函数
一、函数的定义域及求法
1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；
2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；
3、正切函数：x ≠ kπ + π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ kπ ,k ∈Z ；
4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；
5、定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；
6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．
[例题]：
1、求下列函数的定义域
3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]
当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→ 原函数的定义域为R；
当m≠0时，则 mx2-4mx+m+3＞0，
①m＜0时，显然原函数定义域不为R；
②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，
所以当m∈[0,1) 时，原函数定义域为R．
4、求函数y=log
x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域．
2
[解析]：［求原函数的值域］
由题意可知，即求原函数的值域，
∵x≥4,∴log
x≥2∴y≥3
2
x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)．所以函数y=log
2
x)的定义域．
5、函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log
2
[解析]：由题意可知2-1≤2x≤21→ f(x)定义域为[1/2，2]
x≤2→ √￣2≤x≤4．
→ 1/2≤log
2
所以f(log
x)的定义域是[√￣2,4]．
2
二、函数的值域及求法
1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；
2、二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，
y≤-△/4a ；
3、反比例函数的值域：y≠0 ；
4、指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；
5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；
6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用
求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．
[例题]：：求下列函数的值域
[解析]：
1、[利用求反函数的定义域求值域]
先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x≠2，
由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2} 2、[利用反比例函数的值域不等于0]
由题意可得，
因此，原函数的值域为[1/2,+∞)
4、[利用分离变量法和换元法]
设法2x＝t，其中t＞0，则原函数可化为y=(t+1)/(t-1) → t=(y+1)/(y-1) ＞０
∴y>1或y<-1
5、[利用零点讨论法]
由题意可知函数有3个零点-3，1，2，
①当x<-3 时，
y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x ∴y>9
②当-3≤x<1 时，
y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 ∴5 ③当1≤x<2 时， y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 ∴5≤y<6 ④当x ≥2时， y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x ∴y≥6 综合前面四种情况可得，原函数的值域是[5,+∞) 6、[利用函数的有界性] 三、函数的单调性及应用 1、 A为函数f(x)定义域内某一区间， 2、单调性的判定：作差f(x 1)-f(x 2 )判定；根据函数图象判定； 3、复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x)) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x)) 为减函数． [例题]： 2、设a＞0且a≠1，试求函数y=log (4+3x-x2)的单调递增区间． a [解析]：[利用复合函数的单调性的判定] 由题意可得原函数的定义域是（－１，４）， 设u=4+3x-x2，其对称轴是 x=3/2 ， 所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2 ]上单调递增；在区间[3/2 ，4）上单调递减． ①a＞１时，y=log u 在其定义域内为增函数，由x↑→u↑→y↑ ， a (4+3x-x2) 得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2 ]，即为函数y=log a 的单调递增区间． u 在其定义域内为减函数，由 ②０＜a＜１时，y=log a x↑→u↓→y↑ ，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2 ，4），即为函(4+3x-x2)的单调递增区间． 数y=log a (2-ax) 在[0，1]上是x 的减函数，求a的取值范围。 3、已知y=log a [解析]：[利用复合函数的单调性的判定] 由题意可知，a＞０．设u＝g(x)=2－ax，则g(x)在［０，１］上是减函数，且x=１时， g(x)有最小值u =2-a ． min 又因为u＝g(x)＝2－ax＞０，所以，只要 u =2-a＞０则可，得a min ＜２． 又y=log (2-ax) 在[0，1]上是x 减函数，u＝g(x)在［０，１］上 a 是减函数， u是增函数，故a＞１． 即x↑→u↓→y↓ ，所以y=log a 综上所述，得１＜a＜2． ４、已知f(x)的定义域为（０，＋∞），且在其上为增函数，满足 f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，试解不等式f(x)+f(x-2)<3 ． ［解析］：［此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值］ 由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ， 3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8) 又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x) 所以原不等式的解集为｛x|2 四、函数的奇偶性及应用 1、函数f(x)的定义域为D，x∈D ，f(-x)=f(x) → f(x)是偶函数； f(-x)=-f(x)→是奇函数 2、奇偶性的判定：作和差f(-x)± f(x)=0 判定；作商f(x)/f(-x)= ±1,f(x)≠0 判定 3、奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称； 4、函数的图象关于原点对称奇函数； 函数的图象关y轴对称偶函数 5、函数既为奇函数又为偶函数 f(x)=0,且定义域关于原点对称; 6、复合函数的奇偶性：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇． [例题]： [解析]：①[利用作和差判断] 由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数， 即，f(x) = -f(x) ，∴原函数是奇函数． ②［利用作商法判断］ 由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数， （２）∵f(x) 的图象关于直线x=1对称， ∴ f[1-(1-x)]＝f[1+(1-x)] ，x∈R ，即f(x) ＝f(2-x) ， 又∵ f(x)在R上为偶函数，→ f(-x)＝f(x)＝f(2-x)＝f(2+x) ∴ f(x)是周期的函数，且2是它的一个周期． 五、函数的周期性及应用 1、设函数y=f(x)的定义域为D，x∈D,存在非0常数T，有 f(x+T)=f(x) → f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期； 2、正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期是T = 2π/|ω| ； 3、正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan(ωx+φ)和 y=Acot(ωx+φ)的周期是T=π/|ω| ； 4、周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法； 5、一般地，sinωx 和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanωx 和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：y=|cos2x| 的周期是π/2 ，y=|cotx|的周期是π． [例题]： 1、求函数 y = |sinx|+|cosx|的最小正周期． [解析]：[利用周期函数的定义] y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx| =|cos(x + π/2)|+|sin(x + π/2)| 即对于定义域内的每一个x，当x增加到(x + π/2)时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2 ． 3、求函数y=sin3x+tan(2x/5) 的最小正周期． [解析]：[最小公倍数法和公式法]， （设f(x)、g(x) 是定义在公共集合上的两上三角周期函数，T 1 、、 T 2分别是它们的周期，且T 1 ≠T 2 ，则f(x)± g(x) 的最小正周期等于T 1 、、 T 2 的最小公倍数．） （注：分数的最小公倍数 = 分子的最小公倍数/分母的最大公约数）． 由题意可知，sin3x的周期是T 1= 2π/3，tan(2x/5)的周期是T 2 =5π/2， ∴原函数的周期是T=10π/1 =10π ． 4、求函数y=|tanx|的最小正周期． [解析]：[利用函数的图象求函数的周期] 函数y=|tanx|的简图如图： 由函数y=|tanx|的简图可知， 其最小正周期是π． 5、设f(x)是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x,求f ［解析］：[利用周期函数的定义] 由题意可知，f(2+x) = f(x) ∴ f ＝f ＝f ＝－f ＝－０.５
相关主题
文本预览