空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为
A ∈L
B ∈L => L α A ∈α
B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内.
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关为了简便点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
L A
· α C ·
B
· A · α P
· α
L
β 共面直线
=>a ∥c 2
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线 如图1：, A , , a B B a ααα??∈?，那么直线AB 与直线a 是异面直线． 注意事项：
1．定义中的“任何”两字很重要，不能随便改成“不同在某一个平面内”． 2．反证法是证明两条直线异面的常用方法．
④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理 （2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤：
A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。
B 、证明作出的角即为所求角
C 、利用三角形来求角
空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为
0。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直
线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为
0。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为
90。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角‘叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与
a
已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
一、选择题
1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是 （ ）
A 、A
B α? B 、AB α?
C 、由线段AB 的长短而定
D 、以上都不对 2、下列说法正确的是 （ ）
A 、三点确定一个平面
B 、四边形一定是平面图形
C 、梯形一定是平面图形
D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 （ ）
A 、平行
B 、相交
C 、异面
D 、以上都有可能 4、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是 （ ）
A 、l ∥a
B 、l 与a 异面
C 、l 与a 相交
D 、l 与a 没有公共点
5、 a,b 是两条异面直线， （ ） A ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一个平面与a ，b 都平行 B ．过直线a 且垂直于直线b 的平面有且只有一个
C ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一条直线与a ，b 都平行
D ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一条直线与a ，b 都垂直 6. a 、b 是异面直线，下面四个命题：
①过a 至少有一个平面平行于b ；②过a 至少有一个平面垂直于b ；③至少有一条直线与a 、b 都垂直；④至少有一个平面分别与a 、b 都平行，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．以下命题正确的是 （ ） A ．两个平面可以只有一个交点
B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点
C ．两个平面有一个公共点，它们可能相交
D ．两个平面有三个公共点，它们一定重合
8．下面四个说法中，正确的个数为 （ ）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 （2）两条直线可以确定一个平面
（3）若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l （4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4 9．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 （ ）
A ．α∥β
B ．α与β相交
C ．α与β重合
D ．α∥β或α与β相交 10．两等角的一组对应边平行，则
（ ）
A ．另一组对应边平行
B ．另一组对应边不平行
C ．另一组对应边也不可能垂直
D ．以上都不对
11．平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在α和β间的两条线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， 则EF 与α的关系是 （ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．不能确定 12．经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ） A ．只有一个 B ．至少有一个 C ．可能没有 D ．有无数个 13．如图，在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分
别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是（ ） A. 2
9 B. 3
C. 5
56 D. 2
二、填空题
1．已知直线a ∥b ，a 、b ?平面α，直线c 与a 异面，且b 与c 不相交，则c 与α的位置关系是_______． 2. 已知直线m ，n ，平面βα,，给出下列命题：
①若βαβα⊥⊥⊥则,,m m ；②若βαβα//,//,//则m m ；
③若βαβα⊥⊥则,//,m m ；④若异面直线m ，n 互相垂直，则存在过m 的平面与n 垂直. 其中正确的命题的题号为
3. 设l m n 、、是三条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面，下面有四个命题： ①,l l βαβα若∥∥,则∥；
②,l n m n l m 若∥∥,则∥；
③,l l αβαβ⊥⊥若∥,则； ④,,l m αβ⊥⊥若,.l m αβ⊥⊥则
其中假命题的题号为 4．下列四个命题：
①过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行 ②过直线外一点，有且只有一个平面与该直线平行
A
D
B
A
D 1
C 1
B 1 A 1
M N
③过平面外一点，有且只有一条直线与该平面平行 ④过平面外一点，有无数多条直线与该平面平行 其中真命题为_____________（写出序号即可） 5．如图，在四棱柱ABCD ---A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1C 1 上的动点，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 满
足___________时，体积AEB P V 恒为定值（写上
你认为正确的一个答案即可）
三、解答题
1、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域
2. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,2
3
3D 是CB 延长线上一点，且BD=BC. （Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ； （Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.
x
10
5O
F
E
D
B
A
C A B D
C
P E
A 1
D 1
C 1
B 1
3. 如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点.
(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；
4、如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．
A
B C
D
E
S
5、四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC = ∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==．
（Ⅰ）证明SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．
6、如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=
，直线CA 和平面α
所成的角为30
．
（I ）证明BC PQ ⊥； （II ）求二面角B AC P --的大小．
A
B
C
Q
α
β
P D
B
C
A
S
7、如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，证明：
① E 到平面ABC 1D 1的距离是
2
1； ② 直线BC 与平面ABC 1D 1所成角等于 45； ③ BE 与CD 1所成的角为10
10arcsin
8． 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面边长为a,D 为BC 为中点，M 在BB 1上，且BM=1
3
B 1M ，又CM ⊥A
C 1; （1） 求证：CM ⊥C 1D; （2） 求AA 1的长.
9． 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=2，PA ⊥底面ABCD ，E 是AD 的中点，F 在PC 上.
D
C
B
A
E
D 1
A 1
C 1
B
1
(1) 求F 在何处时，EF ⊥平面PBC ；
(2) 在(1)的条件下，EF 是不是PC 与AD 的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由； (3) 在(1)的条件下，求直线BD 与平面BEF 所成的角.
10．如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，SB=3． （1）求证BC ⊥SC ；
（2）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；
（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的
大小．
11．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点． （1）求证AM //平面BDE ； （2）求二面角A -DF -B 的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60 ．