圆形磁场中的几个典型问题
许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．
一、最值问题的解题关键——抓弦长
1．求最长时间的问题
例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域，有一磁感应强度
为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度
v0=106m / s 从磁场边界上直径 ab 一端 a 点处射入磁场，已知该
粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场
时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以 v0与 Oa
的夹角 表示）最长运动时间多长？
小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．
2 ．求最小面积的问题
例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于 Ox 轴的
速度v从y轴上的a点射人如图 3 所示第一象限的区域．为了
使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度 v 射出，可在
适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁
场．若此磁场仅分布在一个圆形区域，试求此圆形磁场区域的
最小面积，重力忽略不计．
小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的 1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．
上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．
二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径
当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；
规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入
射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒
子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所
有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点
的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
例3 如图5所示，x 轴正方向水平向右， y 轴正方向竖直向
上．在半径为 R 的圆形区域加一与xoy平面垂直的匀强磁场．在坐
标原点 O 处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有
相同质量 m 、电荷量 q ( q > 0 ）且初速为v0的带电粒子，不计
重力．调节坐标原点 O 处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面不
断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入x 轴上方，现要
求这些带电微粒最终都能平行于 x 轴正方向射出，则带电微粒的速
度必须满足什么条件？
小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时，要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径，建立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题．
三、边界交点问题的解题关键―抓轨迹方程
例 4 如图 7 所示，在 xoy平面 x＞0区域中，有一半圆形匀
强磁场区域，圆心为 O，半径为 R =0.10m ，磁感应强度大小为
B=0.5T，磁场方向垂直xoy平面向里．有一线状粒子源放在 y 轴
左侧（图中未画出），并不断沿平行于 x 轴正方向释放出电荷量为
q=+1.6×10-19C ，初速度 v0 = 1.6 ×106m / s 的粒子，粒子的质
量为 m =1.0×10-26kg ，不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求：
从 y 轴任意位置（0，y）入射的粒子离开磁场时的坐标．
点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法相结合的物理模型，本题则利用圆形磁场与圆周运动轨迹方程求交点，是对初等数学的抽象运用，能较好的提高学生思维．
四、周期性问题的解题关键——寻找圆心角
1 ．粒子周期性运动的问题
例 5 如图 9 所示的空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为
R 的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为
B ．现有一质量为 m 、电荷量为 q 的带正电粒子（不计重力）从 A 点
沿 aA 方向射出．求：
（1）若方向向外的磁场围足够大，离子自 A 点射出后在两个磁场
不断地飞进飞出，最后又返回 A 点，求返回 A 点的最短时间及对应
的速度．
（2）若向外的磁场是有界的，分布在以 O 点为圆心、半径为 R 和 2R的两半圆环之间的区域，上述粒子仍从 A 点沿 QA 方向射出且粒子仍能返回 A 点，求其返回 A 点的最短时间．
2．磁场发生周期性变化
例 6 如图 12 所示，在地面上方的真空室，两块正对的平行金属板水平放置．在两板之间有一匀强电场，场强按如图 13 所
示规律变化（沿 y 轴方向为正方向）
在两板正中间有一圆形匀强磁场区
域，磁感应强度按图 14 所示规律变化，
如果建立如图 12 所示的坐标系，在
t=0时刻有一质量 m=9.0×10-9kg 、电
荷量 q =9.0×10-6C 的带正电的小球，
以v0=1m / s 的初速度沿 y 轴方向从 O 点射入，分析小球在
磁场中的运动并确定小球在匀强磁场中的运动时间及离开时
的位置坐标．
小结：对于周期性问题，因为粒子运动轨迹和磁场边界都是圆，所以要充分利用圆的对称性及圆心角的几何关系，寻找运动轨迹的对称关系和周期性．
五、磁场问题的规律
前面分析的六个典型例题，其物理情景各异，繁简不同，但解题思路和方法却有以下四个共同点．
（1）物理模型相同即带电粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动．
（2）物理规律相同即洛伦兹力提供运动的向心力，通常都由动力学规律列方程求解．（3）数学规律相同即运用几何知识求圆心角、弧长、半径等物理量．
（4）解题关键相同：一是由题意画出正确轨迹；二是寻找边界圆弧和轨迹圆弧的对应圆心角关系；三是确定半径和周期，构建合适的三角形或平行四边形，再运用解析几何知识求解圆的弦长、弧长、圆心角等，最后转化到题目中需求解的问题．
【同步练习】
1．如图所示，在半径为R的圆形区域充满磁感应强度为B的匀强磁场，
MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的
带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相
互作用力，关于这些粒子的运动以下说确的是（）
A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场过的弧长越长，时间也越长
D．只要速度满足
qBR
v
m
，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
2．如图所示，长方形abcd的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e 为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四
分之一圆弧组成的区域有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无
磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、
电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad
方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边
D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点
3、一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。
试求：（1）圆形磁场区的最小面积；
（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间；
（3）点的坐标。
4、在xoy平面有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于平面向、磁感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。
5．如图所示，在坐标系xoy有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；
（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。
6．如图所示的直角坐标系中，从直线x=?2l0到y
轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电
场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下
方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界从A
（?2l0，?l0）点到C（?2l0，0）点区域，连续分
布着电量为+q、质量为m的粒子。从某时刻起，A点
到C点间的粒子依次连续以相同速度v0沿x轴正方向射入电场。从A点射入的粒子恰好从y 轴上的A （0，?l0）点沿沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。
（1）求从AC 间入射的粒子穿越电场区域的时间t 和匀强电场的电场强度E 的大小。
（2）求在A 、C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x 轴正方向运动？
（3）为便于收集沿x 轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x =2l 0上的某点为圆心的圆形磁场区域，设计分布垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，使得沿x 轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x =2l 0与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B 是多大？
7．如图所示，在xoy 坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r =0.1m 的圆形磁场区域，磁感应强度B 1=1T ，方向垂直纸面向里，该区域同时与x 轴、y 轴相切，切点分别为A 、C ；第四象限中，由y 轴、抛物线FG （2100.025y x x =-+-，单位：m ）和直线DH （0.425y x =-，单位：m ）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E =2.5N /C 的匀强电场；以及直线DH 右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B 2=0.5T 。现有大量质量m =1×10-6 kg （重力不计），电量大小为q =2×10-4 C ，速率均为20m/s 的带负电的粒子从A 处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y 轴夹角在0至1800之间。
（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；
（2）试证明这些粒子经过x 轴时速度方向均与x 轴垂直；
（3）通过计算说明这些粒子会经过y 轴上的同一点，并
求出该点坐标。
8．如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O 1在x 轴上，OO 1距离等于半圆磁场的半径，磁感应
强度大小为B 1。虚线MN 平行x 轴且与半圆相切于P 点。在MN 上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E ，方向沿x 轴负向，磁场磁感应强度大小为B 2。B 1，B 2方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O 射入第I 象限，其中沿x 轴正方向进入磁场的粒子经过P 点射入MN 后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m ，电荷量为q （粒子重力不计）。求：
（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。
（2）若撤去磁场B 2，则经过P 点射入电场的粒子从y 轴出电场时的坐标。
（3）试证明：题中所有从原点O 进入第I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。
9．如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy ，存在着两个边长为L 的正方形匀强电场区域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为L 的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ。
电场的场强大小均为E ，区域Ⅰ的场强方向沿x
轴正方向，其下边界在x 轴上，右边界刚好与区
域Ⅱ的边界相切；区域Ⅱ的场强方向沿y 轴正方
向，其上边界在x 轴上，左边界刚好与刚好与区
域Ⅳ的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为
22mE qL ，区域Ⅲ的圆心坐标为（0，2
L ）、磁场方向垂直于xOy 平面向外；区域Ⅳ的圆心坐标为（0，2
L -）、磁场方向垂直于xOy 平面向里。两个质量均为m 、电荷量均为q 的带正电粒子M 、N ，在外力约束下静止在坐标为（3
2L -，
2L ）、（32L -，23L +）的两点。在x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy 平面。将粒子M 、N 由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：
（1）粒子离开电场Ⅰ时的速度大小。
（2）粒子M 击中感光板的位置坐标。
（3）粒子N 在磁场中运动的时间。