一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点．
()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______；
()2如图②，若m 6=．
①求C ∠的正切值；
②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积．
【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3
4
；ABC
S 27=②或
432
25
. 【解析】 【分析】
()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论；
()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结
论；
②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．
【详解】
()1如图1，连接OB ，OA ，
OB OC 5∴==， AB m 5==， OB OC AB ∴==， AOB ∴是等边三角形，
AOB 60∠∴=，
1
ACB AOB 302
∠∠∴==，
故答案为30；
()2①如图2，连接AO 并延长交
O 于D ，连接BD ，
AD 为O 的直径，
AD 10∴=，ABD 90∠=，
在Rt ABD 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=，
AB 3
tan ADB BD 4
∠∴=
=， C ADB ∠∠=，
C ∠∴的正切值为3
4
；
②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，
AC BC =，AO BO =， CE ∴为AB 的垂直平分线， AE BE 3∴==，
在Rt AEO 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=， CE OE OC 9∴=+=，
ABC 11
S AB CE 692722
∴=?=??=；
Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，
连接OA 交BC 于F ，
AC AB =，OC OB =， AO ∴是BC 的垂直平分线， 过点O 作OG AB ⊥于G ，
1AOG AOB 2∠∠∴=，1
AG AB 32
==，
AOB 2ACB ∠∠=， ACF AOG ∠∠∴=，
在Rt AOG 中，AG 3
sin AOG AC 5
∠=
=， 3
sin ACF 5
∠∴=，
在Rt ACF 中，3
sin ACF 5
∠=，
318
AF AC 55∴==，
24
CF 5∴=，
ABC 111824432
S AF BC 225525
∴=?=??=；
Ⅲ、当BA BC 6==时，如图5，由对称性知，ABC
432
S
25
=
．
【点睛】
圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
2．四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，且 AE ＝EC ，BE ＝ED ，以 AD 为直径的半圆过点 E ，圆心 为 O ．
（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；
（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F ，且直径 AD ＝6，求弧AE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）π2
【解析】
试题分析：（1）先判断出四边形ABCD 是平行四边形，再判断出AC ⊥BD 即可得出结论； （2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．
试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；
（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且1
32
OF AD =
=，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3． 在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =
CG CD =1
2
，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°． 连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴3031802
AE ππ
??=
=．
点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．
3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点，过点C 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，交⊙O 于点H ，连接DC ，AC ． （1）求证：∠AEC=90°；
（2）试判断以点A ，O ，C ，D 为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）若DC=2，求DH 的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形AOCD为菱形；
（3）DH=2．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得
，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出
∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由
DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．
试题解析：（1）连接OC，
∵EC与⊙O切点C，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90°，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA ，
∴AE ∥OC （内错角相等，两直线平行） ∴∠AEC+∠OCE=180°， ∴∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD 为菱形．理由是： ∵
，
∴∠DCA=∠CAB ， ∴CD ∥OA ， 又∵AE ∥OC ，
∴四边形AOCD 是平行四边形， ∵OA=OC ，
∴平行四边形AOCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； （3）连接OD ．
∵四边形AOCD 为菱形， ∴OA=AD=DC=2， ∵OA=OD ， ∴OA=OD=AD=2， ∴△OAD 是等边三角形， ∴∠AOD=60°，
∵DH ⊥AB 于点F ，AB 为直径， ∴DH=2DF ，
在Rt △OFD 中，sin ∠AOD=， ∴DF=ODsin ∠AOD=2sin60°=，
∴DH=2DF=2
．
考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．
4．如图，Rt ABC ?内接于⊙O ，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与
BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD ，G 是CD 的中点，连接OG .
(1)判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明; (2)求证:AE BF =;
(3)若3(22)OG DE =-，求⊙O 的面积.
【答案】（1）OG ⊥CD （2）证明见解析（3）6π 【解析】
试题分析：（1）根据G 是CD 的中点，利用垂径定理证明即可； （2）先证明△ACE 与△BCF 全等，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解． 试题解析：（1）解：猜想OG ⊥CD ．证明如下：
如图1，连接OC 、OD ．∵OC =OD ，G 是CD 的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ．
（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，而∠CAE =∠CBF （同弧所对的圆周角相等）．在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，∵∠ACE =∠BCF =90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ，∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ），∴AE =BF ．
（3）解：如图2，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点，∴OH =1
2
AD ，即AD =2OH ，又∠CAD =∠BAD ?CD =BD ，∴OH =OG ．在Rt △BDE 和Rt △ADB 中，∵∠DBE =∠DAC =∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ，∴
BD DE
AD DB
=，即BD 2=AD ?DE ，∴22622BD AD DE OG DE =?=?=（）
．又BD =FD ，∴BF =2BD ，∴2242422BF BD ==（）①，设AC =x ，则BC =x ，AB 2x ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠FAD =∠BAD ．在Rt △ABD 和Rt △AFD 中，∵∠ADB =∠ADF =90°，AD =AD ，∠FAD =∠BAD ，∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ），∴AF =AB 2x ，BD =FD ，∴CF =AF ﹣AC 221x x x -=（）．在Rt △BCF 中，由勾股定理，得：
222222[21]222BF BC CF x x x =+=+=（）（）②，由①、②，得
22222422x =（）（），∴x 2=12，解得：23x =23-∴222326AB x =
==∴⊙O 6，∴S ⊙O =π?6）2=6π．
点睛：本题是圆的综合题．解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质．
5．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC ⊥AB ，OB ＝4，D 是OB 的中点，点E 是弧BC 上的动点，连接AE ，DE ．
（1）当点E 是弧BC 的中点时，求△ADE 的面积； （2）若3
tan 2
AED ∠=
，求AE 的长； （3）点F 是半径OC 上一动点，设点E 到直线OC 的距离为m ，当△DEF 是等腰直角三角形时，求m 的值.
【答案】（1）62ADE S =2）16
55
AE =
3）23m =，22m =71m =.
【解析】 【分析】
（1）作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，则EH ＝OH ＝2+a ，根据Rt △AEB 中，EH 2＝AH?BH ，即可求出a 的值，即可求出S △ADE 的值；
（2）作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE ，设EF ＝2x ，DF ＝3x ，根据DF ∥BE 故
AF AD
EF BD
=，得出AF ＝6x ，再利用Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2，即可求出x ，进而求出AE 的长； （3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m 的值. 【详解】
解：（1）如图，作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ， 设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ， ∵点E 是弧BC 中点， ∴∠COE ＝∠EOH ＝45°，
∴EH ＝OH ＝2+a ，
在Rt △AEB 中，EH 2＝AH?BH ， （2+a ）2＝（6+a ）（2﹣a ）， 解得a ＝222±-， ∴a ＝222-， EH=22， S △ADE ＝
1
622
AD EH =;
（2）如图，作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE
设EF ＝2x ，DF ＝3x ∵DF ∥BE
∴
AF AD
EF BD = ∴
6
22AF x ==3 ∴AF ＝6x
在Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2 （6x ）2+（3x ）2＝（6）2 解得x ＝
255 AE ＝8x ＝
16
55
（3）当点D 为等腰直角三角形直角顶点时，如图
设DH ＝a
由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH ，
∴∠DFO=∠EDH
∴△ODF≌△HED
∴OD＝EH＝2
在Rt△ABE中，EH2＝AH?BH
（2）2＝（6+a）?（2﹣a）
-
解得a＝±232
m＝23
当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图
同理得△EFG≌△DEH
设DH＝a，则GE＝a，EH＝FG＝2+a
在Rt△ABE中，EH2＝AH?BH
（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）
解得a＝222
±-
∴m＝22
当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图
同理得△EFM≌△FDO
设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝2
∴EH＝a+2
在Rt△ABE中，EH2＝AH?BH
（a+2）2＝（4+a）?（4﹣a）
解得a＝71
m71
【点睛】
此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.
6．已知P是O的直径BA延长线上的一个动点，∠P的另一边交O于点C、D，两点位
于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1sin 3
P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O 经过点
C 、
D ，圆心距1OO n ＝． （1）当m=6时，求线段CD 的长；
（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；
（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)CD=25;(2)m=
2381
2n n
- ;(3) n 的值为955或9155 【解析】
分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt △POH ，得到Rt 3
m
OH OCH ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．
在Rt △1
sin 63
POH P PO =中，＝，，∴2OH =． ∵AB ＝6，∴3OC ＝． 由勾股定理得： 5CH = ∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．
（2）在Rt △1sin 3POH P PO m 中，＝，＝，∴3
m OH ＝
．
在Rt △OCH 中，2
2
93m CH ??- ???
＝． 在Rt △1O CH 中，2
2
363m CH n ??-- ??
?＝． 可得： 22
36933m m n ????--- ? ?????
＝，解得23812n m n -：＝．
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况： ① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时
i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由2
381
2n n n
-＝，解得9n ：＝．
即圆心距等于
O 、1O 的半径的和，就有O 、1O 外切不合题意舍去．
ii ）11O P OO ＝，由22
233
m m n m -
+-（）（） n ＝， 解得：23m n ＝，即23n 2381
2n n
-＝，解得9155n ：＝
． ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 2
8132n m n
-＝．
∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即2
8132n
n n
-＝，解得955n ：＝． 综上所述：n 的值为
955或9
155
． 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．
7．如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，AB ⊥CB 于点B ，tanD=3，BC=2，H 为CE 延长线上一点，且AH=10，CH 52=.
（1）求证：AH 是⊙O 的切线；
（2）若点D 是弧CE 的中点，且AD 交CE 于点F ，求证：HF=HA ； （3）在（2）的条件下，求EF 的长．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3102
【解析】
【分析】（1）连接AC，由AB⊥CB可知AC是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得AC⊥AH，问题得证；
（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是CE的中点，可得
∠CED=∠EBD，再由圆周角定理可得∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角即可证明
∠HAF=∠AFH，从而可证得AH=HF；
（3）由切割线定理可得EH=2，由（2）可知AF=FH=10，从而可得EF=FH﹣EH=10-2．
【详解】（1）如图1所示：连接AC．
∵AB⊥CB，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠C=∠D，
∴tanC=3，
∴AB=3BC=3×2=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，
又∵AH2=10，CH2=50，
∴AC2+AH2=CH2，
∴△ACH为直角三角形，
∴AC⊥AH，
∴AH是圆O的切线；
（2）如图2所示：连接DE、BE，
∵AH是圆O的切线，
∴∠ABD=∠HAD，
∵D是CE的中点，
∴CD ED
，
∴∠CED=∠EBD，
又∵∠ABE=∠ADE，
∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED，
∴∠ABD=∠AFE，
∴∠HAF=∠AFH，
∴AH=HF；
（3）由切割线定理可知：AH2=EH?CH，即（10）2=52EH，
解得：EH=2，
∵由（2）可知AF=FH=10，
∴EF=FH﹣EH=10-2．
【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.
8．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=3，cosA=2
5
，求出⊙O的半径和BE的
长；
（3）连接CG，在（2）的条件下，求CG
EF
的值．
【答案】(1)见解析；（2）2，6
5
（3）CG:EF＝4：7
【解析】
试题分析：（1）连结OD．先证明OD是△ABC的中位线，根据中位线的性质得到
OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线；（2）先由OD∥AB，得出∠COD=∠A，再解Rt△DOF，根据余弦函数的定义得到
cos∠FOD==，设⊙O的半径为R，解方程=，求出R=，那么AB=2OD=，
解Rt△AEF，根据余弦函数的定义得到cosA==，求出AE=，然后由BE=AB﹣AE即可求解．
试题解析：
（1）证明：如图，连结OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，AB=2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A．
在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，
∴cos∠FOD==，
设⊙O的半径为R，则=，
解得R=，
∴AB=2OD=．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，
∴cosA===，
∴AE=，
∴BE=AB﹣AE=﹣=2．
【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
9．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上一点C
作⊙O的切线交DF于点E，CE⊥DF．
(1)求证：AC平分∠FAB；
(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）5 2
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA=∠OAC与
∠CAE=∠OCA，然后根据角平分线的定义可证明；
（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB∽△AEC，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的长，从而得到圆的半径.
试题解析：(1)证明：连接OC.
∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE =90°
∵CE⊥DF，∴∠CEA=90°，
∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠OCA=90°，∴∠CAE=∠OCA
∵OC＝OA，∴∠OCA=∠OAC.
∴∠CAE=∠OAC，即AC平分∠FAB
(2)连接BC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.
又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴AB AC AC AE
=.
∵AE＝1，CE＝2，∠AEC =90°，∴2222
125
AC AE CE
+=+
∴
2
25
5
1
AC
AB
AE
===，∴⊙O的半径为
5
2
．
10．阅读下列材料：
如图1，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是⊙O1和⊙O2外公切线，A、B为切点，求证：AC⊥BC
证明：过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D，
∵DA、DC是⊙O1的切线
∴DA=DC．
∴∠DAC=∠DCA．
同理∠DCB=∠DBC．
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°， ∴∠DCA+∠DCB=90°． 即AC ⊥BC ．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容； （2）以AB 所在直线为x 轴，过点C 且垂直于AB 的直线为y 轴建立直角坐标系（如图2），已知A 、B 两点的坐标为（﹣4，0），（1，0），求经过A 、B 、C 三点的抛物线y=ax 2+bx+c 的函数解析式；
（3）根据（2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O 1O 2上，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）213
222
y x x =+- ；（3）见解析 【解析】
试题分析：（1）由切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是180°，可知用了三角形内角和定理；
（2）先根据勾股定理求出C 点坐标，再用待定系数法即可求出经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式；
（3）过C 作两圆的公切线，交AB 于点D ，由切线长定理可求出D 点坐标，根据,C D 两点的坐标可求出过,C D 两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适合即可．
试题解析：(1)DA 、DC 是
1O 的切线，
∴DA =DC .应用的是切线长定理；
180DAC DCA DCB DBC ∠+∠+∠+∠=，应用的是三角形内角和定理.
(2)设C 点坐标为(0,y ),则222AB AC BC =+， 即()
()2
2
22241
41y y --=-+++，
即2
25172y =+,解得y =2(舍去)或y =?2.
故C 点坐标为(0,?2)，
设经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式为2
y ax bx c ，
=++
则
1640
2,
a b c
a b c
c
-+=
?
?
++=
?
?=-
?
解得
1
2
3
2
2
a
b
c
?
=
?
?
?
=
?
?
=-
?
??
，
故所求二次函数的解析式为2
13
2.
22
y x x
=+-
(3)过C作两圆的公切线CD交AB于D,则AD=BD=CD,由A(?4,0),B(1,0)可知
3
(,0)
2
D-，设过CD两点的直线为y=kx+b,则
3
2
2
k b
b
?
-+=
?
?
?=-
?，
解得
4
3
2
k
b
?
=-
?
?
?=-
?，
故此一次函数的解析式为
4
2
3
y x
=--，
∵过
12
,
O O的直线必过C点且与直线
4
2
3
y x
=--垂直，
故过
12
,
O O的直线的解析式为
3
2
4
y x
=-，
由(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为
325
(,)
28
--，
代入直线解析式得
3325
2,
428
??
?--=-
?
??
故这条抛物线的顶点落在两圆的连心12
O O上.