课题：二次函数
教学目标：
1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，
进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
4、会用待定系数法求二次函数的解析式。
教学重点：二次函数的概念和解析式
教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。
教学设计：
一、创设情境，导入新课
问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线怎样计算篮球达到最高点时的高度
这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）
二、合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：
（1）面积y (cm2)与圆的半径 x ( Cm )
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)
（一）教师组织合作学习活动：
1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。
2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。
（1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2
+40000x+20000
(3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2
+58x-112
（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征 让学生充分发表意见，提出各自看法。
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax 2+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式.
板书：我们把形如y=ax 2+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （二） 做一做
1、 下列函数中，哪些是二次函数 (1)2
x y = (2) 21x
y -
= (3) 122
--=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2
-+--=x x x y
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）12+=x y （2）12732
-+=x x y （3）)1(2x x y -= 3、若函数m
m x m y --=2
)1(2为二次函数，则m 的值为 。
三、例题示范，了解规律
例1、已知二次函数 q px x y ++=2
当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。
此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。
练习：已知二次函数c bx ax y ++=2 ，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。
例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形（图中
阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH 的面积为y(cm 2
),求： （1） y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围。 （2） 当x 分别为，，，时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示。
方法：
（1）学生独立分析思考，尝试写出y 关于x 的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。
（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：
求差法：四边形EFGH 的面积=正方形ABCD 的面积-直角三角形AEH 的面积DE4倍。
直接法：先证明四边形EFGH 是正方形，再由勾股定理求出EH 2
(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。 （4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x 与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x 的取值的增大，y 的值先减后增；y 的值具有对称性。 练习：
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y 关于x 的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少
a 4ac 4
b 2
四、归纳小结，反思提高
本节课你有什么收获 五、布置作业 课本作业题
二次函数的图像（1）
A
B
E
F
C
G
D H
x
教学目标：
1、经历描点法画函数图像的过程；
2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；
3、
掌握型二次函数图像的特征；
4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点：
2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳
教学难点：
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识
前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即2
ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2
ax y =（0≠a ）的图像。 板书课题：二次函数2
ax y =（0≠a ）图像 二、探索图像
1、 用描点法画出二次函数 2
x y =和2
x y -=图像 （1） 列表
①无论x 取何值，对于2
x y =来说，y 的值有什么特征对于2
x y -=来说，又有什么特征
②当x 取 1,2
1
±±
等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征 （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到2
x y =和
2x y -=的图像。
2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数2
2x y = 和2
2x y -=的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2
ax y =（0≠a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出：
（1） 二次函数的2
ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，
（2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。
（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。 （4） 当o a 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上
方(除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的 下方(除顶点外)。
（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）
三、课堂练习 观察二次函数2
x y =和2x y -=的图像 (1) 填空：
(2)在同一坐标系内，抛物线2
x y =和抛物线2
x y -=的位置有什么关系如果在同一个坐标系内画二次函数2
ax y =和2
ax y -=的图像怎样画更简便
(抛物线2
x y =与抛物线2
x y -=关于x 轴对称，只要画出2
ax y =与2
ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画)
四、例题讲解
例题：已知二次函数2
ax y =（0≠a ）的图像经过点（-2，-3）。
（1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。
（2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2) 已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B （-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 五、谈收获
1.二次函数y=ax2(a ≠0)的图像是一条抛物线.
2.图象关于y 轴对称,顶点是坐标原点
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点 六、作业：见作业本。
课题：二次函数的图像（2）
教学目标：
1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。
2、了解2
ax y =，2
)(m x a y +=，k m x a y ++=2
)(三类二次函数图像之间的关系。 3、会从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2
)(型二次函数的图像特征。 教学重点：从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2
)(型二次函数的图像特征。 教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。 教学设计： 一、知识回顾
二次函数2
ax y =的图像和特征：
1、名称 ；
2、顶点坐标 ；
3、对称轴 ；
4、当o a 时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点，图像在x 轴的 (除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点图像在x 轴的 (除顶点外)。 二、合作学习
在同一坐标系中画出函数图像221x y =，,)2(212+=x y 2)2(2
1
-=x y 的图像。 （1） 请比较这三个函数图像有什么共同特征
（2） 顶点和对称轴有什么关系
（3） 图像之间的位置能否通过适当的变换得到 （4）
由此，你发现了什么
三、探究二次函数2
ax y =和2
)(m x a y +=图像之间的关系 1、 结合学生所画图像，引导学生观察,)2(212+=
x y 与22
1
x y =的图像位置关系，直观得出221x y =的图像??
???→?向左平移两个单位
,)2(2
12+=x y 的图像。 教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系 ，如：
（0，0）??
???→?向左平移两个单位
（-2，0） （2，2）?????→?向左平移两个单位
（0，2）； （-2，2）??
???→?向左平移两个单位
（-4，2）
②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。 2、 用同样的方法得出2
2
1x y =
的图像?????→?向右平移两个单位
2)2(21-=x y 的图像。 3、请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质.
2ax y =（0≠a ）的图像个单位
时向右平移当个单位
向左平移时
当m 0m m 0m ?????→?2)2(21-=x y 的图像。 函数2
)(m x a y +=的图像的顶点坐标是（-m,0）,对称轴是直线x=-m 4、做一做
（1）、
（2）、填空：
①、由抛物线y=2x 2向 平移 个单位可得到y= 2(x +1)
2
②、函数y= -5(x -4)2
的图象。可以由抛物线 向 平移 4 个单位而得到的。
3、对于二次函数2
)4(3
1--=x y ，请回答下列问题：
①把函数231x y -
=的图像作怎样的平移变换，
就能得到函数2)4(31
--=x y 的图像 ②说出函数2)4(3
1
--=x y 的图像的顶点坐标和对称轴。
第3题的解答作如下启发：这里的m 是什么数大于零还是小于零应当把2
3
1x y -=的
图像向左平移还是向右平移在此同时用平移的方法画出函数2)4(3
1
--=x y 的大致
图像（事先画好函数23
1
x y -=的图像），借助图像有学生回答问题。
五、 探究二次函数k m x a y ++=2
)(和2
ax y =图像之间的关系 1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数3)2(2
1
2++=x y 的图像。 首先引导学生观察比较,)2(212+=
x y 与3)2(2
1
2++=x y 的图像关系，直观得出：,)2(212+=x y 的图像?????→?个单位
向上平移
33)2(2
12++=x y 的图像。（结合多媒体演
示）
再引导学生刚才得到的221x y =的图像与,)2(21
2+=x y 的图像之间的位置关系，
由此得出：只要把抛物线22
1
x y =先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得
到函数3)2(2
1
2++=x y 的图像。
2、做一做：请填写下表：
3、 总结k m x a y ++=2
)(的图像和2
ax y =图像的关系
2ax y =（0≠a ）的图像个单位
时向右平移当个单位
向左平移时
当m 0m m 0m ?????→?2)2(21-=x y 的图像个单位
时向下平移当个单位
向上平移时
当m 0k m 0k ?????→
?k m x a y ++=2)(的图像。
k m x a y ++=2)(的图像的对称轴是直线x=-m ，顶点坐标是（-m ，k ） 。
口诀：（m 、k ）正负左右上下移 （ m 左加右减 k 上加下减） 4、练习：课本第34页课内练习地1、2题 六、谈收获：
1、函数k m x a y ++=2
)(的图像和函数2
ax y =图像之间的关系。
2、函数k m x a y ++=2)(的图像在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。 七、布置作业
课本第35页作业题
预习题：对于函数122+--=x x y ，请回答下列问题：
（1）对于函数122
+--=x x y 的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的 （2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么
课题：二次函数的图像（3）
教学目标：
1、了解二次函数图像的特点。
2、掌握一般二次函数c bx ax y ++=2
的图像与2
ax y =的图像之间的关系。 3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。 教学重点：二次函数的图像特征
教学难点：例2的解题思路与解题技巧。 教学设计： 一、回顾知识
1、二次函数k m x a y ++=2
)(的图像和2
ax y =的图像之间的关系。 2、讲评上节课的选作题
对于函数122
+--=x x y ，请回答下列问题：
（1）对于函数122
+--=x x y 的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的 （2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么
思路：把122+--=x x y 化为k m x a y ++=2)(的形式。
=[
][
]
2)1(2)1(2)12()12(2
2
2
2
+--=-+-=-++-=-+-x x x x x x
在2)1(2
+--=x y 中，m 、k 分别是什么从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移得到的
二、探索二次函数c bx ax y ++=2
的图像特征
1、问题：对于二次函数y=ax 2+bx+c （ a ≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax 2+bx+c 转化为y = a(x+m)2 +k 的形式
c bx ax y ++=2
=a b ac a b x a a c a b a b x a b
x a a c x a b x a 44)2()2()2()(222222
-+
+=?????
?+-++=++ 由此可见函数c bx ax y ++=2的图像与函数2
ax y =的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。
练习：课本第37页课内练习第2题（课本的例2删掉不讲） 2、二次函数c bx ax y ++=2
的图像特征
221y x x =--+
（1）二次函数 c bx ax y ++=2
( a ≠0)的图象是一条抛物线；
（2）对称轴是直线x=a b 2-，顶点坐标是为（a
b
2-，a b ac 442-）
(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 三、巩固知识
1、例1、求抛物线2
5
3212-+-
=x x y 的对称轴和顶点坐标。 有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法
或者是用顶点坐标公式。
2、做一做课本第36页的做一做和第37页的课内练习第1题
3、（补充例题）例2已知关于x 的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供血有余力的学生解答) 分析与启发：（1）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便
4、练习：（1）课本第37页课内练习第3题。
（2）探究活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第37页），当水面宽12m 时，桥洞顶部离水面4m 。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么如果以水平方向为x 轴，取以下三个不同的点为坐标原点： 1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C
所得的函数解析式相同吗请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单 四、小结
1、函数c bx ax y ++=2
的图像与函数2
ax y =的图像之间的关系。 2、函数c bx ax y ++=2的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。 3、函数的解析式类型： 一般式：c bx ax y ++=2 顶点式：k m x a y ++=2
)( 五、布置作业
课题：二次函数的性质（1）
教学目标：
1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.
2.了解二次函数与二次方程的相互关系.
3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点：
二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程： 复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢 补充:
当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立.
二,新课教学:
1.探索填空:
根据下边已画好抛物线y= -2x 2
的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0.
2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x 2
的顶点坐标是 , 对称轴
是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0
3.归纳:
二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值
当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x
的增大而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时， 0
y= 0 y= 2x 2 y
x
a
2b x -=a
4ac 4b
2
-
在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。
当
时，函数y
有最大值
4.探索二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
(1).每个图象与x轴有几个交点
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根验证一下一元二次方程
x2-2x+2=0有根吗
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0
的根有什么关系
归纳:(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c 的两个根x1与 x2；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。
举例:求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0），B（x2,0）
5.例题教学:例1:已知函数
⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
(2)自变量x在什么范围内时， y随着x的增大而增大何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值。
a2
b
x-
=a4
ac
4b2
-
2
15
x7
2
1
y x2+
-
-
=
归纳:二次函数五点法的画法
三.巩固练习:请完成课本练习：p42. 1,2
四.尝试提高:1
五.学习感想:1、你能正确地说出二次函数的性质吗
2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗你能利用函数图象回答有关性质吗
六：作业：作业本,课本作业题1、2、3、4。
课题：二次函数的性质（2）
教学目标：
1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函
数的解析式。
2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性。
3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。 教学重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质 教学难点：利用图像观察性质 教学设计： 一、复习
1、抛物线5)4(22
-+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____0时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____0时,
y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是____。
2、抛物线6)3(22
+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____0时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____0时,
y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是____。 二、例题讲解
例1、根据下列条件求二次函数的解析式： （1）函数图像经过点A （-3，0），B （1，0），C （0，-2） (2) 函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1）
（3）函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点（1，0）和（5，0）
说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件。一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标（或对称轴或最值）及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x 轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷。
例2 已知函数y= x 2
-2x -3 ,
（１）把它写成k m x a y ++=2
)(的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的
（2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值； （3）求出图象与坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象的草图；
(5)设图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于P 点，求△APB 的面积；
（6）根据图象草图，说出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0. 说明：（1）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；
（2）利用函数图像判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图像，要使
y<0;，其对应的图像应在x 轴的下方，自变量x 就有相应的取值范围。
例3、二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则： a 0; b 0;c 0;ac b 42
- 0。
说明：二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b 42
-的关系 ：
三、小结本节课你学到了什么
四、布置作业：课本作业题第5、6题
补充作业题：已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
课题：二次函数的应用（1）
教学目标：
1、经历数学建模的基本过程。
2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。 教学重点和难点：
重点：二次函数在最优化问题中的应用。
难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。 教学设计：
一、创设情境、提出问题
出示引例 （将作业题第3题作为引例） 给你长8m 的铝合金条，设问： ①你能用它制成一矩形窗框吗 ②怎样设计，窗框的透光面积最大 ③如何验证
二、观察分析，研究问题
演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之
改变。深入探究如设矩形的一边长为x 米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym 2
,则它们的函数关系式为x x y 42
+-=
??
?-o x x 40
40 x ∴
并当x =2时（属于40 x 范围）即当设计为正方形时，面积最大=4(m 2
)
引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。 步骤：
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式； 第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。 三、例练应用，解决问题
在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形 设问：用长为8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，
问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大最大面积是多少 引导学生分析，板书解题过程。
变式（即课本例1）：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形）透光面
积最大（结果精确到米）
练习：课本作业题第4题
四、知识整理，形成系统
这节课学习了用什么知识解决哪类问题
解决问题的一般步骤是什么应注意哪些问题
学到了哪些思考问题的方法
五、布置作业：作业本
课题：二次函数的应用(2)教学目标：
1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。
2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。 教学重点和难点：
重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。
难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。 教学过程： 一、复习：
1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。 2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。出示上节课的引例的动态
图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）
设问：（1）对角线（L ）与边长（x ）有什何关系
222)4(x x l -+= )40(9622 x x x l +-=
（2）对角线（L ）是否也有最值如果有怎样求
L 与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值。引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。指出：当被开方数9622
+-x x 取最小值时，对角线也为最小值。 二、例题讲解
例题2：B 船位于A 船正东26km 处，现在A 、B 两船同时出发，A 船发每小时12km 的速度朝正北方向行驶，B 船发每小时5km 的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近最近距离是多少
22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
（三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=
本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。内容由一线名师原创，立意新，图片精，是非常强的一手资料。 二次函数 教学目标知识 技能 1.通过回顾教材，说出二次函数的定义；能画出二次函数的图象；能从图象上认识二 次函数的性质；掌握各类函数之间的平移规律. 2.通过练习，能够根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实 际问题. 过程 方法 通过让学生练习，进一步体会数学建模思想，进一步体验用配方法和数形结 合思想等解决问题的方法. 情感 态度 1．通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣； 2．让学生感受到数学与人类生活的密切联系，体会到学习数学的乐趣. 重点有关二次函数的基础知识及二次函数的实际应用. 难点灵活运用二次函数的有关知识解决实际问题. 环节教学问题设计教学活动设计 知识回顾1.二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增 大而，在对称轴左侧，y随x的增大而；当a＜0时，在对 称轴右侧，y随x的增大而 , 在对称轴左侧，y随x的增大而 . 2.抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最点，此时函数有最 值；当a＜0时图象有最点，此时函数有最值 3．抛物线8 2 2- - =x x y的对称轴为直线____，顶点坐标为___，与 y轴的交点坐标为____； 4.如何平移3 )1 ( 3 1 2- + - =x y 的图象可得到函数2 3 1 2+ - =x y. 5.已知二次函数c bx ax y+ + =2的 教师引入课题后利用 学案出示问题组.学生 自主完成填空， 教师巡视学生完成情 况，然后找学生说出答 案，同时要求学生总结 解决以上问题所运用的 知识点、方法及规律. 3、4两题要指导学生画 出草图，养成据图分析 问题的习惯， 教师指导学生利用数
二次函数教案-二次函数教案 二次函数教学重点和难点重点：二次函数的图象的作法和性质难点：理解二次函数的图象的性质教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们把一个二次函数通过配方化成顶点式来研究了二次函数中的a、h、k 对二次函数图象的影响。但我科觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。这在实际问题中的意义。随堂练习书本P 50 随堂练习《练习册》P 25小结二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式。作业书本P 55 习题1教学后记 二次函数能够利用二次函数的对
称轴和顶点坐标公式解决问题教学重点和难点重点：二次函数的图象的作法和性质难点：理解二次函数的图象的性质教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们把一个二次函数通过配方化成顶点式来研究了二次函数中的a、h、k对二次函数图象的影响。二次函数教案但我科在实际问题中的意义。随堂练习书本P 50 随堂练习《练习册》P 25小结二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式。作业书本P 55 习题1教学后记 二次函数的应用3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点和难点：重点：二次函数在最优化问题中的应用。难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。教学过程：由合作学习3引入:拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为那么当竖档AB多少时,长方形框架ABCD的面积最大.图案(4)小结：实际
问题转化为数学模型。作业：作业本。 二次函数的图象和性质主备人 用案人授课时间月日总第课时课题课型新授课教学目标会用描点法画出二次函数的图像；2．知道抛物线的对称轴与顶点坐标；重点会画形如的二次函数的图像难点的二次函数的顶是由抛物线怎样移动得到的？四、总结、扩展一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：1．a能决定什么？怎样决定的？2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？ 二次函数主备人用案人授课时间月日总第课时课题课型新授课教学目标 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。重点经历探索二次函数关间的函数关系；⑶菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S与
《二次函数复习》教学案 班级：初三 18 班年级：九设计者：李玲时间： 2015 年 10 月 16 日课题二次函数课型复习课 知识技能掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用数形结合知识解一些实际问题． 数学思考通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 教学目标 解决问题学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会利用数形结合线索解决问题策略的多样性． 经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想 情感态度在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活． 教学重点教学难点二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题． 课前准备 （教具、活制作课件 动准备等） 教学过程 教学步骤师生活动设计意图 如图是抛物线y ax2bx c a 0 的图像，通过一个具体二次函数， 请尽可能多的说出一些结论。请学生说出尽可能多的结论，主要让学生回忆二次函数有 基础知识之 关基础知识．同学们之间可以自我构建 相互补充，体现团结协作精 神．同时发展了学生的探究意 识，培养了学生思维的广阔 性． 二次函数是生活中最常 见的一类函数，它有着自己固 有的性质，反映的是轴对称性 和增减性； 我们要突出反映二次函数的 轴对称性、顶点坐标，我们就基础知识之可以把一般式改写成顶点式；基础演练如果想知道抛物线与 x 轴两 个交点的情况，我们可以把一 般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的 性质，我们发现二次函数的图 像能够直观地反映函数的特 性，而数又能细致刻画函数图
课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x
第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 一.创设情境，导入新课 问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．
二.合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c
6.1 二次函数 一.学习目标 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。 二.知识导学 （一）情景导学 1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函 数关系式是 。 2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大? 设长方形的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为 . 3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢 脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？ 在这个问题中，地板的费用与 有关，为 元,踢脚线的费用与 有关，为 元；其他费用固定不变为 元，所以总费用y （元）与x （m ） 之间的函数关系式是 。 （二）归纳提高。 上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不 同？ 。 一般地，我们称 表示的函数为二次函数。其中 是自变量， 函数。 一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 ，你能 说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ （三）典例分析 例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值. (1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝ x 21－23x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝ 12312++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c 例2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？ 例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系； ⑵圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； ⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所
第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 教学目标 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 教学过程 一、创设情境，导入新课 问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)． 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
《二次函数》教案 第一课时 ★新课标要求 一、知识与技能 1．能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．2．注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯．二、过程与方法 1．让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程． 2．使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概括及分析问题、解决问题的能力． 三、情感、态度与价值观 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点． ★教学重点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．★教学难点 本课时的难点是通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律． ★教学方法 注意让学生参与对问题的分析、讨论过程，在探索中了解二次函数及相关的概念；结合列函数式的讨论，可适当引导学生对问题的结论进行猜想． ★教学过程 一、引入新课 1．设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2．试将计算结果填写在下表的空格中， 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大，最大面积为50m2． 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见．形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0＜x＜10． 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=x m时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函数关系式． 二、进行新课 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0．1元，其销售量可增加10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：
课题§22.1.1 二次函数的定义 备课日期年月日课 型 新授 1．能结合具体情景体会二次函数的意义, 理解二次函数的有关概念. 知识与技能 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系. 通过具体问题情境中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式,在类比一教 过程与方法 次函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0 的重要特征 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的 学 过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 目 情感态度 把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会探索数学符号感的现实意与价值观 义，并培养钻研精神。 标 教学重点二次函数的概念和解析式 教学难点会建立简单的二次函数的模型 教学方法启发、引导、讲练结合 教学用具多媒体、导学案 课时安排 1 教学内容师生活动设计意图 复习旧知,加【图片欣赏，导入新课】 教师提出问题，学 多媒体演示生回顾旧知，两名 学生口答 深对函数定义【以旧引新】 的理解．强调 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.什么是函数？我们学过哪些函数？ k≠0 的条件， 以备与二次函【自主学习合作探究】 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱 数中的a 进行长为x，表面积为y，写出y 与x 的关系： 问题2：n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛 比较． 的场次数m 与球队数n 有什么关系？
通过具体事问题3：某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加 三个问题学生先
产量．如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这 种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的 独立思考完成 , 然 后合作交流 , 教师 例，让学生列 关系怎样表示 ? 1 1 2 2+40x+20 2 (2) (3)y=20x m n n （1）y=6x 2 2 思考：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什 对个别 有困难 的 学生进行引导。 对于 “思考” 中提 出关系式，启 发学生观察， 思考，归纳出 么共同特点 ? 出的问题， 教师进 归纳：二次函数的定义 行如下 启发： 1. 二次函数与一 这几个 函数是 我 2 +bx+c (a,b,c a 0) 为常数，且 ≠ 的 函数叫 一般地，形如 y=ax 们已学 过的函 数 二次函数 . 其中,x 是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次 次函数的联系 吗？ 2. 这些函数 项系数、一次项系数和常数项 . 练习：1.下列函数表达式中， 哪些是二次函数？哪些不是？ 的自变量 x 的最 高次数是多少？ 若是二次函数，请指出各项对应项的系数． 2 2 ＋2x （1）y ＝1－3x （2）y ＝3x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3 ＋2x 2 3. 比较三个式子， (1) 和（2）缺失了 1 x （5）y ＝x ＋ 什么项， 你能补全 吗？4. 三个式 子 2. 函数 当 a, y 2 ax bx c(其中 a,b, c 是 常数 )， 可以统 一为什 么 形式？ b,c 满足什 么条 件时 归纳定义， 叫一名 (1) 它是二次函数 ? (2) 它是一次函数？ (3) 它是正比例函 学生完成， 其他学 生进行补充 数？ 【合作交流 展示讲解】 例 1：若函数 y 2 (m 1)x 2 m m 为二次函数，则 m 的值为 学生自 主完成 巩 固练习， 教师提问 理论学习完二 多少? 次函数的概念
九年级《二次函数》总复习 一、教学目标 1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能 根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关 系； 2．能作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对 称轴和顶点坐标。 二、教学重点和难点 重点：根据图象对二次函数的性质进行分析 难点：根据图象对二次函数的性质进行分析 三、教学过程 知识梳理 :1 、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法 4、a，b，c 及相关符号的确定 5、抛物线的平移 （一）、二次函数的定义 定义： y=ax 2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠ 0） 定义要点：① a ≠ 0 ②最高次数为 2 ③代数式一定是整式 b 练习： 1、y=-x 2， y=2x2-2 /x ，y=100-5 x 2， 2a y=3 x 2-2x 3+5, 其中是二次函数的有 ____个。
2. 当 m_______时, 函数 y=(m+1)χm2-m - 2 χ+1 是二次函数？ ( 二) 、二次函数的图像及性质 抛物线 y=ax 2 +bx+c(a>0) y=ax 2 +bx+c(a<0) b 4ac b 2 b 4a c b 2 顶点坐标 , , 2a 4a 2a 4a b 直线 x b 对称轴 直线 x 2a 2a 位置 由a,b 和c 的符号确定 由a,b 和c 的符号确定 开口方向 a>0, 开口向上 a<0, 开口向下 在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的 在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的 增减性 增大而减小 . 增大而增大 . 在对称轴的 在对称轴的右侧 , y 随着 x 的 右侧 , y 随着 x 的增大而减小 增大而增大 . . 当 x=- b 时， y 最 小 值 为 当 x=- b 最值 2a 2a 4ac b 2 4ac b 2 4a 4a 例 1：已知二次函数 :y= 1 x 2 x 3 2 2 时 ， y 最 小值 为 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点 M 的坐标。 （2）设抛物线与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A 、B 两点，求 C ，A ，B 的坐标。 （3）x 为何值时， y 有最小值，这个最小值是多少？
二次函数 【教学目标】 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围； （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。 【重点难点】 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 【教学过程】 一、试一试 问题1(P2) 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中： 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1：可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2：可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3：教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．
二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 三、观察，概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项． 四、课堂练习 1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x＋1；(2)y=4x2－1；(3)y=2x3－3x2；(4)y=5x4－3x＋1 2．P4练习第1，2题。 五、小结 1．请叙述二次函数的定义． 2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。 六、作业：P4习题26.1 第1-4题。 【课后反思】
22.1 二次函数的图象和性质 一、内容和内容解析 1．内容 二次函数的概念． 2．内容解析 本章是在学习了一次函数的基础上，继续进行函数的学习，是对函数知识的完善与提高，为高中继续学习函数作准备． 学习一种函数包括以下基本内容：(1)通过具体实例认识这种函数；(2)探索这种函数的图象和性质；(3)利用这种函数解决实际问题；(4)探索这种函数与相应方程等的关系．本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开的． 二次函数的概念是通过具体问题引入的，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立函数中的数量关系和变化规律．这些内容的学习有助于学生初步形成建模思想，提高学习数学的兴趣和应用意识． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解二次函数的定义． 二、目标和目标解析 1．目标 (1)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． (2)通过探索实际问题中两个变量之间的关系的过程，向学生渗透类比思想、建模思想，让学生体会数学与生活之间的联系． 2．目标解析 达成目标(1)的标志是：学生能够通过实例列出函数解析式，通过观察解析式的共同点归纳出二次函数的定义，并知道表示二次函数的解析式中字母的意义，能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数． 目标(2)体现在学生达成目标(1)的活动的过程中，达成的标志是：学生在正确描述出函数解析式的过程中，积极类比、思考，以自身的实际经验为基础，体会二次函数与生活之间的联系． 三、教学问题诊断分析 学生在思考y ＝6x 2，m ＝221n －n 2 1，y ＝20x 2＋40x ＋20的共同特征时，发现函数的特征不容易统一，所以引导学生先回忆一次函数的定义，对比一次函数与以上等式的异同，发现以上等式右边为自变量的二次式，并发现二次项系数a ≠0是必要条件，而b ，c 为常数即可． 基于以上分析，本节课的教学难点是：从实例中归纳出二次函数的定义及二次函数的辨析． 四、教学过程设计 1．由实际生活引入二次函数 多媒体显示第二十二章章前图等图片． 问题1 花园的喷水池喷出的水，河上架起的拱桥都会形成一条曲线，这些曲线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？ 师生活动：学生观察图片，并阅读章引言的内容．这些都是实际生活中经常见到的，这些都将在本章——二次函数中学习． 设计意图：通过实际问题说明二次函数存在于生活中以及学习二次函数的必要性． 2．通过实例，归纳二次函数的定义 问题2 正方体的棱长为x ，那么正方体的表面积y 与x 之间有什么关系？ 师生活动：学生独立思考，正方体共有六个面，它们都是全等的正方形，边长为x ，一个面
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设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. （5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由 方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交 点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 课 后 作 业 １.抛物线y ＝x 2 ＋2x －2的顶点坐标是 （ ） A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0 C A E F B D 第２,３题图 第4题图 ３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
26.1.1 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数 二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 四、跟踪练习 1．观察：①2 6y x =；②2 35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3 2y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
第2课时实际问题与二次函数（2） ※教学目标※ 【知识与技能】 将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用. 【过程与方法】 通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神. 【教学重点】 利用二次函数解决有关拱桥问题. 【教学难点】 建立二次函数的数学模型. ※教学过程※ 一、问题导入 问题为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 答案解：（1）由题意，得() 7002045201600 y x x =--=-+. （2）P=()()()2 2 402016002024006400020608000 x x x x x --+=-+-=--+，∵x≥45，a=-20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元. （3）由题意，得()2 206080006000 x --+=.解得 150 x=，270 x=． ∵抛物线()2 20608000 P x =--+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x≤58，∴50≤x≤58.∵在201600 y x =-+中，20 k=-＜0，∴y随x的增大而减小.∴当x=58时，y最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒. 二、探索新知 探究图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？ 提问 （1）石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗？ （2）将本体转化为二次函数问题，需要求出二次函数解析 式，根据题中条件，求二次函数解析式的前提是什么？ （3）题中“水面下降1m的含义是什么？”水面下降的同
二次函数单元教学反思 第二十六章《二次函数》是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型，它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 下面是我通过本单元的的教学后的的几点反思： “二次函数概念”教学反思 关于“二次函数概念”教后做如下反思：我的成功之处是：教学时，通过实例引入二次函数的概念, 让学生明确二次函数是一种常见的函数,应用非常广泛,它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。通过学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域；大部分学生重视了二次函数概念的形成和建构,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程,体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义。绝大多数学生理解了二次函数的概念；掌握了二次函数的一般表达式以及二次项和二次项的系数、一次项和一次项的系数及常数项。 不足之处表现在：少数学生不能正确判定一个函数是否是二次函数。 “二次函数的图像及性质”教学反思 关于“二次函数的图象和性质”教后做如下反思：我的成功之处是：在教学中我采用了体验探究的教学方式，在教师的配合引导下，让学生自己动手作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现"主体参与、自主探索、合作交流、指导引探"的教学理念。 通过引导学生在坐标纸上画出二次函数y=ax2的图象。画图的过程包括列表、描点、连线。列表过程是我引导学生取点的，其间我引导学生要明确取点注意的事项，比如代表性、易操作性。学生在我的引导下顺利地画出了函数的图象。紧接着我让学生观察图像自主探讨当a>0时函数y=ax2的性质。当a<0时函数y=ax2的性质。探讨函数的性质主要从开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标和最值方面入手，让学生从特殊函数来归纳总结一般函数的性质。通过观察自己画出的两个图象，它们代表函数y=ax2的两种情况，找出a的符号不同时他们的相同点、不同点和联系点。绝大多数学生通过观察图像理解并掌握了y=ax2图像的性质，紧接着，我引导学生通过坐标平移作出y=ax2+c、 y=a（x-h）2、 y=a（x-h）2+c 的图像，绝大多数学生很快掌握了图形平移的规律，理解了平移后图像的性质。达到了学习目标中的要求。 不足之处表现在： 1、课堂上讲的太多。让学生自主观察总结的机会少，学生还是被动的接受。 2、学生作图能力差。简单的列表、描点、连线。学生做起来就比较困难。作图中单位长度不准确，描点不正确，连线时不会用光滑的曲线，而是画出很难看的图形。 3、合作学习的有效性不够。对于老师提出的问题，各组汇报讨论结果的效果不明显。说明自主、探究、合作的学习方式没有落到实处，没能培养学生的创新能力。
《二次函数复习》教学案 班级：初三18班年级：九设计者：李玲时间：2015年10月16日
关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性． 基础知识之基础演练 二次函数是生活中最常见的一类函数，它有着自己固有的性质，反映的是轴对称性和增减性； 我们要突出反映二次函数的轴对称性、顶点坐标，我们就可以把一般式改写成顶点式；如果想知道抛物线与x轴两个交点的情况，我们可以把一般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的性质，我们发现二次函数的图像能够直观地反映函数的特性，而数又能细致刻画函数图像的大小和位置，下面就让我们遵循着数形结合的线索，继续对二次函数进行深入的研究。
难点突破之思维激活1、如果把抛物线绕 ()4 12+ + - =x y顶点旋转 180°，则该抛物线对应的解析式是 . 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平 移3个单位，则得到的抛物线对应的解析式 是 . 抛物线的平移——点的平移 难点突破之聚焦中考2、问题①，结合图像思考： 方程 ()1 4 12= + + -x 有几个实数解？ 问题②，结合图像思考： 当m为何值时，方程 ()m x= + + -4 12 1）有两个不相等的实数根； 2）有两个相等的实数根； 3）没有实数根？ 问题③ 其实方程、不等式本身就 有一个代数的解法，我们现在 也用图像解法 我们通过三个题目把这 个知识的层次性展示出来，方 程、不等式都可以转化成函数 的图像来解
若直线 m kx y +=1与抛物线 c bx ax y ++=22交于A （1,0） 、B （-1，4） 两点，观察图像填空： 1）方 程 m kx c bx ax +=++2的解 为 ； 2）不等式 m kx c bx ax +>++2的解 为 ； 3）不等式 m kx c bx ax +<++2的解 为 ； 反思与 提高 1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己 还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意 哪些问题？ 教者归纳本章知识网络图示 让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基础，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养．