Bezier曲线原理及实现代码（c++）
一、原理：
贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线
给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：
且其等同于线性插值。
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪：
。TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：
。
现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。
一般化
P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即
。
例如：
。
如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。则
用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。
一些关于参数曲线的术语，有
即多项式
又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。
点P i称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P 0 至P 1 的 B(t ) 所描述的曲线。例如当 t=0.25 时，B(t ) 即一条由点 P 0 至 P 1 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续 t ，B(t ) 描述一条由 P 0 至 P 1 的直线。
为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点 Q 0 和 Q 1 作为由 0 至 1 的 t ：
? 由 P 0 至 P 1 的连续点 Q 0，描述一条线性贝塞尔曲线。 ? 由 P 1 至 P 2 的连续点 Q 1，描述一条线性贝塞尔曲线。
? 由 Q 0 至 Q 1 的连续点 B(t )，描述一条二次贝塞尔曲线。 ?
为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q 0、Q 1、Q 2，和由二次曲线描述的点 R 0、R 1 所建构：
对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q 0、Q 1、Q 2、Q 3，由二次贝塞尔曲线描述的点 R 0、R 1、R 2，和由三次贝塞尔曲线描述的点 S 0、S 1 所建构：
P(t)=(1-t)P0+tP1 ,。
矩阵表示为：
，。
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2,。
矩阵表示为：
，。
P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3
矩阵表示为：
，。
（6－3－2）
，。
在（6－3－2）式中，M n+1是一个n＋1阶矩阵，称为n次Bezier矩阵。
（6－3－3）
。
其中，
利用（6－3－3）式，我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示，例如4次和5次Bezier矩阵为：
，
可以证明，n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：
（6－3－4）
二、算法（c++）
工程目录是:Win32App
vc6.0
#include
#include
#include
#define NUM 10
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM); int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)
{
MSG msg;
static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出");
HWND hwnd;
WNDCLASS wc;
wc.cbClsExtra =0;
wc.cbWndExtra =0;
wc.hbrBackground =
(HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);
wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);
wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);
wc.hInstance = hInstance;
wc.lpfnWndProc = Winproc;
wc.lpszClassName = szClassName;
wc.lpszMenuName = NULL;
wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;
if(!RegisterClass(&wc))
{
MessageBox(NULL,TEXT("注册失败"),TEXT("警告框
"),MB_ICONERROR);
return 0;
}
hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,
WS_OVERLAPPEDWINDOW,
CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
NULL,NULL,hInstance,NULL);
ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);
UpdateWindow(hwnd);
while(GetMessage(&msg,NULL,0,0))
{
TranslateMessage(&msg);
DispatchMessage(&msg);
}
return msg.wParam;
}
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd,UINT message, WPARAM wparam,LPARAM lparam)
{
HDC hdc;
static POINT pt[NUM];
TEXTMETRIC tm;
static int cxClient,cyClient;
HPEN hpen;
int i,j,k,n,t;
switch(message)
{
case WM_CREATE:
static int cxchar;
hdc = GetDC(hwnd);
GetTextMetrics(hdc,&tm);
cxchar = tm.tmAveCharWidth;
ReleaseDC(hwnd,hdc);
case WM_SIZE:
cxClient = LOWORD(lparam);
cyClient = HIWORD(lparam);
return 0;
case WM_PAINT:
hdc = GetDC(hwnd);
srand(time(0));
Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
for(i=0; i<500; i++)
{
SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(j=0; j { pt[j].x = rand()%cxClient; pt[j].y = rand()%cyClient; } hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%25 6,rand()%256)); DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen)); PolyBezier(hdc,pt,NUM); for(k=0; k<50000000;k++); } for(i=0; i<100;i++) { Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%c xClient,rand()%cyClient); Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand( )%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyC lient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ; } if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20; SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand() %256)); TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"))); ReleaseDC(hwnd,hdc); DeleteObject(hpen); ValidateRect(hwnd,NULL); return 0; case WM_DESTROY: PostQuitMessage(0); return 0; } return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam); } 竖曲线练习题 1、设在桩号K2 ＋600 处设一竖曲线变坡点，高程m . i1 =1%, i2 = －2%,竖曲线半径3500 m试计算竖曲线个点高程（20m整桩即能被20整除的桩号） 解：ω= i2 －i1 = -2% －1% = -3% 为凸曲线。 曲线长L = Rω= 3500× = 105 m . 切线长T = L/2 = 105÷2 = m 竖曲线起点桩号= (K2 ＋600 ) －= K2 ＋ 竖曲线终点桩号= ( K2 ＋600) ＋= K2 ＋ 竖曲线起点高程= －× = m 竖曲线终点高程= －× = m 各20 m整桩 K2＋560 X1 = （K2 + 560）－( K2 + = m h1 =X2/2R = ÷7000 = m 切线高程: －[(K2 + 600) －(K2 + 560)] X = m 设计高程－= m K2＋580 X1 = （K2 + 580）－( K2 + = m h1 =X2/2R = ÷7000 = m 切线高程: －((K2 + 600) －(K2 + 580)) X = m 设计高程－= m K2＋600 X1 = T =（K2 + 6000）－( K2 + = m h1 =X2/2R = ÷7000 = m 切线高程: m 设计高程－= m K2＋620 X1 = （K2 + ）－( K2 +620) = m h1 =X2/2R = ÷7000 = m 切线高程: －((K2 + 620) －(K2 + 600)) X = 设计高程－= 9m K2＋640 X1 = （K2 + ）－( K2 +640) = m h1 =X2/2R = ÷7000 = m 切线高程: －[(K2 + 640 －(K2 + 600)] X = m 长度不小于500 m 。试确定竖曲线最小半径值并计算K1 ＋800 、K1 ＋840、K1 ＋860 设计高程。 解：ω= i2 －i1 = % －（－）% = 4% 为凹曲线。 昆明理工大学理学院 信息与计算科学专业操作性实验报告 年级： 10级姓名：刘陈学号： 201011101128 指导教师： 胡杰 实验课程名称：计算机图形学程序设计开课实验室：理学院机房216 实验内容： 1．实验/作业题目:用计算机高级语言VC++6.0实现计算机的基本图元绘制2．实验/作业课时：2学时 3．实验过程(包括实验环境、实验内容的描述、完成实验要求的知识或技能)：实验环境：（1）硬件：每人一台PC机 （2）软件：windows OS，VC++6.0或以上版本。 试验内容及步骤: （1）在VC++环境下创建MFC应用程序工程（单文档） （2）编辑菜单资源 （3）添加菜单命令消息处理函数 （4）添加成员函数 （5）编写函数内容 试验要求： （1）掌握Bezier曲线、Bezier曲面、及另一个曲面的算法。 （2）实现对Bezier曲线、Bezier曲面、及另一个曲面。 （3）试验中调试、完善所编程序，能正确运行出设计要求结果。 （4）书写试验报告上交。 4．程序结构(程序中的函数调用关系图) 5．算法描述、流程图或操作步骤： 在lab4iew.cpp文件中添加如下头文件及变量 int flag_2=0; int n_change; #define M 30 #define PI 3.14159 //圆周率 #include "math.h" //数学头文件 在lab4iew.h文件中的public内添加变量： int move; int graflag; void Tiso(float p0[3],float x0, float y0, float p[3]); void OnBezierface(); 在lab4iew.h文件中的protected内添加变量： int n;//控制点数 const int N;//控制点数的上限 CPoint* a;//控制点存放的数组 double result[4][2]; 在lab4iew.cpp文件中的函数Clab4iew::OnDraw(CDC* pDC)下添加如下代码： int i,j; for(i=0;i Bezier曲线原理及实现代码（c++） 一、原理： 贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。 线性贝塞尔曲线 给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出： 且其等同于线性插值。 二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪： 。TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。 P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。 曲线的参数形式为： 。 现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。 一般化 P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即 。 例如： 。 如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。则 用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。 一些关于参数曲线的术语，有 即多项式 又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。 点P i称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。 4.3 某条道路变坡点桩号为K25+460.00，高程为780.72.m，i1＝0.8％，i2＝5％，竖曲线半径为5000m。（1）判断凸、凹性；（2）计算竖曲线要素；（3）计算竖曲线起点、K25+400.00、K25+460.00、K25+500.00、终点的设计高程。 解：ω＝i2-i1＝5％－0.8％＝4.2％凹曲线 L＝R?ω＝5000×4.2％＝210.00 m T＝L/2＝105.00 m E=T2/2R＝1.10 m 竖曲线起点桩号：K25+460－T＝K25+355.00 设计高程：780.72－105×0.8％＝779.88 m K25+400： 横距：x＝（K25+400）－（K25+355.00）＝45m 竖距：h＝x2/2R＝0.20 m 切线高程：779.88+45×0.8％＝780.2 m 设计高程：780.24+0.20＝780.44 m K25+460：变坡点处 设计高程=变坡点高程+E=780.72+1.10＝781.82 m 竖曲线终点桩号：K25+460＋T＝K25+565 设计高程：780.72+105×5％＝785.97 m K25+500：两种方法 1、从竖曲线起点开始计算 横距：x＝（K25+500）－（K25+355.00）＝145m 竖距：h＝x2/2R＝2.10 m 切线高程（从竖曲线起点越过变坡点向前延伸）：779.88+145×0.8%=781.04m 设计高程：781.04+2.10＝783.14 m 2、从竖曲线终点开始计算 横距：x＝（K25+565）－（K25+500）＝65m 竖距：h＝x2/2R＝0.42 m 切线高程 （从竖曲线终点反向计算）：785.97-65×5%=782.72m 或从变坡点计算：780.72+（105-65）×5%=782.72m 设计高程：782.72+0.42＝783.14 m 集美大学 计算机工程学院实验报告 课程名称计算机图形学教程 实验名称实验五、编程生成“三次贝塞尔”曲 线 实验类型设计型 学号 日期12月12日地点 成绩教师 一、实验目的： 一方面，让学生对自由曲线的生成算法有更深入的理解，特别是对于曲线的逼近，能够通过实验编程来验证书上所提供的算法思想：另一方面，在图形程序设计方法（如设计各种各样的图形）、绘图函数的使用以及C和C++语言编程环境、程序的调试和测试方面受到比较系统和严格的训练。 二、实验内容： 运用所学的三次贝塞尔曲线生成的算法，根据以下数据点[x, y]：[50, 100] [80, 230] [100, 270] [140, 160] [180, 50] [240, 65] [270, 120] [330, 230] [380, 230] [430, 150]计算出结果，并实现三段贝塞尔在屏幕上显示的功能 三、实验要求： （1）3段三次贝塞尔曲线在衔接点上要连续，曲线整体效果要光滑。 （2）整个图形轮廓要清晰，色彩要分明 四、实验环境： 1．PC，CPU：P4 2.0GHz以上，内存：512M，硬盘：40GB以上； 2．操作系统：Microsoft Windows 2000 /2003/XP； 3．软件：VC或JAVA等。 五、实验内容及完成情况： #include "graphics.h" #include "conio.h" #include "stdio.h" typedef struct { double x,y; } DPOINT; //定义结构体 class Bezier //定义Bezier类 { private: DPOINT* bP; int m_maxIndex; void drawFrame(); void drawCurve(); void drawCurve(int p0,int p1,int p2,int p3); public: Bezier(DPOINT* p,int len); //定义构造函数 void draw(); }; Bezier::Bezier(DPOINT* p,int len) //构造函数的实现{ this ->bP=p; m_maxIndex=len-1; } void Bezier::draw() //通过公有函数调用私有函数{ 1． 道路中线一转折处A ，转折角0 60=α，其旁有一重要建筑物，基础尺寸为m m 85?. 外边缘距A 点最短距离为25m,欲保留该建筑物，已知该路的设计车速为40h km /，道路宽度为24m,路拱横坡为2%，1.0=μ，问该弯道的可能最小半径值？ 解：（1）按地形地物控制计算平曲线半径 )(422 24 525min m E =+ += 根据公式 )(7.2721 30sec 42 1 2 sec 0max min m E R =-= -= α 地形 取 )(300m R = （2）按满足设计车速、行车舒适和经济要求计算 根据公式 )(160) 02.01.0(1271600)(1272min m i V R =-?=-=μ 因为地形地物条件许可，且min min R R ≥地形，所以取 )(300m R = 该弯道的可能最小半径为300m 2． 某二级汽车专用公路上有一变坡点，桩号为,20010+k 切线标高为120.28m,两相邻路段 的纵坡为m R i i 5000%,3%,521=-==凸，试设计该变坡处的竖曲线。 解：（1）竖曲线长度 )(400m R L ==ω 切线长度 )(2002 m L T == 外距 )(422 m R T E == （2）求竖曲线的起点的终点桩号 起点桩号 0001020020010+=-+K K 终点桩号 4001020020010+=++K K （3）求各桩号的设计标高 竖曲线起点00010+K 切线标高 )(28.11005.020028.120m =?- 设计标高 )(28.110m 处10010+K 至起点距离 x =10100-10000=100m 练习45 三次贝塞尔曲线 一、练习具体要求 本例制作二维图形三次贝塞尔曲线。效果如图45-1所示。执行本例实例后，将创建一个绘有三次贝塞尔曲线的帧。本实例的知识点有：Graphics2D 类和Rectangular 类的应用，曲线绘制的方法。 二、程序及注释 （1）编程思路： java2中Graphics2D 中绘图的第一步是用setColor()，setFont()，setPointMode ，setXORMODE()之类的方法制定绘图属性，第二步生成一个shape 接口的对象，指定要画的形体，第三步是绘图。绘制形体是用三个Graphics2D 方法完成的。Chip()方法将绘图区缩小到指定形体与当前剪接区的交接部分，影响后面的绘图操作。Draw()方法用当前Stroke 绘制Shape 的外形。Fill()方法用当前Point 模式填充Shape 。CubicCurve2D 类生成三次曲线，他与其他曲线类不同，不是描述闭合形体，而是描述曲线。曲线类用贝塞尔曲线定义曲线上的实际点。生成曲线后，应用Draw()或Fill()方法，可以把起点和终点看成相连接的，从而得到闭合区域。 (2) 程序实现及注释： //ExitableJFrame.java import javax.swing.*; public class ExitableJFrame extends JFrame{ //构造函数 public ExitableJFrame(){ } //带窗口标题的构造函数 public ExitableJFrame(String title){ super(title); } //窗口的初始化 本例 知识 点 一句话讲解新学 知识编写Graphics2D 类 绘制图形使用CubicCurve2D 类 绘制图形已学 知识使用Graphics 类 画屏幕图像使用String 类管理字符串 竖曲线自动计算表格 篇一：Excel竖曲线计算 利用Excel表格进行全线线路竖曲线的统一计算 高速公路纵断面线型比较复杂，竖曲线数量比较多。由于相当多的竖曲线分段造成了设计高程计算的相对困难，为了方便直接根据里程桩号计算设计高程，遂编制此计算程序。程序原理： 1、根据设计图建立竖曲线参数库； 2、根据输入里程智能判断该里程位于何段竖曲线上； 3、根据得到的竖曲线分段标志调取该分段的曲线参数到计算表格中； 4、把各曲线参数带入公式进行竖曲线高程的计算； 5、对程序进<0 = J=0; M-P=0 = J=1 B: K<=D =B=-M ; KD = B=P 程序特色： 1、可以无限添加竖曲线，竖曲线数据库不限制竖曲线条数； 2、直接输入里程就可以计算设计高程，不需考虑该里程所处的竖曲线分段； 3、对计算公式进行保护，表格中不显示公式，不会导致公式被错误修改或恶意编辑。 程序的具体编制步骤： 1、新建Excel工作薄，对第一第二工作表重新命名为“参数库”和“计算程序”，根据设计图建立本标段线路竖曲线的参数库，需要以下条目： （1）、竖曲线编号； （2）、竖曲线的前后坡度（I1、I2）不需要把坡度转换为小数； （3）、竖曲线半径、切线长（不需要考虑是凸型或凹型）；（4）、竖曲线交点里程、交点高程； （5）、竖曲线起点里程、终点里程（终点里程不是必要参数，只作为复核检测用）；如图1所示： 图1 2、进行计算准备： （1）、根据输入里程判断该里程所处的曲线编号： 需要使用lookup函数，函数公式为“LOOKUP(A2,参数库!H3:H25,参数库!A3:A25)”。如图2所示： 里程为K15+631的桩号位于第11个编号的竖曲线处，可以参照图1 进行对照 （2）、在工作表“程序计算”中对应“参数库”相应的格式建立表格 计算题 1. 某城市道路相邻两段纵坡分别为1i =-3%，2i =2%，变坡点里K1+150,变坡点高程200.53m ，要使变坡点处得设计高程不小于201.80，则该竖曲线半径最小为多少（取到千米整数倍） 解：ω=2i -1i =2%-（-3%）=5% E+200.53≥201.80 ∴221+200.53201.808 R i -≥（i ），R ≥4064 取R=5000m 2. 城市道路相邻变坡分别为1i =3%，2i =-2%，变坡点里程为K1+150，变坡点高程为200.53m ，该竖曲线半径为5000m 。 （1） 计算竖曲线坡差ω并判断其竖曲线类型，计算竖曲线长，切线长，竖曲线外距 （2） 求竖曲线起点、终点桩号 （3） 计算K1+130桩号设计高程 解：(1)ω=2i -1i =-2%-3%=-5% L=R ω=5000×5%=250m T=L/2=250/2=125m E= 2 2T R =1.56m (2)QD=(K1+150)-125=K1+025.00 ZD=(K1+150)+125=K1+275.00 (3)K1+130装号设计标高：用变坡点里程为K1+150，故该桩号在变坡点前x=125-20=105m ，又因为切线长为125m,故该桩号在竖曲线起点和终点范围内， 2 2x y R ==1.10m ，H 切=200.53-20×3%=199.93m ，H 求=H 切-y=199.93-1.10=198.83m 3.某路线平面部分设计资料如下： JD1=K0+819.562 JD2=K1+270.427 ZH1=K0+619.150 ZH2=K1+095.155 HY1=K0+734.150 YH1=K0+849.351 HZ1=K0+964.351 （1） 试计算弯道1的切线长，曲线长，缓和曲线长及曲线中点桩号 （2） 试计算交点1和交点2间距 （3） 若交点1与交点2的曲线是属于反向曲线，且该道路设计速度v=80km/h ，曲线 1和曲线2之间的直线长度，该曲线间的直线长度是否满足直线最小长度的要求，为什么？ 解：（1）切线长l 切=200.412m 曲线长l 曲=345.201m 缓和曲线长l 缓=115m QZ1=K0+791.751m 昆明理工大学理学院 信息与计算科学专业设计/综合性实验报告 年级：2015级姓名：学号：1105 指导教师：胡杰 实验课程名称：计算机图形学开课实验室：理学楼210 实验内容： 1．实验/作业题目： MFC绘图Bezier曲面算法及Bezier曲线 2．实验/作业课时：2个课时 3．问题描述(包括实验环境、实验内容的描述、完成实验要求的知识或技能)：实验环境：（1）硬件：每人一台PC机 （2）软件：windows OS，VC++或以上版本。 实验内容的描述：Bezier曲面算法及Bezier曲线，Bezier去面啊绘制需要加入控制网格加以控制，先生成控制网格，再根据Bezier算法来绘制出曲面Bezier曲线根据控制点来绘制曲线。 完成实验要求的知识或技能： Bezier算法的迭代算法。 （2）Bezier曲线分为一次/二次/三次/多次贝塞尔曲线，之所以这么分是为了更好的理解其中的内涵。一次贝塞尔曲线（线性Bezier），实际上就是一条连接两点的直线段。在此使用了三次Bezier算法。 （3）曲线算法的几种主要算法以及各自的优缺点。 （4）基本的程序阅读能力，的基本使用技巧 4．基本要求(完成实验要达到的目标)： Bezier曲线定义：给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线定 义为：P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1] 其中：Bi,n(t)称为基函数。Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i Ci n=n!/(i!*(n-i)!) 二、Bezier曲线性质1、端点性质：a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1) 即：在二端点与控制多边形相切。2、凸包性：Bezier曲线完成落在控制多边形的凸包内。3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t) 5．程序结构(程序中的函数调用关系图) 6．算法描述或流程图： 第三次作业三次Bezier曲线的绘制一．解题思路： Bezier曲线是用N+1个顶点（控制点）所构成的N根折线来定义一根N阶曲线。本次作业中的三次Bezier曲线有4个顶点，设它们分别为P0，P1，P2，P3，那么对于曲线上各个点Pi（x,y）满足下列关系： x=x0*1-u)*(1-u)*(1-u)+x1 *3*u*(1-u)*(1-u)+x2 *3*u*u*(1-u)+x3 *t*t*t y=y0*(1-u)*(1-u)*(1-t)+y1*3*u*(1-u)*(1-u)+y2*3*u*u*(1-u) +y3 *u*u*u 所以只要确定控制点的坐标，该曲线可通过编程即可绘制出来。 本题取的初始控制点为：p0(-600,100)、p1(-300,400)、p2(300,600)、p3(600,100)。还可以通过输入不同的控制点画出不同的三次Bezier曲线。 程序中有绘制曲线，清空，清屏，退出四个按钮，其中点击绘制曲线按钮可根据控制点绘制出相应的曲线；点击清空按钮则可以将已绘制的曲线清除；点击清屏按钮可以将输入文本框中的数据清除，以方便输入新的数据；点击退出按钮则退出程序。 二．程序代码 Function f() Picture1.FontSize = 9 Picture1.Scale (-900, 1000)-(900, -1000) Picture1.Line (-800, 0)-(800, 0) Picture1.Line (0, 800)-(0, -800) For i = -7 To 7 Picture1.Line (100 * i, 0)-(100 * i, 20) Picture1.CurrentX = i * 100 - 50: Picture1.CurrentY = -5: Picture1.Print i * 100 Next i For i = -7 To -1 Picture1.Line (0, 100 * i)-(20, 100 * i) Picture1.CurrentX = -100: Picture1.CurrentY = 100 * i + 20: Picture1.Print i * 100 Next i For i = 1 To 7 Picture1.Line (0, 100 * i)-(20, 100 * i) Picture1.CurrentX = -100: Picture1.CurrentY = 100 * i + 20: Picture1.Print i * 100 Next i End Function Private Sub Form_Load() Picture1.AutoRedraw = True Picture1.ScaleWidth = 900 Picture1.ScaleHeight = 900 f Text1.Text = -600: Text2.Text = 100: Text3.Text = -300: Text4.Text = 400 Text5.Text = 300: Text6.Text = 600: Text7.Text = 600: Text8.Text = 100 End Sub Private Sub command1_Click() x0 = Text1.Text: y0 = Text2.Text X1 = Text3.Text: Y1 = Text4.Text X2 = Text5.Text: Y2 = Text6.Text X3 = Text7.Text: Y3 = Text8.Text Picture1.FontSize = 18 Picture1.CurrentX = 800: Picture1.CurrentY = -5: Picture1.Print "X" Picture1.CurrentX = 10: Picture1.CurrentY = 810: Picture1.Print "Y" For t = 0 To 1 Step 0.001 x = x0 * (1 - t) * (1 - t) * (1 - t) + X1 * 3 * t * (1 - t) * (1 - t) + X2 * 3 * t * t * (1 - t) + X3 * t * t * t y = y0 * (1 - t) * (1 - t) * (1 - t) + Y1 * 3 * t * (1 - t) * (1 - t) + Y2 * 3 * t * t * (1 - t) + Y3 * t * t * t Picture1.CurrentX = x0 + 10: Picture1.CurrentY = y0 + 10: Picture1.Print "p0" Picture1.CurrentX = X1 + 10: Picture1.CurrentY = Y1 + 10: Picture1.Print "p1" Picture1.CurrentX = X2 + 10: Picture1.CurrentY = Y2 + 10: Picture1.Print "p2" Picture1.CurrentX = X3 + 10: Picture1.CurrentY = Y3 + 10: Picture1.Print "p3" Picture1.DrawWidth = 1 Picture1.Line (x0, y0)-(X1, Y1), vbBlue 首先，我是一个软件菜鸟，对于纬地道路也是听说了很久却不会用，待到真要使用的时候按照网上搜来的步骤总是运行不下去，苦苦钻研几天，也询问了一些同学，好在最终可以完成路线的平、纵、横断面布置及相关图表的输出。先将成果分析给有需求的人，赠人玫瑰，手留余香~ 纬地道路详细步骤： 1、首先在目的硬盘新建一个文件夹，按喜好为文件夹命名，比如说abc。 2、打开纬地系统，点击左上角“项目”→新建项目，在弹出的对话框填写新建项目名称abc，点击浏览为项目文件指定存放路径，找到所建文件夹abc的位置，并为新建项目文件命名，这里为abc.prj，点击确定，完成项目新建。 3、打开电子图（CAD .dwg文件类型）。 4、搞清楚各个图层的状态需要进行什么约束{（等高线╱约束线）、（地形点╱地形点的）}。 5、然后关闭图形，不进行修改 6、数模→数模组管理→新建数模→确定→关闭。 7、数模→三维数据读入→DWG 或 DXF 格式→找到刚打开的电子图读入将等高线设为约束线→地形点设为地形点→点击开始读入。 8、①数模→三角构网②数模→网格显示→显示所有网格→确定。 9、数模→数模组管理，弹出的对话框中选中显示的数模文件，点击保存数模，指定路径并命名为abc，文件后缀为（.dtm）→再次选中对话框中的文件，点击保存数模组，生成并保存.gtm文件，路径保持默认，即为文件夹abc，最后一次选中对话框中的文件，点击打开数模→关闭 10、打开地形图，设计→主线平面设计→找到自己要设计的路线起点→点击后→点插入→是→对除起终点之外的其他交点进行“拖动R”来设置平曲线→计算绘图→点存盘→是，得到“.jd”文件，并根据提示将交点文件自动转化为“.pm”文件。 11、项目→设计向导→下一步（多次重复下一步）自动计算超高加宽→完成（根据提示自动建立：路幅宽度变化数据文件（*.wid）、超高过渡数据文件（*.sup）、设计参数控制文件（*.ctr）、桩号序列文件（*.sta)等数据文件。 12、数模-→数模应用→纵断面插值，弹出对话框，勾选插值控制选项，点击开始插值，生成纵断面地面线文件（*.dmx）以及地面高程文件(*.zmx)。 13、数模-→数模应用→横断面插值，弹出对话框，选取绘制三维地面线及输出组数（其他默认），点击开始插值，生成横断面地面线文件(*.hdm)。） 14、CAD 新建→选择最后一个文件夹→打开→打开acadiso. 文件（样板文件）。 15、设计→纵断面设计→计算显示→确定。 16、设计→纵断面设计→选点（此时可以打开cad的栅格显示，在最下边）→在图上选第一个高程点点（左边端点起），再接着点击插入，插入几个变坡点，最后一个右边端点→点击实时修改对纵坡顶修改（将竖曲线调整到合理）→存盘→计算显示→删除纵断面图。 17、设计→路基设计计算→点击“... ”→保存→搜索全线→确定→计算 18、设计→横断面设绘图→选中土方数据文件→点击“... ”→保存→绘图控制→（选中记录三维数据、插入图框、绘出路槽图）→计算绘图→保存，在CAD合适位置完成横断面设计图的输出。 19、点击“表格“按需要输出各种表格。 实现Bezier曲线的生成算法 实验步骤 （一）生成绘图应用程序的框架（如下图） 具体实现见第一次实验，过程不再详细说明。 （二）在应用程序中增加菜单 完成相关菜单的设计，具体的效果如下图所示，并设置好相关菜单消息的映射，具体的实现在前面的实验中介绍过，再此不在详细说明。 （三）在绘图函数中添加代码 通过以上步骤，得到了与菜单对应的消息映射，就可以在函数中添加代码绘制图形了。 1、利用Bezier曲线的生成算法实现二次Bezier曲线的生成（算法的详细原理见教材）。void CBezierView::OnBezier2() { // TODO: Add your command handler code here CDC*pDC=GetDC();//得到绘图类指针 RedrawWindow();//重绘窗口 CPen bluepen(PS_SOLID,2,RGB(0,0,255));//创建画实线、线宽为2的蓝色画笔 CPen *old=pDC->SelectObject(&bluepen); float x0=100,y0=100,x1=200,y1=50,x2=150,y2=250; float i,x,y,dt,t,n=30.0; dt=1/n; for(i=0;i<=n;i++) { t=i*dt; x=x0*(1-t)*(1-t)+x1*2*t*(1-t)+x2*t*t; y=y0*(1-t)*(1-t)+y1*2*t*(1-t)+y2*t*t; if(i==0)pDC->MoveTo(x,y); pDC->LineTo(x,y); pDC->MoveTo(x0,y0); pDC->LineTo(x1,y1); pDC->LineTo(x2,y2); pDC->SelectObject(old); ReleaseDC(pDC); } 由以上代码绘出的图形如下： 2、利用Bezier曲线的生成算法实现二次Bezier曲线的生成（算法的详细原理见教材）。。void CBezierView::OnBezier3() { // TODO: Add your command handler code here CDC*pDC=GetDC();//得到绘图类指针 RedrawWindow();//重绘窗口 CPen redpen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//创建画实线、线宽为2的红色画笔 CPen *old=pDC->SelectObject(&redpen); float x0=50,y0=50,x1=150,y1=150,x2=300,y2=130,x3=350,y3=50; float i,x,y,dt,t,n=30.0; dt=1/n; for(i=0;i<=n;i++) 竖曲线计算 竖曲线定义：纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车用一段曲线缓和，这条连接两个纵坡线的曲线称为竖曲线。 竖曲线作用： 1)以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点处冲击， 2)确保道路纵向行车视距； 3)将竖曲线与平曲线恰当地组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导以及舒适感。 变坡点：在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点。 竖曲线分类：竖曲线常采用圆曲线，可以分为凸形和凹形两种。 凹凸竖曲线判断：如上图，当前坡段坡度大于后坡段坡度时为凸型曲线；当前坡段坡度小于后坡段坡度时为凹曲线；坡度：通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度。（注：判断是凹凸竖曲线时，坡度含正负号，例如，前坡段坡度为－2.3%，后坡段坡度为－1.4%，因为－2.3%<－1.4%，故此竖曲线为凹形竖曲线，我们习惯把上坡段用“＋”表示，下坡段用“－”表示） 道路纵断面线形常采用直线、竖曲线两种 线形，二者是纵断面线形的基本要素。竖曲线 技术指标主要有竖曲线半径和竖曲线长度。凸 形的竖曲线的视距条件较差，应选择适当的半 径以保证安全行车的需要。凹形的竖曲线，视 距一般能得到保证，但由于在离心力作用下汽 车要产生增重，因此应选择适当的半径来控制 离心力不要过大，以保证行车的平顺和舒适。 竖曲线基本要素： 竖曲线长:L 切线长：T 外距：E 半径：R 竖曲线起终点桩号计算： 竖曲线起点桩号：变坡点桩号－T 竖曲线终点桩号：变坡点桩号＋T 如右图所示，两个相邻的纵坡为i1和i2,竖曲线半径为R,则测设元素为： 曲线长L=R ×α 由于竖曲线的转角α很小，故可以认为： α=i1-i2；所以L=R （i1-i2） 切线长T=Rtan 2 α 因为α很小，tan 2α=2α；所以可以推出： T=R ·2α=2L =21R （i1-i2） 又因为α很小，可以认为：ＤＦ=Ｅ；ＡＦ=Ｔ 根据三角形ＡＣＯ与三角形ＡＣＦ相似，根据相似三角形“边角边”定理得出： Ｒ：Ｔ=Ｔ：２Ｅ； 于是如上图外距Ｅ＝R T 22 , 同理可导出竖曲线上任意一点Ｐ距切线纵距的计算公式：y ＝R x 22 式中：x —竖曲线上任意一点P 到竖曲线起点或终点的水平距离 Y —值在凹形竖曲线中为正号，在凸形竖曲线中为负号。 故竖曲线中任意一点的高程： Ｈ＝O H ±x ·i R x 22 式中：O H —竖曲线起点或终点的高程(O H =变坡点的高程±T ·i ,) i —纵坡的坡度 x —竖曲线上任意一点P 到竖曲线起点或终点的水平距离 例题：竖曲线半径R=3000m,相邻坡段坡度为i1=+3.1%,i2=+1.1%,变坡点桩号为K16+770，其高程为396.67m ，若曲线上每10米设置一个桩，计算竖曲线上整10m 桩点的高程。 解：（1）计算竖曲线测设元素 根据如上公式：L =R ×α= R （i1-i2）=3000×(3.1%-1.1%)=60m T=2L =2 60=30m ；E=R T 22=30002302 =0.15 （2）计算竖曲线起、终点桩号和高程 Bezier三次曲线实验报告 一：实验目的 用C语言实现Bezier三次曲线原理的划线 二：实验环境 VC6.0 三：实验人数 一人 四：实验内容 Bezier曲线生成的原理和步骤都在程序上给了注释 五：实验步骤 #include #include 作业三：三次Bezier曲线 1. 设计要求: 1．在程序窗口中建立坐标系 2．输入控制点，绘制出三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线 3．四个控制点间依次用细线连接 4．在程序窗口显示四个控制点的位置并标出 2. 设计思路: 先在草稿纸上算出三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线的函数表达式： （０≤ｕ≤１） ＝ａ×＋ｂ×＋ｃ×ｕ＋ｄ 其中ａ、ｂ、ｃ、ｄ的值为： ａ＝（-） + 3 × - 3 × + ｂ＝3× - 6 × + 3 × ｃ＝（-3） × + 3 × ｄ＝ 将、、、中的（ｘ，ｙ）坐标值分别代入ａ、ｂ、ｃ、ｄ中得到、、、和、、、则： ＝×＋×＋×ｕ＋ （１） ＝×＋×＋×ｕ＋ （２） 根据以上结果（１）和（２）编程求得当ｕ取不同值时所得到的点Ｐ（ｕ）。再将各点用线连接起来即可拟合三次Ｂｅｚｉｅｒ曲。 3. 设计过程: 以下是用ＶＢ编三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线时的源代码： 其中显示四个控制点的思路是将控制点在ｘ和ｙ方向的坐标值都增大１，然后再与控制点用粗实线连接起来。这样一来在窗口中显示的即为一个较大的实点。 Function drawcs() '此模块为建立坐标系 Dim k As Integer PictDraw.DrawWidth = 1: PictDraw.FontSize = 9 '设置线宽和字体 PictDraw.Line (-400, 0)-(400, 0), RGB(100, 100, 100) PictDraw.Line (0, -300)-(0, 300), RGB(100, 100, 100) For k = (-360) To 360 Step 40 PictDraw.Line (k, -5)-(k, 0): PictDraw.CurrentX = k - 20: PictDraw.CurrentY = 5: PictDraw.Print k Next k For k = (-280) To -40 Step 40 PictDraw.Line (5, k)-(0, k): PictDraw.CurrentX = -40: PictDraw.CurrentY = k - 10: PictDraw.Print (-1) * k Next k For k = (40) To 280 Step 40 PictDraw.Line (5, k)-(0, k): PictDraw.CurrentX = -40: PictDraw.CurrentY = k - 10: PictDraw.Print (-1) * k Next k End Function Private Sub Form_Load() PictDraw.AutoRedraw = True PictDraw.ScaleWidth = 800 PictDraw.ScaleHeight = 600 Text1.Text = -300: Text2.Text = -250: Text3.Text = 300: Text4.Text = -250 Text5.Text = -300: Text6.Text = 250: Text7.Text = 300: Text8.Text = 250 '作为初始值，便于测试 drawcs End Sub Private Sub cmdCancle_Click() PictDraw.Cls drawcs '清除屏幕后，重建坐标系 End Sub Private Sub delet_Click() '此模块为清除输入框中的值 Text1.Text = "" Text2.Text = "" Text3.Text = "" Text4.Text = "" Text5.Text = "" Text6.Text = "" Text7.Text = ""竖曲线习题
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