电源电动势和内阻的测量方法与误差分析

关于电源电动势和内阻的几种测量方法及误差分析

黎城一中物理组

一、伏安法

选用一只电压表和一只电流表和滑动变阻器，测出两组U、I的值，就能算出电动势和内阻。1电流表外接法

1.1原理

如图1-1-1所示电路图，对电路的接法可以这样理解：因为

要测电源的内阻，所以对电源来说用的是电流表外接法。处理数

据可用计算法和图像法：

（1）计算法：根据闭合电路欧姆定律EUIr，有：

E测U1I1r

测图1-1-1

E测U2I2r

测

可得：E

测

I U

21

I

2

I U

1

I

1

2

r

测

U

1

I

2

U

I

1

2

I短（2）图像法：用描点作图法作U-I图像，如图1-1-2所示：图1-1-2

图线与纵轴交点坐标为电动势E，图线与横轴交点坐标为短路电流

E

I短，图线的斜率的大

r

小表示电源内阻

U r。

I

1.2系统误差分析

由于电压表的分流作用，电流表的示数I不是流过电源的电流I，由电路图可知I

0。

【1】计算法：设电压表的内阻为R V，用E表示电动势的真实值，r真表示内阻的真实值，

真

则方程应修正为：

U

E真UIr

真

R

V

，则有：

UU

12

E真UIrEUIr

12

真

RR

VV

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解得：

UIUI

1221

E真E

测

UU

12

II

21

R

V

UU

12

，r真r测

UU

12

II

21

R

V

可见电动势和内阻的测量值都小于真实值。

【2】图像修正法：如图1-1-3所示，直线①是根据U、I的测量值所作出的U-I图线，由于I

而且U越大，I和I0之间的误差就越大，即I U

VR

V

E真

随着电压的减小而减小，而电压表的示数U就是电源E测

的路端电压的真实值U0，除了读数会有误差外，可以

认为U＝U0，经过修正后，直线②就是电源真实值的

U-I图线，由图线可以很直观的看出：

II

短

E测E，r测r真。

真

图1-1-3 【3】等效法：把电压表和电源等效为一新电源，如图1-1-1虚线框所示，这个等效电源的内阻r为r真和R V的并联电阻，也就是测量值，等效电源的电动势为电压表和电源组成回路的路端电压，也就是测量值，即：

r

Rr

V真

r测r

真

Rr

V真

E

R

V

E测EE

真真

Rr

V真

由以上分析还可以知道，所选择的电压表内阻应适当大些，使得R V r真，减小系统误差，

使得测量结果更接近真实值，

综上所述，采用相对电源电流表外接法，由于电压表的分流导致了系统误差，使得E测E真，

r测r。

真

2电流表内接法

2.1原理

如图1-2-1所示电路图，对电源来说是电流表内接，数据的处理

也可用计算法和图像法

（1）计算法：根据闭合电路欧姆定律E=U+Ir，有

E测U1I1r

测

图1-2-1

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E测U2I2r

测

可得：E

测

I U

21

I

2

I U

1

I

1

2

r

测

U

1

I

2

U

I

1

2

（2）图像法：用描点作图法作U-I图像，其图像与图1-1-2所示图像相同，图线与纵轴交点

坐标为电动势E，图线与横轴交点坐标为短路电流

E

I短，图线的斜率的大小表示内阻所以电源r

内阻为

U r。

I

2.2系统误差分析

由于电流表的分压，电压表的示数U不是电源的路端电压U0，有U

【1】计算法：设电流表的内阻为R A，用E真表示电动势的真实值，r真表示内阻的真实值，方

程应修正为：()

E真UIR A r，则有：

真

E真UI(R A r)

11真

E真UI(R A r

22真

)

IUIU

2112 解得：E真E测

II

21

U1U(II)R UU

221A12

r真R A r

测

IIII

2121

可见电动势的测量值等于真实值，而内阻的测量值大于真实值。

【2】图像修正法：如图1-2-2所示，直线①是根据U、I的测量值所作出的U-I图线，由于U

随着电流的减小而减小，而电流表的示数I就是流过电源的电流

的真实值I0，除了读数会有误差外，可以认为I＝I0，经过修正后，

直线②就是电源真实值的U-I图线，由图线可以很直观的看出

E测E，r测r真。

真

图1-2-2 【3】等效法：把电流表和电源等效为一新电源，如图1-2-1虚线框所示，这个等效电源的内阻r为r真和R A的串联总电阻，也就是测量值；等效电源的电动势为电流表和电源串联后的路端电压，也就是测量值，即

rr测R A rr，EE测E真

真真

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由以上分析可知，所选电流表的内阻应很小，才能使得R A r真，减小系统误差，但是这个

要求在实验室测定干电池的内阻时是很难满足的。

综上所述，采用相对电源电流表内接法，由于电流表的分压导致了系统误差，使得E

测E，真

r测r

真

总之，相对电源来说，电流表内、外接法总能测量电源的电动势E及内阻r，尽管电流表外接

法测量时，E

测E，r测r真，但它产生的百误差较小，尽管电流表内接法测量时，

真E测E，

真

但测量内阻r时产生的误差较大，因此我们一般选择相对电源外接法来测量电源的电动势E及内阻r。

二、安阻法

1原理

电路图如图2-1-1所示，调节电阻箱电阻R，测出两组I、R的值，由闭合电路欧姆定律

EI(R r)就能算出电动势和内阻。其中I是电流表示数，R是电阻箱示数。

E测I(R1r

1测

)

E测I(R2r

2测

)

解得：

I1I（R）

R

212

E

测，

II

21

r

测

I R

11

I

2

I

I

R

22

1

图2-1-1

2系统误差分析

这种方法产生的系统误差和图1-2-1所示的电流表内接法是一样的，因为上式中的IR就相当

于图1-2-1中的电压表所测的变阻器两端的电压U，误差产生的原因还是由于电流表的分压，IR的值并不是电源的路端电压，而只是R两端的电压。所以最终测得的电动势和内阻为电流表和电源

串联后的新电源的电动势和内阻，即：r

测R A rr，E测E真。

真真

三、伏阻法

1原理

用一只电压表和一只电阻箱测量，设计实验原理图如图3-1-1所示，调节R，测出两组U、R

U

的值，由闭合电路欧姆定律r

EU，就能算出电动势和内阻，其中U是电压表示数，R是

R

电阻箱示数。则有：

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U

1

E测Ur

1

测

R

U

2

E测Ur

2测

R

图3-1-1

解得：

U1U(RR)

221

E测，

URUR

1221

r测

(U

U

1U)RR

2121U)RR

R

21

U R

12

2系统误差分析

这种方法产生的系统误差和图1-1-1所示的电流表外接法是一样的，因为上式中的

U

R

就相当

U

于图1-1-1中的电流表所测的流过变阻器的电流I，误差产生的原因是由于电压表的分流，

的值

R

并不是流过电源的电流，而只是流过R的电流。所以最终测得的电动势和内阻为电压表与电源并

联后的新电源的电动势和内阻，所以测量值也都小于真实值，即：E

测E，r测r真。

真

四、伏伏法

在“测定电源电动势和内阻”的实验中，除待测电源（E，r），

足够的连接导线外，实验室仅提供：两只量程合适的电压表V

1、V 2

及V的内阻R

V，一只单刀双掷开关S。实验原理图如图4-1-1所示。

1

电压表V的内阻已知，则可用V

1测出它所在支路的电流，设当开关

1 图4-1-1

S与1接触时，电压表V的读数为U1；当开关S与2接触时，电压

1

表V、的读数分别为U

1、U2，则由欧姆定律EUIr，则有：

1V

2

E U

1 U

1

R

1

r

U

1

，r

EUU

12

R

1

可得：

UU

12

E，

UU

11

r

U

1

U

U

1

2

U

U

1

1

R

V

【说明】：此种方法测得的电动势和内阻均无系统误差。

五、安安法

用两只电流表，其中一只电流表已知内阻来测量，例如在测定一节干电池的电动势和内电阻的实验中，备有下列器材：①干电池（电动势E约为1.5V，内电阻r约为1.0Ω）；②电流表G（满

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偏电流3.0mA，内阻R10）；③电流表A（量程0～0.6A，内阻约为0.5Ω）；④滑动变阻器

g

R（0～20Ω，10A）；⑤滑动变阻器R(0~100,1A)；⑥定值电阻R3990；⑦开关和导线

若干。

为了准确地进行测量，实验电路图如图5-1-1所示。由闭合电路欧姆定律EUIr可知，只

要能测出两组路端电压和电流即可，但题目中只给出两个电流表且其中一个电流表G的内阻已知，

可以把内阻已知的电流表和定值电阻R串联改装成一个电压表，分别测两组电流表G和A的读数，

3

便可求出电源电动势和内阻，由闭合电路欧姆定律

EI G1(R3R)(I1I1)

gAG

r

EI G2(R3R g)(I A2I G2)r

可得：E

R

3

I

R

g

A2

I

I

G

I

G1

2

A2

I

A1

I I

A1

I

G1

G2

r

R

R

II

3

g

G1G2

III

A2G2A1

I

G1

图5-1-

1

【说明】此种方法测得的电动势和内阻均无系统误差。

六、两种特殊的测量方法

1利用电桥平衡测量电源电动势和内阻

图6-1-1如图6-1-1所示的电路，调节变阻器R1和R2使电流表G的读

数为0，此时电流表A1和A2的示数之和就是流过电源的电流I（即干路电流），电压表V1和V2的示数之和就是电源的路端电压U，则EUIr，两次调节R1和R2，使电流表G的示数变为0，

读出四个电表的读数，便可求出电源电动势和内阻。

设第一次两电流表示数之和为I1，两电压表示数之和为U1，则EU1I1r；第二次两电流

表示数之和为I2，两电压表示数之和为U2，则EUIr

2，联立可得：

2

IUIU

2112 E，

II r

U

I

1

2

U

I

1

2

21

【说明】此方法同样无系统误差，并且不必考虑电表带来的误差，因为此时电表相当于电源的外电路电阻，精确程度取决于电流表G的灵敏程度。

2用补偿法测量电源的电动势和内阻

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电源在没有电流通过时路端电压等于电源电动势的结论使我们有可能通过测量路端电压来测量电动势。但电压表的接入不可避免地会有电流流过电源，而电

源或多或少总有内阻，因此这样测得的路端电压将略小于电动势。

要精确地测定电动势，可以设法在没有电流流过电源的条件下测

量它的路端电压。采用补偿法可以做到这一点，其原理电路图如

图6-2-1所示。

其中E是被测电源，

x E是标准电池（其电动势非常稳定并

s

图6-2-1

且已知），E是工作电源。AC是一段均匀的电阻丝（上有一滑片B），G是灵敏电流计。

2.1测量电源电动势

操作过程：先将开关K掷于1，调节滑片B使灵敏电流计电流为零，这时K与B点等电势，

故E

x U。设流过AB的电流为I，则：

AB

E x UIR①（R AB是AB段的电阻）

ABAB

再将开关K掷于2，因一般E x E S，灵敏电流计的示数不会为零，调节滑片至另一点B以

重新使灵敏电流计电流为零，由以上讨论，可得：

E②（R AB是AB段的电阻）

SUIR

ABAB

因两种情况下G都无电流，故式①与②中I相同，合并两式得：

E x E S R

AB

R

AB

L

AB

L

AB

L

AB

∴S

E x E。

L

AB

2.2测量电源内阻

根据闭合电路欧姆定律UEIr可知，为了测定电源内阻r，必须要电源放出一定的电流I，

通常情况下r为常数，为了控制回路中I的大小，要在电路中串联一个电阻箱R，电流的测量采用电流──电压变换法，即测量阻值足够准确的电阻（R）两端电压，根据电压除以电阻算出电流

S

值，测量电池内阻。

U E

x U

R

S

r ，由于待测电池电动势E x为常量，

UIR

U

R S(RR

S

R

S

)

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UU

因此有：0()r

RRE

Sx

RR

SS

解得：U 0

R E R

xS

R

S

r

式中U与R为变量，如果取R为自变量，并与待测量r分开，变换上式可以得到0

1

R S r1 UE x R S E x R S

0 R

，显然，

1

U

与R成线性关系，其中斜率为b

E

1

x R S

，截距为

Rr

S ab(R S r

ER

xS )

a 则：rR S

b

【说明】此实验无系统误差，精确程度取决于电流表G的灵敏程度。

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