2018届高考数学理大一轮复习顶层设计配餐作业38基本不

配餐作业(三十八) 基本不等式

(时间：40分钟)

一、选择题

1．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab

D ．a ＋b

解析 只需比较a 2＋b 2与a ＋b 。由于a ，b ∈(0,1)， ∴a 2

2．下列命题中正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1

x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3

x 2＋2

的最小值为2

C ．函数y ＝2－3x －4

x (x >0)的最小值为2－4 3 D ．函数y ＝2－3x －4

x (x >0)的最大值为2－4 3

解析 y ＝x ＋1

x 的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，y ≥2，当x <0时，y ≤－2，无最小值，故A 项不正确；

y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x 2＋2＝1时取等

号，

∵x 2＋2≥ 2，∴取不到“＝”，故B 项不正确； ∵x >0时，3x ＋4x ≥2

3x ·4x ＝43，

当且仅当3x ＝4x ，即x ＝2

33时取“＝”，

∴y ＝2－? ????3x ＋4x 有最大值2－43，故C 项不正确，D 项正确。 答案 D

3．若0

2，则y ＝x (3－2x )的最大值是( ) A.916 B.9

4 C ．2 D.9

8

解析 ∵00，∴y ＝x (3－2x )＝12×2x (3－2x )≤1

2

? ??

??2x ＋3－2x 22＝98

当且仅当x ＝34时取等号，∴y ＝x (3－2x )的最大值是9

8。故选D 。 答案 D

4．设x >0，y >0，且2x ＋y ＝6，则9x ＋3y 有( ) A ．最大值27 B ．最小值27 C ．最大值54

D ．最小值54

解析 因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝6， 所以9x ＋3y ≥2 9x ·3y ＝2

32x ＋y ＝236＝54，当且仅当x ＝3

2，y

＝3时，9x ＋3y 有最小值54。故选D 。

答案 D

5．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3

D ．7＋4 3

解析 log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 可得3a ＋4b ＝ab ，且a >0，b >0， 3a ＋4b ab ＝1，即3b ＋4

a ＝1，

所以a ＋b ＝(a ＋b )? ??

??3b ＋4a ＝7＋3a b ＋4b

a ≥7＋23a

b ·4b

a ＝7＋43，

当且仅当a ＝4＋23，b ＝3＋23时取等号。故选D 。

答案 D

6．设a >0，若关于x 的不等式x ＋a

x －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，

则a 的最小值为( )

A ．16

B ．9

C ．4

D ．2

解析 x >1，x ＋a x －1＝(x －1)＋a

x －1＋1

≥2

(x －1)×a

(x －1)

＋1＝2a ＋1≥5。

所以2a ≥4，a ≥2，a ≥4。故选C 。 答案 C 二、填空题

7．当x ≥4时，x ＋4

x －1的最小值为________。

解析 ∵x ≥4，∴x －1≥3。

∵函数y ＝x ＋4

x 在[3，＋∞)上为增函数， ∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1

＋1有最小值163。 答案 163

8．若a >0，b >0，a ＋b ＝1，则ab ＋1

ab 的最小值为________。

解析 ab ≤?

??

??a ＋b 22＝1

4， 当且仅当a ＝b ＝1

2时取等号。 y ＝x ＋1

x 在x ∈?

??

??0，14上为减函数。

∴ab ＋1ab 的最小值为14＋4＝17

4。 答案 174

9．已知x >－1，则函数y ＝x 2＋7x ＋10

x ＋1的值域为________。

解析 y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)＋4

x ＋1＋5，因为x >－1，

所以x ＋1>0， 则y ≥2

(x ＋1)·4(x ＋1)

＋5＝9(当且仅当x ＝1时取等号)。

答案 [9，＋∞) 三、解答题

10．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)， (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值。

解析 由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)， 得?????

x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1。

(1)∵x >0，y >0，