第十一章 数的开方 11.1平方根与立方根(1) 【教学目标】:以实际问题的需要出发,引出平方根的概念,理解平方根的意义,会求某些数的平方根。 【教学重、难点】:重点:了解平方根的概念,求某些非负数的平方根。 难点:平方根的意义 【教具应用】:老师:三角板、小黑板 学生: 【教学过程】: 一、 提出问题,创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片,纸片的边长应是多少? 问题2、已知圆的面积是16πcm 2,求圆的半径长。 要想解决这些问题,就来学习本节内容 二、 自学提纲: 1、 你能解决上面两个问题吗?这两个问题的实质是什么? 2、 看第2页,知道什么是一个数的平方根吗? 3、 25的平方根只有5吗?为什么? 4、 会求110的平方根吗?试一试 5、 -4有平方根吗?为什么? 6、 想一想,你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根? 7、 根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗? 8、 什么叫开平方? 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果,老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方,要求这个数。 ② 概括:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根。 如52=25,(-5)2=25 ∴25的平方根有两个:5和-5 ③ 根据平方根的意义,可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于-4,所以-4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a (a ≥0)的平方根的运算,叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④(-0.2)2 2、 将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③(- 5 3)2 五、 测评 1、 说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、 求未知数x 的值 ①(3x )2=16 ②(2x -1)2=9 六、 小结:
八年级上册知识点 第11章 数的平方 11.1平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根。 二、平方根的性质 1. 一个正数有两个平方根,它们互为相反数。 2. 0有一个平方根,就是它本身。 3. 负数没有平方根。 三、算术平方根 正数a 的正的平方根,叫做a 的算术平方根,记作,读作“根号a ”;另一个平方根是它的相反数,即-。因此,正数a 的平方根可以记作±,其中a 称为被开方数。 0的算术平方根是0,负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1. 概念不同; 2. 表示方法不同; 3. 个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。 六、立方根 1. 概念:如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根。 2. 性质:任何数(正数、负数和0)的立方根只有一个。 3. 表示:数a 的立方根,记作,读作“三次根号a ”。其中a 称为被开方数,3是根指 数。 4. 一个正数只有一个正的立方根,一个负数只有一个负的立方根,0的立方根是0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算,叫做开立方。 11.2实数 一、无理数 1. 无线不循环小数叫做无理数。 2. 无理数与有理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数,而无理数是无限不循环小数。 (2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成分母是1的分数),而无理数不能写成分数的形式。 二、实数及其分类 1. 实数的概念 有理数和无理数统称为实数,即实数包括有理数和无理数。 a a a 3a
2. 实数的分类 (1)按概念分类 正整数 整数 0 有理数 负整数 正分数 分数 实数 负分数 正有理数 无理数 负有理数 (2)按正负分类 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数 实数 0 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 三、实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点意义对应。 四、实数的有关概念 1.一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。 ?? ???<-=>=0,0,00,a a a a a a 2.一个数的绝对值是非负数,即a≥0,因此,在实数范围内,绝对值最小的数是零.两个相反数的绝对值相等. 第12章 整式的乘除 12.1幂的运算 12.1.1同底数幂的乘法
八年级华师大版数学(下) 第16章分式 §16.1分式及基本性质 一、分式的概念 A 1、分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子 B 叫做分式。 3、分式有意义、无意义的条件 (1)分式有意义的条件:分式的分母不等于0; (2)分式无意义的条件:分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件: A=0的条当分式的分子等于0,而分母不等于0时,分式的值为0。即,使 B 件是:A=0,B≠0。 二、分式的基本性质 通分:利用分式的基本性质,使分子和分母都乘以适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是:确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是:(1)如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。(2)如果各分母中有多项式,就先把分母是多项式的分解因式,再参照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 约分:根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意:(1)如果分子、分母都是单项式,那么可直接约去分子、分母的公因式,即约去分子、分母系数的最大公约数,相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式,然后找出它们的公因式再
约分;(3)约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则: (1)-a b = a -b =-a b ;(2)-a -b =a b ;(3)- -a -b =a b §16.2分式的运算 一、分式的乘除法 应用法则时要注意:(1)分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同,即“同号得正,异号得负,多个负号出现看个数,奇负偶正”;(2)当分子分母是多项式时,应先进行因式分解,以便约分;(3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的加减法 (一)同分母分式的加减法 1、 用式子表示: 2、注意事项:(1)“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减,各个分子都应有括号;当分子是单项式时括号可以省略,但分母是多项式时,括号不能省略;(2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 (二)异分母分式的加减法 1、法则:异分母分式相加减,先通分,转化为同分母分式后,再加减。用式子表示: bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项:(1)在异分母分式加减法中,要先通分,这是关键,把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。(2)若分式加减运算中含有整式,应视其分母为1,然后进行通分。(3)当分子的次数高于或等于分母的次数时,应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算,可使运算简便。 四、分式的混合运算 注意事项:(1)有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用,要灵活运用交换律、结合律和分配律;(2)分式运算结果必须化到最简,能约分的要约b c a b c b a ±=±
第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标: 1、经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件,渗透数学中的类比,分类等数学思想。 教学重点: 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点: 能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。 教学过程: 一、做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米; (2)面积为S 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米; (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的售价是___元; 二、概括: 形如 B A (A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式,分式. 三、例题: 例1 下列各有理式中,哪些是整式?哪些是分式? (1) x 1; (2)2 x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -. 解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3). 注意:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义.例如,在分式a S 中,a ≠0;在分式n m -9中,m ≠n. 例2 当x 取什么值时,下列分式有意义? (1) 11-x ; (2)3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零. 解 (1)分母1-x ≠0,即x ≠1. 所以,当x ≠1时,分式 1 1 -x 有意义. (2)分母23+x ≠0,即x ≠-2 3 . 所以,当x ≠-23时,分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习: P5习题17.1第3题(1)(3) 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2 38y y -,91-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3) 4522--x x x x 235-+2 3+x
初二(上)数学期末测试题(华东师大版) (满分100分 考试时间100分钟) 一、细心选一选(本题有10个小题,每小题3分, 满分30分,下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的。) 1. 以下四家银行行标中,不是旋转对称图形的有 ( ) 2. 如图1所给的4个正方形网格图形中,黑色部分只用..平移可以得到的有( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 64的平方根是( ) A. 4 B. 4± C. 8 D. 8± 4. 8a 可以写成( ) A. 44a a + B. a 4·a 2 C. 62 ()a - D. (-a)7·(-a) 5. 下列计算正确的是( ). A. ()()2555a a a +-=- B. () 2222x x x x +÷=+ C. ()2 222a b a ab b +=-+ D. ()()2 2 a b b a b a ---=- 6. 若2 6(3)(2)x kx x x +-=+-,则k 的值为( ) A. 2 B. –2 C. 1 D. –1 7. 下列四边形中,两条对角线不一定相等的是( ) A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 8. 已知ΔABC 的三边分别是3,4,5cm cm cm ,则ΔABC 的面积是( )2 cm A. 6 B. 7.5 C. 10 D. 12 9. 如图2,在菱形ABCD 中,6cm,8cm AC BD ==,则菱形AB 边上的高CE 的长是( ) A. 24 5 cm B. 48 5 cm C. 5cm D. 10cm
八年级下数学思维导图 一.知识框架 二知识概念 1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。 勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2。,那么这个三角形是直角三角形。 2.定理:经过证明被确认正确的命题叫做定理。 3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 勾股定理是直角三角形具备的重要性质。本章要求学生在理解勾股定理的前提下,学会利用这个定理解决实际问题。可以通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受 一、树形思维导图 因为在最初指导学生认识思维导图的时候,我给学生展示的就是树形图。所以学生运用树形图对数学知识进行梳理比较熟练。学生在生活中早已认识了树的形状,对树干、树枝、树叶及分枝的感知非常清晰,也就很容易的联想到树干、树枝与主题、分主题的逻辑关系。所以学生运用树形图的时候比较多,也绘制的比较好。如图1是苏科版数学八年级下册第10章分式的树形思维导图. 树形图的优点是主干分支非常明确,但画起来比较麻烦。为了更简单的运用思维导图,后来我们发动学生研究更简单的思维导图形式,大家确认就把树干简化为一个圆、椭圆或正方形等简单易画的图形,如图2:学生把树干简化成一个圆环,涂上不同颜色,画上
一个指针,这是苏科版数学八年级下册第8章第二节数学实验室中 的转盘模型变形图,学生的这一构想即贴近课本又有一定的创造性。 二、箭头或框架式思维导图 箭头或框架样式的思维导图,老师在日常备课或给学生做知识梳理的时候会经常使用,非常简洁明了,而且容易绘制。只是以前我 们没有把它作为一种学习方法并上升到理论高度去重视。这种结构 图实际上就是一种很简单好用的思维导图,特别适合在课堂中应用。在具体的运用中我们要先总结出本节课的主题,用一个关键词表示。然后直接用箭头往下分支出二级、三级等主题,也是常见的框架结 构图,学生运用起来非常简单容易上手。有好多学生把框架结构变 形为椭圆形箭头图、鱼骨头型箭头图。如图3是学生梳理二次根式 的箭头式思维导图。 三、实物型思维导图 学生的思维被打开以后,他们的想象力非常丰富,画出了许多实物型思维导图,如风筝、蝴蝶、花篮、风车等等。如图4:花篮即 是主干,也就是主体部分。学生冠上各个关键词后,就能对学过的 知识进行清晰的梳理和记忆。学生也非常喜欢进行这样的勾画。 三、表格式思维导图 我们在数学教学中经常会运用表格来进行知识的梳理和比较,能让学生一目了然的了解知识的区别与联系。这实际上也可以看作是 一种思维导图,利用表格来绘制思维导图,学生比较容易接受和理解,所以,表格式思维导图也是学生比较喜欢的的一种形式。如图 5是学生在学习完苏科版数学八年级下册第11章反比例函数后绘制 的表格式思维导图,总结比较了一次函数与反比例函数的知识。 以上是我在指导学生运用思维导图梳理数学知识时最常用的几种方法,在具体指导的过程中,笔者首先给学生逐渐展示一些不同类 型的思维导图,让学生先获得一些感性认识,在头脑中有思维导图 的概念和形象,然后引导学生勾画。慢慢学生就学会了,而且非常 有兴趣。学生在绘制思维导图时学到了思维的方法,找到了学习的 方法。思维导图让学生真正的学会了学习,提高了学习的效率。教
八年级数学上册复习试题 一、选择题 1.计算(﹣a )3?(a 2)3?(﹣a )2的结果正确的是( )A .a 11 B .﹣a 11 C .﹣a 10 D .a 13 2.下列计算正确的是( )A .x 2(m+1)÷x m+1=x 2 B .(xy )8÷(xy )4=(xy )2 C .x 10÷(x 7÷x 2)=x 5 D .x 4n ÷x 2n ?x 2n =1 3.已知(x+a )(x+b )=x 2﹣13x+36,则ab 的值是( )A .36 B .13 C .﹣13 D .﹣36 4.若(ax+2y )(x ﹣y )展开式中,不含xy 项,则a 的值为( )A .﹣2 B .0 C .1 D .2 5.已知x+y=1,xy=﹣2,则(2﹣x )(2﹣y )的值为( )A .﹣2 B .0 C .2 D .4 6.若(x+a )(x+b )=x 2+px+q ,且p >0,q <0,那么a 、b 必须满足的条件是( ) A .a 、b 都是正数 B .a 、b 异号,且正数的绝对值较大 C .a 、b 都是负数 D .a 、b 异号,且负数的绝对值较大 7.一个长方体的长、宽、高分别是3x ﹣4、2x ﹣1和x ,则它的体积是( ) A .6x 3﹣5x 2+4x B .6x 3﹣11x 2+4x C .6x 3﹣4x 2 D .6x 3﹣4x 2+x+4 8.观察下列多项式的乘法计算: (1)(x+3)(x+4)=x 2+7x+12;(2)(x+3)(x ﹣4)=x 2﹣x ﹣12; (3)(x ﹣3)(x+4)=x 2+x ﹣12;(4)(x ﹣3)(x ﹣4)=x 2﹣7x+12 根据你发现的规律,若(x+p )(x+q )=x 2﹣8x+15,则p+q 的值为( )A .﹣8 B .﹣2 C .2 D .8 9.如图,甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式: ①(2a+b )(m+n ); ②2a(m+n )+b (m+n );③m(2a+b )+n (2a+b ); ④2a m+2an+bm+bn , 你认为其中正确的有( )A .①② B .③④ C .①②③ D .①②③④ 10、4的平方根是( )A 、2 B 、-2 C 、±2, D 、±4 11、27的立方根是( )A 、3 B 、-3 C 、±3 D 、27± 12、下列实数中,是无理数的是( ) A 、9± B 、38- C 、 3 π D 、0.101001 13、32a a ?的结果是( )A 、a 6 B 、5a C 、6a D 、26a 14、32)2(x -的结果是( )A 、58x B 、58x - C 、68x D 、68x - 15、99100)2()2(-+-的结果是( ) A 、2- B 、2 C 、992- D 、992 16、36)()(a b b a -÷-的结果是( ) A 、22b a - B 、22a b - C 、3)(b a - D 、3)(b a -- 17、2-x 有意义的条件是( ) A 、2≠x B 、2≥x C 、2>x D 、2 第十六章分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、教学目标 1.了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:,,,. 2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时,逆流航行60千米所用时间 小时,所以=. 3. 以上的式子,,,,有什么共同点?它们与分数有什么相同点 和不同点? 五、例题讲解 P5例1. 当x为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x的取值范围. [提问]如果题目为:当x为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m为何值时,分式的值为0? (1)(2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, , , , , 2. 当x取何值时,下列分式有意义? (1)(2)(3) 3. 当x为何值时,分式的值为0? (1)(2) (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是正是?哪些是分式? (1)甲每小时做x个零件,则他8小时做零件个,做80个零件需小时. (2)轮船在静水中每小时走a千米,水流的速度是b千米/时,轮船的顺流速度是千米/时,轮船的逆流速度是千米/时. (3)x与y的差于4的商是 . 2.当x取何值时,分式无意义? 3. 当x为何值时,分式的值为0? 八、答案: 六、1.整式:9x+4, , 分式: , , 2.(1)x≠-2 (2)x≠ (3)x≠±2 3.(1)x=-7 (2)x=0 (3)x=-1 七、1.18x, ,a+b, ,; 整式:8x, a+b, ; 分式:, 2. X = 3. x=-1 课后反思: 八年级数学的思维导图 :全等三角形 :二次根式 :实数 :相似图形 因式分解 1. 因式分把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把 这个多项式因式分解;注意:因式分解与乘法是相反的两个转 化. 2.因式分解的方法:常用提取公因式法、公式法、分组分 解法、十字相乘法. 3.公因式的确定:系数的最大公约数相同因式的最低次幂. 注意公式:a+b=b+a; a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2; (a- b)3=-(b-a)3. 4.因式分解的公式: (1)平方差公式: a2-b2=(a+ b)(a- b); (2)完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a- b)2. 5.因式分解的注意事项: (1)选择因式分解方法的一般次序是:一提取、二公 式、三分组、四十字; (2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有 整体性; (3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分 解为止; (4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正; (5)因式分解的最后结果要求加以整理; (6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6.因式分解的解题技巧:(1)换位整理,加括号或去括号整 理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子 看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或 全部括号;(10)拆项或补项. 7.完全平方式:能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对 于二次三项式x2+px+q, 有 x2+px+q是完全平方式 . 分式 1.分式:一般地,用A、B表示两个整式,AB就可以表示为 的形式,如果B中含有字母,式子叫做分式. 2.有理式:整式与分式统称有理式;即 . 3.对于分式的两个重要判断:(1)若分式的分母为零,则分 式无意义,反之有意义;(2)若分式的分子为零,而分母不为零, 华东师大版八年级数学 上册全册教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 第十一章 数的开方 平方根与立方根(1) 【教学目标】:以实际问题的需要出发,引出平方根的概念,理解平方根的意义,会求某些数的平方根。 【教学重、难点】:重点:了解平方根的概念,求某些非负数的平方根。 难点:平方根的意义 【教具应用】:老师:三角板、小黑板 学生: 【教学过程】: 一、 提出问题,创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片,纸片的边长应是多少? 问题2、已知圆的面积是16πcm2,求圆的半径长。 要想解决这些问题,就来学习本节内容 二、 自学提纲: 1、 你能解决上面两个问题吗这两个问题的实质是什么 2、 3、 看第2页,知道什么是一个数的平方根吗? 4、 5、 25的平方根只有5吗为什么 6、 7、 会求110的平方根吗?试一试 8、 9、 -4有平方根吗为什么 10、 11、想一想,你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根? 12、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗? 13、 14、什么叫开平方? 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果,老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方,要求这个数。 ② 概括:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根。 如52=25,(-5)2=25 ∴25的平方根有两个:5和-5 ③ 根据平方根的意义,可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于-4,所以-4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a (a ≥0)的平方根的运算,叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ② ③81 16 ④(-)2 2、 将下列各数开平方 ①1 ② ③(- 5 3)2 八年级数学上册复习提纲 第11章数的开方 §11.1平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。(也叫做二次方根) 即:若x2=a,则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质:(1)一个正数有两个平方根。它们互为相反数;(2)零的平方根是零;(3)负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义:正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质:(1)一个正数的算术平方根只有一个且为正;(2)零的算术平方根是零;(3)负数没有算术平方根;(4)算术平方根的非负性:a ≥0。 三、平方根和算术平方根是记号:平方根±a(读作:正负根号a);算术平方根a(读作根号a) 即:“±a”表示a的平方根,或者表示求a的平方根;“a”表示a的算术平方根,或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根,∴被开方数a必须为非负数,即:a≥0。 四、开平方:求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。其实质就是:已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。(也叫做三次方根) 即:若x3=a,则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质:(1)一个正数的立方根为正;(2)一个负数的立方根为负;(3)零的立方根是零。 3、立方根的记号:3a(读作:三次根号a),a称为被开方数,“3”称为根指数。 3a中的被开方数a的取值范围是:a为全体实数。 六、开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。其实质就是:已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项: 1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义:“±a”→问:哪个数的平方是a;“a”→问:哪个非负数的平方是a;“3a”→问:哪个数的立方是a。 2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。 如:若3 x有意义,则x取值范围是。(∵x-3≥0,∴x≥3) 八年级数学上册教学计划 一、学生情况分析: 本班学生:63人,其中男生39人,女生:24人。上期末数学考试最高分120分,最低分15分,平均分103,110分以上30人.总体上看,学生的数学成绩较差,及格的同学仅93.5%;在学生的数学知识上看,基本概念,基本计算,以及基本的空间与图形知识都极其欠缺;数学的思维混乱;不能独立思考,大部分学生对数学兴趣低落,多数学生对数学严重丧失信心,谈数学而色变。 二、教材分析: 1、体系结构: (1)数学内容的引入,采取从实际问题情景境入手的方式,贴近学生的生活实际,选择具有现实背景的素材,建立数学模型,使学生通过问题解决的过程,获得数学概念,掌握解决数学问题的技能和方法。 (2)教材内容的呈现,努力创设学生自主探究的学习情况和机会,适当编排应用性、探索性和开放性的,发挥学生的主动性、留给学生充分的时间与空间,自主探索、促进学生数学思维能力、创造能力的培养与提高,为学生的终身可持续发展奠定良好的基础。 (3)教材内容的编写,把握课程标准,同时又具有弹性,编入一些选学内容,以适应较高程度学生学习的需要,使不同水平的学生都得到发展。 (4)教材内容的叙述、行当介绍数学内容的背景知识与数学史料等,将背景材料与数学内容融为一体,激发学生学习数学的兴趣,引导学生体会数学的文化价值。 (5)现代信息技术的应用在教材中占有适当地位,有利于学生理解概念、自主探索、实践体验。 2、教材体例。 (1)教材的正文中,根据教材内容的实际需要,适当设置了一些相应的栏目。如“观察”、“思考”、“实验”、“想一想”、“试一试”、“做一做”等,给学生适当的思考空间,让学生通过自主探索,获得体验和感受,掌握必要的知识。 (2)结合教材各块内容,安排一些有关的阅读材料,涉及数学史料、数学家故事、实际生活中的问题、数学趣题、知识背景等,扩大学生的知识面,增强学生的应用意识和对数学的兴趣,对学生进行爱国主义和人文主义精神教育。 (3)控制习题总量,降低难度,增加探索、开放、实践类型的习题,按照不同的要求, 第11章数的开方 11.1平方根与立方根(1) 【教学目标】:以实际问题的需要出发,引出平方根的概念,理解平方根的意义,会求某些数的平方根。 【教学重、难点】:重点:了解平方根的概念,求某些非负数的平方根。 难点:平方根的意义 【教具应用】:老师:三角板、小黑板 学生: 【教学过程】: 一、提出问题,创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片,纸片的边长应是多少? 问题2、已知圆的面积是16πcm2,求圆的半径长。 要想解决这些问题,就来学习本节内容 二、自学提纲: 1、你能解决上面两个问题吗?这两个问题的实质是什么? 2、看第2页,知道什么是一个数的平方根吗? 3、25的平方根只有5吗?为什么? 4、会求110的平方根吗?试一试 5、-4有平方根吗?为什么? 6、想一想,你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根? 7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗? 8、什么叫开平方? 三、能力、知识、提高 同学们展示自学结果,老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方,要求这个数。 ② 概括:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根。 如52=25,(-5)2=25 ∴25的平方根有两个:5和-5 ③ 根据平方根的意义,可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于-4,所以-4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a (a ≥0)的平方根的运算,叫做开平方。 四、 知识应用 1、求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④(-0.2)2 2、将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③(-5 3 )2 五、 测评 1、说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、求未知数x 的值 ①(3x )2=16 ②(2x -1)2=9 六、 小结: 1、什么叫做平方根? 2、一个正数的平方根有几个?零的平根有几个?负数的平方根呢? 八年级上册知识点 第11章数的平方 11.1平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。 二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根,它们互为相反数。 2.0有一个平方根,就是它本身。 3.负数没有平方根。 三、算术平方根 a,读作“根号a”;另一个平方根是它正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根,记作 a。因此,正数a的平方根可以记作±a,其中a称为被开方数。 的相反数,即- 0的算术平方根是0,负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1.概念不同; 2.表示方法不同; 3.个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。 六、立方根 1.概念:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。 2.性质:任何数(正数、负数和0)的立方根只有一个。 3.表示:数a的立方根,记作3a,读作“三次根号a”。其中a称为被开方数,3是根指数。 4.一个正数只有一个正的立方根,一个负数只有一个负的立方根,0的立方根是0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算,叫做开立方。 11.2实数 一、无理数 1.无线不循环小数叫做无理数。 2.无理数与有理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数,而无理数是无限不循环小数。 (2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成分母是1的分数),而无理数不能写成分数的形式。 二、实数及其分类 1.实数的概念 有理数和无理数统称为实数,即实数包括有理数和无理数。 2.实数的分类 (1)按概念分类 正整数 整数0 有理数负整数 正分数 分数 实数负分数 正有理数 无理数 华东师大版八年级数学上册全册教案 11.1平方根与立方根(1) 【教学目标】:以实际问题的需要出发,引出平方根的概念,理解平方根的意义,会求某些数的平方根。 【教学重、难点】:重点:了解平方根的概念,求某些非负数的平方根。 难点:平方根的意义 【教具应用】:老师:三角板、小黑板 学生: 【教学过程】: 一、 提出问题,创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片,纸片的边长应是多少? 问题2、已知圆的面积是16πcm 2,求圆的半径长。 要想解决这些问题,就来学习本节内容 二、 自学提纲: 1、 你能解决上面两个问题吗?这两个问题的实质是什么? 2、 看第2页,知道什么是一个数的平方根吗? 3、 25的平方根只有5吗?为什么? 4、 会求110的平方根吗?试一试 5、 -4有平方根吗?为什么? 6、 想一想,你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根? 7、 根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗? 8、 什么叫开平方? 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果,老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方,要求这个数。 ② 概括:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根。 如52=25,(-5)2=25 ∴25的平方根有两个:5和-5 ③ 根据平方根的意义,可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于-4,所以-4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a (a ≥0)的平方根的运算,叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④(-0.2)2 2、 将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③(- 5 3)2 五、 测评 1、 说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③ 125 4 2、 求未知数x 的值 ①(3x )2=16 ②(2x -1)2=9 六、 小结: 1、 什么叫做平方根? 2、 一个正数的平方根有几个?零的平根有几个?负数的平方根呢? 3、 平方和开平方运算有什么区别和联系? 区别:①平方运算中,已知的是底数和指数,求的是幂。而在开平方运算中,已知的是指数和幂,求的是底。 ②平方运算中的底数可以是任意数,平方的结果是唯一的,在开平方运算中,开方的数的结果不一定是唯一的。 联系:二者互为逆运算。 七、 布置作业 1、 P 7第1题 2、 (选做)已知:x 是49的平方根,y 是1的平方根,求: ①2x+1 ②(x+y)2 11.1 平方根与立方根(2) 【教学目标】:1、引导学生建立清晰的概念系统,在学生正确理解平方根概念的意义和平方根的表示方法基础上,讨论算术平方根的概念及其表示方法。 第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标: 1、知识与技能:经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式 的意义。 2、过程与方法:使学生能正确地判断一个代数式是否是分式,能通过回忆 分数的意义,类比地探索分式的意义。 3、情感态度与价值观:渗透数学中的类比,分类等数学思想。 教学重点: 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点: 能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。 教学过程: 一、做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米; (2)面积为S 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米; (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的售价是___元; 二、概括: 形如B A (A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式.其中 A 叫做分式的 分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式, 分式. 三、例题: 例1 下列各有理式中,哪些是整式?哪些是分式? (1) x 1; (2)2 x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -. 解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3). 注意:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义.例如,在分式a S 中,a ≠0;在分式n m -9中,m ≠n. 例2 当x 取什么值时,下列分式有意义? (1)11-x ; (2)3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零. 解 (1)分母1-x ≠0,即x ≠1. 所以,当x ≠1时,分式1 1 -x 有意义. (2)分母23+x ≠0,即x ≠-2 3 . 所以,当x ≠-23时,分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习: 第16章 分式 安岳县自治九年义务教育学校----王耀尚 §16.1.1 分式的概念 教学目标: 1、知识与技能:经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式 的意义。 2、过程与方法:使学生能正确地判断一个代数式是否是分式,能通过回忆 分数的意义,类比地探索分式的意义。 3、情感态度与价值观:渗透数学中的类比,分类等数学思想。 教学重点: 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点: 能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。 教学过程: 一、做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米; (2)面积为S 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米; (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的售价是___元; 二、概括: 形如 B A (A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式,分式. 三、例题: 例1 下列各有理式中,哪些是整式?哪些是分式? (1) x 1; (2)2 x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -. 解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3). 注意:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义.例如,在分式 a S 中,a ≠0;在分式n m -9中,m ≠n. 例2 当x 取什么值时,下列分式有意义? (1) 11-x ; (2)3 22+-x x . 分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零. 解 (1)分母1-x ≠0,即x ≠1. 所以,当x ≠1时,分式 1 1 -x 有意义. (2)分母23+x ≠0,即x ≠-23 . 所以,当x ≠-23 时,分式3 22+-x x 有意义. 四、练习: P5习题17.1第3题(1)(3) 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,91-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3) 3. 当x 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) 五、小结: 什么是分式?什么是有理式? 4 5 22--x x x x 235-+23+x x x 57+x x 3217-x x x --221 八年级数学试题 2015.10.22 一、选择题(每小题3分,共36分) 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是() 2.下列说法中正确的是( ) A.面积相等的两个图形是全等形 B.周长相等的两个图形是全等形 C.所有正方形都是全等形 D.能够完全重合的两个图形是全等形 3.点(3,2)关于x轴的对称点为( ) A.(3,-2) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(2,-3) 4. 如图,已知点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是() A. ∠BCA=∠F B. ∠B=∠E C. BC∥EF D. ∠A=∠EDF 5. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示,则说明∠A/O/B/=∠A O B的依据是 ( ) A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 6. 下列四种图形都是轴对称图形,其中对称轴条数最多的图形是 () A. 等边三角形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图,△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,若 CD=4,则点D到AB的距离是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8. 一名同学想用正方形和圆设计一个图案,要求整个图案关于正方形的某条对角线对称,那么下列图案中不符合 要求的是( ) ... 9.如图,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=9cm,CF=4cm,则BD等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 10. 如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为( ) A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 11. 如图,正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A/B/C/D/E/F/.下列判断错误 ..的是(). A. AB=A/B/ B. BC//B/C/ C.直线l⊥BB/ D.∠A/=120° 2013年华师大版八年级数学下册教案(全册) 四川省射洪中学八年级数学下册教案华师大版第17章分式 §com 分式的概念 教学目标 1经历实际问题的解决过程从中认识分式并能概括分式 2使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3能通过回忆分数的意义类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件渗透数学中的类比分类等数学思想 教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件 教学难点 能通过回忆分数的意义探索分式的意义 教学过程 一做一做 1面积为2平方米的长方形一边长3米则它的另一边长为_____米 2面积为S平方米的长方形一边长a米则它的另一边长为________米 3一箱苹果售价p元总重m千克箱重n千克则每千克苹果的售价是___元二概括 形如 AB是整式且B中含有字母B≠0 的式子叫做分式其中A叫做分式的分 子B叫做分式的分母 整式和分式统称有理式即有理式整式分式 三例题 下列各有理式中哪些是整式哪些是分式 1 2 3 4 解属于整式的有24属于分式的有13 注意在分式中分母的值不能是零如果分母的值是零则分式没有意义例如在分式中a≠0在分式中m≠n 当取什么值时下列分式有意义 1 2 分析要使分式有意义必须且只须分母不等于零 解 1分母≠0即≠1 所以当≠1时分式有意义 2分母2≠0即≠- 所以当≠-时分式有意义 四练习 P5习题171第3题13 1.判断下列各式哪些是整式哪些是分式 9x4 2 当x取何值时下列分式有意义 1 2 3 3 当x为何值时分式的值为0 1 2 3 五小结 什么是分式什么是有理式 六作业 P5习题171第12题第3题24 七教学反思 §com 分式的基本性质 教学目标 1掌握分式的基本性质掌握分式约分方法熟练进行约分并了解最简分式的意义 2使学生理解分式通分的意义掌握分式通分的方法及步骤 教学重点 让学生知道约分通分的依据和作用学会分式约分与通分的方法 教学难点 1分子分母是多项式的分式约分 2几个分式最简公分母的确定 教学过程httpx kb1com 1分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变 用式子表示是 其中M是不等于零的整式 与分数类似根据分式的基本性质可以对分式进行约分和通分新版华师大版八年级下数学教案全册
八年级数学的思维导图
华东师大版八年级数学上册全册教案
最新华师大版八年级数学上册知识点总结
华东师大八年级上册数学教学计划
华东师大版八年级数学上册全册教案
华东师大版八年级数学上册知识点
华东师大版八年级数学上册全册教案
华东师大版八年级下册数学教案全册
华东师大版八年级下册数学教案全册
华师大版八年级数学上册试题
华师大版八年级数学下册教案(全册)