数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
参考公式：
● 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B ?=+. ● 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.
● 棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ● 棱锥的体积公式13
V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1.设全集为R ，集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，则()R A C B ?= ( )
A .{}|01x x <≤
B .{}|01x x <<
C .{}|12x x ≤<
D .{}|02x x <<
2.设变量x ，y 满足约束条件5,
24,1,0,
x y x y x y y +≤??
-≤??
-+≤??≥?则目标函数35z x y =+的最大值为 ( )
A .6
B .19
C .21
D .45
3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为
( )
A .1
B .2
C .3
D .4 4.设x R ∈，则“11
22x -<”是“31x <”的
( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
5.已知2log a e =，ln2b =，1
2
1
log 3
c =，则a ，b ，c 的大小关系为
( )
A .a b c >>
B .b a c >>
C .c b a >>
D .c a b >>
6.将函数sin 25y x π?
?=+ ??
?的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( )
A .在区间35,44ππ??????上单调递增
B .在区间3,4ππ??
????
上单调递减
C .在区间53,42ππ??????上单调递增
D .在区间3,22ππ??
????上单调递减
7.已知双曲线()222210,0x y
a b a b
-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双
曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且
126d d +=，则双曲线的方程为
( ) A .22
1412x y -=
B .22
1124x y -= C .22139
x y -=
D . 22
193
x y -=
8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?的最小值为
(
)
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
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A .
2116
B .
32
C .
2516
D .3
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把答案填写在题中横线上) 9.i 是虚数单位，复数
6+712i
i
=+ . 10.
在5
x ? ?
的展开式中，2
x 的系数为 .
11.已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心
分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为 .
12.已知圆22
20x y x +-=的圆心为C ，
直线1,3x y ?=-+
????=-??
（t 为参数）与该圆相交于A ，
B 两点，则AB
C △的面积为 .
13.已知,a b R ∈，且360a b -+=，则1
28
a b +的最小值为 .
14.已知0a >，函数()222,0,
22,0.
x ax a x f x x ax a x ?++≤?=?-+->??若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互
异的实数解，则a 的取值范围是 .
三、解答题：共80分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知
sin cos 6b A a B π?
?=- ??
?.
（1）求角B 的大小；
（2）设2a =，3c =，求b 和()sin 2A B -的值.
16.(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； ②设A 为事件“抽取的3人，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.
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17.(本小题满分13分)如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，
EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===. （1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； （2）求二面角E BC F --的正弦值；
（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60?，求线段DP 的长.
18.(本小题满分13分)设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()
n S n N *∈，{}n b 是等差数列.已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式.
（2）设数列{}n S 的前n 项和为()
n T n N *∈， ①求n T ； ②证明()()()
()2
212
2122n n
k k k k T b b n N k k n ++*=+=-∈+++∑.
19.(本小题满分14分)设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭
，点A 的坐标为(),0b
，且FB AB ?=（1）求椭圆的方程. （2）设直线l ：()0y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .
若
4
AQ AOQ PQ
=
∠（O 为原点），求k 的值.
20.(本小题满分14分)已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中1a >. （1）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；
（2）若曲线()y f x =在点()()
11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()
22,x g x 处的
切线平行，证明()122lnln ln a
x g x a
+=-
； （3）证明当1e
a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线.
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效
----------------
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
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2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学答案解析
一、选择题 1．【答案】B
【解析】由于{}|1R C B x x =<，所以(){}|01R A C B x x ?=<<． 【考点】集合的运算． 2．【答案】C
【解析】作出不等式组5,
24,1,0
x y x y x y y +≤??-≤?
?-+≤??≥?所表示的可行域，其是由
()()()()()0,0,
2,0,3,2,2,3,0,1O A B C D 围成的五边形区域（包括边界）
，对于目标函数35z x y =+，结合图象可知过点C 时取得最大值，最大值为32+53=21??． 【考点】简单的线性规划． 3．【答案】B
【解析】模拟程序框图的运行，输入20,2,0N i T ===，此时
10N
i =是整数，则有011,213T i =+==+=，此时不满足条件5i ≥；接下来有20
3N i =不是整数，则有
314i =+=，此时不满足条件5i ≥；接下来有5N
i
=是整数，则有112,41T i =+==+=，此时满足条件5i ≥，结束循环，输出2T =．
【考点】算法的程序框图． 4．【答案】A 【解析】由1122x -
<解得01x <<，由31x <解得1x <，则知“11
22
x -<”是“31x <”的充分不必要条件．
【考点】不等式的求解、充分必要条件的判定．
5．【答案】D
【解析】根据函数的图象与性质可知1
2222
1
log log 3log log 21ln ln 23
e e =>>==>，故有c a b >>．
【考点】代数值的大小比较、函数的图象与性质． 6．【答案】A
【解析】将函数sin 25y x π?
?=+ ???
的图象向右平移10π个单位长度得到
sin 2sin 2105y x x ππ??
??=-+= ????
???，由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，解得
,4
4k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤+
∈，当1k =
时，则知函数在区间35,44ππ??
????
上单调递增． 【考点】三角函数图象的平移变换、三角函数的图象与性质． 7．【答案】C
【解析】由双曲线的离心率2c
e a
=
=，可得2c a =，则知b =，将2x a =代入双曲线2
2
2213x y a a
-=，可得3y a =
±，设点()()2
,3,2,3A a a B a a -，双曲线的一条渐近线0y +=
，
可得1d =
=
，2d ==，
所以126d d +=
==，解得a =，故双曲线的方程为22
139
x y -=．
【考点】双曲线的方程与几何性质、点到直线的距离公式． 8．【答案】A
【解析】如图，连接AC ，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴
建立平面直角坐标系，则有点()31,0,2A B ? ??
，由于
,,
1A B B
C A
D C D A B A D ⊥⊥==
，则有Rt CDA
Rt CBA ?，由120BAD ∠=?，可得60CAD ∠=?，则
有CD ，
设点(
)0,,,3E y y ?∈?，则有
()2
3
3
33
211,,
2
2
24
16A E B E y y y y ??
??
??
=-?--=-=- ? ?? ? ???
?
?
??
?
，则知当y =
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时，AE BE ?的最小值为
2116
．
【考点】平面直角坐标系的建立、平面几何图形的性质、平面向量的坐标运算与数量积、
函数的图象与性质． 二．填空题 9．【答案】4i - 【解析】由题可得
()()()()67126+720541212125
i i i i
i i i i +--===-++-． 【考点】复数的四则运算． 10．【答案】
5
2
【解析】由题知展开式中2
x
的项为2
23
2
215
52
T C x x +=??=，则其系数为52．
【考点】二项式定理． 11．【答案】
1
12
【解析】结合空间几何体的性质知四棱锥M EFGH -
，高为
1
2，则四棱锥M EFGH -
的体积为2
111=3212V =????
． 【考点】空间几何体的性质、空间几何体的体积． 12．【答案】
1
2
【解析】将圆的方程配方可得()2
211x y -+=，则其圆心()1,0C ，半径1r =
，由直线
1,3x y ?=-???
?=??
（t 为参数）可得其直角坐标方程为2x y +=，则圆心C 到直线的距离
为d =
，
则AB =，则ABC 的面积为1122
S AB d =??=．
【考点】直线的参数方程、直线与圆的位置关系、弦长公式、三角形的面积公式． 13．【答案】
1
4
【解析】由于360
a b -+=，可得36a b -=-，结合基本不等式可
得33
112222284
a a
b b
--+
=+≥===?=，当且仅当322a b -=，即33a b =-=-时等号成立． 【考点】基本不等式．
14．【答案】()4,8
【解析】由题可设函数()()()()2
20,20,
x ax a x g x f x ax x ax a x ?++≤?=-=?-+->??当0x ≤时，2
1=4a a ?-；
当0x >时，2
2=8a a ?-；根据题目条件可知函数()g x 恰有2个不同的零点（前提
条件是0a >），可以分为以下三种情况：①当12
=0=0?????，
时，解得0a =，不满足条件
0a >，此时无解；②当12
00?>???
时，解得48a <<，此时函数()g x 的两个零点均为负数；③当12
00??，
时，此时无解；综上分析可得48a <<．
【考点】分段函数、函数的图象与性质、函数与方程． 15．【答案】（1）在ABC 中，由正弦定理
sin sin a b A B
=，可得sin sin b A a B =，又由sin cos 6b A a B π??=- ???，得sin cos 6a B a B π??=- ???，即sin cos 6B B π?
?=- ??
?
，可得
tan B =()0,B π∈，可得3
B π
=．
（2）在ABC 中，由余弦定理及2,3,3
a c B π
===
，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故
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b ．
由sin cos 6b A a B π?
?=- ??
?，可
得sin A =．因为a c <，
故cos A =．因
此
sin 22sin cos A A A ==，21cos22cos 17
A A =-=． 所以(
)11sin 2sin 2cos cos2sin 27A B A B A B -=-=-=
． 【考点】同角三角函数的基本关系、两角差的正弦与余弦公式、二倍角的正弦与余弦公
式、正弦定理、余弦定理等基础知识．
16．【答案】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2，由于采用分
层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（1）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．
()()343
3
70,1,2,3k k C C P X k k C -?===． 所以随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望11218412
0123353535357
EX =?
+?+?+?=． （ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则
A B C =?，且B 与C 互斥．由（i ）知()()()()2,1P B P X P C P X ====，故
()()()()6
217
P A P B C P X P X =?==+==
． 【考点】随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等
基础知识．
17．【答案】依题意，可以建立以D 为原点，分别以,,DA DC DG 的方向为x 轴，y 轴，
z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得
()()()()()()()()
30,0,0,2,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0,2,0,1,2,0,0,2,0,,1,1,0,22D A B C E F G M N ??
???．
（1）依题意()()0,2,0,2,0,2DC DE ==．
设()0,,n x y z =为平面CDE 的法向量，则000,0,n DC n DE ??=???=??即20,
220,y x z =??+=?
不妨令1z =-，可
得()01,0,1n =-．又3=1,,12MN ??- ???
，
可得00MN n ?=，又因为直线MN ?平面CDE ，所以MN 平面CDE ．
（2）依题意，可得()()()1,0,0,1,2,2,0,1,2BC BE CF =-=-=-．
设(),,n x y z =为平面BCE 的法向量，则0,=0n BC n BE ??=?????，即0,
220,x x y z -=??-+=?
不妨令1z =，可
得()0,1,1n =．
设(),,m x y z =为平面BCF 的法向量，则0,0,m BC m CF ??=???=??即0,
20,x y z -=??-+=?
，不妨令1z =，可
得()0,2,1m =．
因此有cos ,m n m n m n ?=
=
，于是sin ,m n =． 所以二面角E BC F --
．
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（3）设线段DP 的长为[]()
0,2h h ∈，则点P 的坐标为()0,0,h ，可得()1,2,BP h =--．易
知，
()
=0,2,0DC 为平面ADGE 的一个法向量，
故
cos ,
BP DC BP DC BP DC
h ?=
=
sin 60=?=，解得[]0,2h =． 所以线段DP ． 【考点】直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．
18．【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由1321,2a a a ==+，可得220q q --=．因
为0q >，可得2q =，故1
2
n n a -=．
设等差数列{}n b 的公差为d ．由435a b b =+，可得134b d +=．由5462a b b =+，可得
131316b d +=，从而11,1b d ==，故n b n =．
（2）（i ）由（1），有122112
n
n n S -==--，故
()
()
111
2122122212n
n n k k
n n k k T n n n +==?-=-=-=-=---∑∑．
（ii ）因为()()()()()()()()1
1
2
1
222222212121221k k k k k k k k k k T b b k k k k k k k k k +++++--+++?===-++++++++，
所以()()()32432122122222222123243212n n n n
k k k k T b b k k n n n ++++=+????
??=-+-++-=
- ? ? ?
+++++??????
∑． 【考点】等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及前n
项和公式等基础知识．
19．【答案】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有225
9
c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由
已知可得,FB a AB ==，由FB AB ?=，可得6ab =，从而3,2a b ==．
所以椭圆的方程为22
194
x y +=．
（2
）设点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,
x y ．由已知有120y y >>，故
12sin PQ AOQ y y ∠=-，又因为2
sin y
AQ OAB =∠，而4
OAB π∠=，
故2AQ =，
由AQ
AOQ PQ =∠，可得1259y y =． 由方程组22,
1,9
4y kx x y =??
?+=??消去x ，可得1y
=，易知直线AB 的方程为20x y +-=，
由方程组,20,
y k x
x y =??+-=?消去x ，可得221k y k =+，由1259y y =，可得
()514k +=两边平方，整理得25650110k k -+=，解得1
2
k =或1128k =．
所以k 的值为
12或1128
． 【考点】椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识． 20．【答案】（1）由已知，()ln x h x a x a =-，有()ln ln x h x a a a '=-． 令()0h x '=，解得0x =．
由1a >，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：
所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞．
（2）由()ln x f x a a '=，可得曲线()y f x =在点()()
11,x f x 处的切线斜率为1ln x a a ．由
()1ln g x x a
'=
，可得曲线()y g x =在点()()22,g x x 处的切线斜率为21
ln x a ．因为这
两条切线平行，所以有121ln ln x a a x a
=，即()12
2ln 1x x a a =，两边取以a 为底的对数，
得21log 2log ln 0a a x x a ++=，所以()122lnln ln a
x g x a
+=-．
（3）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线为1l ：
()111ln x x y a a a x x -=?-.曲线()y g x =在点()22,log a x x 处的切线为2l ：()2221
log ln a y x x x x a
-=
-. 要证明当
1
e
a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线，
只需证明当1e
a e ≥时，存在()()12,,0,x x ∈-∞+∞∈+∞，使得1l 与2l 重合. 即只需证明当1
e
a e ≥时，
数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）
方程组1
11212
1ln ,ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ?=??
??-=-??
①②有解.
由①得()
1
22
1
ln x x a a =，代入②，得 111112lnln ln 0.ln ln x x a a x a a x a a
-++
+=③ 因此，只需证明当1
e
a e ≥时，关于1x 的方程③存在实数解. 设函数()12lnln ln ln ln x x a
u x a xa a x a a
=-++
+
， 即要证明1e
a e ≥时，函数()y u x =存在零点.
()()2
1ln x u x a xa '=-，可知(),0x ∈-∞时，()0u x '>；()0,x ∈+∞时，()u x '单调递增，
又()()()21
ln 21010,10ln a u u a a ??''?
?=>=-< ???，故存在唯一的0x ，且00x >，使得()00u x '=，
即()02
01ln =0x a x a -.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，
()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .
因为1
e
a e ≥，所以lnln 1a ≥-， 所
以
()()
0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ln 0.
ln ln ln ln ln x x a a a a u x a x a a x x a a a a
x a +=-++
+=++≥≥
下面证明存在实数t ，使得()0u t <. 由（1）可得1ln x a x a ≥+， 当
1
ln x a
>
时，有
()()()()2
212lnln 12lnln 1ln 1ln ln 1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a
≤+-++
+=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <.
因此，当1
e
a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10.u x =
所以当1e
a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线． 【考点】导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基
础知识和方法．