2017-2018学年宁波市九校联考高二期末数学试题
第I 卷(选择题)
一,选择题:本大题共10小,每小4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
1.椭圆3422x y +=1的长轴长、焦距分别为（ ） A.2,1 B.4,2 C.3,1 D.23,2
2.下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A.i(1+i)
B.i 2 (1+i)
C. i (1+i) 2
D. i 2(1+i) 2
3.设m ,n 为两个非零的空间向量,则“存在正数λ,使得m =λn ”是“m ·n >0”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.设α,β是两个不同的平面,l ,m 是两条不同的直线,且?l α,下列说法正确的是（ ）
A.若m ⊥l ,则m ⊥α
B.若m ∥l ,则m ∥α
C.若β⊥l ,则β⊥α
D.若β∥l ,则β∥α
5.已知双曲线22a x ?22b
y =1 (a>0,b>0),四点P 1(2,1),P 2(1,0),P 3(-2, 23),P 4(2, 23)中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）
A.25
B. 45
C. 5
D.5
6.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角
三角形组成,正方形的边长为1,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面
中有若干个是三角形,这些三角形的面积之和为（ ）
A.1
B.2
3 C.231+ D. 233+ 7.双曲线22a x ?22
b
y =1 (a>0b>0)的上支与焦点为F 的抛物线y 2=2px(p>0)交于A,B 两点,若|AF|+|BF|=3|OF|,则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y=±2
1x B.y=±2x C. y=±22x D.y=±2x 8.己知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=1,BC=CC 1=2,则异面直线AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（ ）
A.510
B. 515
C. 46
D. 4
10
9.己知椭圆42x +y 2=1的右顶点为A,直线l :x=?2上有两点P,Q 关于x 轴对称(P 在Q 下方)直线AP 与椭圆相交于点B(B 异于A),若直线BQ 经过坐标原点,则直线AP 的斜率为（ ）
A.26
B. 36
C. 2
D. 2
2 10.如图,水平放置的正四棱台形玻璃容器的高OO 1为30cm,两底面边长EF,E 1F 1的长分别为10cm 和70cm.在容中注入水,水深为8cm.现有一根金属棒l 其长度为30cm.(容器厚度、金棒粗细均忽略不计)将/放在容器中, l 的一端置于点E 处,另一端在棱台的側面上移动,则移动过程中l 浸入水中部分的长度的最大值为（ ）
A.182
B. 24
C. 122
D. 15
第II 卷(非选择题)
二、填空题:本大题共7道填空题：多空题每题6分:单空题每题
4分，共36分
11.己知复数i
i z ++=13,则它的共轭复数z =________ 12.抛物线x 2=y 的焦点F 的坐标为______;若该抛物线上有一点P
满足|PF|=4
5,且P 在第一象限,则点P 的坐标为______. 13.某四棱锥的三视图如图所示,则该几何体的体积为______.表面积为______.
14.已知椭回m y x 224+=1与双曲线12
2=-n
y x 的离心率分别为e 1,e 2,且有公共的焦点F 1,F 2,则4e 12?e 22=________,若P 为两曲线的一个交点,则 |PF 1|·|PF 2|=________.
15.己知空间向量PA ,PB ,PC 的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°点G 为△ABC 的重心,若 PG =x PA +y PB +z PC ,x,y,z ∈R,则x+y+z=________,|PG |=________.
16.a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等边三角形ABC 的边AC 所在直线与a,b 都垂直,边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列四个命题：
①直线AB 与a 所成角的最小值为30°
②直线AB 与a 所成角的最大值为60°
③当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成45°角
④当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角
其中为真命题的是_______ (填写所有真命题的编号)
17.双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2点P 在双曲线上,且位于第一象限,过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2,若直线21,l l 的交点Q 在双曲线上,则点P 的坐标为_______.
三、解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18.(本题满分14分)
已知命题p:椭圆1422=+y m x 的离心率e ∈(22,1),命题q:复数z=(m-1)+i,m ∈R 的模|z|10≥
( I )若命题p 为真命题,求m 的取值范围
(Ⅱ)若命题p 和q 中至少有一个为假命题,求m 的取值范围
19.(本题满分15分)
由四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1-B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 是边长为2的正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD
(I)证明:A 1O ∥平面B 1CD 1
(Ⅱ)若直线A 1O 与平面ABB 1A 1所成角为30°,求线段A 1E 的长
20.(本题满分15分)
已知抛物线C:y 2=2px 过点P(1,2),C 在P 处的切线交y 轴于点Q,过Q 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点A,B,直线OA,OB,OP 分别与抛物线的准线交于点M,N,R,其中O 为坐标原点
( I )求抛物线C 的方程及其准线方程,并求出点Q 的坐标;
(Ⅱ)求证:R 为线段MN 的中点
21.(本题满分15分)
如图,在四棱锥P-ABCD 中,△PAD 为等边三角形,四边形ABCD 为等腰梯形,且 AB= BC=CD=4.AD=2
( I ) 若△PBC 为等边三角形,证明:平面PAD ⊥平面PBC
(Ⅱ)若∠PBA=∠PCD=30°,求平面PBA 与平面PCD 所成钝二面角的余弦值
22.(本题满分15分)
己知椭圆C: 22a x +22
b
y =1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E 的坐标为(0,c),△EFA 的面积为2
2b ,过点E 的动直线l 被椭圆C 所截得的线段MN 长度的最小值为364
( I )求椭圆C 的方程
(Ⅱ)B 是椭圆C 上异于顶点的一点,且直线OB ⊥l ,D 是线段OB 延长线上一点,且| BD|=5
7|MN|,⊙D 的半径为|DB|,OP,OQ 是⊙D 的两条切线,切点分别为P,Q,求∠POQ 的最大值,并求取得最大值时直线l 的斜率