1.6 三角函数模型的简单应用
【学习目标】
1. 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
2.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。
【新知自学】
知识回顾：
y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.
2．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)y max＝________，y min＝________.
(2)A＝__________，k＝__________.
(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
新知梳理：
1、创设情境、激活课堂
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交
替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，
庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我
们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期
现象-----1.6三角函数模型的简单应用。
2、结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数
的周期．
(1)y＝|sin x|的周期是________；
(2)y＝|cos x|的周期是________；
(3)y＝|tan x|的周期是________；
(4)y＝|A sin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________；
(5)y＝|A sin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是__________；
(6)y＝|A tan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________．
对点练习：
1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函
数关系式为s ＝6sin ?
????100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.150 s
B.1
100 s C ．50 s D ．100 s
2．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ? ????π6＋x ＝f ? ????π6－x ，则f ? ??
?
?π6等于( )
A ．3或0
B ．－3或0
C ．0
D ．－3或3
3.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )
的图象大致是( )
【合作探究】
典例精析：
题型一、由图象探求三角函数模型的解析式
例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(?ω． （1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式
变式练习：
某动物种群数量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900，
其总量在此两值之
间变化，且总量与月份的关系可以用函数b x A y ++=)sin(?ω0,0,0<<->>?π?A 来刻画，试求该函数表达式。
题型二、由解析式作出图象并研究性质
例2．画出函数x y sin =的图象并观察其周期．
变式练习：
x x x f sin sin )(+=的周期是 ．
)3
sin()(π
+
=x x f 的周期是 ．
x x f sin 2)(+=的周期是 ．
规律总结：
利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研究数学问题的常用方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证： )(sin sin )sin()(x f x x x x f ==-=+=+ππ
∴x x f sin )(=的周期是π．（体现数形结合思想！）
题型三、应用数学知识解决实际问题
例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δ?θ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．
如果在北京地区(纬度数约为北纬
40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
变式练习：
交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ?
????100πt ＋π6来表示，求：
(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．
θφφ-δδ
太阳光
【当堂达标】
1、据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx
＋φ)＋b ?
????A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )
A ．f (x )＝2sin ? ????π4
x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *
)
B ．f (x )＝9sin ? ????π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *
)
C ．f (x )＝22sin π4
x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *
)
D ．f (x )＝2sin ? ????π4
x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *
)
2、如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h .
(1)求h 与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的函数解析式．
3、如图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)在同一周期内的图象． (1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；
(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1
100
的时间内电流I 能同时取得最大值和最
小值，那么正整数ω的最小值是多少？
1、函数y ＝2sin ? ????m 3x ＋π3的最小正周期在? ??
??23，34内，则正整数m 的值是________．
2．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
3．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位
移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ?
??
??
g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．
4、如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度
不小于17 m.
5.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．
(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？
【延伸探究】
如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？