倍数。显然，最后剩下的一位数应是第1024位上的数字。1024÷5＝204……4，最后剩下的是第205个周期上的第4个数字：4.
16.在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之
间写上两个数之和的21，得到25和57两个数，看作第二次操作；……第n 次操作就在上一次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的n
1。经过n 次操作后所有数之和记作n S ，那么10S 等于多少？
【参考答案】观察发现，第一次比开始增加4，第二次比第一次增加6，第三次比第二次增加8……,第十次比第九次增加22，10S ＝4＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＋22＝138.
17.某小区按照分期付款的方式福利售房，政府给予一定的贴息。小明家购得一套现价为12万的房子，购房时首期（第一年）付款3万元，从第二年起，以后每年应付房款5000元与上
×0.4%＝5320（元），…第十年5000＋50000×0.4%＝5200（元）。