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山东省平邑县高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用导学案

1.6 三角函数模型的简单应用

【学习目标】

1. 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

2.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。

【新知自学】

知识回顾:

y=A sin(ωx+φ) (ω≠0)的周期是T=________;y=A cos(ωx+φ) (ω≠0)的周期是T=________;

y=A tan(ωx+φ) (ω≠0)的周期是T=________.

2.函数y=A sin(ωx+φ)+k (A>0,ω>0)的性质

(1)y max=________,y min=________.

(2)A=__________,k=__________.

(3)ω可由__________确定,其中周期T可观察图象获得.

(4)由ωx1+φ=______,ωx2+φ=__________,ωx3+φ=__________,ωx4+φ=__________,ωx5+φ=________中的一个确定φ的值.

3.三角函数模型的应用

三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.

新知梳理:

1、创设情境、激活课堂

生活中普遍存在着周期性变化规律的现象,昼夜交

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替四季轮回,潮涨潮散、云卷云舒,情绪的起起落落,

庭前的花开花谢,一切都逃不过数学的眼睛!这节课我

们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期

现象-----1.6三角函数模型的简单应用。

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2、结合三角函数图象的特点,思考后写出下列函数

的周期.

(1)y=|sin x|的周期是________;

(2)y=|cos x|的周期是________;

(3)y=|tan x|的周期是________;

(4)y=|A sin(ωx+φ)| (Aω≠0)的周期是________;

(5)y=|A sin(ωx+φ)+k| (Aωk≠0)的周期是__________;

(6)y=|A tan(ωx+φ)| (Aω≠0)的周期是__________.

对点练习:

1、如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函

数关系式为s =6sin ?

????100πt +π6,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )

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A.150 s

B.1

100 s C .50 s D .100 s

2.若函数f (x )=3sin(ωx +φ)对任意x 都有f ? ????π6+x =f ? ????π6-x ,则f ? ??

?

?π6等于( )

A .3或0

B .-3或0

C .0

D .-3或3

3.如图所示,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧AP 的长为l ,弦AP 的长为d ,则函数d =f (l )

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的图象大致是( )

【合作探究】

典例精析:

题型一、由图象探求三角函数模型的解析式

例1.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(?ω. (1)求这一天6~14时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式

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变式练习:

某动物种群数量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900,

其总量在此两值之

间变化,且总量与月份的关系可以用函数b x A y ++=)sin(?ω0,0,0<<->>?π?A 来刻画,试求该函数表达式。

题型二、由解析式作出图象并研究性质

例2.画出函数x y sin =的图象并观察其周期.

变式练习:

x x x f sin sin )(+=的周期是 .

)3

sin()(π

+

=x x f 的周期是 .

x x f sin 2)(+=的周期是 .

规律总结:

利用图象的直观性,通过观察图象而获得对函数性质的认识,是研究数学问题的常用方法;本题也可用代数方法即周期性定义验证: )(sin sin )sin()(x f x x x x f ==-=+=+ππ

∴x x f sin )(=的周期是π.(体现数形结合思想!)

题型三、应用数学知识解决实际问题

例3.如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,?为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是δ?θ--= 90.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.

如果在北京地区(纬度数约为北纬

40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?

变式练习:

交流电的电压E (单位:伏)与时间t (单位:秒)的关系可用E =2203sin ?

????100πt +π6来表示,求:

(1)开始时的电压;(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间.

θφφ-δδ

太阳光

【当堂达标】

1、据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x )=A sin(ωx

+φ)+b ?

????A >0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )

A .f (x )=2sin ? ????π4

x -π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *

)

B .f (x )=9sin ? ????π4x -π4(1≤x ≤12,x ∈N *

)

C .f (x )=22sin π4

x +7(1≤x ≤12,x ∈N *

)

D .f (x )=2sin ? ????π4

x +π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *

)

2、如图所示为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8 m ,圆上最低点与地面距离为0.8 m ,60秒转动一圈,图中OA 与地面垂直,以OA 为始边,逆时针转动θ角到OB ,设B 点与地面距离为h .

(1)求h 与θ间关系的函数解析式;

(2)设从OA 开始转动,经过t 秒到达OB ,求h 与t 间关系的函数解析式.

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3、如图表示电流I 与时间t 的函数关系式:I =A sin(ωt +φ)在同一周期内的图象. (1)据图象写出I =A sin(ωt +φ)的解析式;

(2)为使I =A sin(ωt +φ)中t 在任意一段1

100

的时间内电流I 能同时取得最大值和最

小值,那么正整数ω的最小值是多少?

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1、函数y =2sin ? ????m 3x +π3的最小正周期在? ??

??23,34内,则正整数m 的值是________.

2.设某人的血压满足函数式p (t )=115+25sin(160πt ),其中p (t )为血压(mmHg),t 为时间(min),则此人每分钟心跳的次数是________.

3.一根长l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位

移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s =3cos ?

??

??

g l t +π3,其中g 是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s 时,线长l 等于________.

4、如图所示,一个摩天轮半径为10 m ,轮子的底部在地面上2 m 处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s 转一圈,且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式; (2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度

不小于17 m.

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5.如图,一个水轮的半径为4 m ,水轮圆心O 距离水面2 m ,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.

(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数; (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间?

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【延伸探究】

如图,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=A sin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,23);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.

(1)求A,ω的值和M,P两点间的距离;

(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?

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