内蒙古大学 2013-2014 学年第 1 学期
线性代数 期末考试（A 卷）
姓名 学号 专业 年级
重修标记 □ （闭卷 120分钟）
一、填空题（本题满分 30 分，每小题 3 分）
1．n 阶行列式
1
2
n
=
2．A 是n 阶方阵，则 |2|A = 3．12
||A =
，则1|25|A A -*
-=
4．2
320A A E -+=，则A 的特征值为 5. (n +1)个n 维向量必
6. 二次型121323222f x x x x x x =-++的矩阵A = 。 7．设向量(1,2,1)T
a =与(1,3,)T
b x =-正交，那么x =＿＿＿＿＿＿＿＿
8．设0x 为方程组Ax b =的任一解，而12{,}ξξ为方程组0Ax =的基础解系，则方程组Ax b =的通解可表示为
9．n 元非齐次线性代数方程组Ax b =无解的充分必要条件是 10. P , Q 为可逆矩阵，()R A n =，则()R PAQ =
(1) 计算n
阶行列式
1
2
110000
100
0001n n
x x x a a a a a ----
(2) 求解方程组123412341
2343133445980
x x x x x x x x x x x x +--=??
--+=??+--=?（不可使用Gauss
消元法）
(1) 021302230A -??
??=-????-??
，求1A -
(2) 向量组123(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7)ααα==---=---，求由此向量组张成的向
量空间的基与维数
四、计算题（本题满分15分）
求正交阵P ，使得在正交替换X PY =下，二次型121323222f x x x x x x =-++化为标准型
五、证明题（第一题5分，第二题10分）
(1) 12,,
n ααα是一组n 为向量。已知向量组12,,
n e e e （n 维单位坐标向量）能被
12,,n ααα线性表示。证明：12,,n ααα线性无关
(2) A 是n 阶方阵(2)n ≥，A *
是其伴随矩阵，证明：, ()()1,()1
0,()2n R A n R A R A n R A n *=??==-??≤-?