山东省平邑县高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用导学案

§1.6三角函数模型的简单应用导学案一、学习目标1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

2、培养数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断。

二、情景创设例举几个生活中存在周期性变化的现象。

三、学习任务阅读课本2P ---5P 后，完成下列任务：1、如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)＋b 思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？ 思考2：函数式中A 、b 的值分别是多少？ .思考3：这段曲线对应的函数是什么？思考4：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？2、画出函数的图象并观察其周期。

3、教材P61例3 结合地理知识初步理解。

4、教材P62页例4思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？思考2：设想水深y 是时间x 的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？四、课堂练习（A 组必做，B 组选做）A 组：1、右图是函数y ＝Asin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分， 它的振幅、周期、初相各是( )A ．A ＝3，Ｔ＝34π，φ＝－6π B ．A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－43π C ．A ＝1，Ｔ＝32π，φ＝－43π D ．A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－6πxy sin =2、如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距 离s （cm ）随时间t （s ）的变化曲线是一个三角函数的图象。

（1）求这条曲线对应的函数解析式；（2）小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？B 组：1、已知)20(cos π≤≤=x x y 的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是（ ） A ．4π B ．2πC ．8D ．42、如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A I 在一个周期内的图象⑴试根据图象写出)sin(ϕω+=t A I 的解析式；⑵为了使)sin(ϕω+=t A I中t 在任意一段1001秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数ω的最小值为多少？学习反思这节课学到了什么？是否还有哪一个知识点没有弄清楚？ 总结解决实际问题的基本思路。

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化. 思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 答案 三角函数模型.梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序 如图所示：类型一 三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ).(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 (1)由图可知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175.∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6.(2)依题意知，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是S ＝6sin(2πt ＋π6).(1)画出它的图象； (2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)周期T ＝2π2π＝1(s).列表：描点画图：(2)①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 类型二 三角函数模型在生活中的应用例2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：(1)当此人第四次距离地面692 米时用了多少分钟？(2)当此人距离地面不低于(59＋4923)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？解 (1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t 分钟时距地面y 米，则α＝2π18t＝π9t .由y ＝108－982－982cos π9t＝－49cos π9t ＋59(t ≥0).令－49cos π9t ＋59＝692，得cos π9t ＝12，∴π9t ＝2k π±π3， 故t ＝18k ±3，k ∈Z ，故t ＝3，15，21，33. 故当此人第四次距离地面692 米时用了33分钟.(2)由题意得－49cos π9t ＋59≥59＋4923，即cos π9t ≤－32.故不妨在第一个周期内求即可， 所以5π6≤π9t ≤7π6，解得152≤t ≤212，故212－152＝3. 因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在距离地面2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处.这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15 t ，故在ts 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15t ＋12(t ≥0).(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝________ cm. 答案g4π2解析 ∵T ＝2πgl＝1，∴g l ＝2π，∴l ＝g 4π2. 2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃. 答案 20.5解析 由题意可知A ＝28－182＝5，a ＝28＋182＝23，从而y ＝5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)＋23.故10月份的平均气温值为y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＋23＝20.5.3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t (s )的函数，近似满足关系式α＝A sin(ωt ＋π2)，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t ＝0)时，α＝π3，且每经过π s 小球回到初始位置，那么A ＝________；α关于t 的函数解析式是____________________.答案π3 α＝π3sin(2t ＋π2)，t ∈[0，＋∞) 解析 ∵当t ＝0时，α＝π3，∴π3＝A sin π2，∴A ＝π3. 又∵周期T ＝π，∴2πω＝π，解得ω＝2.故所求的函数解析式是α＝π3sin(2t ＋π2)，t ∈[0，＋∞). 4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin(π12t ＋π3)≤1.当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1；当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1.于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温. 由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，故有10－2sin(π12t ＋π3)>11，即sin(π12t ＋π3)<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为－5 cmC.该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D.该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 答案 D解析 该质点的振动周期为T ＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，故C 是错误的.故选D. 2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B.f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *)C.f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)答案 A解析 令x ＝3可排除D ，令x ＝7可排除B ，由A ＝9－52＝2可排除C.或由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7. ∵当x ＝3时，y ＝9， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7＝9，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *).3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则人流量是增加的时间段为( )A.[0，5]B.[5，10]C.[10，15]D.[15，20] 答案 C解析 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z 知，函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4.如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A.ω＝2π15，A ＝3.ω＝152π，A ＝3C.ω＝2π15，A ＝5.ω＝152π，A ＝5答案 A解析 由题目可知最大值为5，所以5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝15 s ，则ω＝2π15.故选A. 5.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10 答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.6.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径长为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h (t ) m ，则h (t )等于( )A.30sin(π12t －π2)＋30.30sin(π6t －π2)＋30C.30sin(π6t －π2)＋32.30sin(π6t －π2)答案 B解析 过点O 作地面的平行线作为x 轴，过点O 作x 轴的垂线，作为y 轴，过点B 作x 轴的垂线BN 交x 轴于N 点，如图，点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是2π12＝π6，所以t 分钟转过的弧度数为π6t .设θ＝π6t ，当θ>π2时，∠BON ＝θ－π2，h ＝OA ＋BN ＝30＋30sin(θ－π2)，当0<θ<π2时，上述关系式也适合.故h ＝30＋30sin(θ－π2)＝30sin(π6t －π2)＋30.7.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(100πt ＋π6)，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 sB.1100 s C.50 s D.100 s 答案 A 二、填空题8.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋π6)(A >0，ω≠0)的图象如图所示，则当t ＝150秒时，电流强度是________安.答案 5解析 由图象可知A ＝10， 周期T ＝2×(4300－1300)＝150，∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝150秒时，I ＝10sin(2π＋π6)＝5(安).9.设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________. 答案 80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T＝80(次/分).10.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h (m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h 关于时间t 的函数解析式为________________.答案 h ＝－6sin π6t ，t ∈[0，24]解析 根据题图设h ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝6，T ＝12，2πω＝12，∴ω＝π6.点(6，0)为“五点”作图法中的第一点，∴π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h ＝6sin(π6t －π)＝－6sin π6t ，t ∈[0，24].11.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0，60].答案 10sin πt 60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt 60. 12.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________.答案 34解析 取K ，L 的中点N ，则MN ＝12， 因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π. ∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34. 三、解答题13.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数；(2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角.OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6， 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t . 由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6. 故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2. (2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.四、探究与拓展14.有一冲击波，其波形为函数y ＝－sin πx 2的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰，则正整数t 的最小值是( )A.5B.6C.7D.8答案 C15.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式.解 (1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8， ∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6. ∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8，14].。

小初高试卷教案类
K12小学初中高中 1.6 三角函数模型的简单应用
预习导航
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期规律、预测其未来方面发挥重要作用．
2．三角函数模型的建立程序
思考三角函数最明显的特点是周期性，用三角函数模型解决的实际问题也必然是具有周期性变化规律的，在现实生活中，你能举例说明哪些现象具有周期性吗？
提示：例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性；交变电流变化的周期性．。

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型． 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝|sin x ＋12|的周期为π.( )(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s ，振幅为5 cm ，则该振子在2 s 内通过的路程为50 cm.( ) (3)电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为52 A ．( )[解析] (1)错误．函数y ＝|sin x ＋12|的周期为2π.(2)错误．一个周期通过路程为20 cm ，所以2 s 内通过的路程为20×20.4＝100(cm)．(3)正确．[答案] (1)× (2)× (3)√2．如图1­6­1为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往返一次．图1­6­10．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T ＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．]3．如图1­6­2所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．图1­6­2y ＝－6sin π6x [设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)则A ＝6， T ＝2πω＝12，ω＝π6. 当x ＝9时，y max ＝6.故 π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x .][合 作 探 究·攻 重 难]三角函数图象的应用(1)函数y ＝x ＋sin|x |，x ∈[－π，π]的大致图象是( )A B C D (2)作出函数y ＝|cos x |的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.【导学号：84352127】[思路探究] (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．(2)依据y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0－cos x ，cos x ＜0画图，并判断此函数的性质．(1)C [(1)y ＝x ＋sin|x |是非奇非偶函数，图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故选C. (2)y ＝|cos x |图象如图所示．由图象可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .][规律方法]1一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.2一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：①由函数y ＝fx 的图象要得到y ＝|fx |的图象，只需将y ＝f x 的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.②由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝f |x |的图象，应保留y ＝fx 位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y 轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.[跟踪训练] 1．函数f (x )＝2sin x(x ∈[－π，π])的图象大致为( )A B C D A [f (－π)＝2sin(－π)＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2－1＝0.5，f (0)＝2sin 0＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin π2＝2，f (π)＝2s in π＝20＝1.由此知选项A 符合要求．]三角函数模型在物理学中的应用已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【导学号：84352128】[思路探究] 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A ，ω，φ的物理意义是解题关键． [解] 列表如下：t－π6 π12 π3 7π12 5π6 2t ＋π30 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3 0 1 0 －1 0 s4－4(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.[规律方法] 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y ＝A sin ωx ＋φ表示物体振动的位移y 随时间x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T ＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.[跟踪训练]2．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求： (1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．三角函数模型的实际应用[探究问题]在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 提示：(1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.51.00.51.01.510.50.991.5(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？【导学号：84352129】[思路探究] (1)根据y 的最大值和最小值求A ，b ，定周期求ω. (2)解不等式y ＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，∴ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，∴A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)∵y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0,2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k－3＜t ＜12k ＋3，(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15.母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ [解] 由y ＝12cos π6t ＋1＞1.25得cos π6t ＞12，2k π－π3＜π6t ＜2k π＋π3，k ∈Z ，即12k －2＜t ＜12k ＋2，k ∈Z .又0≤t ≤24，所以0≤t ＜2或10＜t ＜14或22＜t ≤24， 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动， 即10＜t ＜14.2．若本例中海滨浴场某区域的水深y (米)与时间t (时)的数据如下表：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0用y ＝A [解] 函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13， ∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．[规律方法] 解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．[当 堂 达 标·固 双 基]1．与图1­6­3中曲线对应的函数解析式是( )图1­6­3A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |C [注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.]2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π3 s 时，s 1与s 2的大小关系是( )【导学号：84352130】A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定C [当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5， 当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5，故s 1＝s 2.]3．如图1­6­4表示电流强度I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为( )图1­6­4A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π3 C [A ＝300，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，ω＝2πT ＝100π，I ＝300sin(100πt ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0，得100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，得φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.]4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝________cm.g4π2[由已知得2πgl＝1，所以gl＝2π，gl＝4π2，l＝g4π2.]5．如图1­6­5，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．图1­6­5(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量.【导学号：84352131】[解](1)设种群数量y关于t的解析式为y＝A sin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A＋b＝700，A＋b＝900，解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2πT＝π6，∴y＝100sin⎝⎛⎭⎪⎫π6t＋φ＋800.又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sin⎝⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y＝100sin⎝⎛⎭⎪⎫π6t－π2＋800.(2)当t＝2时，y＝100sin⎝⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.。

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1.6 三角函数模型的简单应用1。

了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题。

（重点)2。

实际问题抽象为三角函数模型.（难点）[基础·初探]教材整理三角函数的实际应用阅读教材P60～P64所有内容，完成下列问题.1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型.2.y＝|sin x｜是以π为周期的波浪形曲线。

3。

解三角函数应用题的基本步骤：（1)审清题意；(2）搜集整理数据,建立数学模型；(3)讨论变量关系,求解数学模型；(4)检验,作出结论.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米）和时间t（秒)的函数关系为s ＝3sin错误!，那么单摆来回摆的振幅为________厘米，一次所需的时间为________秒.【解析】因为s＝3sin错误!,所以振幅为A＝3(厘米），周期T＝错误!＝4(秒).【答案】 3 4［小组合作型］三角函数模型简单的实际应用如图1­6­1,某动物种群数量1月1日低至700只，7月1日高至900只，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.图1.6。

1(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）;(2)估计当年3月1日动物种群数量。

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案三角函数模型.梳理(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.(2)三角函数模型的建立程序如图所示：1类型一三角函数模型在物理中的应用例1已知电流I与时间t的关系为I＝A sin(ωt＋φ).π(1)如图所示的是I＝A sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|< )在一个周期内的图象，根据图中数据求I2＝A sin(ωt＋φ)的解析式；1(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝A sin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω150的最小正整数值是多少？1 1 解(1)由图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，900 1801 1 1则周期T＝2(t2－t1)＝2( ＋900)＝.180 752π∴ω＝＝150π.T1 1又当t＝180时，I＝0，即sin (150π·＋φ)＝0，180ππ而|φ|< ，∴φ＝.2 6π故所求的解析式为I＝300sin(150πt＋6).1 2π 1(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，150 ω150∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故所求最小正整数ω＝943.反思与感悟此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置2π 的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋).6(1)画出它的图象；(2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？③小球来回摆动一次需要多少时间？2π解(1)周期T＝＝1(s).2π列表：t 0 165122311121π2πt＋6 π6π2π3π2π2π2π＋66sin(2πt＋π)63 6 0 －6 0 3描点画图：(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.③小球来回摆动一次需要1 s(即周期).类型二三角函数模型在生活中的应用例2某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟. 如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：69(1)当此人第四次距离地面米时用了多少分钟？2349(2)当此人距离地面不低于(59＋3)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多2少分钟可以看到游乐园的全貌？2π 解(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y米，则α＝t＝18πt.998 98 π由y＝108－－cos t2 2 9π＝－49cos t＋59(t≥0).9π69 π 1令－49cos t＋59＝，得cos t＝，9 2 9 2ππ∴t＝2kπ±，9 3故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3，15，21，33.69 故当此人第四次距离地面米时用了33分钟.2π49(2)由题意得－49cos t＋59≥59＋3，9 2π 3即cos t≤－.9 2故不妨在第一个周期内求即可，5ππ7π15 21所以≤t≤，解得≤t≤，6 9 6 2 221 15故－＝3.2 2因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.反思与感悟解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)4时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.2ππ解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为t＝t，故在t s30 15π 时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0).15ππ 1(2)由10sin t＋12≥17，得sin t≥，15 15 25 25则≤t≤.2 2故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)gπ与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos ( 3)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 t＋ls时，线长l＝________ cm.g答案4π22πg g 解析∵T＝＝1，∴＝2π，∴l＝.gl4π2lπ2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos[6x－6](x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.答案20.528－18 28＋18 π解析由题意可知A＝＝5，a＝＝23，从而y＝5cos ＋23.故10月份的2 [6x－6] 2平均气温值为πy＝5cos( ×4)＋23＝20.5.63.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右5。

1.6 三角函数模型的简单应用讲一讲1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6. (1)作出函数的图象；(2)当单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？[尝试解答] (1)利用“五点法”可作出其图象．(2)因为当t ＝0时，s ＝6sin π6＝3，所以此时离开平衡位置3 cm.(3)离开平衡位置6 cm.(4)因为T ＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．练一练1．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．讲一讲2．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[尝试解答] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2π|ω|，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数p (t )的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f ＝1T＝80(次)．(3)列表：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg.(1)在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．(2)在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．练一练2．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面的距离为0.8 m ，60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离是h .+(1)求h 与θ间的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解：(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2.∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t s 转过的弧度数为πt30.∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2＋2k π，k ∈N ，∴t min ＝30(s)．即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．讲一讲3．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作：y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据．(1)(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？[尝试解答] (1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f (t )＝A cos ωt ＋b ，并且周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5；由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1.∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪爱好者开放， ∴12cos π6t ＋1>1.∴cos π6t >0. ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )．①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0，1，2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤： (1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，作出“最贴近”的曲线，即拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式；(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管理提供依据． 练一练3．一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y 和时间t 之间的关系的一个三角函数式为________．解析：设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则从表中可以得到A ＝4，ω＝T ＝0.8＝π2，又由4sinφ＝－4.0，可得sin φ＝－1，取φ＝－π2，故y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t －π2，即y ＝－4cos 5π2t .答案：y ＝－4cos 5π2t——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是三角函数在实际问题中的应用，难点是三角函数在实际问题中的应用以及建立三角函数模型解决实际问题．2．本节课要牢记解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意读懂题目中的“文字”、“图象”、“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题．(2)建立函数模型整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．(3)解答函数模型利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果． (4)得出结论将所得结果翻译成实际问题的答案．3．本节课要重点掌握三角函数模型的三类简单应用 (1)三角函数在物理中的应用，见讲1；(2)三角函数在实际问题中的应用，见讲2； (3)建立三角函数模型解决实际问题，见讲3.课下能力提升(十二) [学业水平达标练]题组1 三角函数在物理中的应用1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流I 为( )A ．5 B.52C ．2D ．－5解析：选B 直接将t ＝1200代入计算即可．当t ＝1200时，I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1200＋π3＝5sin 5π6＝52.故选B.2．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：(1)单摆的振幅为________； (2)振动频率为________．解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1 cm ；(2)单摆的振动频率是1.25 Hz. 答案：(1)1 cm (2)1.25 Hz题组2 三角函数在实际问题中的应用3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5解析：选A 周期T ＝15秒，ω＝2πT ＝2π15.由图可知，水轮最高点距离水面5米，故A＋2＝5，即A ＝3.5．某城市一年中12个月的平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.解析：根据题意得28＝a ＋A ，18＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（12－6）＝a －A ，解得a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），令x ＝10，得y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（10－6） ＝23＋5cos 2π3＝20.5.答案：20.56．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量． 解：(1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800. 又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750. 题组3 建立三角函数模型解决实际问题7．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t 与水深y 的关系：φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0，24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0，24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0，24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0，24]解析：选A y ＝f (t )的关系对应的“散点图”如下：由“散点图”可知，k ＝12，A ＝3. 周期T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝12，t ＝3时，y ≈15. 所以φ＝0.因此，y ＝12＋3sin π6t ，故选A.[能力提升综合练]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C 该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.2．如图是函数y ＝sin x (0≤x ≤π)的图象，A (x ，y )是图象上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图象于另一点B (A ，B 可重合)．设线段AB 的长为f (x )，则函数f (x )的图象是( )解析：选A 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝π－2x ；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝2x －π，故选A.3．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解析：选C ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4.此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.4．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )解析：选C 令AP 所对圆心角为θ，由|OA |＝1， 则l ＝θ，sin θ2＝d2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图象为C.5．一根长a cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (cm)和时间t (s )的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g a t ＋π3，t ∈[)0，＋∞，则小球摆动的周期为________．解析：T ＝2πga＝2π·ag.答案：2π·a g6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．解析：由条件可知，B ＝7，A ＝9－7＝2. 又T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2π12＝π6.∵3月份达到最高价，∴3×π6＋φ＝π2，∴φ＝0.所以f (x )的解析式为f (x )＝2sin π6x ＋7.答案：f (x )＝2sin π6x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N )7．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：依题意，有A ＝23，T4＝3，即T ＝12.又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0，4]．∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3.∴M (4，3)．又P (8，0)，∴MP ＝（8－4）2＋（0－3）2＝42＋32＝5(km)． 即M 、P 两点间的距离为5 km.8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m? 解：(1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋12.2；又因为t ＝4时，d ＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π6＋φ＝1， 所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫17π6－π6＋12.2＝3.8sin 2π3＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2<10.3，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6<－12， 因此2k π＋7π6<π6t －π6<2k π＋11π6(k ∈Z )，所以2k π＋4π3<π6t <2k π＋2π，k ∈Z ，所以12k ＋8<t <12k ＋12. 令k ＝0，得t ∈(8，12)； 令k ＝1，得t ∈(20，24)． 故这一天共有8 h 水深低于10.3 m.。

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【知识点】正切函数 . 【数学思想】数形结合 . 【解题过程】解 :北楼被南楼遮挡的高度为 h=15tan［90° -(23° +23°26′)］ =15tan43°34′≈ 14.26, 由于每层楼高为 3 米,根据以上数据 , 所以他应选 3 层以上 . 【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题 . 例 3 货船进出港时间问题 :海水受日月的引力 ,在一定的时候发生涨落的现象叫 潮 .一般地 ,早潮叫潮 ,晚潮叫汐 .在通常情况下 ,船在涨潮时驶进航道 ,靠近码头 ;卸 货后 ,在落潮时返回海洋 .下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表 : 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 /
(1)求这一天 6—14 时的最大温差 ;(2)写出这段曲线的函数解析式 .
【知识点】正弦函数的图像与性质 .
【数学思想】数形结合的数学思想 .
【解题过程】
解 :(1)由图可知 ,这段时间的最大温差是 20 ℃.
(2)从图中可以看出 ,从 6—14 时的图象是函数 y=Asin(ωｘ+φ)+b 的半个周期的图象 ,
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1.6 三角形函数模型的简单应用
一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习， 了解并掌握三角函数模型应用基本步骤， 会利用收集到的数据 作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型 . （二）学习目标 1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤． 2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模 型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法． 3．感悟“数形结合” 、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合” 、 “函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点 1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题 . 2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函 数模型． （四）学习难点 分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运 用相关知识解决实际问题．

小初高试卷教案类K12小学初中高中1.6 三角函数模型的简单应用知识梳理三角函数的模型可以应用到实际问题中，那么三角函数模型的建立程序如下图：知识导学要学好本节内容，可通过4个例题，展现三角函数的简单应用，突出三角函数作为描述现实世界中周期变化现象的一种数学模型，其在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.通过实例理解将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，从而领会根据所得的模型解决问题，应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题.疑难突破1.解答三角函数应用题的一般步骤.剖析：（1）理解材料，审清题意三角函数应用题的语言形式多为“文字语言和图形语言”并用，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.（2）搜集整理数据，建立数学模型根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型.其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式. （3）讨论变量关系根据上一步中建立起来的变量关系，结合题目的要求，与已知数学模型的性质对照，讨论考查的有关性质，从而得到所求问题的理论参考值.（4）作出结论根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论.2.利用三角函数解决实际问题时需要注意哪些方面？剖析：（1）自变量x的变化范围.（2）数形结合，通过观察图形，获得本质认识.（3）要在实际背景中抽取基本的数学关系较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想、运用适当的数学模型.（4）涉及复杂的数据，往往需要借助使用信息技术工具.。

1.6 三角函数模型的简单应用（人教A版高中课标教材数学必修4）教学设计一、教学内容解析：（一）本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》1.6《三角函数模型的简单应用》的第一课时，学生已经学习了三角函数图像和性质，在这个基础上来学习三角函数模型的简单应用相关问题。

整节课堂中渗透数学建模的思想，为学生接下来的第二课时的学习做好铺垫。

大到宇宙天体的运动，小到质点的运动，现实生活中的周期现象是无处不在的。

而我们刚刚学习的三角函数就具有明显的周期特征，所以我们常常利用三角函数的模型来解决现实生活中存在的一些实际问题。

本节课堂的内容具有显著的现实意义，选用的两个例题都是采用课本中的原题，再进行深加工。

通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题的过程，使学生进一步巩固所学的知识，体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想。

再这个过程中可以提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力。

（二）本节课的教学重点：1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，初步学会由图象求解析式的方法；2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；3.利用多样化信息技术手段解决现实生活中的数据统计、方程求解等问题。

（三）本节课的教学难点：1.体会数学建模过程，对数学模型中相关量的求解。

如例题1中 的求解二、教学目标设置：（一）教学目标：1.会对信息进行利用，分析与整理。

体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用信息技术手段进行计算求解——回到实际应用问题的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

2.通过三角函数图像求解参数值的过程，使学生初步学会由图象求解析式的方法。

1.6《三角函数模型的简单应用》导学案【学习目标】1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.【导入新课】复习引入：简单介绍大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，说明这些现象都蕴含着三角函数知识.新授课阶段例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．解：例2 画出函数x y sin =的图象并观察其周期．分析与简解：例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？分析与简解：例4 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++． （１） 求这一天的最大温差；（２） 写出这段曲线的函数解析式． θφφ-δδ太阳光答案：解：例5 若cos 2sin y x p x q =++有最大值9和最小值6，求实数,p q 的值.解：1.精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质.2.分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型， 并调动相关学科的知识来解决问题. 作业课本第73页习题A 组第1、2、3、4题拓展提升一、选择题1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ）A ．0B ．4π C.2π D.π 2．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=- 3．若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）A ．35(,)(,)244ππππ B.5(,)(,)424ππππ C.353(,)(,)2442ππππ D.33(,)(,)244ππππ 4．若,24παπ<<则（ ）A ．αααtan cos sin >>B ．αααsin tan cos >>C ．αααcos tan sin >>D ．αααcos sin tan >>5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ） A ． 52π B ．25π C ．π2 D ．π5 6．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是 ，因为当α= 时，该命题的结论不成立.8．函数xx y cos 2cos 2-+=的最大值为________. 9．若函数)3tan(2)(π+=kx x f 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.10．满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 11．若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.三、解答题 12．画出函数[]π2,0,sin 1∈-=x x y 的图象.13．比较大小（1）00150sin ,110sin ；（2）00200tan ,220tan .14．（1）求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域.（2）设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值.参考答案解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是20C ；（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象， ∴1468.2T =-=∴16.T = ∵ωπ2=T ，∴.8πω= 又∵301010,2301020.2A b -⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩ ∴10,20.A b =⎧⎨=⎩ ∴10sin()20.8y x πφ=++ 将点)10,6(代入得：1)43sin(-=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,23243ππϕπ， ∴Z k k ∈+=,432ππϕ，取43πϕ=， ∴)146(,20)438sin(10≤≤++=x x y ππ. 例2分析与简解：如何画图？法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；从图中可以看出，函数x y sin =是以π为周期的波浪形曲线．例3分析与简解：与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的有关知识．答案：解：（１）由图可知，这段时间的最大温差是20℃．（２）从图中可以看出，从6~14时的图象是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，所以()13010102A =-=， 1(3010)202b =+=， ∵121462ω=-π， ∴8ω=π． 将6x =，10y =代入上式，解得34ϕ=π． 综上，所求解析式为310sin 2084y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭ππ，[]6,14x ∈． 例5解：令sin ,[1,1]x t t =∈-，21sin 2sin y x p x q =-++, 2222(sin )1()1,y x p p q t p p q =--+++=--+++22()1y t p p q =--+++,对称轴为t p =.当1p <-时，[1,1]-是函数y 的递减区间，max 1|29t y y p q =-==-+=,min 1|26t y y p q ===+=，得315,42p q =-=，与1p <-矛盾； 当1p >时，[1,1]-是函数y 的递增区间，max 1|29t y y p q ===+=,min 1|26t y y p q =-==-+=，得315,42p q ==，与1p >矛盾； 当11p -≤≤时，2max |19t p y y p q ===++=，再当0p ≥，min 1|26t y y p q =-==-+=，得1,4p q =+当0p <，min 1|26t y y p q ===+=，得1,4p q ==+1),4p q ∴=±=+拓展提升一、选择题1.C 当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数 2.C 111sin()sin()sin[()]sin()32323326y x y x y x y x πππππ=-→=-→=+-→=- 3.B 5sin cos 0544(,)(,)tan 054240,24ππαααπππαπαππαπα⎧<<⎪->⎧⎪⇒⇒∈⎨⎨>⎩⎪<<<<⎪⎩或 4.D tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>5.D 2525T ππ== 6. C 由x y sin =的图象知，它是非周期函数二、填空题7.① 0 此时()cos f x x =为偶函数8.3 22221(2cos )2cos ,cos 11,3113y y y x x x y y y ---=+=⇒-≤≤≤≤++ 9.2,3或 ,12,,2,32T k k N k k k ππππ=<<<<∈⇒=而或10.|2,2,33xx k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 11.34 [0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤< max 3()2sin,332344f x ωπωπωππω===== 三、解答题 12.解：将函数[]sin ,0,2y x x π=∈的图象关于x 轴对称，得函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象，再将函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象向上平移一个单位即可.13.解：（1）00000000sin110sin70,sin150sin30,sin70sin30,sin110sin150==>∴>而（2）00000000tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而14.解：（1）221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈ 5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈为所求. （2）0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间 当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-；当cos 1x =时，max ()sin1f x =.。

1.6 三角函数模型的简单应用（第2课时）一、导入新课思路1.通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等.思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用. 二、推进新课、新知探究、提出问题①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？②请做下题：若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R (其中ω＞0,|φ|＜2π)的最小正周期是π,且f(0)=3,则( )A.ω=21,φ=6π B.ω=21,φ=3πC.ω=2,φ=6πD.ω=2,φ=3π活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业.教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中.讨论结果:①略 ②D 三、应用示例例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,如图6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画.其中x是时间,y是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深.图6根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯.在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6).根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π. 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin6πx+5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:(2)货船需要的安全水深为4+1.5＝5.5(米),所以当y ≥5.5时就可以进港. 令2.5sin6πx+5=5.5,sin 6πx=0.2. 由计算器可得 2 0.2=0.201 357 92≈0.201 4.如图7,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin6πx+5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B,图7因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4. 解得x A ≈0.384 8,x B ≈5.615 2.由函数的周期性易得:x C ≈12+0.384 8＝12.384 8,x D ≈12+5.615 2＝17.615 2. 因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.图8(3)设在时刻x 货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8).通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释.变式训练发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,I A=Isin ωt,I B=Isin(ωt+120°),I C=Isin(ωt+240°),则I A+I B+I C=________.答案:0例2 图9是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:(1)单摆振幅多大；(2)振动频率多高；(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；(5)若当g＝9.86 m/s2J,求摆线长.活动:引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例.点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点.通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系.图9解:结合函数模型和图象: (1)单摆振幅是1 cm ；(2)单摆的振动频率为1.25 HZ ；(3)单摆在0.6 s 通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值； (4)单摆在0.4 s 时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；(5)由单摆振动的周期公式T=2πgL,可得L=224πgT =0.16 m.点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.变式训练1.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24π+.(1)求函数f(x)的解析式； (2)若sinx+f(x)＝32,求sinxcosx 的值. 解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x),即sin(－ωx+φ)＝sin(ωx+φ). ∴φ＝2π. ∴f(x)＝sin(ωx+2π)＝cos ωx. 相邻两点P(x 0,1),Q (x 0+ωπ,－1).由题意,|PQ|＝4)(2+ωπ=π2+4.解得ω＝1.∴f(x)＝cosx.(2)由sinx+f(x)＝32,得sinx+cosx ＝32. 两边平方,得sinxcosx ＝185.2.小明在直角坐标系中,用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解:小明原作的曲线为y=sinx,x ∈R ,由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度,与原来1 cm 代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm 只能代表21个单位长度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y ＝21sinx,x ∈R .同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm 代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的21,原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为y ＝sin2x,x ∈R .3.求方程lgx ＝sinx 实根的个数. 解:由方程式模型构建图象模型.在同一坐标系内作出函数y ＝lgx 和y ＝sinx 的图象,如图10.可知原方程的解的个数为3.图10点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法.四、课堂小结1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用.2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题.五、作业图11如图11,一滑雪运动员自h=50 m高处A点滑至O点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O点保持速率v0不变,并以倾角θ起跳,落至B点,令OB=L,试问,当α=30°时,L的最大值为多少?当L取最大值时,θ为多大?分析:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解:由已知条件列出从O点飞出后的运动方程:⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-==.21sinsincoscos2gttvaLhtvaLsθθ由①②,整理得v0cosθ=taL cos,v0sinθ=taL sin-+21gt.∴v 02+gLsin α=41g 2t 2+22t L ≥2222241tL t g •=gL.运动员从A 点滑至O 点,机械守恒有mgh=21mv 02, ∴v 02=2gh.∴L ≤)sin 1(2)sin 1(20a g gha g v -=-=200(m), 即L max =200(m).又41g 2t 2=222t h s +=22t L , ∴t=g L 2,s=Lcos α=v 0tcos θ=2gh ·gL2·cos θ, 得cos θ=cos α.∴θ=α=30°.∴L 最大值为200米,当L 最大时,起跳倾角为30°.。

1.6三角函数模型的简单应用1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.(重点)2.实际问题抽象为三角函数模型.(难点)[基础·初探]教材整理三角函数的实际应用阅读教材P60～P64所有内容，完成下列问题.1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型.2.y＝|sin x|是以π为周期的波浪形曲线.3.解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝ππ3sin( ，那么单摆来回摆的振幅为________厘米，一次所需的时间为________秒.t＋3)2ππ( ，【解析】因为s＝3sint＋3)22π 所以振幅为A＝3(厘米)，周期T＝＝4(秒).π2【答案】3 41三角函数模型简单的实际应用如图1­6­1，某动物种群数量1月1日低至700只，7月1日高至900只，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.图1­6­1(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量. 【导学号：00680027】【精彩点拨】可设y＝A sin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)来求解.【自主解答】(1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝A sin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则Error!解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，2ππ∴ω＝＝，T 6π( t＋φ)＋800.∴y＝100sin6又当t＝6时，y＝900，π∴900＝100sin( ×6＋φ)＋800，6∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，π∴取φ＝－，2ππ( t－2)＋800.∴y＝100sin6ππ( ×2－2)＋800＝750，(2)当t＝2时，y＝100sin6即当年3月1日动物种群数量约是750只.解三角函数应用问题的基本步骤2[再练一题]π5π1.已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin( x－＋20，x∈4 )8[4,16].(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？【解】(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.π5π(2)令10sin( 4 )＋20＝15，x－8π5π 1得sin( ＝－，x－4 )8 226而x∈[4,16]，所以x＝.3π5π令10sin ( 4 )＋20＝25，x－8π5π 1 得sin( x－4 )＝，8 234而x∈[4,16]，所以x＝.334 26 8故该细菌能存活的最长时间为－＝小时.3 3 3已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)π(2t＋3)，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下的变化规律为s＝4sin列问题.(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？3(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？【精彩点拨】 确定函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数 A ，ω，φ 的物理意义是解题关键. 【自主解答】 列表如下： π t－6π 12 π 3 7π 12 5π 6π 2t ＋3π 2π3π 22ππsin (2t ＋ 3)0 1 0 －1 0 s4－4描点、连线，图象如图所示.ππ(1)将 t ＝0代入 s ＝4sin(2t ＋ 3)，得 s ＝4sin＝2 ，所以小球开始振动时的位移是 23 33 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是 π，所以小球往复振动一次所用的时间是 π s.在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数 y ＝A ωx ＋φ表示物体振动的位移 y2π随时间 x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T ＝ 为周期，表示物ω 1体往复振动一次所需的时间，f ＝ 为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.T[再练一题]2.弹簧挂着的小球做上下振动，它在 t s 时相对于平衡位置(就是静止时的位置)的高度 hπcm 由函数关系式 h ＝3sin (2t ＋ 4)确定.(1)以 t 为横坐标，h 为纵坐标，作出函数的图象(0≤t ≤π)； (2)求小球开始振动(即 t ＝0)时的位移；(3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移；(5)每秒钟小球能往复振动多少次？π【解】(1)函数h＝3sin (2t＋4)，0≤t≤π的图象如图所示.3 2 3 2(2)令t＝0，得h＝，所以小球开始振动时的位移为cm.2 2π5π(3)结合图象可知，最高点和最低点的坐标分别是( ，3)，( ，－3)，所以小球第一次上8 8升到最高点和下降到最低点时的位移分别是3 cm和－3 cm.(4)由图可知周期T＝π，即经过πs小球往复振动一次.1 1 1(5)f＝＝，即每秒钟小球能往复振动次.T ππ[探究共研型]数据拟合问题探究在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？【提示】(1)根据原始数据给出散点图.(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出的曲线如图1­6­2所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝A sin ωt＋b的图象.(1)试根据以上数据，求出y＝A sin ωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?图1­6­2【精彩点拨】(1)从拟合曲线可知：函数y＝A sin ωt＋b的周期；由t＝0时的函数值，t ＝3时取得的最大值，进而可求得ω，A，b的值.(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5＋7＝11.5(m)的时段.【自主解答】(1)从拟合曲线可知：函数y＝A sin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小2ππ需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此＝12，ω＝.ω 6 又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，y max＝13，∴b＝10，A＝13－10＝3，π ∴所求函数的表达式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24).6(2)由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时，水深y应π 大于或等于7＋4.5＝11.5(m).令y＝3sin t＋10≥11.5，6π 1可得sin t≥，6 2ππ5π∴2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，6 6 6∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z).取k＝0，则1≤t≤5，取k＝1，则13≤t≤17；而取k＝2时，25≤t≤29(不合题意，舍).从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h.1.本题中没有明确函数的类型，则可通过画散点图来拟合曲线.2.此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数，再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断.由于实际问题的背景往往比较复杂，所以要注意认真审题从中抽取基本的数学关系.[再练一题]3.已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据.t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5(1)根据以上数据，求函数y＝f(t)的函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？【导学号：70512018】【解】(1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f(t)＝A cos ωt＋b，并且周期T＝12，2π2ππ∴ω＝＝＝.T 12 6由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0，得b＝1.1 π∴A＝0.5，b＝1.∴y＝cos t＋1.2 6(2)由题知，当y>1时才可对冲浪爱好者开放，1 π∴cos t＋1>1，2 6π ∴cost>0，6πππ∴2kπ－< t<2kπ＋(k∈Z)，2 6 2即12k－3<t<12k＋3(k∈Z).①∵0≤t≤24，故可令①中k分别取0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.1.如图1­6­3所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是()图1­6­3A.该质点的运动周期为0.7 sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零【解析】由题图可知，该质点的振幅为5 cm.【答案】 B2.与图1­6­4中曲线对应的函数解析式是()图1­6­4A.y＝|sin x|B.y＝sin |x|C.y＝－sin |x|D.y＝－|sin x|【解析】注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.【答案】 C3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字t路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，2则下列哪个时间段内车流量是增加的()【导学号：00680028】A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]3 t15 5 t【解析】当10≤t≤15时，有π<5≤≤< π，此时F(t)＝50＋4sin 是增函数，即2 2 2 2 2车流量在增加.故应选C.【答案】 C14.在电流强度I与时间t的关系I＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使t在任意秒的100时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值.【解】由题意得：1 2π 1T≤，即≤，100 ω1008∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.9。

1.6 三角函数模型的简单应用疱工巧解牛知识•巧学一、函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系绝对值仅对函数值施加影响，根据绝对值的意义有⎩⎨⎧<-≥=,0)(),(,0)(),(x f x f x f x f y 要画出y=|f(x)|的图象，只需先画出y=f(x)的图象，再把x 轴下半平面的部分沿x 轴翻折上去(翻折后x 轴下方的图象不再存在)，这样原有的x 轴上半平面的部分及翻折上去的部分一起便构成了y=|f(x)|的图象. 二、数学建模解决实际问题就是要把实际问题变成数学问题，通过解数学问题，获得答案，再反过来解释实际问题，这就是一个数学建模的过程.一般来说，数学建模过程可用下面的框图表示：图1-6-1当问题与函数图象有关时，可先建立适当坐标系，把题目所给的每一对数据作为一个点的坐标，在坐标系中描出这些点，并用光滑曲线把这些点依次连结起来，观察所画曲线、选用适当函数解析式，设法求出解析式中各参数，并将已知数据代入求得的解析式进行检验.如果等式不成立，则需修改解析式；如果等式成立，则该函数解析式就是本题的数学模型.这时就可以利用这个数学模型解决题目的其他问题了. 函数模型的应用实例主要包括三个方面：直接利用给定的函数模型解决实际问题；建立确定性函数模型解决实际问题；建立拟合函数模型解决实际问题.误区警示 建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析. 典题•热题知识点一 确定函数解析式例1 若函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜2π)的最小值为-2，周期为32π，且它的图象过点(0,2-)，求此函数的表达式.思路分析：根据条件可先求出A ，再由周期得出ω，用特殊点求出φ. 解：由题意得A=2,ω=3，故设y=2sin(3x+φ)，∵图象过点(0,2-),∴sin φ=22-,0＜φ＜2π. ∴φ=45π或φ=47π. ∴函数的表达式为y=2sin(3x+45π)或y=2sin(3x+47π). 例2 图1-6-2为y=Asin(ωx+φ)的一段图象，求其解析式.图1-6-2思路分析：本题主要考查正弦函数的图象与性质.首先确定A.若以N 为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx 的图象)，所以A ＜0；若以M 点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降(类似于y=sinx 的图象)，所以A ＞0.而φ可由相位来确定.解：以N 为第一个零点，则A=3-，T=2(65π-3π)=π. ∴ω=2，此时解析式为y=3-sin(2x+φ).∵点N(6π-，0)为y=3-sin(2x+φ)的第一个零点， ∴6π-×2+φ=0⇒φ=3π.∴所求解析式为y=3-sin(2x+3π).巧解提示：以点M(3π，0)为第一个零点，则A=3，ω=Tπ2=2，解析式为y=3sin(2x+φ).∵点M(3π，0)为y=3sin(2x+φ)=0的第一个零点， ∴将点M 的坐标代入得2×3π+φ=0⇒φ=32π-.∴所求解析式为y=3sin(2x-32π). 方法归纳 (1)参数A 与ω是改变曲线形状的量，φ与b 是改变曲线位置的量.它们一起决定了曲线的形状与位置.(2)确定解析式y=Asin(ωx+φ)+b 中的参数A 、ω、φ、b 的关键是明确该函数同y=sinx 的关系；同时明确“五点法”作草图的过程及两个图象上相对应点间的关系. 知识点二 函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系 例3 画出下列函数的图象并观察其周期. (1)y=|cosx|；(2)y=|tanx|.思路分析：显然y=|cosx|，y=|tanx|的图象分别是把y=cosx ，y=tanx 的图象在x 轴下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.解：(1)y=|cosx|的图象如图1-6-3所示.图1-6-3从图中可以看出该函数是以π为周期的函数.(2)y=|tanx|的图象如图1-6-4所示.图1-6-4从图中可以看出该函数是以π为周期的函数.例4试画出下列函数的图象并观察其周期.(1)y=sin|x|；(2)y=tan|x|.思路分析：显然这两个函数都是偶函数，其图象应关于y轴对称.根据绝对值的意义可知x≥0的部分应是y=sinx，y=tanx右半平面的部分.解：(1)y=sin|x|的图象如图1-6-5所示.图1-6-5从图中可以看出y=sin|x|不再是周期函数.(2)y=tan|x|的图象如图1-6-6所示.图1-6-6从图中可以看出y=tan|x|的图象也不再是周期函数.方法归纳(1)一般地，对于函数y=f(|x|)而言，若它的定义域是关于原点对称的，则它是偶函数，它的图象必关于y轴对称，因为当x≥0时，|x|=x，所以函数y=f(|x|)的图象在y 轴右半平面的部分(包括同y轴的交点)是函数y=f(x)在x≥0时的部分，左半平面的部分应是右半平面的部分沿y轴翻折而得到的.(2)函数y=|Asin(ωx+φ)|的图象是保留y=Asin(ωx+φ)的上半平面部分，而把下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.对于y=|Acos(ωx+φ)|、y=|tan(ωx+φ)|的图象也是如此.函数y=|sin(ωx+φ)|的周期变为ωπ，而y=|tan(ωx+φ)|的周期仍是ωπ. 知识点三 建立数学模型解决实际问题例5 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位：小时)的函数，下面是时间与水深的数据：图1-6-7根据上述数据描出的曲线如图1-6-7所示，经拟合，该曲线可近似看成正弦函数y=Asin ωt+b 的图象.(1)试根据以上数据，求出y=Asin ωt+b 的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天(24小时)安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？思路分析：观察问题所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，可依据给出的数据与图象确定函数解析式中的参数A,ω,b 的值. 解：(1)由表中数据可知b=2713+=10，A=3. 由T=ωπ2=12,得ω=6π. 所以y=3sin6πt+10. (2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y 应大于等于7+4.5=11.5米.令y=3sin6πt+10≥11.5，可得sin 6πt≥21. ∴2k π+6π≤6πt≤2k π+65π,k∈Z .∴12k+1≤t≤12k+5,k∈Z .取k=0，则1≤t≤5，取k=1，则13≤t≤17；而取k=2，则25≤t≤29(不合题意).∴在凌晨1点至5点和下午13点至17点，该船能够安全进港.船舶要在一天之内在港内停留时间最长，就应在凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长不能超过16小时.例6 如图1-6-8，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).图1-6-8(1)求函数h=f(t)的关系式； (2)画出函数h=f(t)的图象. 思路分析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力.解：(1)如图1-6-9，以O 为原点，过点O 的切线为x 轴，建立直角坐标系.图1-6-9设点A 的坐标为(x,y)，则h=y+0.5.设∠OO 1A=θ，则cos θ=22y -,y=-2cos θ+2.又θ=122π×t 即t 6πθ=, 所以y=-2cos 6πt+2,h=f(t)=-2cos 6πt+2.5.(2)函数h=f(t)=-2cos 6πt+2.5的图象如图1-6-10.图1-6-10问题•探究 方案设计探究问题 根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界期和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置).请根据自己的出生日期，绘制自己的情绪和智力曲线.探究思路：从生日前一天起，连续一个月记录自己每天在情绪、体力、智力方面的表现，之后绘制自己的情绪和智力曲线.并比较生日相同的同学所绘制的情绪和智力曲线是否相同，通过实际操作，研究情绪和智力曲线对每个同学的指导是否有效.探究结论：根据实际情况得出结论，总结在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力. 材料信息探究在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落.一般地，海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”.由于潮汐与港口的水深有密切的关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用.一般地，船涨潮时驶入航道，靠近码头，卸货后，在落潮时回到海洋.某港口工作人员在2006年8月1日从0时至24时记录的时间t(小时)与水深d(米)的关系如下：问题 你能不能选用一个函数来近似地描述这个港口水深与时间的函数关系？探究过程：观察上表中所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表中的数据作出图象，从图象可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用一个类似于正弦函数的函数来刻画，此函数可记为y=Asin(ωx+φ)+k(A ＞0,ω＞0,φ∈［0,π］). 由上表可知，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，周期为12.则有⎩⎨⎧=-=+,5.2,5.7A k k A 则A=25，k=5，12=ωπ2,即ω=6π. 由上表还可得点(3，7.5)在函数的图象上，则有7.5=25sin(6π×3+φ)+5，即sin(2π+φ)=1，再由φ∈［0,π］得φ=0. 由上可得函数的解析式为y=x 6sin 255π+,x∈［0,24］.探究结论：上表中时间与水深的函数解析式可以近似地用函数y=x 6sin 255π+,x∈［0,24］来描述.思想方法探究问题 怎样求方程sinx=10x解的个数？ 探究过程：根据我们所学的知识，还不能解出这个方程.这时不妨采用数形结合的方法，把求方程根的个数的问题转化为求函数y=sinx 与y=10x的交点个数的问题.此外，解题时还应注意两个函数的奇偶性及图象的特性.具体方法是：作出当x≥0时，y=sinx 与y=10x的图象，由图可知它们有4个交点(包括原点).又因为y=sinx 与y=10x都是奇函数，它的图象关于原点对称，所以，当x ＜0时，两图象有3个交点.所以，函数y=sinx 与y=10x共有7个交点，即方程sinx=10x有7个根.探究结论：sinx=10x是一个超越方程，用代数的方法是无法求解的.对超越方程,我们可以利用数形结合的方法求其近似解和其解的个数.具体方法是：首先将方程化为f(x)=g(x)的形式，其中f(x)、g(x)的图象可以画出.然后画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们交点的横坐标为方程的解，而交点的个数为方程解的个数.。

1 1.6 三角函数模型的简单应用 疱工巧解牛 知识•巧学 一、函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系

绝对值仅对函数值施加影响，根据绝对值的意义有,0)(),(,0)(),(xfxfxfxfy要画出y=|f(x)|的图象，只需先画出y=f(x)的图象，再把x轴下半平面的部分沿x轴翻折上去(翻折后x轴下方的图象不再存在)，这样原有的x轴上半平面的部分及翻折上去的部分一起便构成了y=|f(x)|的图象. 二、数学建模 解决实际问题就是要把实际问题变成数学问题，通过解数学问题，获得答案，再反过来解释实际问题，这就是一个数学建模的过程. 一般来说，数学建模过程可用下面的框图表示：

图1-6-1 当问题与函数图象有关时，可先建立适当坐标系，把题目所给的每一对数据作为一个点的坐标，在坐标系中描出这些点，并用光滑曲线把这些点依次连结起来，观察所画曲线、选用适当函数解析式，设法求出解析式中各参数，并将已知数据代入求得的解析式进行检验.如果等式不成立，则需修改解析式；如果等式成立，则该函数解析式就是本题的数学模型.这时就可以利用这个数学模型解决题目的其他问题了. 函数模型的应用实例主要包括三个方面：直接利用给定的函数模型解决实际问题；建立确定性函数模型解决实际问题；建立拟合函数模型解决实际问题. 误区警示 建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析. 典题•热题 知识点一 确定函数解析式

例1 若函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜2π)的最小值为-2，周期为32，且它的

图象过点(0,2)，求此函数的表达式. 思路分析：根据条件可先求出A，再由周期得出ω，用特殊点求出φ. 解：由题意得A=2,ω=3，故设y=2sin(3x+φ)， 2

∵图象过点(0,2),∴sinφ=22,0＜φ＜2π. ∴φ=45或φ=47. ∴函数的表达式为y=2sin(3x+45)或y=2sin(3x+47). 例2 图1-6-2为y=Asin(ωx+φ)的一段图象，求其解析式.

1.6三角函数模型的简单应用（第一课时）教案一、教材地位：本节内容是人教版高中数学必修4第一章最后一节，其内容与实际问题联系，解决三角函数实际问题，从而建立数学模型，应用于生活、生产实际问题中。

二、教学目标：（1）知识与技能1.学习三角函数模型的简单应用，让学生初步学会由图像求解析式；2.学生根据解析式作出图像，从图像探究性质；3.用三角函数模型解决实际问题；4.理解三角函数是描述周期变化现象的函数模型。

（2）过程与方法让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，培养学生建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力与方法。

（3）情感态度与价值观让学生自己感受数学建模，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，激发学生学习兴趣，培养刻苦、勇敢探索、勤于思考的精神。

三、教学重难点：重点：准确模型的应用，由图像求解析式和由解析式研究图像与性质；难点：从实际问题中取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。

四、教学过程：（一）复习三角函数的图像和基本性质1、怎样画出正弦、余弦、正切函数图像？正弦、余弦函数用五点法作图容易。

2、从图像寻找性质，推广到三角函数型函数。

（二）由图像探究求三角函数模型的解析式（1）.课本60页的例题1（2）.解决这类问题的一般程序：1、审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2、建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3、求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4、还原：把数学结论还原为实际问题的解答。

（三）课堂练习变式一、设y＝f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（小时）的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系一个能近似表示表中数据间对应关系的函数。

（四）课堂小结1.本节课学习了什么内容和思想方法？2.是否会应用三角函数模型解决简单的实际问题？（五）课内外作业课本65页练习（六）教学反思。