非线性方程求根 本章主要内容： 1.区间二分法. 2切线法. 3.弦位法. 4.一般迭代法. 重点、难点 一、区间二分法 区间二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。 基本思想：利用有根区间的判别方法确定方程根的区间[a,b],将有根区间平分为二；再利用有根区间的判别方法判断那一个区间是有根区间；重复上述步骤，直到小区间端点差的绝对值小于等于精度要求的数值，则用将上一区间的分半值作为方程的根的近似值。 区间二分法的计算步骤如下： 1. 计算区间端点的函数值f(a),f(b)（不妨设f(a)＜0,f(b)＞0）； 确定初始有根区间[a,b]. 2.二分有根区间[a,b]，并计算)2( b a f +取2 1b a x += 3.判断：若0)(1=x f ，则方程的根为1x x =* ； 若0)(1>x f ，则有根区间为[]1,x a x ∈* ；令[]],[,111b a x a = 若0)(1 例1用区间二分法求方程0353 =+-x x 在某区间内实根的近似值（精确到0.001） 【思路】参见上述区间二分法的计算步骤 解∵f(1.8)=-0.168＜0,f(1.9)=0.359＞0∴f(x)在区间[1.8，1.9]内有一个根。 由公式644.512 ln 001 .0ln 1.0ln 12ln ln )ln(=--=---≥ εa b n 取n=6，计算结果列表如下： 则方程在区间[1.8，1.9]内所求近似值为x * ≈x=1.8328125 区间二分法的优点是计算程序简单，只要f (x )在区间[a,b]上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。 迭代序列收敛阶的概念 设迭代序列{}n x 收敛于* x ，如果存在实数1≥p 与正常数c ，使得 c x x x x p n n n =--* *+∞ →1lim ，则称序列{}n x 是p 阶收敛于*x 。 特别地，当1=p 时，称序列{}n x 为线性（一次）收敛；{}n x 为线性收敛时，必须要求1 第七章非线性方程求根 要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断 （2） 迭代公式收敛阶概念 （3） Newton 迭代公式及收敛性左理 复习题： 1、建立一个迭代公式il ?算数G = j5 + 7?+辰二,要求分析所建迭代公式的收敛性 解：迭代式为：「卄产 l/o = 5 数d 应是函数卩（x ） = jrr§的不动点（即满足0（a ） = a ） 注意到（1）当xeI0,5］时，恒有0（人）€［0?习 (2)当xe[(X5]时，恒有0Cr) = — <-< 1 2\J X + 5 2 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到“ 2、对于方程—x = 2 ? 解：（1）记/（X ）= 8’ — / 一 2 显然 /(_1.9) = 0.0496 >0, /(一1) =-0.6321 <0 当Jce[-L9,-1]时.恒有/V) = e'-l<0 可见/（X ）在区间［-1.9,-I ］内有且仅有一个零点 即方程在区间内有且仅有一个实根 (2)取 严-X-2 兀屛=兀------ 汗七― e" -1 .心=一1?9 3、为求x^-x--\=0/￡ L5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的 迭代公式：(1) x = l + A： (2) x = (l + x-)h试分析每一种迭代的收敛性 X- 解：记 ⑴ 迭代式为￡. = 1+2,这里记9?U)= I+4 注意到/(1?3)/(1?5)<1?并且f\x) = 3x--2x = x(3x-2)>Q. xe[L3J.5] 所以区间［1.3J.5］为有根区间 2 0([l?3J?5])c[l?3J?习，井且当xe[L3J.5]时，恒有I 数值分析讲义 第三章线性方程组的解法 §3.0 引言 §3.1 雅可比(Jacobi)迭代法 §3.2 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 §3.3 超松驰迭代法§3.7 三角分解法 §3.4 迭代法的收敛性§3.8 追赶法 §3.5 高斯消去法§3.9 其它应用 §3.6 高斯主元素消去法§3.10 误差分析 §3 作业讲评3 §3.11 总结 §3.0 引言 重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用.如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题. 分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法. (a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解.最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发.计算代价高. (b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题.简单实用,诱人. §3.1 雅可比Jacobi 迭代法 (AX =b ) 1 基本思想: 与解f (x )=0 的不动点迭代相类似,将AX =b 改写为X =BX +f 的形式,建立雅可比方法的迭代格式：X k +1=BX (k )+f ,其中，B 称为迭代矩阵.其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组. 2 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{X k }是否收敛以及收敛条件? 3 例题分析: 考虑解方程组??? ??=+--=-+-=--2.453.82102 .72103 21321321x x x x x x x x x (1) 其准确解为X *={1, 1.2, 1.3}. 建立与式(1)相等价的形式： ??? ??++=++=++=84.02.01.083.02.01.072 .02.01.02 13312321x x x x x x x x x (2) 据此建立迭代公式： ?????++=++=++=+++84 .02.01.083.02.01.072.02.01.0)(2)(1)1(3 )(3 )(1)1(23)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (3) 取迭代初值0) 0(3 )0(2)0(1===x x x ,迭代结果如下表. JocabiMethodP31.cpp 数值分析实验报告——非线性方程求根 二分法 一、题目 用二分法求方程= 的所有根 x .13要求每个根的误差小于 -x + 0.001. . 2 1 二、方法 二分法 三、程序 1、Jiangerfen.M的程序 function[c,yc]=jiangerfen(f,a,b,tol1,tol2) if nargin<4 tol1=1e-3;tol2=1e-3;end %nargin<4表示若赋的值个数小于4，则tol1和tol2取默认值。 ya=feval('f',a);%令x=a代入到方程f中，ya即f(a)。 yb=feval('f',b); if ya*yb>0,disp('(a,b)不是有根区间');return,end max=1+round((log(b -a)-log(tol2))/log(2));%round函数是将数据取整，使数据等于其最接近的整数。 for k=1:max c=(a+b)/2; yc=feval('f',c); if((b-a)/2 第六章非线性方程的数值解法习题解答 填空题： 1. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 Ans:1()1()n n n n n x f x x x f x +-=- '- 2.求解方程 在(1, 2)内根的下列迭代法中， (1) (2) (3) (4) 收敛的迭代法是（A ）. A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 3.若0)()(，故迭代发散。 以上三中以第二种迭代格式较好。 2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =L 产生的迭代序列{}0k k x ∞ =对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2 0M λ<< 时，均收敛于方程的根。 第七章 非线性方程求根 教学目的与要求： 理解二分法求根的思想；掌握二分法求解过程；了解二分法的优点和缺点。了解迭代法的基本思想，迭代法的收敛条件以及局部收敛性的定义；理解基本迭代法的迭代思路，收敛条件的产生与求证过程；掌握基本迭代法的迭代格式，收敛条件的应用以及局部收敛定理。 重点和难点：迭代法的基本思想，迭代法的收敛性 ■ 教学内容： 基本概念： 的零点； 的m 重零点。 )(x f )(x f 非线性方程的求根通常分为两个步骤：一是对根的搜索，二是根的精确化，求得根的足够精确的近似值。 求方程的有根区间有如下方法： (1)描图法。画出的简图，从曲线与)(x f y =x 轴交点的位置确定有根区间。 (2)解析法。根据函数的连续性、介值定理以及单调性等寻找有根区间。 § 1 二分法 分析二分法的基本原理 例1 用二分法求方程的一个正根，要求误差不超过. 01)(6=??=x x x f 2105.0?ק 2 迭代法及其收敛性 一、迭代法的定义 二、基本迭代法 定义：将方程改写成以下等价形式() x x ?=取定初始值0x ，由迭代公式1() (0,1,2,)n n x x n ?+==L 产生迭代序列{}n x 。显然，若{}n x 收敛于*x ,()x ?在*x 处连续，就有** 1lim lim ()()n n n n x x x ??+→∞→∞ ===x 即*x 是方程() x x ?=的解，从而也是0)(=x f 的解。故当充分大时，可取作为方程根的近似值。用迭代格式求得方程近似根的方法称为基本迭代法，n n x )(x ?称为迭代函数。由于收敛点*x 满足*()* x x ?=，故称*x 为)(x ?的不动点 例 求方程的一个实根，要求精确到六位小数。 032)(3 =??=x x x f 注意：把此方程转换成三种等价形式 ,32)(31+==x x x ?)3(2 1)(32?= =x x x ?, 3)(33??==x x x x ?三、迭代法的收敛条件 实验报告 一、实验目的 1．迭代函数对收敛性的影响。 2．初值的选择对收敛性的影响。 二、实验题目 1．用简单迭代法求方程01)(3=--=x x x f 的根。 分别化方程为如下等价方程： 31+=x x ；13 -=x x ；x x 11+=；213-+=x x x 取初值5.10=x ，精度为4 10-，最大迭代次数为500，观察其计算结果并加以分析。 2．①用牛顿法求方程01)(3=-+=x x x f 在0.5附近的根， 分别取初值1000,100,2,1,5.0,5.0,1,2,100,10000-----=x 观察并比较计算结果，并加以分析。 ②用牛顿法求方程0)(3=-=x x x f 所有根。 三、实验原理 简单迭代法程序，牛顿迭代法程序。 四、实验内容及结果 五、实验结果分析 (1)实验1中用简单迭代法求方程01)(3=--=x x x f 的根： 取初始值5.10=x 的时候，等价方程2和4是不收敛的。等价方程1的迭代次数为6，近似值为1.324719474534364。等价方程3的迭代次数为7，近似值为1.324718688942791。说明不同的等价方程得到的结果以及迭代的次数是不一样的。 (2)实验2中用牛顿迭代法求方程01)(3=-+=x x x f 在0.5附近的根： 通过结果可知，当初始值越接近真实值时，迭代的次数就越少。 (3)实验3中用牛顿法求方程0)(3=-=x x x f 所有根： 可知该方程的根为01=x ，12=x ，13-=x ，由于方程是无重根的，所以可以直接用牛顿迭代法做，而不需要使用牛顿迭代加速法做。 一 实验目的 1．掌握求解线性方程组的高斯消元法及列主元素法； 2. 掌握求解线性方程组的克劳特法； 3. 掌握求解线性方程组的平方根法。 二 实验内容 1．用高斯消元法求解方程组（精度要求为610-=ε）： 1231231 233272212240x x x x x x x x x -+=??-+-=-??-+=? 2．用克劳特法求解上述方程组（精度要求为610-=ε）。 3. 用平方根法求解上述方程组（精度要求为610-=ε）。 4. 用列主元素法求解方程组（精度要求为610-=ε）： 1231231 233432222325x x x x x x x x x -+=??-+-=??--=-? 三 实验步骤（算法）与结果 1. 程序代码（Python3.6）： import numpy as np def Gauss(A,b): n=len(b) for i in range(n-1): if A[i,i]!=0: for j in range(i+1,n): m=-A[j,i]/A[i,i] A[j,i:n]=A[j,i:n]+m*A[i,i:n] b[j]=b[j]+m*b[i] for k in range(n-1,-1,-1): b[k]=(b[k]-sum(A[k,(k+1):n]*b[(k+1):n]))/A[k,k] print(b) 运行函数： >>> A=np.array([[3,-1,2],[-1,2,-2],[2,-2,4]],dtype=np.float) >>> b=np.array([7,-1,0],dtype=np.float) >>> x=Gauss(A,b) 输出： 结果：解得原方程的解为x1=3.5,x2=-1,x3=-2.25 2 程序代码（Python3.6）： import numpy as np A=np.array([[3,-1,2],[-1,2,-2],[2,-2,4]],dtype=float) L=np.array([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],dtype=float) U=np.array([[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]],dtype=float) b=np.array([7,-1,0],dtype=float) y=np.array([0,0,0],dtype=float) x=np.array([0,0,0],dtype=float) def LU(A): n=len(A[0]) i=0 while i if fp==0||(abs((b-a)/2) 第二章 方程求根 教学内容： 1．二分法 2．基本迭代法 3．牛顿法 4．弦位法 5．埃特金法和斯基芬森法 6．重根的情况 教学重点： 各种算法的思路及迭代公式的构造 教学难点： 各种算法的收敛性、收敛速度及误差估计 计划学时：5-6学时 授课提纲： 方程求根就是求函数)(x f 的零点*x ，即求解方程 0)(=x f 这里，0)(=x f 可以是代数方程，也可以不是，如超越方程。 方程的根既可以是实数，也可以是复数；既可能是单根，也可能是重根；即可能要求求出给定范围内的某个根，也可能要求求出方程全部的根。 本章介绍的方法对两类方程都适用，但大部分都是要求知道根在什么范围内，且在此范围内只有一个单根。若有α使得0)(,0)(≠'=ααf f ，则称α是方程0)(=x f 的单根；若有α使得 0)(,0)()()()()1(≠==='=-ααααm m f f f f ， 则称α是方程0)(=x f 的m 重根。 设)(x f 在区间[a,b]连续，若0)()( 2.1.2 二分法思想 区间对分，去同存异 2.1.3 二分法计算步骤 步1：令2/)(0b a x +=，计算)(0x f ； 步2：若0)(0=x f ，令0*x x =，计算结束； 步3：若)(0x f *)(a f >0，令0x a =；否则令0x b =； 步4：若ε≤-||a b ，令2/)(*b a x +=,计算结束；否则转步1。 2.1.4 二分法误差分析和收敛性 记第k 次区间中点为k x ，则有 2/)(0*a b x x -≤-，21*2/)(a b x x -≤-，1*2/)(,+-≤-k k a b x x 故当∞→k 时，*x x k →。 为使ε≤-k x x *，解不等式ε≤-+12/)(k a b ，得 12ln /]ln )[ln(---≥εa b k 2.1.5 二分法的优缺点 ● 算法简单直观，易编程计算； ● 只需)(x f 连续即可； ● 区间收缩速率相同，收敛速度慢； ● 无法求复根和偶重根。 例2-1 p15例1 2.2 迭代法 2.2.1 迭代法原理 0)(=x f ? )(x x ?= )(x f 的根 )(x ?的不动点 2.2.2 迭代法思路 任取初值],[0b a x ∈，令)(01x x ?=，)(12x x ?=，反复迭代，即得 ),2,1,0(),(1 ==+k x x k k ? 直到满足精度要求的k x 来近似*x 。称)(x x ?=为迭代公式，)(x ?为迭代函数，{k x }为迭代序列。 若{k x }收敛时，称迭代公式是收敛的。此时设=∞ →k k x lim *x ，当)(x ?连续时 )()lim ()(lim lim *1*x x x x k k k k k ???====∞ →∞ →+∞ → 亦即0)(*=x f 。若{k x }不收敛，称迭代公式是发散的。 第七章非线性方程求根 （一）问题简介 求单变量函数方程 ()0f x = (7.1) 的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为函数() f x 的零点.若()f x 可以分解为 ()(*)()m f x x x g x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有 (1)() (*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法 设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在(a,b)内 仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001()2x a b =+和 0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若 00()()0 f a f x >,则令 10,1a x b b ==,得新的有根区间 11[,] a b ;若 00()()0 f a f x <,则令 10,10a a b x ==,得新的有根区间11[,]a b .0011[,][,]a b a b ?,11001 () 2b a b a -=-.再令1111 ()2x a b =+计算1()f x ,同上法得出新的有根区间22[,]a b ,如此反复进行,可得一有根区 间套 1100...[,][,]...[,] n n n n a b a b a b --???? 且110011 *,0,1,2,...,()...() 22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-. 故 1 lim()0,lim lim ()* 2n n n n n n n n b a x a b x →∞→∞→∞-==+= 实验报告一：实验题目 一、 实验目的 掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。 二、 实验内容 1、编写二分法、牛顿迭代法程序，并使用这两个程序计算 02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 4 10- ，比较两种方法收敛速度。 2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。 3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根cot x =(x 2?1)/2x ，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。 4、用牛顿法求方程f (x )=x 3?11x 2+32x ?28=0的根，精确至8位有效数字。比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。 三、 实验程序 第1题： 02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。 画图函数： function Test1() % f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0 r = 0:0.01:1; y = r + exp(r) - 2 plot(r, y); grid on 二分法程序： 计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4) function [c,num]=bisect(a,b,delta) %Input –a,b 是取值区间范围 % -delta 是允许误差 %Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值 % -num 是迭代次数 ya = a + exp(a) - 2; yb = b + exp(b) - 2; if ya * yb>0 return; end for k=1:100 c=(a+b)/2; yc= c + exp(c) - 2; if abs(yc)<=delta a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if abs(b-a) 《数值分析》实验报告 实验一方程求根 一、实验目的: 掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。 二、实验内容: 二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。观察初值对收敛性的影响。 三、实验步骤： ①、二分法： 定义：对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。 实现方法：首先我们设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[,1]上的根，误差限为e=10^-4。 PS：本方法应用的软件为matlab。 disp('二分法') a=;b=1; tol=; n0=100; fa=400*(a.^4)-300*(a.^3)+200*(a.^2)-10*a-1; for i=1:n0 p=(a+b)/2; fp=400*(p.^4)-300*(p.^3)+200*(p.^2)-10*p-1; if fp==0||(abs((b-a)/2) 数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序（6种） 1.求解不动点 function [k,p,err,P]=fixpt(g,p0,tol,max1) %求解方程x=g(x) 的近似值，初始值为p0 %迭代式为Pn+1=g(Pn) %迭代条件为：在迭代范围内满足|k|<1(根及附近且包含初值)k为斜率 P(1)=p0; for k=2:max1 P(k)=feval(g,P(k-1)); err=abs(P(k)-P(k-1)); relerr=err/(abs(P(k))+eps); p=P(k); if (err if b-a 第七章 非线性方程求根 要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断 （2）迭代公式收敛阶概念 （3）Newton 迭代公式及收敛性定理 复习题： 1、建立一个迭代公式计算数 a =要求分析所建迭代公式的收敛性 解： 迭代式为：105 n x x +?=?? =?? 数a 应是函数()x ?= ()a a ?=） 注意到（1）当[0,5]x ∈时，恒有[,5)](0x ?∈ （2）当[0,5]x ∈ 时，恒有()1 12 x ?<'= < 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到a 2、对于方程2x e x -=， （1） 证明在区间［-1.9，-1］内有唯一实根 （2） 讨论迭代格式 10(12 .9,1) k x k x e x +?=∈--??-??的收敛性如何？ （3） 写出求解该实根的牛顿迭代公式 解：（1）记()2x f x e x =-- 显然( 1.9)0.04960, (1)0.63210f f -=>-=-< 当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有()10x f x e '=-< 可见()f x 在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个零点 即方程在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个实根 （2）取()2x x e ?=- 容易验证：（I ）当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有[ 1.9](,1)x ?∈--， (II) 当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有1 )1(x e x e ?-'<=< 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 （3）记()2x f x e x =-- 牛顿迭代法形式： 1() () n n n n f x x x f x +=- ' 即：10 211.9n n x n n n x e x x x e x +?--=-?-??=-? 3、为求012 3 =--x x 在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的 迭代公式：（1）211x x +=；（2）()3 1 21x x +=。试分析每一种迭代的收敛性 解：记 32 ()1f x x x =-- (1) 迭代式为1211n n x x +=+ ，这里记2 1()1x x ?=+ 注意到(1.3)(1.5)1f f <, 并且2 ()32(32)0f x x x x x '=-=->, [1.3,1.5]x ∈ 所以区间[1.3,1.5]为有根区间 ([1.3,1.5])[1.3,1.5]??, 并且当[1.3,1.5]x ∈时，恒有3 |()|2 11.3x ?≤ <' 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 (2) 迭代式为1231(1)n n x x +=+，这里123 ()(1)x x ?=+ 同(1)中讨论，得结论：该迭代公式收敛 4、对于方程01=-x xe 在0.5附近的根。 （1） 选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。 （2） 给出求解该实根的牛顿迭代公式 解：(1) 01=-x xe 1x x e = 构造迭代式： 10 n x n x e x -+?=????， 即取迭代函数 ()x x e ?-= 首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间 ([0.1,1])[0.1,1]??, 并且当[0.1,1]x ∈时，恒有0.1|()|1x e ?-≤<' 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 设* [0.1,1]x ∈是其根的精确值， 因为* *()0x x e ?-'=-≠，故收敛为线性收敛，即收敛阶1p = 第七章非线性方程求根 要点：(1)迭代公式局部收敛性及收敛性判断 (2)迭代公式收敛阶概念 (3)Newton迭代公式及收敛性定理 复习题： 1、建立一个迭代公式计算数d = $5 + 7^5 +…,要求分析所建迭代公式的收敛性￡+】 =j5 + ￡ 解：迭代式为: 兀()=5 数d应是函数0(x)=厶+ 5的不动点(即满足(p(a) = a ) 注意到(1)当兀引0,5］时，恒有0(x) w ［0,5］ (2)当兀引0,5］时,恒有(p\x) = — . <-<\ 2Vx+5 2 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到Q 2、対于方程『—兀=2, (1)证明在区间［-1.9, -1］内有唯一实根 (2)讨论迭代格式二“一2的收敛性如何？ (3)写岀求解该实根的牛顿迭代公式 解：(1) iE/(x) = e A-x-2 显然/(-1.9) = 0.0496 > 0, /(-I) = -0.6321 < 0 当兀0［—1.9,一1］吋，恒有/'(力二/一1<0 可见/(兀)在区间［-1.9,-1］内有且仅有一个零点 即方程在区间［-1.9,-1］内有R仅冇一个实根 (2)取(p(x) = e x-2 容易验证:(I)当xe［-1.9,-l］时，恒有0(兀)引一1.9,一1］, (II)当兀引一1.9,一1］时，恒有0(x)二/vl 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 (3) Mf(x) = e x-x-2 即：<￡+】=￡ 严一1 兀o = —1.9 3、为求x3-x2-l = 0在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的迭代公式：(1) x = l + (2)兀=(1 + /)二试分析每一种迭代的收敛性 解：记f(x) = x3-x2-l (1)迭代式为￡+1=1+丄，这里记0(兀)=1+丄 ￡厂 注意到/(1.3)/(1.5)<1,并且f\x) = 3x2-2x = x(3x-2) > 0, XG [1.3,1.5] 所以区间[1.3,1.5]为冇根区间 2 /([1.3,1.5])匸[1.3,1.5],并且当xw[l?3,l?5]时，恒有10 ⑴ 15青<1 依据不动点 迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 1 2 (2)迭代式为兀汁严(1 +尤)匚这里0(兀) = (1 +严)3 同(1)屮讨论，得结论：该迭代公式收敛 4、对于方程xe x-l = O在0.5附近的根。 (1)选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。 (2)给出求解该实根的牛顿迭代公式 解：⑴xe x -1=0《9 x = — e x f Y = p~Xfl 构造迭代式：\ n+i,即収迭代函数(p(x) 十 ko 首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间 ^([0.1,1]) c [0.1,1],并且当XG [0.1,1]时，恒有I(p\x) \< e A}A < 1 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 设XG [0.1,1]是其根的精确值， 实验名称： 实验五 线性方程组的数值解法 指导教师： 数值分析实验组 实验时数： 2 实验设备：安装了Matlab 、C ++、VF 软件的计算机 实验日期：2014年 月 日 实验地点： 第五教学楼北802或902 实验目的： 1. 掌握线性方程组的迭代法和直接法的基本思想和基本步骤。 2. 理解各类数值解法的优缺点，并能自行编程求解。 3. 认识迭代法收敛的含义以及迭代法初值和方程组系数矩阵性质对收敛速度的影响，了解求解病态线性方程组的方法。 实验准备： 1. 在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容； 2. 需要一台准备安装Windows XP Professional 操作系统和装有数学软件的计算机。 实验内容及要求 A 题 考虑方程组b Hx =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 阵， n j i j i h h H j i n n j i ,,2,1,,1 1 ,)(,, =-+= =? 这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（例如取各个分量均为1）再计算出右端的办法给出确定的问题。 （1） 选择问题的维数为6，分别用列主元Gauss 消去法、Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？ （2） 逐步增大问题的维数，仍然用上述方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？分析产生结果的原因。 说明：实验过程应包括对问题的简要分析、求解方法、求解步骤、程序及其必要的图表等内容。 实验过程： 本实验所选题为A 题 实验分析：b Hx =，H 矩阵可由Matlab 直接给出，为了设定参考解，首先设x 为分量全 为1的向量，求出b ，然后将H 和b 作为已知量，求x ，与设定的参考解对比。 对于列主元Gauss 消去法，Jacobi 迭代，Gauss-Seidel 迭代，SOR 迭代法，去迭取迭代初值数值分析分章复习(第七章非线性方程求根)
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