初一数学培优之实数的概念与性质
阅读与思考
人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.
理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：
1. 把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数p
q
的形式（这里p ，q 是互质的整数，且p ≠0）；
2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等；
3. 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；
4．明确无理数的真实性. 克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”
想一想：
下列说法是否正确？ ①带根号的数是无理数；
②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数； ③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数； ④一个无理数的平方一定是有理数.
例题与求解
【例1】 已知02)4(22=-++++-c b a b a ．则b
ac )(的平方根是________.
（湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题）
解题思路：运用式子的非负性，求出a ，b ，c 的值．
【例2】若a ，b 是实数，且42212
+-+-=
b b a ．则b a +的值是( ).
A ．3或－3
B ．3或－1
C ．－3或－1
D ．3或1
（湖北省黄冈市竞赛试题）
解题思路：由算术根的双非负性，可得1-b ≥0，b 22-≥0，求出b ＝1．代入原式中可得a ＝±2．
由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：
①a 中a ≥0； ②a ≥0.
运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.
【例3】 已知实数m ，n ，p 满足等式
=--?+-n m n m 199199p n m p n m -++--+32253，求p 的值．
（北京市竞赛试题）
解题思路：观察发现）（n m +-199，）（n m --199互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点．
【例4】已知a ，b 是有理数，且0320
91412)12341()2331(=---++
b a ，求a ，b 的值． 解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a ，b 的方程组.
实数有以下常用性质：
①若a ，b 都是有理数，c 为无理数，且0c b a =+，则a ＝b ＝0;
②若a ，b ，c ，d 都是有理数，c ，d 为无理数，且“d b +=+c a ，则a ＝b ，d c =． 要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾. 想一想
怎样证明2是无理数？
【例5】一个问题的探究
问题：设实数x ，y ，z 满足xyz ≠0．且0=++z y x .
求证：
z
y x z y x 111111222++=++ 在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题： (1)设a ，b ，c 为两两不相等的有理数，求证：
2
22)(1
)(1)(1a c c b b a -+
-+-为 有理数． （2）设2
22222200912008113121121111+++???++++++
=S ，求S 的整数部分. 解题思路：从公式)(2)(2
2
2
2
ac bc ab c b a c b a +++++=++入手．
【例6】设22121111++
=S ，22231211++=S ，2
23
41
311++=S ，…，22)1(111+++=n n S n ， 求n S S S +???++21的值（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．
（四川省成都市中考试题）
解题思路：解答此题的关键是将n S 变形为一个代数式的平台。
能 力 训 练
A 级
1．在实数－4，
23，0，12-，64，327，27
1中，共有_______个无理数． （贵州省贵阳市中考试题）
2．设33=a ，b 是2
a 的小数部分，则3)2(+
b 的值为____ .
(2013年全国初中数学竞赛试题)
3．已知094=-+-b a ，则2
222
2b a ab
a b ab a --?+的值为_______． （山东省济南市中考试题）
4．观察下列各式：
1131432112+?+=???+， 1232543212+?+=???+，
1333654312+?+=???+，)(:)2():)(y x y x B A B A -+=-+（
猜测：=???+20082007200620051________ .
（辽宁省大连市中考试题）
5．已知有理数A ，B ，x ，y 满足0≠+B A ，)(:)2():)(y x y x B A B A -+=-+（，那么):B A A +（＝________.
A. )2:3y x x +（
B. )24:3y x x +（
C. ):y x x +（
D. )2:2y x x +（
（2013年“实中杯”数学竞赛试题）
6．若x ，y 为实数，且022=-++y x ，则2009)(y
x
的值为( )．
A. 1
B ．－1
C ．2
D ．－2
（天津市中考试题）
7．一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是( )． A. a
B ．12
+a
C ．12+a
D ．1+a
（山东省潍坊市中考试题）
8．若2
)(11y x x x +=---，则y x -的值为( )．
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
（湖北省荆门市中考试题）
9．已知b a m x +=是m 的立方根，而36-=b y 是x 的相反数，且73-=a m ，求x 与y 的平方和的立方根．
10.计算：32
13212
1
22221111个个n n ???-???． （广西竞赛试题） 11.若a ，b 满足753=+b a ，求b a S 32-=的取值范围．
（全国初中数学联赛试题）
B 级
1．x 与y 互为相反数，且3=-y x ．那么122
++xy x 的值为____．
（全国初中数学竞赛试题）
2．若12842
1
=?+x x ，则x 的值为_______ ．
（海南省竞赛试题）
3．已知实数a 满足a a a =-+-20052004，则2
2004-a ＝_______ . 4．5的整数部分为a ，小数部分为b ，则b a ?+)5(的值为____．
（广东省竞赛试题）
5．已知非零实数a ，b 满足a b a b a 24)3(2422
=+-+++-，则b a +等于( )．
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）
6．已知12-=a ，23-=b ，26-=c ．则a ，b ，c 的大小关系是( )．
A. c b a ＜＜
B. b c a ＜＜
C. c a b ＜＜
D. a c b ＜＜
7．已知：
11=-a a
，那么代数式a a +1
的值为( )．
A ．
25
B ．2
5-
C ．5-
D.
5
（重庆市竞赛试题）
8．下面有3个结论：
①存在两个不同的无理数，它们的差是整数； ②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；
③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数. 其中，正确的结论有( )个． A.0 B ．1 C ．2 D ．3
（江苏省竞赛试题）
9．已知20052+a 是整数，求所有满足条件的正整数a 的和．
（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）
10.设d
cx b
ax y ++=
，a ，b ，c ，d 都是有理数，x 是无理数. 求证：
(1) 当ad bc =时，y 是有理数； (2) 当ad bc ≠时，y 是无理数．
11.已知非零实数a ，b 满足a b a b a 24)3(2422
=+-++++.求b a +值．
（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）