航空工业管理学院
毕业论文（设计）
2015 届数学与应用数学专业 1111061 班级
题目二元函数的极值及其应用
姓名XXX学号XXXXXXX
指导教师XXX 职称XXX
二О一五年四月三十日
容摘要
二元函数理论是其他学科的基础，其中极值是函数中的重要容，对极值也有很多研究方法，并且函数极值的理论有很多在生活中都有实际意义。无论是在科学研究，还是在物流，实际规划工程，通常要解决如何使投资量输出最大，产出最多，最高效率优化。这些实际问题都可以转化为一个数学问题来研究，进而转化为函数的极大值、极小值问题的解决。在本文中，首先给出的是二元函数的研究背景及现实意义，之后给出二元函数的非条件极值理论，二元函数条件极值理论，二元函数极值的判定，以及二元函数极值的理论应用举例。通过实例中的极值问题，说明所利用知识在求解二元函数极值问题中的重要应用。
关键词
二元函数；无条件极值；条件极值；判定；应用
the Extreme Value of Binary Function and Its
Application
XXXXXX By:XXXX Tutor: XXXXX
Abstract
Dual function theory is the foundation of other disciplines, including extreme value is an important content in function, the extreme value also has a lot of research methods, and the function extreme value theory has a lot in life has practical significance. Both in scientific research, and in the logistics, the actual planning engineering, often need to solve how to make the investment to maximum output, output the most, the highest efficiency optimization.The actual problem can be transformed into a math problem research capabilities, And then into the function of the maximum and minimum value problem to solve. Is first of all, the paper proposes the research background and practical significance of binary function, then give the unconditional extreme value of binary function theory, the conditions of binary function extreme value theory, extreme value of binary function determination, as well as the extreme value of binary function theory application, for example. Illustrated by an example of extreme value problem, using the knowledge in solving the important application of binary function extremum problems.
Key words
Dual function；unconditional extremum；conditional extreme value,；judgement；application
目录
第一章引言 (1)
第二章二元函数无条件极值理论 (2)
2.1 二元函数无条件极值的定义 (2)
2.2 二元函数无条件极值存在的必要条件 (2)
2.3 二元函数无条件极值存在的充分条件 (3)
2.4 二元函数极值的求解方法 (4)
第三章二元函数条件极值理论 (6)
3.1 二元函数条件极值的定义 (6)
3.2 二元函数条件极值的求解方法 (6)
第四章二元函数极值的判定 (13)
4.1 一阶偏导数判定极值 (13)
4.2 二元函数条件极值的简单判别法 (14)
4.3 极值判定的改进 (17)
第五章二元函数极值的理论应用举例 (19)
5.1 二元函数极值的理论应用 (19)
5.2 极值的实际应用 (21)
总结 (24)
致 (25)
参考文献 (26)
第一章引言
极值是函数的一个重要特征，而且在解决实际问题中是非常有现实意义的。为了获得生活或经济中的最佳方案，也常常通过用函数极值来解决我们需要解决的问题。
函数极值在数学研究中占重要地位，而且应用性非常广泛。无论是在科学研究，还是实际工程，经济管理中，都存在最优化问题，将这些经济和生活问题转化为函数问题具有现实意义。为了使我们所学到的函数极值理论更好的应用在实际生活中，就需要我们更加系统的总结有关函数极值理论知识。通过这些问题的解决，函数极值会为我们的生活提供最合理的解决方案，所以极值理论在我们的现实生活中是不可或缺的，也是很具有现实意义的。
函数是很多学科的基础，也有很多人对函数极值进行了更深层次的探究，并且学术性论文中都发表了不少独到见解关于函数极值问题，并不断地对其存在的缺陷进行改进，同时在后来的时间里对此问题进行了更透彻的分析和补充。通过本文，我们将更透彻的全面的了解二元函数极值的理论与实际意义。
第二章 二元函数的无条件极值理论
2.1 二元函数无条件极值的定义
定义一，设函数f 在000(,)P x y 的某个邻域0()U P 有定义，若该邻域的任一点0(,)()P x y U P ∈，成立不等式0()()f P f P ≥（或0()()f P f P ≤），则称函数f 在0()P 点处取得极小值（或极大值），称点000(,)P x y 为函数f 的极小值点（或极大值点）。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
例2.1.1求()(2f x x =-
解：5233
()(225f x x x x =-=-在(),-∞+∞上连续，且当0x ≠时，有
()21'
33
101033f x x x -=-=。 当()'0f x =时知， 1x =是稳定点，0x =是不可导点。判定是否为极值点，由下表分析：
点0x =为f 的极大值点，极大值为()00f =；1x =为f 的极小值点，极小值为()13f =-。
2.2 二元函数无条件极值存在的必要条件
定理1 如果函数(,)z f x y =在000(,)P x y 点存在偏导数，且在000(,)p x y 处取得极值，则在该点处的偏导数必为零，即00(,)0x f x y =且00(,)0y f x y =。
定理1说明，如果二元函数的两个偏导数存在，则可导函数的极值点必定是它的驻点，然而其逆命题不成立，即：函数的驻点不一定
是极值点。
例如函数z xy =，(0,0)是它的驻点，但在(0,0)点的某邻域，直线y x
=上的点有
2(,)(0,0)0f x x x f =>=
然而y x =-上的点有
2(,)(0,0)0f x x x f -=-<=
所以(0,0)点并不是以上函数的极值点。 2.3 二元函数无条件极值存在的充分条件
定理2 设函数(,)z f x y =的所有的二阶偏导数都在点00(,)x y 附近连续，且有00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =，记
00(,)xx A f x y =,00(,)xy B f x y =,00(,)yy C f x y = 那么
（1）当20AC B ->时，(,)f x y 在00(,)x y 处取得极值，同时当0A >时取极小值，0A <时取得极大值。
（2）当20AC B -<时，(,)f x y 在00(,)x y 没有极值。
（3）当20B AC -=时，(,)f x y 可能有极值，也可能不存在极值，因此需要重新讨论。
例2.3.1求函数()3322,339f x y x y x y x =-++-的极值。 解：解方程组
2
2
(,)3690
(,)360
x y f x y x x f x y y y ?=+-=??=-+=?? 求得驻点为(1,0)、()1,2、(3,0)-、(3,2)-。 并且二阶偏导数
(,)66xx f x y x =+， (,)0xy f x y =， (,)66yy f x y y =-+。
在点(1,0)处，21260AC B -=?>，又0A >，所以函数在(1,0)处有极小值()1,05f =-；
在点()1,2处，212(6)0AC B -=?-<，所以()1,2f 不是极值； 在点(3,0)-处，2(12)60AC B -=-?<，所以()3,0f -不是极值； 在点(3,2)-处，2(12)(6)0AC B -=-?-> ，又0A <，所以函数在(3,2)-处有极大值()3,231f -=。 2.4 二元函数极值的求解方法
（1）首先求偏导数(,)0x f x y =，(,)0y f x y =，(,)xx A f x y =，(,)xy B f x y =，
(,)yy C f x y =；
（2）其次求解方程组(,)0
(,)0x y
f x y f x y =???=??，求出驻点；
（3）求出不可导点；
（4）分别求出在驻点和不可导点处,,A B C 的值，然后判断2
AC B ?=-的符号，以及A 的符号，据此判断极值点的存在；
（5）根据定理2的结论可以知道00(,)f x y 是否能取极值，是取极小值还是取极大值。
例2.4.1求二元函数4422(,)224f x y x y x y xy =+--+的极值。
解：①解方程组3
3
4440
4440x y
f x x y f y y x ?=-+=??=-+=?? 解得驻点
3121230,0x x x y y y ??===??????===????? ②判定驻点是否为极值点：2124xx A f x ==-，4xy B f ==，2124yy C f y ==-。
在点(0,0)处，4,4,4A B C =-==-，且20AC B -=，无法判断是否为极
值点。但是由于在直线y x =上，4(,)2f x y x =在0x =取极小值；而在直线
y x =-上，
42(,)28f x x x x -=-在0x =取极大值，所以点(0,0)不是函数(,)f x y 的极值点。
在点
(处，由于2200,4,20,3840A B C AC B =>==-=>，故得出
(8f =-是(,)f x y 的极小值。
在点处，由于2200,4,20,3840A B C AC B =>==-=>，故得
出(8f =-是(,)f x y 的极小值。
第三章 二元函数条件极值理论
3.1二元函数条件极值的定义
以上我们所定义的无条件极值，除了其极值点的搜索围目标函数的定义域外，没有其他条件的限制。但是，在实际生活问题中，我们还会碰到另一类极值问题，它会受到一些约束条件的限制，因此条件极值就是求解带有约束条件的极值问题。
例如，要设计一个容量V 的矩形孔水箱，那么当水箱的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？
设水箱的长度为x 、宽度为y 、高度分别为z ，因此表面积为
(),,2()S x y z xz yz xy =++.
根据题意知，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求，而且还需要满足条件
xyz V =.
所需要解决的这种带有约束条件的极值，就是条件极值。 3.2 二元函数条件极值的求解方法 1.代入消元法
“代入消元法”是二元函数的一种常用方法。实际是通过消元法将条件极值转化为无条件极值。方法如下：由约束方程(,)0x y ?=解得
1()x y ?-=或()y x ?=，之后代入二元函数(,)z f x y =，转化为一元函数
()z f y =或()z f x =
例3.2.1求函数22(,)2f x y x y =+在圆周上221x y +=上的最大值和最小值。
解：将221y x =-代入函数22(,)2f x y x y =+可得：22f x =-。在11x -≤≤上，比较函数在驻点0x =以及区间端点1,1x x =-=的函数值，可知函数在0x =处取得最大值，在1x =±处取得最小值。 2.拉格朗日乘法
求(,)z f x y =在约束条件下(,)0x y ?=下的极值的拉格朗日乘数法： （1） 构造拉格朗日函数：(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+，
其中λ为待定系数，称为拉格朗日乘数，把条件极值问题转化为三元函数(,,)F x y λ的无条件极值问题。 （2） 由极值存在的必要条件，令
0(,)0
x x x y y y L f L f L x y λλ?λ???=+=?
=+=??
==? 解此联立方程组，得出可能的极值点(,)x y 。
（3） 由实际问题来确定这样的点 (,)x y 是否是极值点，然后计算出要
求的极值。
由于拉格朗日乘数法，引入了新的函数 ，增加了变量λ，从而使问题简化，解题变得更加简单。 同样例1也可以用此方法来解答。
解法如下：首先写出拉格朗日函数2222(,,)2(1)L x y x y x y λλ=++-- 。 令
220,420L L
x x y y x y
λλ??=-==-=??。有： 22220,
420,10.x x y y x y λλ?-=?
-=??--=?
解得可能的极值点(0,1),(1,0)±±，即
01x y =??
=±?
或10x y =±??=?，并且(0,1)2,(1,0)1f f ±=±=，通过比较知，f 在圆周221x y +=上的最大值是(0,1)2,f ±=最小值是(1,0)1f ±=。
3.拉格朗日乘法与一元函数判定的综合应用法
此方法综合了两种求条件极值的方法，使得求二元函数条件极值的应用更加广泛。具体步骤如下：
（1） 构造拉格朗日函数：(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+
（2） 由极值存在的必要条件，令0
0(,)0
x x x y y y L f L f L x y λλ?λ???=+=?
=+=??
==?解此联立方程组，得
到几组解1122(,,),(,,)......(,,)n n x y x y x y λλλ，并且1122(,),(,)......(,)n n x y x y x y 都是(,)z f x y =在约束条件下(,)0x y ?=下的驻点。
由00x x x y y y L f L f λ?λ?=+=???=+=??得出0x x
x x y y y
y f f f f λ??λ??=-???-=?=-??
由(,)0x y ?=得0x
x y x x y
y y ????-+=?=
（3） 于是(,)(,)0x y x f x y f x y y +=而(,)(,)x x y x F f x y f x y y =+。
因此1122(,),(,)......(,)n n x y x y x y 都是(,)z f x y =在约束条件下(,)0x y ?=下的驻点，即：(,)(,)0i
i i
i
x x x x x
y y x i i y i i x
y y z f x y f x y y =====+= ，(1,2......)i n =。
（4） 判别(,)(1,2......)i i x y n λ=是否是极值点，设(,)z f x y =有连续的一阶，
二阶偏导数，y 对x 的一阶，二阶导数存在。
()xx xx xy x yx yy x y xx z f f y f f y f y =++++22()xx xy x yy x y xx f f y f y f y =+++
由一元函数极值的第二判别法知： ①当0i
i
x x xx
y y z ==<时，(,)z f x y =在约束条件下(,)0x y ?=下有极大值，
且极大值为(,)i i
x x xx y y i i z f x y ===。
②当0i i
x x xx
y y z ==>时，(,)z f x y =在约束条件下(,)0x y ?=下有极小值，
且极小值为(,)i i
x x xx y y i i z f x y ===。
例3.2.2已知当224x y +=，求(,)2z f x y xy ==的极值。 解：①构造拉格朗日函数：22(,,)2(4)L x y xy x y λλ=++-
②解方程组
22220220(,)40x x x y y y L f y x L f x y L x y x y λ
λ?λλ?λ??=+=+=?
=+=+=??==+-=?， 消去λ得到几组驻点有
x y ?=??
=??
x y ?=??=??
x y ?=??=??
x y ?=??=?? ③2,0,2,2,0x xx xy y yy f y f f f x f =====，且根据
0x
x y x x y
x y y y ????--+=?=
=
，31
xx y y
=-。 将此代入()xx xx xy x yx yy x y xx z f f y f f y f y =++++22()xx xy x yy x y xx f f y f y f y =+++可得
21
(2)xx x z y y
=-+。
因此，
在x y ?=??=??
x y ?=??=??并且极小值为4-；
在x y ?=??
=??
或x y ?=??=??4。 4.换元法
换元法也是二元函数求条件极值的一种常用方法。对于约束条件是圆，椭圆等圆锥曲线的约束条件，可用此方法来求解条件极值问题。即引入第三变量t ，将,x y 转化为此变量t ，代入原二元函数，使其转化为一元函数，然后进行求解。
例3.2.3已知实数,x y 满足2
214
x y +=，求函数
22(,)24222f x y x xy y x y =++++的最大值。
解：设cos ,sin x t y t ==，通过换元法将,x y 代入函数(,)f x y 得到关于t 的函数
22()2cos 4cos sin 2sin 2cos 2sin f t t t t t t t =++++
22(cos sin )2(cos sin )t t t t =+++，
由于cos sin )4
t t t π
+=+≤
所以2()f t ≤+=4+因此二元函数(,)f x y 的最大值为4+。 5.判别式法
判别式法也是用来求解二元函数条件极值的一种方法，即利用一元二次方程的判别式24b ac ?=-，讨论二元函数f 的变化围，从而求出最大值与最小值。
例3.2.4设,x y R ∈，且满足224460x y x y +--+=，求y
x
的最大值与最小值。
解：令y Z x
=，则y Zx =，代入约束方程可得：
22()4460x Zx x Zx +--+=
又由于x R ∈，则有
222416(1)24(1)0b ac Z Z ?=-=+-+≥，解得2420Z Z -+≤。
由此解出11Z ≤≤y x
的最大值为1+1- 6.利用不等式求条件极值
不等式包括重要的不等式，柯西不等式，三角函数的有界性，这些不等式在函数的极值问题中起着重要作用。
例3.2.5设四边形的四边长一定，分别为,,,a b c d ，问何时面积最大。
解：设四边形的一组对角为,αβ，面积为s ，则四边形的面积为
11
sin sin 22
s ad bc αβ=+，且22222cos 2cos a d ad b c bc αβ+-=+-， 从而
222211
(,,)sin sin (2cos 2cos )22
F ad bc a d ad b c bc αβλαβλαβ=+++---+，
解方程组
22221cos 2sin 021cos 2sin 0
22cos 2cos F ad ad F bc bc F a d ad b c bc αβλαλαβλβαβ?
=+=??
?
=-=??
?=+---+??
解得αβπ+=
所以当四边形接近圆时面积最大。
当0,0x y >>时，有基本不等式222x y xy +≥
或x y +≥它可以证明：
（1） 若两正数,x y 的和一定，则当x y =时，则积xy 取最大值2
()4
x y +；
（2） 若两正数,x y 的积一定，则当x y =时，则x y +
取最小值。
例3.2.6当0,0x y >>时，求x y +满足22log log 2x y +=的最小值。 解：因为222log log log 2x y xy +== 所以4xy =
根据不等式4x y +≥=，因此x y +得最小值为4。
例3.2.7 当0,0x y >>时，满足222x y +=
，求Z =
并求达到最大值的,x y。
解：由于Z==，且22
,1
x y
+为整数，利用基本不等
式，求Z=222
x y
+=的条件极值。
22
(1)3
22
x y
Z
++
===，
因此满足约束条件Z=的
最大值为3
2
。
由于取最大值时有22
1
x y
=+，则可得出方程组
22
22
1
2
x y
x y
?=+
?
?
+=
??
解得2
2
x
y
?
=
??
?
?=
??
。
综上：当2
2
x
y
?
=
??
?
?=
??
时，2
1
Z x y
=+取得最大值为
3
2
。
第四章 二元函数极值的新判别方法
我们在判定二元函数极值时，通常所用的方法是求二阶偏导数。但是利用此方法，计算较复杂，在某些条件的运用失效等。那么此方法中所存在的不足，就需要我们去探讨新的方法去改进，弥补不足之处，从而使二元函数极值的判定更方便，简捷，有效。 4.1一阶偏导数判定极值
利用一阶偏导数可以弥补我们通用方法的两方面的不足，一是不用计算二阶偏导数；二是当2AC B ?=-不能判定极值是否存在时，此方法依然适用，解决极值的判定。具体方法如下：
设二元函数(,)z f x y =在点0P 处的δ邻域有连续偏导数，且(,)x y 是邻
域一点，此邻域为0(,){(,}U P x y δδ=<，则有引入函数
0000()((),()),(01)t f x t x x y t y y t ?=+-+-≤≤，有
00(0)(,),(1)(,)f x y f x y ??==，
且在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)可导，应用拉格朗日中值定理可得，存在一点ξ且(01)ξ≤≤，使等式
()
()'(1)010
???ξ-=-成立，即为等式：
()()()()00011011,,,()(,)x y f x y f x y x x f x y y y f x y -=-+-，
其中100()x x x x ξ=+-，100()y y y y ξ=+-。
又由于有01ξ≤≤，因此有如下：
δ=<
<，
即()11,x y 属于δ邻域。又由于0101
()x x x x ξ
-=-，0101
()y y y y ξ
-=-，则代入
下式()()()()00011011,,,()(,)x y f x y f x y x x f x y y y f x y -=-+-可得到：
()()()()00101110111
,,[,()(,)]x y f x y f x y x x f x y y y f x y ξ
-=-+-，
若对任意(),x y 属于δ邻域有00()(,)()(,)0x y x x f x y y y f x y -+-<，则有
()00(,),0f x y f x y -<，即可得()00(,),f x y f x y <，由(),x y 的任意性可得
(,)f x y 在()00,f x y 处取得严格极大值；同理可得当
00()(,)()(,)0x y x x f x y y y f x y -+->
时，有()00(,),0f x y f x y ->，即可得()00(,),f x y f x y >，由(),x y 的任意性可得(,)f x y 在()00,f x y 处取得严格极小值。
例4.1.1设22f x y =+，求此函数的极值。 解：解方程组20
20
x y f x f y ==???
==??，得到驻点(,)(0,0)x y =，则通过以上方法
可得到：对于任意(,)(0,0)x y ≠有22(,)(,)220x y xf x y yf x y x y +=+>，由以上解法结论可以知道()(,)0,0f x y f >，因此(,)f x y 在()0,0f 处取得严格极小值。
通过此例题我们可以看出，用此方法判定极值避免了计算三个二阶偏导数，而且在2AC B ?=-无效时，我们也很轻松地判定了在驻点处的极值问题。
4.2二元函数条件极值的简单判别法
对于二元函数求条件极值，如果我们能根据约束函数求解出隐函数()g x ，在将隐函数代入二元函数，便可将二元函数转化为一元函数求极值。但是在解决隐函数时不一定用解析式能表达出来，这样求解起极值就变得麻烦起来，因此我们给出以下更简便的方法来判定条件极值。
设二元函数(,),(,)f x y x y ?具备以下条件：
（1）函数(,,)(,)(,)x y f x y x y φλλ?=+的一个稳定点的坐标为000,,x y λ； （2）所有二阶偏导数在点00(,)P x y 的某邻域连续； （3）00(,)0y x y ?≠。
设(,)xx A f x y =，(,)xy B f x y =，(,)yy C f x y =，令()g x 是(,)0x y ?=在点P 某邻域确定的隐函数，则设()''2"000002()(,)()y G A Bg x Cg x f x y g x =+++，其中
有'
000()(,)x y
g x x y ??=-、22"
0003
2()(,)xx y xy x y yy x y g x x y ????????-+=-。 当0G >时，二元函数(,)f x y 在条件(,)0x y ?=下在点00(,)P x y 取极小值。
当0G <时，二元函数(,)f x y 在条件(,)0x y ?=下在点00(,)P x y 取极大值。
证明：由（2）知所有二阶偏导数在点00(,)P x y 的某邻域连续，已知稳定点，那么在稳定点处有
000
00
x x x y y y f f λφλ?φλ?φ??=+=?
=+=??
==?， 又知道00(,)0y x y ?≠，根据隐函数存在定理，方程(,)0x y ?=在点
00(,)P x y 的邻域唯一确定一个具有连续导数的隐函数()g x ，使得
()00y g x =并且()(,)0x g x ?≡，0(,())()x g x U P ∈。
因(,)x y ?在点00(,)P x y 的邻域有连续二阶偏导数，因此有'()x
y
g x ??=-
、22
"
3
2()xx y xy x y yy x y
g x ????????-+=-， 令()()(,)F x f x g x =，则有()F x 在0()U x 有二阶连续偏导数，则
函数极值最值的求法及其应用 学习目标：会用导数求函数的极值与最值并利用其解决相关的数学问题. 学习重点：利用导数求函数单调区间和极值最值，并能利用他们解决相恒成立问题、方程的根和函数的零点问题. 学习难点：含参函数的分类讨论和数形结合的思想方法. 学习方法：指导学习法. 课前五分钟展示：求函数)0()(>+=a x a Inx x f 在区间[]1,e 上的最小值. 基础知识回顾： 1、 单调区间： 在某个区间(a,b)内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调 注意：求参数范围时，若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则 '()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 2、 函数的极值与最值： 极大值和极小值：一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有)(x f ＜)(0x f 或)(x f ＞)(0x f ，就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值或极小值，记作极大值y =)(0x f ，0x 是极大值点或记作极小值y =)(0x f ，0x 是极小值点.
在定义中，极大值与极小值统称为 取得极值的点称为 极值点是自变量的值，极值指的是 最大值和最小值：观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的 函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在 []b a ,上必有最大值与最小值． 请注意以下几点： （1； （2）函数的极值不是唯一的； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系 ； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点取得最大值.最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 思考探究： 在连续函数)(x f 中，0)('= x f 是函数)(x f 在 x x =处取到极值的什么条件（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 典型例题： 题型一：利用导数求函数的极值最值问题： 例1：求函数5224+-=x x y 在区间[]2,3-上的最大值与最小值.
2012 年 5 月（上）科技创新与应用科教纵横多元函数的极值及其应用苏兴花（山东现代职业学院，山东济南 250104 ）多元函数的极值问题在近年来研究比较广泛，相关的理论逐渐地完善起来，多元函数极值问题的应用也越来越广泛．然而在数学分析的教材中，与一元函数比较起来，多元函数极值的理论及应用却比较少，没有详细的讨论，例如二元函数极值的讨论中，当判别式时，无法判别二元函数的极值是否存在．鉴于这种状况与实际需要的矛盾，总结出几种较为简便的判别多元函数极值的方法，使得多元函数的极值问题的解决方法简单多样化，运用起来更加灵活与方便。 1 多元函数极值 1.1 极值的定义、性质和判定定理二元函数的极值定义 1 设二元函数 f(x,y 在点 P(a,b 的邻域 G 有定义，在 P 处给自变量的增量△P=(h,k，相应有函数增量．若，则称 P(a,b是函数 f(x,y的极大点（极小点）．极大点（极小点）的函数值 f(a,b称为函数 f(x,y的极大值（极小值）．极大值与极小值统称为函数的极值．定义 2 方程组的解（xy 平面上的某些点）称为函数 f(x,y的稳定点．定理 1 若函数 f(x,y在点 P(a,b存在两个偏导数，且P(a,b是函数 f(x,y的极值点，则 . 定理 2 设函数 f(x,y有稳定点 P(a,b，且在 P(a,b的邻域 G 存在二阶连续偏导数．令 1）若△<0，则 P(a,b是函数 f(x,y的极值点，(iA>0(或 C>0，P(a,b是函数 f(x,y的极小点; (iiA<0(或 C<0，P(a,b是函数 f(x,y的极大点． 2）若△>0，P(a,b不是函数 f(x,y的极值点． 1.2 多元函数极值推广 1.2.1 多元函数极值在数学分析中的推广定理设 f(P是 R n 中的实函数，且 f(P在点 P 0 取到极值，则 f(P 在点 P 0 的任何方向导数均为零． 1.2.2 多元函数极值在线性代数中的推广定理 1 设 n 元函数 f(x=f(x 1 ,x 2 ,...,x n 在某区域上具有二阶连续偏导数，并且区域内一点 P(a 1 ,a 2 ,...,a n 是 f(x的稳定点．其中为实对称矩阵，其元素且不全为零 (i,j= 1,2,...,n即A≠0． 1 若 A 为正定矩阵，f(P为极小值; 2 若 A 为负定矩阵，f(P为极大值; 3 若 A 既不正定，也不负定，则 f(P不是极值．注意：若二次齐次多项式为零，即 A=0 时，此时不能用 A 的正定与负定来判断 f(P是否为极值，或判断 f(P是极大值或极小值，需根据二次齐次多项式后边的高次项去判定．定理 2 设二元函数 f(x,y在点 P 0 (x 0 ,y 0 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且 P 0 是稳定点，又，即△=0 时，则当时， f 在点 P 0 无极值．例 2 判别函数是否存在极值．解
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
函数的极值问题在实际中的应用 一、函数求极值方法的介绍 利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。 1、一元函数极值的判定及求法 定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。 使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。 定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。 （1）若当时，当时，则在点取得最小值。 （2）若当时，当时，则在点取得最大值。 定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在 处二阶可导，在处二阶可导，且，。 （1）若，则在取得极大值。 （2）若，则在取得极小值。 由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，
在这些点的导数为0，即为驻点。因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。
“图解法解二元函数的最值问题” 教学课例 昌平区第一中学 回春荣
“图解法解二元函数的最值问题”教学课例 一、设计意图： 在新课程背景下的教学中，课堂上我们应是以“问”的方式来启发学生深思，以“变”的方式诱导学生灵活善变，使整堂课有张有弛，真正突出了学生是教学活动的主体的原则。本节内容是在学习了不等式、直线的方程的基础上，利用不等式和直线的方程有关知识展开的，它是对二元函数的深化和再认识、再理解，是直线、圆和不等式的综合运用，同时它又对理解下一章“圆锥曲线”的相关内容有着很好的帮助作用，所以这一部分内容起到了一个巩固旧知识，熟练方法，理解新知识的承上启下的作用。图解法在解决函数求最值的问题上有着广泛的应用，这节课为学生提供了广阔的思维空间，对培养学生自主探索、合作研究、主动发现问题、分析问题，创造性地解决问题的能力有着丰富的素材。教学上通过设置问题情境、多媒体展示，学生动手操作，使学生在“做中学”，学生在实际操作中，既发展了学生的个性潜能，又培养了他们的合作精神。 二、本课教学目标 1、知识与技能:通过识图、画图，学会解决有约束条件的二元函数最值问题的处理方法——图解法。 2、过程与方法:经历约束条件为二元一次不等式组，目标函数为具有截距、斜率、距离等几何意义的二元函数的最值问题的探究过程，提炼出解决这类问题的方法——以图定位，以算定量。 3、情感态度与价值观:通过对有约束条件的二元函数的最值问题的探究，培养学生科学严谨的治学态度，勇于探索、敢于创新的学习精神，同时感受合作交流的快乐。 三、教学过程与教学资源设计 （一）、教学内容：图解法解二元函数的最值问题 （二）、教学设计流程图：
. .. . 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract............................................................................................................. .. (1) Keywords.......................................................................................................... .. (1) 引言 (1) 1定理中用到的定义 (2) 2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5) 3多元函数极值判定定理的应用 (7) 参考文献 (8)
多元函数极值的判定 摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值. 关键词：极值；条件极值；偏导数；判定 The judgement of the extremum of the function of many variables Abstract：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the
function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables . Keywords : extremum; conditional ;partial derivative 引言 在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二 元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去. 1 定理中用到的定义 定义1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 有定义.若对于任何点 0(,)()P x y U P ∈，成立不等式 0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥）， 则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点. 定义1.2[]1 设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在 0x 的某一领域有定义，则当极限 0000000(,)(,)(,) lim x xf x y f x x y f x y x x →+-= 存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作 00(,) x y f x ??. 定义1.3[]3 设n D R ?为开集，12(,, ,)n P x x x D ∈，00 0012 2(,,,)P x x x D ∈ :f D R →，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有 000 ()()() lim P P f P f P A P P P P →----, 则称n 元函数12(,, ,)n f x x x 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为
多元函数的极值与应用
摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性 关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性 Extreme value of function and application Abstract ：This article is about the function extreme solution by a function extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singular Keywords ：Function extreme: function extend application 一函数极值理论 定义 2.1.1[3]设n (2)n ≥元函数12 (,,)n z f x x x =在点00012(,, ,)n x x x 的某个 邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,,)n x x x 的点12(,,)n x x x 都有
00012 12(,,)(,,,)n n f x x x f x x x <(或0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函数在 点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极 值，使函数取得极值的点称为极值点. 定义 2.2.1 [3] 函数12(,,,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,,)0i n x x x ?= (1,2, ,;)i m m n =<下的极值称为条件极值. 3. 多元函数普通极值存在的条件 定理（必要条件）若n (2)n ≥元函数12(,,,)n z f x x x =在点00012(,, ,)n x x x 存 在偏导数，且在该点取得极值，则有00012(,, ,)0i x n f x x x = (1,2, ,)i n = 备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点. 定理[3]（充分条件）设n (2)n >元函数12(,,,)n f x x x 在00012(,,,)n x x x 附近具 有二阶连续偏导数，且00012(,,,)n x x x 为12(,, ,)n z f x x x =的驻点.那么当二次型 00012,1 ()(,,,)i j n x x n i j i j g f x x x ζζζ== ∑ 正定时，00012(,,,)n f x x x 为极小值；当()g ζ负定时，00012(,, ,)n f x x x 为极大 值；当()g ζ不定时，00012(,, ,)n f x x x 不是极值. 记00012(,, ,)i j ij x x n a f x x x =，并记 11121321 22 2312 k k k kk a a a a a a A a a a ?? ????=??? ??? ， 它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理： 定理 [3] 若det 0k A > (1,2, ,)k n =，则二次型()g ζ是正定的，此时 00012(,, ,)n f x x x 为极小值；若(1)det 0k k A -> (1,2, ,)k n =，则二次型()g ζ是负 定的，此时00012(,, ,)n f x x x 为极大值. 特殊地，当2n =时，有如下推论：
第六节 多元函数的极值及其求法 在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题. 内容分布图示 ★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 例1-3 ★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件 ★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5 ★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16 *数学建模举例 ★ 最小二乘法 ★ 线性规划问题 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-6 ★ 返回 内容提要： 一、二元函数极值的概念 定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果 ),,(),(00y x f y x f < 则称函数在),(00y x 有极大值；如果 ),,(),(00y x f y x f > 则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 .0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1) 与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点. 定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导
函数极值与最值研究 摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等， 关键词：函数，极值，最值，极值点,方法技巧． Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number of
函数的极值和最值及其应用 函数极值的定义 ??????是函，则设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有xxxf?ff xx)(xf0000??????????的一，则的一个极大值。如果附近所有的点，都有 是函数数xxfxffxfx?f00个极小值，极大值与极小值统称为极值。 极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。 ???.的极值点，则这就是说可导函数在点取极若函数在点处可导，且为 0fx?xxff000????0xf. 值的必要条件是0函数最值的定义 ????xffx Xx?不小于其他所有的区间上有定义，如果存在一点，使得在设函数X00??????,xff?xxfxX?，，亦即0????????xfmaxxxff?是在上的最大值，又可记为；则称X00????????,x?f?xffxXfxx同样使得，亦即，不大于其他所有的o0????????xxfxf?fmin . 是在则称上的最小值，又可记为X00??xf在注意上未必一定有最大（小）值。：函数X最值和极值的联系与区别 （1）极值一定是函数在某个区间内的最值； （2）极值未必是最值； （3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。 函数极值、最值的求解方法 1、降元法 求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。 1 22，求函数的极值。例1：已知x?z?y22y?x?22，代人得解：由题设得xy2?x?y?2 22????282?z??2?x?x??2x 2??22?2?22?x???2?0???x?28??即函数的定义域为：2?2?22,?2?2??
多元函数的极值及其应用 作者：程俊 指导老师：黄璇 学校：井冈山大学 专业：数学与应用数学
【摘要】 多元函数的极值是函数微分学中的重要组成部分，本文对几种特殊的多元函数进行了简单的介绍，对多元函数的极值常见的求法进行了研究，并引入其在生活中、生产中解决实际问题的广泛应用，突显这一学术课题在生活中的重大意义。如今构建经济型节约社会慢慢成为我们共同努力的方向，而最优化问题是达到这一目标的有效途径，其常常有与多元函数的极值息息相关。对函数极值的研究不仅把理论数学推上一个高度，给经济方面，生活方面带来的益处不容小觑，本人浅谈极值问题，为了抛砖引玉，希望这一课题能有更广大额发展空间 【关键词】：多元函数；极值；生活中的应用
目录 Ⅰ引言 (1) Ⅱ多元函数极值的介绍………………………………………… 2.1什么是多元函数………………………………………… 2.2函数的极值理论………………………………………… Ⅲ几种函数的极值的常见求法……………………………… 3.1高中极值求法的弊端………………………………… 3.2拉格朗日乘数法……………………………………… 3.3消元法…………………………………………………… 3.4均值不等式法…………………………………………… Ⅳ多元函数在生活中的应用……………………………………
引言 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它有助于我们提高对函数的认识。而函数的极值的作用已经蔓延到经济领域，在各种解决最优化中应用广泛，从而引发了本人对该课题的研究兴趣。 编者 2014年2月
多元函数的极值及其求法 The latest revision on November 22, 2020
第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z 说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要 解方程组???==0 ),(0),(0000y x f y x f y x ，求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ??，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数),(y x f z =的驻点． 注意1．驻点不一定是极值点，如xy z =在)0,0(点． 怎样判别驻点是否是极值点呢下面定理回答了这个问题．
高中数学人教版选修1-1（文科）第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数（II） 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共8题；共16分) 1. （2分）f′（x0）=0是函数f（x）在点x0处取极值的（） A . 充分不必要条件 B . 既不充分又不必要条件 C . 充要条件 D . 必要不充分条件 2. （2分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=（2x+1）er+1+mx，若有且仅有两个整数使得f（x）≤0．则实数m的取值范围是（） A . B . C . D . 3. （2分）已知非零向量，满足| |=2| |，若函数f（x）= x3+ | |x2+ x+1在R 上存在极值，则和夹角的取值范围是（） A . B . C .
D . 4. （2分） (2019高二下·雅安期末) 已知函数在时取得极大值，则的取值范围是（） A . B . C . D . 5. （2分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（） A . B . C . D . 6. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极大值之和为（） A . B .
C . D . 7. （2分）函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线,则 的图象的顶点在（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 （其中）， 8. （2分）(2018·绵阳模拟) 已知函数，有三个不同的零点， 则的值为（） A . B . C . -1 D . 1 二、填空题 (共3题；共3分) 9. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 函数若函数在上有3个零点，则的取值范围为________．
第八节 多元函数的极值及其求法 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 重点：二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，拉格朗日乘数法求最值实际问题。 难点：求最值实际问题建立模型，充分性判别法的证明。 作业：习题8－8（71P ）3,5,8,9,10 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相 类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题． 一．多元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点 )0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2 243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的 偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 证明 不妨设函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值，依定义，在该点的邻域上均 有 ),(),(00y x f y x f <，),(),(00y x y x ≠ 成立． 特别地，取0y y =而0x x ≠的点，有000(,)(,)f x y f x y <也有成立．
第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点 ),,(000z y x 处的切平面方程为
目录 摘要 (2) ABSTRACT (2) 第一章引言 (4) 第二章一元函数的极值 (5) 2.1极值的充分条件 (5) 2.2几种特殊函数的极值 (8) 第三章多元函数的极值 (12) 3.1无条件极值 (13) 3.2条件极值 (15) 第四章函数极值的应用 (19) 参考文献 (24) 致谢 (25)
函数极值的求法及其应用 曾浪 数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵 摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。 关键词：函数；极值；应用 The extreme of function of religion and its application Zeng Lang Mathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo Jiagui Abstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions. Key word: function; the extreme; application
§10–7 二元函数的极值 基础知识导学 1. 二元函数的极值与驻点 ⑴ 极值与驻点 ①极值 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义， 如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点. ⑵ 极值存在的必要条件 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x . 注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则 ①当02 <-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02 >-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；
第八节多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极 值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数z f（x, y）在点（X。, y。）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异 于（X。，yo）的点，如果都适合不等式 f （X, y） f（X o,y。） 则称函数f（X，y）在点（X0，y。）有极大值f（X0，y。）。如果都适合不等式 f （X, y） f（X。,y。）， 则称函数f（X，y）在点（X0,y。）有极小值f（X0,y。）.极大值、极小值统称为极值。 使函数取得极值的点称为极值点。 22 例1 函数z 3X 4y在点（。，。）处有极小值。因为对于点（。，。）的任一邻域内异于（。，。）的点，函数值都为正，而在点（。，。）处的函数值为零。从22 几何上看这是显然的，因为点（。，。，。）是开口朝上的椭圆抛物面z 3X2 4y2 的顶点。
例2函数z x y在点（0, 0）处有极大值。因为在点（0, 0）处函数值为零，而对于点（0, 0）的任一邻域内异于（0, 0）的点，函数值都为负， 点（0, 0, 0）是位于xOy平面下方的锥面z: x2 y2的顶点。 例3 函数z xy在点（0, 0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在 点（0, 0）处的函数值为零，而在点（0, 0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1 （必要条件）设函数z f（x，y）在点（X0，y。）具有偏导数，且在点（X o, y o）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： f x（X o,y°）0, f y（x o,y°）0 证不妨设z f（x，y）在点（x0，y0）处有极大值。依极大值的定义，在点 （X。，y。）的某邻域内异于（X。，y。）的点都适合不等式 f （x, y） f（x°,y o） 特殊地，在该邻域内取y y0，而x X0的点，也应适合不等式 f（x, y°） f（X o,y°） 这表明一元函数f（x，y o）在X X o处取得极大值，因此必有 f x（X o,y o）0 类似地可证 f y(X o,y o) 0
2． 二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则 当B 2 AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。 注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2 － 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数： 并求出相应的极值 . 2 z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 2 6x , x y x 2 z xy 2 z 2 y 2 再求函数的驻点．令 z = 0， x 得方程组 2 3x 2y 0, 2y 2x 0.