的方差，X的方差V（X）的
§1 离散型随机变量及其分布列 自主整理 1.随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个_____________. 2.随机变量的取值能够_____________的随机变量称为离散型随机变量. 3.设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…，随机变量X 取a i 的概率为p i (i=1,2，…)，记作 p(X=a i )=P i (i=1,2，…) 称为__________________________________________________________________________。 并且有①p i _____________0，②p 1+p 2+…=_____________. 如果随机变量X 的分布列如上表，则称随机变量X 服从这一分布(列)，并记为_____________. 高手笔记 1.随机变量是将随机试验的结果数量化. 2.随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件. 3.随机变量X 取每一个值a i 的概率P(X=a i )等于其相应的随机事件A i 发生的概率P(A i ). 4.若X 为一个随机变量，则Y=aX+b(a,b 为常数)也为随机变量. 5.离散型随机变量的分布列中 第一行表述了随机变量X 的所有可能的取值,在这里要注意按一定的次序来填写；第二行表述了随机变量X 取相应上行中数值a i 的概率的大小p i =P(X=a i )，i=1,2，… 6.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于其在这个范围内取每一个值的概率之和. 7.离散型随机变量的分布列不仅清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，是进一步研究随机试验数量特征的基础. 名师解惑 1.随机变量与以前学过的变量有什么区别与联系？ 剖析：随机变量作为一个变量，当然有它的取值范围，这和以前学过的变量一样.不仅如此，还有它取每个值的可能性的大小，如：从装有无差别的6只黑球、4只白球的袋中，随机抽取3只球，所得的白球个数是一随机变量X ，其取值为X=0，1，2，3；而取每个值的可能性的大小，可通过其相应的随机事件发生的大小——即其概率来反映.即“若X=2”，对应事件A 2：“取出的3只球中恰有两只白球”，其概率： P(A 2)=.1031238910123 46310 2416=??????? =C C C 若“X=3”对应事件A 3：“取出的3只球中恰有三只白球”的概率： P(A 3)=.10112389101232 34310 34=????????=C C
几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇（鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000） 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行，新课标教材越来越受到人们的关注，新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养，而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识，掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求，也是高考必考的内容，先结合新教材，具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()() ,k k P A p P A q ==，那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==，根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布
第2离散型随机变量的方差 学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 知识点离散型随机变量的方差 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为 X 01 2 P 6 10 1 10 3 10 Y 01 2 P 5 10 3 10 2 10 思考1试求EX，EY. 思考2能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？ 思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？ 梳理(1)离散型随机变量的方差的含义 设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为________． (2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系 方差越____，随机变量的取值越分散；方差越____，随机变量的取值就越集中在其均值周
围． (3)参数为n，p的二项分布的方差 当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p)． 类型一求离散型随机变量的方差 命题角度1已知分布列求方差 例1已知X的分布列如下： X －10 1 P 1 2 1 4 a (1)求X2 (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX. 跟踪训练1已知η的分布列为 η010205060 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 (1)求方差； (2)设Y＝2η－Eη，求DY.
2.32离散型随机变量的方差 学习目标 1、理解各种分布的方差 2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题 自主学习：课本 1.一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是n x x x x ???321,,这些值对应的概率是n p p p p ???,,,321则________________________________________________________叫做这个 离散型随机变量X 的方差;______________________________叫作离散型随机变量X 的标准差 2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________. 3. 离散型随机变量X 分布列为二点分布时, ()___________D X =. 4.离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布时，()___________D X =. 5. 离散型随机变量X 服从参数为,N M ，n 的超几何分布时, ()___________D X = 自学检测 1.已知X ～(),B n p ，()8,() 1.6E X D X ==，则,n p 的值分别是（ ） A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8 2.设掷1颗骰子的点数为X ,则( ) A. 2() 3.5,() 3.5E X D X == B. 35() 3.5,()12 E X D X == C. () 3.5,() 3.5E X D X == D. 35() 3.5,()16E X D X == 3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X 头,则()D X 等于( ) A. 0.2 B. 0.196 C.0.8 D.0.812 4. 已知随机变量X 的分布列为
2.1离散型随机变量及其分布列 2.1.1离散型随机变量 学 习目标核心素养 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重 点) 2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点) 3.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．(难点)通过学习随机变量及离散型随机变量，培养数学抽象的素养. 1．随机变量 (1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量． (2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示． 2．离散型随机变量 (1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． (2)特征： ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． 思考：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？ [提示]离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1,2，…，n；也
可以是无限个，如取值为1,2，…，n，…. 1．下列变量中，是离散型随机变量的是() A．到2019年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 D[根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值．选项A，B，C的数值均有不确定性，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量．] 2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为() A．1,2,3，…，6B．1,2,3，…，7 C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5 B[由于取到白球游戏结束，由题意可知X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.] 3．下列随机变量不是离散型随机变量的是________． ①某景点一天的游客数X； ②某手机一天内收到呼叫次数X； ③水文站观测到江水的水位数X； ④某收费站一天内通过的汽车车辆数X. ③[①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此都是离散型随机变量；③中X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③不是离散型随机变量．] 随机变量的概念 【例1】件，则下列可作为随机变量的是()
2019-2020学年高中数学 2.3.1离散型随机变量的期望学案 新人教 A 版选修2-3 【教学目标】 1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望． ⒉理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξ～Β(n ，p)，则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 【教学重难点】 教学重点：离散型随机变量的期望的概念 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望 【教学过程】 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离 散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi （i=1，2，…）的概率为 ()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴Pi ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． 7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ， （k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P n n q p C 00 1 11-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝
§2.3.2离散型随机变量的方差导学案 高二数学组 一、教学目标 1、通过实例，理解离散型随机变量的方差； 2、能计算简单离散型随机变量的方差。 重点：离散型随机变量的方差的概念 难点：根据离散型随机变量的分布列求出方差 二、自学引入： 问题1：某射手在10次射击中所得环数为：10，9，8，10，8，10，10，10，8，9. 求这名射手所得环数的方差。 问题2：某射手在一次射击中所得环数 能否根据分布列求出这名射手所得环数的方差？ 引入概念： （1）方差的概念：设一个离散型随机变量X所有可能取得值是x1，x2，…，x n；这些值对应的概率为p1，p2，…，p n，则 D（X）= ， 叫做这个离散型随机变量X的方差。 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量的取值。 （2）D（X）的叫做随机变量X的标准差。 三、问题探究： （1）若随机变量X服从参数为p的二点分布，则D（X）= （）。 （2）若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则D（X）= （）。 四、典例解析： 例1 甲、乙两射手在同样条件下进行射击，成绩的分布列如下： 射手甲： 射手乙： 谁的射击水平比较稳定。 变式训练设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求D（X）
例2 已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布： k k k C k X P -==449.01.0)( (k=0,1,2,3,4). 求E （X ）和D （X ）。 变式训练 一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02。设发病的牛的头数为X ，求E （X ）和D （X ）。 五、小结： 六、作业：课后练习A 、B 。 §2.3. 2离散型随机变量的方差当堂检测 高二数学组 1、已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ） A ．1000.08和； B ．200.4和； C ．100.2和； D ．100.8和 2、设投掷1颗骰子的点数为ξ，则（ ） A.E ξ=3.5，D ξ=3.52 B.E ξ=3.5，D ξ=12 35 C.E ξ=3.5，D ξ=3.5 D.E ξ=3.5，D ξ= 16 35 3、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求E （X ），D （X ） 4、A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A 机床 B 机床 问哪一台机床加工质量较好
第二章 随机变量及其分布 2．1．1离散型随机变量 第一课时 思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化． 定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示． 思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？ 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域． 例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？ 定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，…. 思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？ 电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量． 在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量： ??≥?0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时. 与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易． 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验 注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上， ξ=1，
2019-2020学年高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列导学案新人教版选修 2-3 【学习目标】 1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念； 2、会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列。 【重点难点】 重点：求离散型随机变量的分布列 难点：超几何分布。 【预习指导】复习概率相关内容 E x1：下面给出了三个随机变量： 某传呼台1分钟内接到的呼叫次数；(2)某森林树木的高度在（0，50）这一范围内变化，测的某一树木的高度；(3)某人射击一次集中的环数. 其中是随机变量的个数是 ( ) A.0 B.1 C. 2 D . 3 E x2:下列变量中，不是随机变量的是 ( ) A.投掷一次硬币，正面朝上的次数 B.投掷一枚硬币100次，正面朝上的次数的频率 C. 某人某月的电话费 D.投掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的次数 【合作探究】阅读书本p46—48页，回答以下问题： 1、离散型随机变量的分布列： （1）如果随机试验的结果可以用一个 来表示，那么这样的变量叫做 ；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 。 （2）设离散型随机变量ξ可能取的值为 ξ,,,,21n x x x 取每一个值),,2,1(n i x i = 的概率()i i p x P ==ξ，则称表 为随机变量ξ的概率分布列，具有性质： ①i p 0，n i ,,2,1 =；②n i p p p p +++++ 21= 。 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。 2、如果随机变量X 的分布列为 其中,1,10p q p -=<<则称离散型随机变量X 服从 并称参数p 为 。 3、超几何分布列 在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{}k X =发生的概 率为：==)(k X P （m k ,,2,1,0 =），其中{}n M m ,min =，且*,,,,N N M n N M N n ∈≤≤，则称分布列
第二章离散型随机变量 教学目的与要求 1.熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念，会求一维随机变量的分布列. 2.熟练掌握二维离散型随机变量的概念及其分布，了解常见的二维随机变量的分布. 3.掌握二维离散型随机变量的边际分布及其计算公式. 4.了解多维随机变量的概念及其分布. 5.理解随机变量相互独立的关系及其判别方法. 6.掌握一维、二维离散型随机变量函数的分布列的求法. 7.准确理解数学期望、方差的概念及其相关的性质，熟练掌握常见的几种分布的数学期 望和方差. 8.了解条件分布与条件期望及其性质. 教学重点一、二维随机变量及其分布 教学难点随机变量的分布 教学方法讲解法 教学时间安排 1~2 第一节一维随机变量及分布列 3~4 第二节多维随机变量、联合分布列和边际分布列 5~6 习题辅导 7~8 随机变量函数的分布列 9~10 数学期望的定义及性质 11~12方差的定义及性质 13~14条件分布与条件数学期望 15~16 习题辅导 教学内容
1~2. 第一节一维随机变量及分布列 一、随机变量 在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的，这就提示我们，无论什么随机试验，如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果，样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上，这种想法是可以的，为此，引入一个新概念. 定义2.1 设E 维随机试验，()ωΩ=为其样本空间，若对任意的ω∈Ω，有唯一的实数与之对应，则称()ξω为随机变量. 这样，事件可通过随机变量的取值来表示，随机变量,(),(), b a b ξξξ≤<≤等都表 示为事件，其中,a b 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件. 二、一维离散型随机变量的概念 定义 2.2 定义在样本空间Ω上，取之于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量 ()ξξω=，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量.称 ()i i P a p ξ==， 1,2,i = 为随机变量()ξω的概率分布列，也称为分布律，有时就简称为分布. 离散型随机变量()ξω的分布列常常习惯地把它们写成表格的形式或矩阵形式： 121 2 a a p p ?? ??? 例2.1 在5n =的贝努里试验中，设事件A 在一次试验中出现的概率为p ，令 ξ=5次试验中事件A 出现的次数 则 55(),05k k k P k C p q k ξ-==≤≤ 于是，ξ的分布列为：
离散型随机变量的概念》教学设计 一、教材分析 《离散型随机变量的概念》是人教 A 版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第一课时。本章是在必修三中学习了基本的概率统计知识的基础上，进一步学习随机变量及其分布的知识。本节内容一方面承接了必修三的知识；另一方面，掌握好这一节课将有助于后续的学习，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，从而使得更多的数学工具有了用武之地。离散型随机变量是最简单的随机变量。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。 二、学情分析 学生在必修 3 概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1 中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。 三、教学策略分析 学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，培养学生分析问题、 解决问题的能力
四、目标分析 1知识与技能目标：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量； 2、过程与方法目标：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，弓I导学生分析问题的特点，归纳问题的共性，提高理解分析能力和抽象概括能力； 3、情感与态度目标：通过列举生活中的实例，提高学生学习数学的积极性, 使学生进一步感受到数学与生活的零距离，增强数学应用意识。 五、教学重点与难点 教学重点：随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用；教学难点：对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识。 六、教学过程设计：
离散型随机变量的均值 【教学目标】 理解离散型随机变量的均值公式的意义，熟练进行均值的计算． 【问题情境】 甲乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，已知12,X X 的概率分布如下表所示，那么甲、乙两人谁的次品（不合格品）率高一些？ 【合作探究】 问题1. 如何刻画上述两个离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 问题2. 回顾数学3（必修）“统计”中的内容，如何计算样本的平均值？ 1．离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X 的概率分布如下表，则称 为离散型随机变量的均值或数学期望，记为()E X 或μ，即()E X μ== ． 问题3中1()E X = 2()E X = 比较后的结论是：
【合作探究】 例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个口袋中装有10个红球、20个白球，这些球除颜色外完全相同，某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望． 例2．从批量较大的成品中随机抽取10件产品进行质量检查，若这批产品不合格率为0.05， E X． 随机变量X表示这10件产品的不合格品数，求随机变量的数学期望() 例3．某保险公司吸收10000人参加人身意外保险，规定：每人每年付给公司120元，若意
外死亡，公司将赔偿10000元．如果已知每人每年意外死亡的概率是0.006，求保险公司的期望收入． 【学以致用】 1．若随机变量X 的分布如右表，则X 的数学期望是 ． 2．一个袋子中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同 时取出2个球，则其中含有红球个数的数学期望是 ． 3．设随机变量X 的概率分布如下表，则()E X = ． 4．.假定1500件产品中有100 件不合格品，从中抽取15件进行检查，其中不合格品件数为 X ，求X 的数学期望． 5．某商家有一台电话交换机，其中有5个分机专供与顾客通话，每个分机在1小时平均占线20分钟，并且各个分机是否占线是相互独立的，求任一时刻占线的分机数目X 的数学期望．
2.1.1离散型随机变量 【学习要求】 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义． 2．了解随机变量与函数的区别与联系． 【学法指导】 引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广. 【知识要点】 1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验． 2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量． 3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量. 【问题探究】 探究点一随机变量的概念 问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 问题2随机变量和函数有类似的地方吗？ 例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． （1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量； （2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间； （3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数； （4）体积为1 000 cm3的球的半径长． 小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值． 跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． （1）某人射击一次命中的环数； （2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； （3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值； （4）某个人的属相． 探究点二离散型随机变量的判定 问题1什么是离散型随机变量？ 问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？ 例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ； ③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是() A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④ 小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出． 跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． （1）白炽灯的寿命ξ； （2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； （3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ； （4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数． 探究点三离散型随机变量的应用 例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． （2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？ 小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果． 跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果． （1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η. （2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ. （3）离开天安门的距离η. （4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ. 【当堂检测】 1．下列变量中，不是随机变量的是() A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是() A．取到产品的件数B．取到正品的概率 C．取到次品的件数D．取到次品的概率 3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是() A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________． 【课堂小结】 1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
§2.1.1 离散型随机变量 【学习要求】 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义． 2．了解随机变量与函数的区别与联系． 【学法指导】 引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广. 【知识要点】 1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验． 2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量． 3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量. 【问题探究】 探究点一随机变量的概念 问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 问题2随机变量和函数有类似的地方吗？ 例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． （1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量； （2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间； （3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数； （4）体积为1 000 cm3的球的半径长． 小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值． 跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． （1）某人射击一次命中的环数； （2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； （3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值； （4）某个人的属相． 探究点二离散型随机变量的判定 问题1什么是离散型随机变量？ 问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？ 例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ； ③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是() A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出． 跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． （1）白炽灯的寿命ξ； （2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； （3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ； （4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数． 探究点三离散型随机变量的应用 例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． （2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？ 小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果． 跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果． （1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η. （2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ. （3）离开天安门的距离η. （4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ. 【当堂检测】 1．下列变量中，不是随机变量的是() A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是() A．取到产品的件数B．取到正品的概率 C．取到次品的件数D．取到次品的概率 3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是() A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________． 【课堂小结】 1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件． 2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：
离散型随机变量 学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系. 知识点一随机变量 思考1抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？ 答案可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上. 思考2在一块地里种10棵树苗，棵数为x，则x可取哪些数字？ 答案x＝0,1,2,3， (10) (1)定义 在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. (2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η…表示. 知识点二随机变量与函数的关系 思考随机变量和函数有类似的地方吗？ 答案随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数.试验结果相当于函数的自变量，随机变量相当于函数的函数值，随机变量可以看作函数概念的推广. 知识点三离散型随机变量 1.定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量. 2.特征： (1)可用数值表示. (2)试验之前可以判断其出现的所有值. (3)在试验之前不能确定取何值.
(4)试验结果能一一列出. 类型一随机变量的概念 例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由. (1)某机场一年中每天运送乘客的数量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数. (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数. (4)明年某天济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间. 解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (4)济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量. 反思与感悟随机变量的辨析方法 1.随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同. 2.随机试验的结果的确定性.即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量. 跟踪训练1下列变量中，不是随机变量的是() A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准状态下，水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子，所得点数之和 D.某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 答案 B 解析B中求沸腾时的温度是一个确定的值. 类型二离散型随机变量的判定
§2.1.2离散型随机变量的分布列 预习案 一、教学目标 1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列； 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题． 3. 理解二点分布的意义. 二、预习自测： 问题一： （1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？ （2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？ （3）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？ 思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一种情况吗？随机变量是如何定义的？ 问题二： 按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么，随机变量与函数有类似的地方吗？ 问题三： 下列试验的结果能否用离散型随机变量表示？为什么？ （1）已知在从汕头到广州的铁道线上，每隔50米有一个电线铁站，这些电线铁站的编号； （2）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差； （3）某城市1天之内的温度； （4）某车站1小时内旅客流动的人数； （5）连续不断地投篮，第一次投中需要的投篮次数. （6）在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，某同学可能取得的等级。
导学案 重点：离散型随机变量的分布列的意义及基本性质. 难点：分布列的求法和性质的应用. 1．离散型随机变量 随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X 、Y 表示。 如果对于随机变量可能取到的值，可以按 一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量。 2．离散型随机变量的分布列 （1）设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,i x x x ，X 取每一个值(1,2,)i x i = 的概率 ()i i P X x p ==，则表 称为随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列。 离散型随机变量的概率分布还可以用条形图表示， 如图所示。 离散型随机变量的分布列具有以下两个性质：① ； ② 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。 （2）二点分布:像这样的分布列叫做两点分布列。如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称(1)p P X ==为 。 （1）0,(1,2,)i p i ≥= ，概率之和为121i p p p ++++= 。 三、典例解析： 例1在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=??，针尖向上； ，针尖向下. 如果针尖向上的概率为p ， 试写出随机变量X 的概率分布。