锐角三角函数（2）
教学目标：
知识与技能
1、能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.
2、能够用sin A,cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.
过程与方法
1、经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
情感与价值观
1、积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学.
2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.
教学重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.
教学难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.
教学过程
第一环节复习引入
1、如图，Rt△ABC中，tan A =，tan B=.
2、若梯子与水平面相交的锐角（倾斜角）为∠A，∠A越大，梯子越；tan A的值越大，梯子越.
3、当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其它边之间的比值也确定吗?可以用其它的方式来表示梯子的倾斜程度吗？
【答案】1、a b b a
2、陡陡
第二环节探求新知
探究活动1：
如图，请思考：
（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是；
（2）的关系是和2
22111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则
的关系是和222111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________.
它的邻边与斜边的比值呢？
归纳概念：
1.定义：
在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sin A ，即
sin A ＝ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cos A ，即
斜边
的对边A B 1
B 2
A
C 1 C 2
cos A = 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometric function).
2、锐角A 的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A 的三角函数.
强调：
（1）sin A ，cos A 是在直角三角形中定义的,∠A 是一个锐角；
（2）sin A ，cos A 中常省去角的符号“∠”.但∠BAC 的正弦和余弦表示为: sin ∠BAC ，cos ∠BAC .∠1的正弦和余弦表示为: sin ∠1，co s ∠1；
（3）sin A ，cos A 没有单位，它表示一个比值；
（4）sin A ，cos A 是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A ”；
（5）sin A ，cos A 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系. 探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tan A 有关系，tan A 越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 有关系吗？是怎样的关系？
探索发现：梯子的倾斜程度与sin A ,cos A 的关系：
sin A 越大，梯子越陡；
cos A 越小，梯子越陡.
小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦值.
第三环节及时检测
1、如图，在Rt △ABC 中，锐角A 的对边和邻边同时扩大100倍，sin A 的值（）
斜边
的邻边A
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
2、已知∠A，∠B为锐角
(1)若∠A=∠B，则sin A_________sin B；
(2)若sin A=sin B，则∠A_________∠B.
3、如图，∠C=90°，CD⊥AB，sin B=( )=( )=( )
【答案】1、C
2、(1) =
(2)=
3、AC
AB
CD
CB
AD
AC
第四环节总结延伸
1、锐角三角函数定义
2、温馨提示：
（1）sin A，cos A，tan A是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；
（2）sin A，cos A，tan A是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；
（3）sin A，cos A，tan A都是一个比值，注意区别,且sin A，cos A，tan A均大于0,无单位；
（4）sin A，cos A，tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然
关系；
（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.
3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.
第六环节教学反思：
25.2锐角三角函数（2） 教学目标 ：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点： 进一步体会三角函数的意义. 教学方法：自主探索法。 教学准备：一副三角尺、 多媒体演示。 教学过程： 一：.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ) 提示：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ， 所以sin30°＝ 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a
鲁教版初三数学知识点 编辑人:鲁东大学08级经济系 李建鹏 第一章 分式 一、分式 1．分式的概念：如果整式A 除以整式B, 可以表示成B A 的形式,且除式 B 中含有字母，那么称式子B A 为分式。其中, A 叫分式的分子, B 叫分式的分母。 注意：①判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后是整式 也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。如:x 2／x 是分式,虽然约 分之后等于x 是整式,但约分前是分式。 ②π是常数,所以a/π不是分式而是整式。 2．有理式：整式和分式统称有理式。(整式的分母中不含有字母) 3．关于分式的几点说明: (1)分式的分母中必须含有未知数； (2)分式是两个整式相除的商式,对任意一个分式，分母都不为零； (3)分数线有除号和括号的作用,如：d c b a -+表示（a ＋b ）÷(c － d )； (4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母≠0)，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”。 4．一般的，对分式A ／B 都有：①分式有意义 B ≠0； ②分式无意义 B=0； ③分式的值为0A=0且B ≠0； ④分式的值大于0分子分母同号； ⑤分式的值小于0分子分母异号。 5．基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变。 二、分式的乘除法 1.分式的乘除法则:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。 2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。 注意:①当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时,直接约分； ②分式的分子和分母都是多项式时，将分子和分母分解因式再约分。 3.最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时， 一般要将一个分式化为最简分式。 三、分式的加减法 1.通分:利用分式的基本性质 ,把异分母的分式化为同分分母的过程。 通分原则:异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母。 通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分 母，同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子。 最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂及
鲁教版2018中考数学专题复习 二次根式 1. 4 的平方根是（ ）A . 2 B . 16 C. ±2 D .±16 2.设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5 3.实数a 化简后为 A ． 7 B ． －7 C ． 2a －15 D ． 无法确定 4.若0)3(12=++-+y y x ，则y x - 的值为 （ ）A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7 5. (-2)2 的算术平方根是（ ）（A ）2 （B ） ±2 （C ）-2 （D ）2 6.下列运算正确的是（ ）A.25=±5 B.43-27=1 C.18÷2=9 D.24·3 2 =6 7.在实数0 、 2-中，最小的是（ ）A ．2- B ． C ．0 D 8. 12a -，则（ ）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12 9．下列各式中，正确的是（ ）A ． 3- B ．3- C 3± D 3± 10.已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为A.9 B.±3 C.3 D. 5 11.计算75147-＋27之值为何（ ）A ．53 B ．33 C ．311 D ． 911 12.．计算 63125412 9? ÷之值为何（ ）A ．123 B ．63 C ．33 D ．433 13. 8的立方根是（ ）A ．2 B ．-2 C ．3 D ．4 14.下列各式计算正确的是A ．2 ． 15.下面计算正确的是（ ） A.3 32 35 = D.2- 16.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．x ＜3 D ．x ＞3 17． ）A ．3 B ．－3 C ．±3 D ． 18.计算221－63 1＋8的结果是（ ）A ．32－23 B ．5－ 2 C ．5－3 D ．22 19.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． ． 20. 已知y 2xy 的值为（ ）A ．15- B ．15 C ．152- D ． 152 21.下列计算正确的是（ ） 4 22.已知a 、b 为两个连续的整数，且a b ，则a b += 23.计算：28-= 24. 当x =2 211x x x ---=____________．25. x 的取值范围是 ． 26. 实数x ，y 满足x +1y y ---1)1(=0，那么x 2011 -y 2011 = ．27. 计算的结果是 ． 第2题图
九年级数学 第一章第1-3节用计算器求锐角的三角函数值 鲁教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 第一章 解直角三角形 第一节 锐角三角函数 第二节 30°，45°，60°角的三角函数值 第三节 用计算器求锐角的三角函数值 二. 教学目标： 1. 认识并理解锐角三角函数的概念，能够正确地应用sinA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两条边之比，体会数形结合思想。 2. 理解并熟记30°，45°，60°角的三角函数值，会计算含有特殊锐角三角函数值的式子的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它所对应的角度。 3. 掌握用计算器求已知锐角的三角函数值，以及由已知三角函数值求它所对应的锐角的方法。 三. 教学重点、难点： 锐角三角函数的概念中关于比的理解。 四. 教学过程： （一）知识点： 1. 锐角三角函数的概念 ： 1）正弦：一般地，在Rt ΔABC 中（如下图）∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫∠A 的正弦，记作sinA 。sinA= c a AB BC A ==∠斜边的对边。 2）余弦：一般地，在Rt ΔABC 中（如上图）∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与斜边 的比叫∠A 的余弦，记作cosA 。cosA= c b AB AC A ==∠斜边的邻边。 3）正切：一般地，在Rt ΔABC 中（如上图）∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边 的比叫∠A 的正切，记作tanA 。tanA=b a AC BC A ==∠邻边的对边。 注：如果一个锐角的角度确定之后，那么这个角的正弦值、余弦值、正切值是固定不变的，比值的大小与锐角的边长无关。 2. 特殊锐角三角函数的值
鲁教版初四知识点 第一章反比例函数 一、反比例函数 1.定义:一般地,形如 y＝k／x (k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是自变量，y是x的函数,k是比例系数。若y=k/nx 此时比例系数为:k/n,如y=2/3x的比例系数为2/3 反比例函数的定义中需要注意什么？ (1)常数 k 称为比例系数,k是非零常数； (2)自变量x次数不是1,x 与 y 的积是非零常数； (3)除 k、x 、y三项以外,不含其他项。 反比例函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 2.反比例函数的三种表现形式:(k为常数,k≠0) (1)y＝k／x (2)xy=k (3)y=kx-1(即:y等于x的负一次方,此处x必须为一次方) 2.K的几何含义: 反比例函数y＝k／x (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y＝k／x (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB的面积为|k|，所得三角形面积|k|/2。 二、反比例函数的图象和性质 1.图像: 反比例函数的图像是双曲线,他们关于原点成中心对称。双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相交。因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y 轴相交。 2.性质: 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小； 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大。 三、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： ⑴设所求的反比例函数y＝k／x⑵将已知条件代入得到关于k的方程⑶解方程求出k的值 ⑷把k的值代入反比例函数y＝k／x中 四、反比例函数的应用： 1.建立反比例函数模型 2.求出反比例函数解析式 3.结合函数解析式图像性质做出解答，特别要注意自变量的取值范围。 第二章解直角三角形 一、锐角三角函数 在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式: sin ∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切 1.sin=对/斜 cos=邻/斜 tan=对/邻 2.sinA=cos(90°-A) cos A=sin(90°-A) tanA=sinA/cosA sin2A＋cos2A＝１ 3.增减性(A为锐角) sinA 、tanA随着∠A的增大而增大,cosA、随着∠A的增大而减小
苏教版中考数学总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝3 5,则tan A 等于 ( ) A ．3 5 B ．45 C ．34 D ．43 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA= a b ．则下列关系式中不成立的是（ ） A ．tanA?cotA=1 B ．sinA=tanA?cosA C ．cosA=cot A?sinA D ．tan 2A+cot 2 A=1 第2题 第3题 3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ） A ． 34 B ．43 C ．35 D ．45 4．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( ) A ． 247 B ．3 C ．724 D ．1 3 5．如图所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y x ，则cos α等于 ( ) A ． 1 2 B C D
6．（2015?南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（） A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里 二、填空题 7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0．则θ＝． 8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 . 9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= . 第8题第9题第11题 10．当0°＜α＜90的值为． 11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．12．（2015?牡丹江）在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 . 三、解答题 13．（2015?泰州）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上． （1）求斜坡AB的水平宽度BC； （2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）
2014-2015学年度六年级上册数学教学计划 新的学期，新的开始，为了搞好本期教学工作，制定教学工作计划如下：一、指导思想 本学期我将积极参加学校组织的政治学习，认真学习马列主义、毛泽东思想及邓小平理论，江泽民“三个代表”重要思想和科学发展观，坚持党的基本路线，拥护中国共产党的领导，贯彻党的教育方针、政策，与党中央保持高度的一致，使自己真正成为时代前进的促进派。认真学习《教师法》、《教育法》、《义务教育法》、《教师职业道德规范》及《未成年人保护法》等法律法规，使自己对各项法律法规有更高的认识，做到以法执教。忠诚于党的教育事业，立足教坛，无私奉献，全心全意地搞好教学工作，做一名合格的人民教师。 二、学生情况分析 本学期我担任六年级1班数学教学，该班共有学生41人。六年级学生往往对课程增多、课堂学习容量加大不适应，顾此失彼，精力分散，使听课效率下降，要重视听法的指导。学习离不开思维，善思则学得活，效率高，不善思则学得死，效果差。六年级学生常常固守小学算术中的思维定势，思路狭窄、呆滞，不利于后继学习，要重视对学生进行思法指导。学生在解题时，在书写上往往存在着条理不清、逻辑混乱的问题，要重视对学生进行写法指导。学生是否掌握良好的记忆方法与其学业成绩的好坏相关，六年级学生由于正处在初级的逻辑思维阶段，识记知识时机械记忆的成份较多，理解记忆的成份较少，这就不能适应七年级教学的新要求，要重视对学生进行记法指导。 三、教学目标 （一）知识与技能 1．获得数学中的基本理论、概念、原理和规律等方面的知识，了解并关注这些知识在生产、生活和社会发展中的应用。 2．学会将实践生活中遇到的实际问题转化为数学问题，从而通过数学问题解决实际问题。体验几何定理的探究及其推理过程并学会在实际问题进行应用。 3．初步具有数学研究操作的基本技能，一定的科学探究和实践能力，养成良好的科学思维习惯。 （二）过程与方法 1．采用思考、类比、探究、归纳、得出结论的方法进行教学； 2．发挥学生的主体作用，作好探究性活动； 3．密切联系实际，激发学生的学习的积极性，培养学生的类比、归纳的能力. (三)情感态度与价值观 1．理解人与自然、社会的密切关系，和谐发展的主义，提高环境保护意识。 2．逐步形成数学的基本观点和科学态度，为确立辩证唯物主义世界观奠定必在的基础。 四、教材章节分析 第一章丰富的图形世界 1．本章的主要内容、地位及作用 这部分的主要内容是通过生活中熟悉的图形展开研究，包括图形的形状、构成、性质、图形的展开与折叠，图形的截面，图形的方向视图等。 这部分从生活中常见的立体图形入手，使学生在丰富的现实情境中、在展开与折叠等数学活动过程中，认识常见几何体及点、线、面的一些性质；再通过展开与折叠、切截，从不同方向看等活动，在平面图形与几何体的转换中发展学生
课题：锐角三角函数之间的关系和特殊角 学习目标： 1、熟练掌握正弦和余弦、正切的关系和互化. 2、了解同一锐角三角函数间的平方关系、商数关系 3、掌握30度、45度、60度的三角函数值，能够用它们进行计算。 自主学习 一.正弦和余弦的关系 1.任意锐角的正弦值都等于它的余角的 值.cos sin =α 2.任意锐角的余弦值都等于它的余角的 值.sin cos =α 二..平方关系：1.推导：=+αα22cos sin 1 2、已知α为锐角，且5 3sin = α，则αcos = . 3、已知α为锐角，且13 12cos =α，则=αsin . 三.商数关系：1.推导：αα αtan cos sin = 2、已知α为锐角，且5 3sin =α，那么=αtan . 3、已知α为锐角，且13 5cos =α，那么=αtan . 4、已知α为锐角，且2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+= . 四、特殊角：根据直角三角形边角关系把108页表格填写完整。 合作再探 一、填空（正弦和余弦、正切和余切互化） ①sin48°= . ②cos63°= .sin54°= . ○ 4cos72°= . 2. 已知α为锐角，且sin α= 5 4,那么cos α= . 3. 已知α为锐角，且cos α=13 12,则tan α= . 4. 已知α为锐角，且tan α=3,则ααααcos sin cos sin +-= . 5、 若sinA=cos 245°,则∠A= 。 6、 △ABC 中，有01sin 22 3cos =-+-B A ,那么∠C= 。 7、若∠A=60°，则化简=-2)sin 1(A . 8、Rt ?ABC 中，∠C=?90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值
同学个性化教学设计 年 级： 教 师: 科 目： 班 主 任： 日 期: 时 段: 教学内容 锐角三角函数 经典基础题型归类复习 教学目标 重难点透视 薄弱点分析 考点分析 教学过程 反馈、反思 知识考点： 本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sin a 、cos a 、tan a 、cot a 准确表示出直角三角形中两边的比（a 为锐角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。 精典例题： 【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 【例2】计算：020045sin 30cot 60sin +? 注意：熟记00、300、450、600、900角的三角函数值，并能熟练进行运算。 【例3】已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，2 5tan =B ，那么cosA （ ） A 、 25 B 、35 C 、5 52 D 、32 变式：已知α为锐角，且5 4cos = α，则ααcot sin +＝ 。
【例4】已知3cot tan =+αα，α为锐角，则αα22cot tan +＝ 。 变式：【问题】已知009030<<<βα，则αβαβcos 12 3cos )cos (cos 2-+---＝ 。 变式：若太阳光线与地面成α角，300＜α＜450，一棵树的影子长为10米，则树高h 的范围是（ ）（取7.13=） A 、3＜h ＜5 B 、5＜h ＜10 C 、10＜h ＜15 D 、h ＞15 【例5】某市正在进行商业街改造, 商业街起点在古民居P 的南偏西６０度方向上的A 处, 现已改造至古民居P 的南偏西３０度方向上的B 处，A 与B 相距１５０米, 且B 在A 的正东方向 ．为了不破坏古民居的风貌，按有关规定，在古民居的周围１００ 米内不得修建现代化商业街，若工程队继续向正东方向修建２００米商业街到C 处, 则 对于从B 到 C 的商业街改造是否违反有关规定? 专项训练： 一、选择题： 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若4 3tan = A ，则sinA ＝（ ） A 、34 B 、43 C 、35 D 、53 2、已知cos α＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ） A 、600＜α＜900 B 、00＜α＜600 C 、300＜α＜900 D 、00＜α＜300 3、若1)10tan(30=+α，则锐角α的度数是（ ） A 、200 B 、300 C 、400 D 、500 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，下列式子不一定成立的是（ ） A 、cosA ＝cos B B 、cosA ＝sinB C 、cotA ＝tanB D 、2cos 2sin B A C += 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，3 1tan =A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 6、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的最大高度为（ ） A 、βsin 100米 B 、βsin 100米 C 、β cos 100米 D 、βcos 100米 7、计算0030cot 3 360cos +的值是（ ）
初一数学（上）应知应会的知识点 代数初步知识 1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式（字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式） 2.列代数式的几个注意事项： （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×2 11应写成23a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a 3的形式； （6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做 a-b 和b-a . 3.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数） （1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 ； （2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ； （3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数 是： n-1、n 、n+1 ； （4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 . 有理数 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q 为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正
初中数学---（几何部分） 几何基础概念（8册上） 定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的语句叫做定义。 命题：判断一件事情的句子叫做命题。（命题就是具有真假意义的一句话）命题通常由条件 和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断的事项，命题写成“如果……那么……”的形式。 正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。 证明：判断一个命题的推理的过程叫做证明。 公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。 定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理。证明一个命题的正确性，要按“已知”，“求证”， “证明”的顺序和格式书写。 一、直线 直线的性质：直线没有粗细、向两方无限伸展。 两条直线的位置关系：1、相交，2、平行（重合看做是平行的特例）。 1、两条相交直线 （1）斜交。直线AB 和直线CD 相交于点O 。如图∠1和∠2,叫做是对顶角。它们有公共顶点O ，且他们的两边是互为反向延长线。同样∠3和∠4是对顶角。 定理：对顶角相等。 ∠1和∠4，∠1和∠3, ∠2和∠4，∠2和∠3是互为补角。即∠1+∠4=180o （2）垂直。直线AB 和直线EF 相交于O 点，其中∠AOF=90o，则称直线AB 和直线EF 互相垂直。由此∠AOE 、∠EOB 、∠BOF 都是90o。 ∠1+∠2=∠BOF=90o，称∠1和∠2是互为余角。 定理：同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。 （3）作图 ①已知线段AB ，O 是线段AB 上中点，过O 点作线段CD ，使得CD ⊥AB 。 ②已知直线AB ，P 是直线AB 外一点。过P 作直线AB 的垂线 ③作已知∠AOB 的平分线 ⑤已知∠AOB ，作∠A ′O ′B ′，使得∠A ′O ′B ′=∠AOB 。 作法：略（六册下，P53） 2、两条直线平行 （1）有关概念：同位角、错角、同旁角。 如图，直线AB 和直线CD 被直线L 所截，同位角有：∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6， B
7.2正弦余弦（1） 1．在Rt△ABC中,∠C＝90°, AC＝7．AB＝25．则sinA＝_____ cosB＝_______tanB＝_______．2．在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝3,sinA＝0．6,则AC＝______AB＝________ tanB＝__________． 3．在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝2,cosA＝0．8,则BC＝______ cos B＝______ tanA＝_____．4．在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，sinA的值（）A．扩大100倍B．缩小100倍C．不变D．不能确定 5．已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A＝∠B，则sinA sinB； (2)若∠A<∠B，则sinA sinB；cosA cosB；tanA tanB 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，cos A＝12 13 ，求：AB、sinB 7．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝20，sinA＝4 5 , 求△ABC的周长． 8.在Rt△ABC中,∠C＝90°, cosA＝3 5 ，BC＝12,求斜边AB上的中线CD长. A B A B C
答案 1.24247 ,, 252525 2. 4,5,4 3 3. 1.5,3 5 , 3 4 4.C 5.＝,<,>,< 6.AB＝26,sinB＝12 13 7.60 8.15 2 7.2正弦余弦（2）
1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝m ，40B ∠=，则BC 的长是（ ） A ．sin 40m B ．cos 40m C ．tan 40m D ． tan 40 m 2．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么 AB 等于（ ） A ．a ·sin α B ．a ·tan α C ．a ·cos α D ．αtan a 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ，且满足022 =--b ab a ，则tanA 等于 （ ） 151515 1222 A B C D -+±?? ?? 4．以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆.若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为 ( ) A ．(cos α,1) B ．(1,sin α) C ．(si n α,cos α) D ．(cos α,sin α) 5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC ＝ 5 3 ，则BC 的长是 ( ) A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 二、填空题（每题5分，共25分） 6．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，SinB ＝ 27 则cosB ． 7．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危 险，那么梯子的长至少为_________米． 8．在Rt △ABC 中， ∠C ＝90?，AB ＝4，AC ＝1，则cos A 的值是_______． 9．已知α是锐角，s in α＝ a+2，则a 的取值范围是 10．一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________． A B C a α B N A C D M
鲁教版初二数学上册教案 数学(mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”;经常被缩写为“math”)，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。一起看看鲁教版初二数学上册教案!欢迎查阅! 鲁教版初二数学上册教案1 教材分析 1、本节课首先从最简单的正比例函数入手.从正比例函数的定义、函数关系式、引入次函数的概念。 2、 八年级数学中的一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，也是学生今后进一步学习初、高中其它函数和高中解析几何中的直线方程的基础。 学情分析 1、虽然这是一节全新的数学概念课，学生没有接触过。但是，孩子们已经具备了函数的一些知识，如正比例函数的概念及性质，这些都为学习本节内容做好了铺垫。 2、八年级数学中的一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，也是学生今后进一步学习其它函数的基础。 3、学生认知障碍点：根据问题信息写出一次函数的表达式。
教学目标 1、理解一次函数与正比例函数的概念以及它们的关系，在探索过程中，发展抽象思维及概括能力，体验特殊和一般的辩证关系。 2、能根据问题信息写出一次函数的表达式。能利用一次函数解决简单的实际问题。 3、经历利用一次函数解决实际问题的过程，逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力。 教学重点和难点 1、一次函数、正比例函数的概念及关系。 2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。 鲁教版初二数学上册教案2 教学目标 1.知识与技能 能应用所学的函数知识解决现实生活中的问题，会建构函数“模型”. 2.过程与方法 经历探索一次函数的应用问题，发展抽象思维. 3.情感、态度与价值观 培养变量与对应的思想，形成良好的函数观点，体会一次函数的应用价值. 重、难点与关键 1.重点：一次函数的应用.
专题15 锐角三角函数及应用 学校：___________姓名：___________班级：___________ 1.【江苏省无锡市2015年中考数学试题】tan45o的值为( ) A ．12 B ．1 C ．22 D ． 2 【答案】B. 【解析】根据特殊角的三角函数值可得tan45o=1，故选B. 【考点定位】特殊角的三角函数值. 2.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB 的值是（ ） A ． 12 B ．2 C ．5 D ．5 【答案】C ． 【考点定位】锐角三角函数的定义． 3.【江苏省扬州市2015年中考数学试题】如图，若锐角△ABC 内接于⊙O ,点D 在⊙O 外（与点C 在AB 同侧）， 则下列三个结论：①D C ∠>∠sin sin ；②D C ∠>∠cos cos ；③D C ∠>∠tan tan 中，正确的结论为( ) A 、①② B 、②③ C 、①②③ D 、①③ 【答案】D
【考点定位】锐角三角函数，圆周角定理. 4.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】苏中七战七捷纪念馆位于江苏海安县城中心，馆内纪念碑碑身造型似一把刺刀矗立在广袤的苏中大地上，堪称世界之最，被誉为“天下第一刺刀”．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测纪念碑碑身的高度AB，小明在D处用高1.5m测角仪CD，测得纪念碑碑身顶端A的仰角为30°，然后向纪念碑碑身前进20m到达E处，又测得纪念碑碑身顶端A的仰角为45°，已知纪念碑碑身下面的底座高度BH为1.8m．则纪念碑碑身的高度AB为（）m（结果 ≈ 1.732 1.414 ≈） ≈ 2.236 A．27 B．16 C．37 D．15 【答案】A ．
吴伯箫学校2017-2018学年上学期八年级数学第三次月月清作业 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2.下列从左到右变形是因式分解的是（ ） A. x 2－3x +1＝x (x －3)+1 B. x 2 +2x －3＝x (x +2－x 3 ) C. (x －y )2－(y －x )3＝(x －y )2(x －y +1) D. (x +2y )(x －2y )＝x 2 －4y 2 3.已知a +b ＝3，ab ＝2，则代数式－a 2b －ab 2的值为（ ） C.－6 4．若、的值均扩大为原来的2倍，则分式值保持不变的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5、若已知分式9 61 |2|2+---x x x 的值为0，则x －2的值为（ ） A.91或－1 B. 9 1 或1 C.－1 6、一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶1v km ，t 小时可以到达，如果每小时多行驶2v km ，那么可以提前到达的时间为（小时） （ ） （A ） 212v t v v + （B ） 112v t v v + （C ）1212 v v v v + （D ）1221v t v t v v - 7．吴伯箫学校初三级部校合唱团共有40名学生，他们的年龄如下表所示： 则合唱团成员年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．13， B ．13，12 C ．12，13 D ．12， 8．将点A （3，2）沿x 轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（-3，2） B ．（-1，2） C ．（1，2） D ．（1，-2） 9. 如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A '的坐标为（ ） A.(,)a b -- B.(,1)a b --- C.(,1)a b --+ D.(,2)a b --+ 10. 如图，△ABC 的周长为18，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若PQ=2，则BC 的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 11．如图，在ABCD 中，∠DAB 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点G ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，交AD 的延长线于点H ，AG 与BH 交于点O ，连接BE ，下列结论错误的是（ ） A ．BO=OH B ．DF=CE C ．DH=CG D ．AB=AE 12. 如图，在ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的个数有（ ） ①∠DCF ＝∠BCD ；②EF ＝CF ；③S △ABC ＝2S △CEF ； ④∠DFE ＝3∠AEF ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题（每小题4分，共24分） 13．分解因式：(a ＋b ) 3 －4(a ＋b )＝ ． 16．关于x 的分式方程111x x +=--的解是正数，则m 的取值范围是 ． 17．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是 18.如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……则第⑩个图形中共有_________个平行四边形. 三、解答题（本大题共6小题，共计60分。请写出必要的文字说明和推演步骤） 19、（8分）先化简 ÷（﹣x+1），然后从﹣＜x ＜的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值． 20.（8分）吴伯箫学校为使明年初四新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对八年级某班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6种型号）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）该班共有多少名学生其中穿175型校服的学生有多少 （2）在条形统计图中，请把空缺部分补充完整． （3）在扇形统计图中，请计算185型校服所对应的扇形圆心角的大小； （4）求该班学生所穿校服型号的众数和中位数． 21、（10分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF ． （1）求证：四边形EFCD 是平行四边形； （2）若BF=EF ，求证：AE=AD ． 22．（10分）如图，长方形ABCD 中，cm AB 4=，cm BC 8=，动点M 从点D 出发，按折线DCBAD 方向以2cm/s 的速度运动，动点N 从点D 出发，按折线DABCD 方向以1cm/s 的速度运动． （1）若动点M 、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇 （2）若点E 在线段BC 上，cm 2=BE ，动点M 、N 同时出发且相遇时均停止运动，那么点M 运动到第几秒钟时，与点A 、E 、M 、N 恰好能组成平行四边形 23．（12分）今年我市某公司分两次采购了一批生姜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨生姜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨生姜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍． （1）试问去年每吨生姜的平均价格是多少元 （2）该公司可将生姜加工成姜酒或姜茶，若单独加工成姜酒，每天可加工8吨，每吨获利2000元；若单独加工成姜茶，每天可加工12吨，每吨获利1500元．由于客户需要，所有采购的生姜必需在30天内加工完毕，且加工姜酒的生姜数量不少于加工姜茶的生姜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨生姜加工成姜酒最大利润为多少 24．（12分）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a ． （1）当点D′恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值； （2）如图2，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD′=E′D； （3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等若能，直接写出旋转角a 的值；若不能说明理由． 一、选择题（3×12=36分）.
1.1锐角三角函数阶段测试 一、选择题 1．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则tanA等于 [ ] 2．若α为锐角且tanα=cot42°，则α为 [ ] A．42°；B．48°；C．56°；D．无法确定． 3．下列各式中错误的是 [ ] 4．已知在△ABC中，∠C=90°，则下列各式中正确的是 [ ] A．sinA=sinB； B．cosA=cosB； C．tanA=tanB； D．tanA=cotB． [ ] A．小于30°； B．大于30°； C．小于60°； D．大于60°． 二、计算题 8． sin231°+tan31°·tan59°+sin259°． 13．tan10°·tan20°·tan30°·tan40°·tan50°·tan60°·tan70°·tan80°．三、证明题
14．证明：cos2α（1+tan2α）=1． 15．已知α是锐角，且tanα是方程x2-2x-3=0的一个根．求证：sin2α-4sinαcosα+3cos2α=0．16．已知在△ABC中，a=12，b=5，c=13．求证： tanA=cotB． 参考答案 一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．D 5．C 二、计算题 8．2．提示：31°+59°=90°，所以sin59°=cos31°，tan59°=cot31°． 9．1． 10．30°，60°．提示：以tana为未知数，求出tana的值 11．3/4．提示：用cosa除原式的分子、分母． 12.90°.提示： 33 , 33 tgA ctgB ==，所以∠A=30°,∠B=60°. 13．1．提示：10°+80°=90°，所以tan10°·tan80°=tan10·cot10°=1．三、证明题 16．提示：△ABC中，∠C=90°．
新人教版九年级数学(下册)第二十八章 §28.1 特殊角的三角函数值（3）教学设计 学习目标 1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。 学习重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值 学习难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 学习过程 一、回顾锐角三角函数 如图，在Rt △ACB 中,∠C=90° 二、自主探究 1、思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？分别是多少度？ 2、如图（1）在Rt △ACB 中,∠C=90°， ∠A=30°，若BC=a ，求：AB 、AC 、∠B 、 sinA 、cosA 、tanA 、sinB 、cosB 、tanB 3、如图（2）在Rt △ACB 中,∠C=90°，∠A=45°， 若BC=m ，求：AB 、AC 、∠B 、sinA 、cosA 、tanA sinA = = cosA= = tanA= = B C （1） a B m
锐角a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 仔细观察上表,小组讨论从这张表你能发现哪些规律? 三、自我检测 四、范例讲解 例3 求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260°（2）ο ο ο45tan 45 sin 45cos - 例4、(1)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB= 6 , BC=3 。求∠A 的度数。 (2)如图,已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的 3 倍,求α. A C （2）